第3章 变分法与HAMILTON原理
一、 泛函与变分
1. 泛函
普通函数是从数到数的映射
( )
泛函是普通函数概念的推广，自变量可以为任意集合，
集合
数学物理中常见的泛函自变量常取为函数， [ ] 。 例 ( ) 是函数； [ ] ( )是泛函，并且有
[ ]
例 [ ] ∫ ( ) ，则
( ) [ ] ( ) [ ]
{ ( ) } 例 [ ] ∫ 泛函可类比于多变量函数，
( ) { }
[ ] { ( )| 的定义域}
这里的 ( )相当于前面多变量函数的自变量 ， ；泛函 [ ]是以不可数无穷多个变量 ( ) ( ) 作为自变量的函数。
例 复合函数可以看成是一族泛函， ( ) [ ] ( ̇( )) ( ( ))，其中 是参数。
[ ] [ ]
2. 泛函的连续性
对于泛函 [ ]，给定函数 ( )，如果能够满足
1 / 34
，当| ( ) ( )| | ( ) ( )| | ( )( ) ( )( )| 时，有
| [ ] [ ]|
则称泛函 [ ]在 处 阶接近的连续。
3. 变分
泛函可类比于多变量函数，
多变量函数 ( )，自变量的微分为 ；
泛函 [ ]的自变量为{ ( )| 定义域}，自变量的变分 ( ) ( ) ( )，即函数的无穷小改变。
小参量法的定义为 ( ) ( )，其中 为任意无穷小量， ( )为任意连续有界函数。类似于数学分析中的 - 语言，这是严格的数学定义。下面的叙述我们不追求数学上的严格性。
函数的微分 ( ) ( ) ( ) 泛函的变分 [ ] [ ] [ ]
例 [ ] ( ) [ ] ( )( ) ( ) ( )
例 位移 ⃗ [ ] ⃗ ( ( ) ( ) )，虚位移 ⃗ ⃗ ( ( ) ( ) ) ⃗ ( ( ) )
⃗
( )。
例 [ ] ∫ ( ) ( ) ，（变分与积分可交换在后面证明）
[ ] [ ] [ ]
∫ ∫
( )( )( )( )
∫
( ) ( )
{ ( ) ( ) ( ) ( )}
4. LAGRANGE变分基本引理
2 / 34
设 ( )在区间[ ]上连续， ( )及其2阶导数在[ ]上连续，且在端点处 ( )
( ) 。如果任意这样的函数 ( )均满足∫ ( ) ( ) ，则必有 [ ] ( ) 。
用反证法很容易证明：反设 ( ) ( ) ，不妨设 ( ) 。由于 ( )连续，
存在 点的邻域[ ] [ ]，在[ ]上 ( )
。现在构造 ( )为
( ) {
则
[ ]
( ( ))( ( )) [ ]
∫ ( ) ( ) ∫
( ) ( ) ∫ ( )
与∫ ( ) ( ) 矛盾，所以 ( ) ( ) 。再由函数的连续性，在端点上同样有
( ) ( ) 。
注：定理中 ( )所需满足的条件可以更改为“连续”或者“1阶导数连续”，“3阶导数连续”等等。
5. 泛函的导数
多变量函数的偏导数定义为
( ) ( ) ( )
或者写成微分形式，
( )
泛函的导数定义为
[ ] ∫
( ) ( )
通常习惯把 ( )写成 ( )。
例 [ ] ( )， [ ] [ ] [ ] ( )，
3 / 34
[ ] ∫
( )
( ) ∫ ( ) ( ) ∫{ ( )} ( )
( ) ∫ ( ) ( )
}
这里 ( )，由Lagrange引理，
( ) ( )
例 [ ] ( )， ) ∫
(
( ) ) ∫ (
( )
( ) ( ) ( )
例 [ ] ∫ ( ) ( )
( ) ( )
∫ { ( ) ( ) ∫ { ( ) ( ) ( ) }
( ) ( )
( ) ( ) 其中 ( )是阶跃函数（Heaviside function）。 { ( ) ( )} 例 [ ] ∫
( ) ( )
