[量子力学]考试知识点

《量子力学》考试知识点

第一章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：

（一）、经典物理学困难的实例（二）、微观粒子波－粒二象性考核要求：

（一）、经典物理困难的实例

1. 识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。 2. 领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。第二章：波函数和薛定谔方程考核知识点：

（一）、波函数及波函数的统计解释（二）、含时薛定谔方程（三）、不含时薛定谔方程考核要求：

（一）、波函数及波函数的统计解释

1. 识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波

2. 领会：微观粒子状态的描述、Born 几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程

1. 领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理 2. 简明应用：量子力学的初值问题（三）、不含时薛定谔方程 1. 领会：定态、定态性质

2. 简明应用：定态薛定谔方程第三章：一维定态问题

一、考核知识点：

（一）、一维定态的一般性质（二）、实例二、考核要求：

1. 领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振

2. 简明应用：定态薛定谔方程的求解、无限深方势阱、线性谐振子第四章量子力学中的力学量一、考核知识点：

（一）、表示力学量算符的性质（二）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归一化” （四）、算符的共同本征函数

（五）、力学量的平均值随时间的变化二、考核要求：

（一）、表示力学量算符的性质

1. 识记：算符、力学量算符、对易关系

2. 领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系

（二）、厄密算符的本征值和本征函数

1. 识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性

2. 领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。（三）、连续谱本征函数“归一化”

1. 领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系

（四）、力学量的平均值随时间的变化

1. 识记：好量子数、能量－时间测不准关系 2. 简明应用：力学量平均值随时间变化第五章态和力学量的表象一、考核知识点：

（一）、表象变换，幺正变换

（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量子态的不同描述二、考核要求：

（一）、表象变换，幺正变换

1. 领会：幺正变换及其性质 2. 简明应用：表象变换

（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式

1. 简明应用：平均值、本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式 2. 综合应用：利用算符矩阵表示求本征值和本征函数（三）、量子态的不同描述第六章：微扰理论一、考核知识点: （一）、定态微扰论（二）、变分法（三）、量子跃迁二、考核要求: （一）、定态微扰论

1. 识记：微扰

2. 领会：微扰论的思想

3. 简明应用：简并态能级的一级，二级修正及零级近似波函数

4. 综合应用：非简并定态能级的一级，二级修正、波函数的一级修正。（二）、变分法

1. 领会：变分原理

2. 简明应用：用Ritz 变分法求体系基态能级及近似波函数（三）、量子跃迁

1. 识记：跃迁、跃迁几率、自发辐射、受激辐射、费米黄金规则 2. 领会：跃迁理论与不含时微扰的关系

3. 简明应用：简单微扰体系跃迁几率的计算、常微扰、周期微扰第七章自旋与全同粒子一、考核知识点：（一）、电子自旋（二）、总角动量

（三）、碱金属的双线结构（四）、自旋单态和三重态（五）、全同粒子交换不变性二、考核要求：（一）、电子自旋

1. 识记：自旋存在的实验事实、二分量波函数

2. 领会：电子自旋的内禀磁矩、对易关系、泡利表象、矩阵表示（泡利矩阵）、自旋态的表示

3. 简明应用：考虑自旋后，状态和力学量的描述、考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程（二）、总角动量

1. 识记：自旋－轨道耦合

2. 领会：总角动量、力学量完全集(H , l 2, j 2, j z ) 的共同本征值问题（三）、碱金属的双线结构

1.领会：碱金属原子光谱的双线结构及反常塞曼效应的现象及形成原因（四）、自旋单态和三重态 1.领会：自旋单态和三重态

ˆ2. 简明应用：在(S 1z , S 2z ) 和(S

ˆ) 表象中两自旋为12, S z

的粒子的自旋波

函数

（五）、全同粒子交换不变性

1. 领会：全同粒子体系与波函数的交换对称性、费米子和玻色子体系的描述、泡利不相容原理

2. 简明应用：两全同粒子体系、全同粒子体系波函数的结构 1、波函数与薛定谔方程

理解波函数的统计解释，态迭加原理，薛定鄂方程，粒子流密度和粒子数守恒定律

定态薛定谔方程。掌握一维无限深势阱，线性谐振子。 2、力学量的算符表示

理解算符与力学量的关系。掌握动量算符和角动量算符，厄米算符本征函数的正交性，算符的对易关系，两力学量同时有确定值的条件测不准关系，力学量平均值随时间的变化守恒定律。

氢原子

3、态和力学量的表象

理解态的表象，掌握算符的矩阵表示，量子力学公式的矩阵表述么正变换，了解狄喇克符号，线性谐振子与占有数表象。 4、定态近似方法

掌握非简并定态微扰理论，简并情况下的微扰理论，理解薛定鄂方程的

变分原理及变分法。 5、含时微扰论

掌握与时间有关的微扰理论，跃迁几率，光的发散和吸收及选择定则。 6、自旋与角动量

理解电子自旋，掌握电子的自旋算符和自旋函数。 7、全同粒子体系

理解两个角动量的耦合，光谱的精细结构和全同粒子的特性。掌握全同粒子体系的波函数，泡利原理，两个电子的自旋函数。了解氦原子（微扰法）。

周世勋，《量子力学教程》，高等教育出版社，1979年第 1 版曾谨言，《量子力学教程》，科学出版社，2003年版参考书目：《量子力学导论》，北京大学出版社，曾谨言