∫{ ∫{ ( ) ( )}
∫
( ) √
( ) √ ( )}
( )
上面用了 函数的性质
( ( ))
∑
( )
( )
另一种计算方法：
∫
{ ( ) ( )} ∫
( ) ∫
( )
∫
( ) ( √ ∫ ( ) ( √ ∫
( ) ( )
4 / 34
∫
( ) (√ ∫
( ) ∫
( ) ∫
( )
∫
( ) ) ( )
例 [ ] ∫ ( ̇ )
∫{ ̇ } ∫{ ( ) ( }
∫{ () } |
6. 变分的运算规则
与微分法则类似，可以证明，
( ) （线性）
( )
(
( )
( ( ))
7. 变分可以与微分、积分交换次序
按定义，
( ) ( ) ( ) { ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
} { }
{
( ) ( )
(这一步交换求和顺序不严格，对病态函数可能不成立)
( )
因此对虚位移，
⃗ ( )
⃗ ( )，在分析力学中称为等时变分或简单变分。
分析力学中还有其它方式定义的变分，一般说来等价于 与平移的混合运算，此时 。 对于积分，
5 / 34
∫ ( ) { ∑ ( ) } ∑( )( ) ∑ ( )
∑ ( ) (这一步交换求和顺序不严格，对某些病态函数可能不成立)
∫ ( )
8. 泛函的高阶变分
例 [ ] ∫ ( ) ，
∫{ ( ) ( )}
( ) ∫{ ( ) ( )} ∫{( ) ( ) ( ) ( )}
( ( )) ( ( ))} ∫{ ( ) ( )
9. 泛函的积分
路径积分∫ [ ][ ]（注意这不是泛函导数的逆问题）
将积分变量的定义区间 等分，变成对 ( ) ( )普通多变量函数积分，最后取极限 。
例如量子力学中的传播子为
( ) ∫ { ∫ ( ̇) }[ ]
波动 惠更斯原理, Feynman, Lattice QCD 超出课程范围，略
二、 泛函的极值
1. 泛函的极值
泛函 [ ]取在 处取驻值的条件为 ，或等价地 .
6 / 34
泛函取极值的条件除了 外，还必须满足 （取极大值）或 （取极小值）。
2. 固定边界的泛函极值
在历史上，对最速降线问题（the brachistochrone problem）的分析导致了变分法（calculus of variation）的发明。（Fermat原理比Bernoulli的最速降线更早了几十年）
(1) 最速降线
例 （J. Bernoulli, 1696年）垂直平面上有两个固定的点 。以水平方向为 轴，向下方向为 轴， 点为原点，设 。 两点之间用曲线 ( )连接，一个质点被束缚在曲线上运动，在重力作用下自由下降，初速为0。什么样的曲线形状可以使质点从 到 所花的时间最少？ 解 机械能守恒， √ √ √( ( )) ，通过这段弧所需的时间为
( ( ))
√ 从 到 所花的时间为
[ ] ∫
√ 取极值的必要条件为
( )
注意上式无需对端点成立，因为端点处 ( ) ( ) ( ) ( ) 下面来求 处的泛函导数，
( ) ( ) ( ) √ ∫ ∫
∫
()
( )
() (){( )) ( )} 7 / 34
∫
( ))|
所以有
) (
( ) ( )
() ()
(){ √ } √ √
将 点坐标( )代入得 ( ) ；另一个积分常数 可由
{ √ }
定出。右边只取正号的原因是：令
√
√ { √ ，又 ，所以只能取正号。曲线方程为
{ √ }
这个曲线方程可以改成参数形式， √
{
是摆线方程。
( )
( )
这里我们只验证了驻值条件，还需进一步验证是否有二次变分 ，
∫
∫
) ∫
(
(
)( )
)
确实是极小值。
8 / 34
另一种解法是设 ( )，见沈p219.
注：沈p220例2.64遗漏了Goldschmidt解（Goldstein 3ed. P40），变分法 前面的因子如果不连续，则不一定为0（此时Lagrange变分引理的前提条件不成立）。
(2) 固定边界的积分型泛函驻值
[ ] ∫ ( )
在边界条件 ( ) ( ) 下的驻值条件为
∫ ( ∫{ ( ) ( )}
)
∫{
( ) ( )}
( ( )) ( ( ) ( )}
∫{
∫{ ( ( ) ( )|
∫{
()} ( ) ( 方程) 如果没有指定边界处的函数值，则 ( ) ( ) ，应视为独立的变分，得自然边界条件
|
(3) EULER方程的首次积分
① ( )，“广义能量” ② ( )，“广义动量”
③ ( )，得代数方程 ，可直接解出 ( )。
9 / 34
例 最速降线的另一种解法（沈p219）设 ( )， 有“广义能量积分”，……
√
( )
， ( ) √
( )
(4) 多变量泛函的固定边界驻值
) [ ] ∫ (
( ) ( )
Euler方程为
不指定边值时，自然边界条件为
(5) 多重积分型泛函的固定边界驻值
[ ] ∫ (
)
边界值 ( )已指定。
Euler方程
( 注意左边第二项 ( ( ) ( ) ( ) (
)
。
不指定边值，可得自然边界条件
| (
)
(6) 含高阶导数泛函的固定边界驻值
以2阶为例计算。…… 一般的含 阶导数的泛函 [ ] ∫ ( ( ))
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
Euler方程为
() ( 10 / 34
自然边界条件
() ( () () () () 当 时，
{
3. 泛函的条件极值
(1) 悬链线（自习）
J.Bernoulli,1690. 金p249, 沈p220的解法不严格。
不可伸长的柔性链，线密度为 ，长度为 ，两端挂在A、B两个固定点上。求绳子的形状。 解 AB线段所在的垂直平面内，以水平方向为 轴，垂直向上为 轴，建立直角坐标系。平衡时，链的形状 ( )使得势能取极小。
[ ] ∫ ∫
绳长不变，得约束条件
[ ] ∫ ∫
由于有约束， ( )不独立。引进拉氏乘子，得
∫ ) ∫ ∫
}
}
∫
∫
∫
∫ ∫
11 / 34
可以直接求解方程，也可以利用“广义能量积分”，
∫( ) ∫ ( )
} ( () {
√(
( √) (
3个待定常数（2个积分常数，1个来自拉氏乘子）由代数方程 ( )
( )
( ) ( ) ∫ ∫√ () ∫
确定。
注：将坐标原点平移，总可以把悬链线方程写成
沈、金教材上由于没有严格地按条件极值来处理，得到的是特解。如果以绳子中心点即最低点为坐标原点，则绳子的形状为 ( )，显然没有包含于课本给出的解中。
此问题也可以用牛顿力学来解。设张力为 ( )，水平方向力的平衡：
；垂直方向力的平衡：
。把第一式代入第二式，
( ) ( )
( )
( )
(2) 水银滴的表面形状
一滴水银静止于水平桌面上，求它的表面形状。
12 / 34
设水银的密度为 ，体积为 ；水银与空气之间的表面张力系数为 ，水银与桌面间的表面张力系数为 ，桌面与空气之间的表面张力系数为 。
由对称性，水银的表面旋转对称。取坐标原点为桌面上水银滴的中心点，桌面为 - 平面，则水银的表面可以用广义坐标 ( )描述，其中 是表面上的点P到原点的距离， 是P点与原点的连线对桌面的夹角， [ ]。
按虚功原理，水银的形状应该使得势能最低，同时还必须满足体积为 的约束条件，
[ ] ∭ ( ) ∫∫
( )
∫
势能分为重力势能和表面能两部分， 。重力势能为
[ ] ( )
∫∫
( )
∫ ( )
总表面能为液气表面积 和液固表面积 的表面能之和
[ ] ( )
∫ √ ( ) ( ( )) ∫ √ ( ) ( ( ))
约束条件下的极值条件为 { [ ] [ ] ( [ ] )} ，其中 是Lagrange乘子，为待定常数。
[ ] ∫
[ ] ∫ ( )
[ ] ∫ ( √ ) ( ) ( ) ( )
∫{√
)} ( ) ( ) ( )
∫{√
}
( ) ( ) ( )
又
13 / 34
( ) ] ( )
(
)
(
)
得
[ ] ∫{
(
)[( ()
) ( ) (
)]
( )} ( ) ( )
∫{
(
) [
()
]
极值条件为
( )} ( ) ( )
{ [ ] ( [ ] ) [ ]} ∫{ ( )
(
) [ ]
()( )} ( ) ( )
于是得微分方程
(
){ ( )
[ ]
和边界条件
()( )} ( )
微分方程成立的一个可能是 ( ) ，但这不是物理解（ ( ) 给出的是泛函 [ ]的极值。）。所以能量最低状态满足下面的微分方程
( )
(
)[ ]
14 / 34
以及边界条件1
()( )
在微分方程中令 ，得隐藏的另外一个边界条件，
(
√ () ()
其几何意义是，上表面正中间的点切面和水平面夹角为0。
求解微分方程后，代入约束条件 [ ]
( ，可确定参数。 ∫
图1 用RUNGE-KUTA法做数值计算，求出的水银滴在水平玻璃上的形状。计算中取 ，水银与玻璃的接触角为 ，水银的质量为0.1克。左图中横轴 的单位是度，竖轴 ( )的单位是毫米；右图是水银滴的形状，单位是毫米。
这个微分方程可以用数值解法，结果见上图。也可以用级数解法： 由于水银与玻璃的接触角为 开为Taylor级数，
( )
( ) ( )
为了分析 ( )在 附近地渐近行为，将微分方程 1
( ) ，有奇异性，不能简单地展
( ) 意义是 (π φ)，φ为浸润角。在材料力学中，我们得到的边界条件被称为Young氏方程式，是通过分析三相边界点处，表面张力的平衡条件得到的（T. Young, Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1805,95,65）。
15 / 34
( )
(
)[ ]
的左边只保留到领头项（leading term），
左边 ( ) 设 时，
( ) ( ) ( )
代入上式得指标方程（indicial equation）
( ) ( )
{ { }
考虑到左右对称，令
( )
( ) [ ( )] ⁄ [ ( )]
[ )
][()[ ]} 右边 {
( ) ( )
代入微分方程，并将微分方程左边按√ 的级数展开，得
保留到 项，再由
() ()
( ()
解出 ，得
( ) √ (π ) ((π ) ) (π ) ((π ) ) ((π ) )
⁄
⁄
⁄
∫
(π )
⁄
(π ) ((π ) )(毫米)
与精确结果比较，误差
16 / 34
图 2 级数解与精确解的比较。横轴单位是度；竖轴为级数解法
第3章 变分法与HAMILTON原理
一、 泛函与变分
1. 泛函
普通函数是从数到数的映射
( )
泛函是普通函数概念的推广，自变量可以为任意集合，
集合
数学物理中常见的泛函自变量常取为函数， [ ] 。 例 ( ) 是函数； [ ] ( )是泛函，并且有
[ ]
例 [ ] ∫ ( ) ，则
( ) [ ] ( ) [ ]
{ ( ) } 例 [ ] ∫ 泛函可类比于多变量函数，
( ) { }
[ ] { ( )| 的定义域}
这里的 ( )相当于前面多变量函数的自变量 ， ；泛函 [ ]是以不可数无穷多个变量 ( ) ( ) 作为自变量的函数。
例 复合函数可以看成是一族泛函， ( ) [ ] ( ̇( )) ( ( ))，其中 是参数。
[ ] [ ]
2. 泛函的连续性
对于泛函 [ ]，给定函数 ( )，如果能够满足
1 / 34
，当| ( ) ( )| | ( ) ( )| | ( )( ) ( )( )| 时，有
| [ ] [ ]|
则称泛函 [ ]在 处 阶接近的连续。
3. 变分
泛函可类比于多变量函数，
多变量函数 ( )，自变量的微分为 ；
泛函 [ ]的自变量为{ ( )| 定义域}，自变量的变分 ( ) ( ) ( )，即函数的无穷小改变。
小参量法的定义为 ( ) ( )，其中 为任意无穷小量， ( )为任意连续有界函数。类似于数学分析中的 - 语言，这是严格的数学定义。下面的叙述我们不追求数学上的严格性。
函数的微分 ( ) ( ) ( ) 泛函的变分 [ ] [ ] [ ]
例 [ ] ( ) [ ] ( )( ) ( ) ( )
例 位移 ⃗ [ ] ⃗ ( ( ) ( ) )，虚位移 ⃗ ⃗ ( ( ) ( ) ) ⃗ ( ( ) )
⃗
( )。
例 [ ] ∫ ( ) ( ) ，（变分与积分可交换在后面证明）
[ ] [ ] [ ]
∫ ∫
( )( )( )( )
∫
( ) ( )
{ ( ) ( ) ( ) ( )}
4. LAGRANGE变分基本引理
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设 ( )在区间[ ]上连续， ( )及其2阶导数在[ ]上连续，且在端点处 ( )
( ) 。如果任意这样的函数 ( )均满足∫ ( ) ( ) ，则必有 [ ] ( ) 。
用反证法很容易证明：反设 ( ) ( ) ，不妨设 ( ) 。由于 ( )连续，
存在 点的邻域[ ] [ ]，在[ ]上 ( )
。现在构造 ( )为
( ) {
则
[ ]
( ( ))( ( )) [ ]
∫ ( ) ( ) ∫
( ) ( ) ∫ ( )
与∫ ( ) ( ) 矛盾，所以 ( ) ( ) 。再由函数的连续性，在端点上同样有
( ) ( ) 。
注：定理中 ( )所需满足的条件可以更改为“连续”或者“1阶导数连续”，“3阶导数连续”等等。
5. 泛函的导数
多变量函数的偏导数定义为
( ) ( ) ( )
或者写成微分形式，
( )
泛函的导数定义为
[ ] ∫
( ) ( )
通常习惯把 ( )写成 ( )。
例 [ ] ( )， [ ] [ ] [ ] ( )，
3 / 34
[ ] ∫
( )
( ) ∫ ( ) ( ) ∫{ ( )} ( )
( ) ∫ ( ) ( )
}
这里 ( )，由Lagrange引理，
( ) ( )
例 [ ] ( )， ) ∫
(
( ) ) ∫ (
( )
( ) ( ) ( )
例 [ ] ∫ ( ) ( )
( ) ( )
∫ { ( ) ( ) ∫ { ( ) ( ) ( ) }
( ) ( )
( ) ( ) 其中 ( )是阶跃函数（Heaviside function）。 { ( ) ( )} 例 [ ] ∫
( ) ( )
∫{ ∫{ ( ) ( )}
∫
( ) √
( ) √ ( )}
( )
上面用了 函数的性质
( ( ))
∑
( )
( )
另一种计算方法：
∫
{ ( ) ( )} ∫
( ) ∫
( )
∫
( ) ( √ ∫ ( ) ( √ ∫
( ) ( )
4 / 34
∫
( ) (√ ∫
( ) ∫
( ) ∫
( )
∫
( ) ) ( )
例 [ ] ∫ ( ̇ )
∫{ ̇ } ∫{ ( ) ( }
∫{ () } |
6. 变分的运算规则
与微分法则类似，可以证明，
( ) （线性）
( )
(
( )
( ( ))
7. 变分可以与微分、积分交换次序
按定义，
( ) ( ) ( ) { ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
} { }
{
( ) ( )
(这一步交换求和顺序不严格，对病态函数可能不成立)
( )
因此对虚位移，
⃗ ( )
⃗ ( )，在分析力学中称为等时变分或简单变分。
分析力学中还有其它方式定义的变分，一般说来等价于 与平移的混合运算，此时 。 对于积分，
5 / 34
∫ ( ) { ∑ ( ) } ∑( )( ) ∑ ( )
∑ ( ) (这一步交换求和顺序不严格，对某些病态函数可能不成立)
∫ ( )
8. 泛函的高阶变分
例 [ ] ∫ ( ) ，
∫{ ( ) ( )}
( ) ∫{ ( ) ( )} ∫{( ) ( ) ( ) ( )}
( ( )) ( ( ))} ∫{ ( ) ( )
9. 泛函的积分
路径积分∫ [ ][ ]（注意这不是泛函导数的逆问题）
将积分变量的定义区间 等分，变成对 ( ) ( )普通多变量函数积分，最后取极限 。
例如量子力学中的传播子为
( ) ∫ { ∫ ( ̇) }[ ]
波动 惠更斯原理, Feynman, Lattice QCD 超出课程范围，略
二、 泛函的极值
1. 泛函的极值
泛函 [ ]取在 处取驻值的条件为 ，或等价地 .
6 / 34
泛函取极值的条件除了 外，还必须满足 （取极大值）或 （取极小值）。
2. 固定边界的泛函极值
在历史上，对最速降线问题（the brachistochrone problem）的分析导致了变分法（calculus of variation）的发明。（Fermat原理比Bernoulli的最速降线更早了几十年）
(1) 最速降线
例 （J. Bernoulli, 1696年）垂直平面上有两个固定的点 。以水平方向为 轴，向下方向为 轴， 点为原点，设 。 两点之间用曲线 ( )连接，一个质点被束缚在曲线上运动，在重力作用下自由下降，初速为0。什么样的曲线形状可以使质点从 到 所花的时间最少？ 解 机械能守恒， √ √ √( ( )) ，通过这段弧所需的时间为
( ( ))
√ 从 到 所花的时间为
[ ] ∫
√ 取极值的必要条件为
( )
注意上式无需对端点成立，因为端点处 ( ) ( ) ( ) ( ) 下面来求 处的泛函导数，
( ) ( ) ( ) √ ∫ ∫
∫
()
( )
() (){( )) ( )} 7 / 34
∫
( ))|
所以有
) (
( ) ( )
() ()
(){ √ } √ √
将 点坐标( )代入得 ( ) ；另一个积分常数 可由
{ √ }
定出。右边只取正号的原因是：令
√
√ { √ ，又 ，所以只能取正号。曲线方程为
{ √ }
这个曲线方程可以改成参数形式， √
{
是摆线方程。
( )
( )
这里我们只验证了驻值条件，还需进一步验证是否有二次变分 ，
∫
∫
) ∫
(
(
)( )
)
确实是极小值。
8 / 34
另一种解法是设 ( )，见沈p219.
注：沈p220例2.64遗漏了Goldschmidt解（Goldstein 3ed. P40），变分法 前面的因子如果不连续，则不一定为0（此时Lagrange变分引理的前提条件不成立）。
(2) 固定边界的积分型泛函驻值
[ ] ∫ ( )
在边界条件 ( ) ( ) 下的驻值条件为
∫ ( ∫{ ( ) ( )}
)
∫{
( ) ( )}
( ( )) ( ( ) ( )}
∫{
∫{ ( ( ) ( )|
∫{
()} ( ) ( 方程) 如果没有指定边界处的函数值，则 ( ) ( ) ，应视为独立的变分，得自然边界条件
|
(3) EULER方程的首次积分
① ( )，“广义能量” ② ( )，“广义动量”
③ ( )，得代数方程 ，可直接解出 ( )。
9 / 34
例 最速降线的另一种解法（沈p219）设 ( )， 有“广义能量积分”，……
√
( )
， ( ) √
( )
(4) 多变量泛函的固定边界驻值
) [ ] ∫ (
( ) ( )
Euler方程为
不指定边值时，自然边界条件为
(5) 多重积分型泛函的固定边界驻值
[ ] ∫ (
)
边界值 ( )已指定。
Euler方程
( 注意左边第二项 ( ( ) ( ) ( ) (
)
。
不指定边值，可得自然边界条件
| (
)
(6) 含高阶导数泛函的固定边界驻值
以2阶为例计算。…… 一般的含 阶导数的泛函 [ ] ∫ ( ( ))
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
Euler方程为
() ( 10 / 34
自然边界条件
() ( () () () () 当 时，
{
3. 泛函的条件极值
(1) 悬链线（自习）
J.Bernoulli,1690. 金p249, 沈p220的解法不严格。
不可伸长的柔性链，线密度为 ，长度为 ，两端挂在A、B两个固定点上。求绳子的形状。 解 AB线段所在的垂直平面内，以水平方向为 轴，垂直向上为 轴，建立直角坐标系。平衡时，链的形状 ( )使得势能取极小。
[ ] ∫ ∫
绳长不变，得约束条件
[ ] ∫ ∫
由于有约束， ( )不独立。引进拉氏乘子，得
∫ ) ∫ ∫
}
}
∫
∫
∫
∫ ∫
11 / 34
可以直接求解方程，也可以利用“广义能量积分”，
∫( ) ∫ ( )
} ( () {
√(
( √) (
3个待定常数（2个积分常数，1个来自拉氏乘子）由代数方程 ( )
( )
( ) ( ) ∫ ∫√ () ∫
确定。
注：将坐标原点平移，总可以把悬链线方程写成
沈、金教材上由于没有严格地按条件极值来处理，得到的是特解。如果以绳子中心点即最低点为坐标原点，则绳子的形状为 ( )，显然没有包含于课本给出的解中。
此问题也可以用牛顿力学来解。设张力为 ( )，水平方向力的平衡：
；垂直方向力的平衡：
。把第一式代入第二式，
( ) ( )
( )
( )
(2) 水银滴的表面形状
一滴水银静止于水平桌面上，求它的表面形状。
12 / 34
设水银的密度为 ，体积为 ；水银与空气之间的表面张力系数为 ，水银与桌面间的表面张力系数为 ，桌面与空气之间的表面张力系数为 。
由对称性，水银的表面旋转对称。取坐标原点为桌面上水银滴的中心点，桌面为 - 平面，则水银的表面可以用广义坐标 ( )描述，其中 是表面上的点P到原点的距离， 是P点与原点的连线对桌面的夹角， [ ]。
按虚功原理，水银的形状应该使得势能最低，同时还必须满足体积为 的约束条件，
[ ] ∭ ( ) ∫∫
( )
∫
势能分为重力势能和表面能两部分， 。重力势能为
[ ] ( )
∫∫
( )
∫ ( )
总表面能为液气表面积 和液固表面积 的表面能之和
[ ] ( )
∫ √ ( ) ( ( )) ∫ √ ( ) ( ( ))
约束条件下的极值条件为 { [ ] [ ] ( [ ] )} ，其中 是Lagrange乘子，为待定常数。
[ ] ∫
[ ] ∫ ( )
[ ] ∫ ( √ ) ( ) ( ) ( )
∫{√
)} ( ) ( ) ( )
∫{√
}
( ) ( ) ( )
又
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( ) ] ( )
(
)
(
)
得
[ ] ∫{
(
)[( ()
) ( ) (
)]
( )} ( ) ( )
∫{
(
) [
()
]
极值条件为
( )} ( ) ( )
{ [ ] ( [ ] ) [ ]} ∫{ ( )
(
) [ ]
()( )} ( ) ( )
于是得微分方程
(
){ ( )
[ ]
和边界条件
()( )} ( )
微分方程成立的一个可能是 ( ) ，但这不是物理解（ ( ) 给出的是泛函 [ ]的极值。）。所以能量最低状态满足下面的微分方程
( )
(
)[ ]
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以及边界条件1
()( )
在微分方程中令 ，得隐藏的另外一个边界条件，
(
√ () ()
其几何意义是，上表面正中间的点切面和水平面夹角为0。
求解微分方程后，代入约束条件 [ ]
( ，可确定参数。 ∫
图1 用RUNGE-KUTA法做数值计算，求出的水银滴在水平玻璃上的形状。计算中取 ，水银与玻璃的接触角为 ，水银的质量为0.1克。左图中横轴 的单位是度，竖轴 ( )的单位是毫米；右图是水银滴的形状，单位是毫米。
这个微分方程可以用数值解法，结果见上图。也可以用级数解法： 由于水银与玻璃的接触角为 开为Taylor级数，
( )
( ) ( )
为了分析 ( )在 附近地渐近行为，将微分方程 1
( ) ，有奇异性，不能简单地展
( ) 意义是 (π φ)，φ为浸润角。在材料力学中，我们得到的边界条件被称为Young氏方程式，是通过分析三相边界点处，表面张力的平衡条件得到的（T. Young, Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1805,95,65）。
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( )
(
)[ ]
的左边只保留到领头项（leading term），
左边 ( ) 设 时，
( ) ( ) ( )
代入上式得指标方程（indicial equation）
( ) ( )
{ { }
考虑到左右对称，令
( )
( ) [ ( )] ⁄ [ ( )]
[ )
][()[ ]} 右边 {
( ) ( )
代入微分方程，并将微分方程左边按√ 的级数展开，得
保留到 项，再由
() ()
( ()
解出 ，得
( ) √ (π ) ((π ) ) (π ) ((π ) ) ((π ) )
⁄
⁄
⁄
∫
(π )
⁄
(π ) ((π ) )(毫米)
与精确结果比较，误差
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图 2 级数解与精确解的比较。横轴单位是度；竖轴为级数解法