我认为考试前要清楚报考单位对《量子力学》这门课的基本要求以及主要考查内容是什么，应当按照其要求出发，有目的性、针对性的进行的复习。中科院《量子力学》考试的重点是要求熟练把握波函数的物理解释，薛定谔方程的建立、基本性质和精确的以及一些重要的近似求解方法，理解这些解的物理意义，熟悉其实际的应用。把握量子力学中一些非凡的现象和问题的处理方法，包括力学量的算符表示、对易关系、不确定度关系、态和力学量的表象、电子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子跃迁及光的发射与吸收的半经典处理方法等，并具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。再者，中科院对量子力学这门课考查主要包括以下9大内容：①波函数和薛定谔方程②一维势场中的粒子③力学量用算符表示④中心力场⑤量子力学的⑥自旋⑦定态问题的近似方法⑧量子跃迁⑨多体问题，复习过程中应当主要对这些内容下功夫。

第一阶段：首先按照中科院硕士研究生入学考试《量子力学》考试大纲中的要求将参考书目看了一遍。中科院《量子力学考试大纲》中指定的参考书目是《量子力学教程》，这本书是由曾谨言编著的。此阶段看书以理解为主，不必纠缠于细节，将不懂的知识点做上记号。

第二阶段：我对大纲中要求了解的内容，熟练把握的内容以及理解的内容进行了分类，并且按相关要求对将这门课进行了第二轮复习。另外我认为在这一遍复习中一定要把历年试题弄到手并且仔细分析，因为真题体现了命题单位的出题特点以及出题趋势等。另外，我认为真题要比大纲更有用，因为从大纲中看不出的有价值的东西可以从真题中得到。当然，需要注重的是，单纯把握真题也是不理智的做法，假如一个考生仅仅把握了历年真题的内容，那么考试后他会得出这样一个结论：今年的题真偏。其实，不是题偏，而是他没有把参考书上的东西完全把握好。所以在这个阶段中我仍然以看指定的参考书为主，着重解决了在第一遍复习中留下的疑问和在做真题中自己不会的题目。对了，此轮复习一定要做一份笔记，将主要内容归纳出一份比较简洁的提纲，以便于下轮复习。

第三阶段：将专业课过第三遍，这一轮注重结合上一轮的笔记和提纲有重点的，系统的理解和记忆，由于专业课要求答的深入，所以可以找一些专业方面的期刊杂志来看下，扩大下自己的视野范围。这一阶段大家也可以找些习题集来做下，不断巩固自己把握了的知识点。

第四阶段：这一轮要将参考书快速翻几遍，以便对整个知识体系有全面的把握并且牢记于心，同时要进行查缺补漏，不要放过一个疑点，要注重的是此时不能执着于细小的知识点，要懂得抓大放小，把握最重要的知识点。另外可以根据对历年试题的分析以及对本年度的专业考试做出一些猜测，并对考试的时间安排及如何进行考中心理调节做下演

练。

（中科大2003）

一、试证明：

（1）投影算符P =|n >中的平均值是正

定的，即≥0。

（2）设|ψ>是归一化波函数，对于线性厄密算符A 以下等式成立 i

d dt

=+i

∂A ∂t

。

证明：（1）因为 P +=(|n >

或==**=*

==||≥0

（2）因为 = 则

d A dt

∂ψ∂t

, A ψ

+ψ, A

∂ψ∂t

+ψ,

∂A ∂t

再由S-eq 得 i

d A dt

=A , H ]+i

∂A ∂t

或因为A =⎰ψ*A ψdx 所以

d A dt

⎰

∂ψ∂t 1i

A ψdx +⎰ψA

∂ψ∂t

dx +⎰ψ

∂A ∂t

ψdx

=-=1

⎰ψHA ψdx +

⎰ψAH ψdx +⎰ψ

∂A ∂t

ψdx

⎰ψ(AH -HA ) ψdx +⎰ψ

d A dt

=A , H ]+i

∂A ∂t

ψdx

即 i

二、对于一维谐振子，求消灭算符a 的本征态|α>，将其表示成各能

量本征态|n >的线性叠加。已知a |n . >=

∞

n |n -1>

。

解：设 |α>=

∑C

n =0

|n >

n |n -1>

∞

由于 a |α>=α|α> 且利用 a |n . >=

∞

得 a |α>=以

∑C

n =0

a |n >=

∑C

n =0

n |n -1>=α∑C n |n >

n =0

并利用 =δn 'n 得

C n =

αn

C n -1 依次递推得 C n =

n !

C 0

由归一化条件 =

∑

C n

=C 0

∑

n !

因为

∑

n !

-12

C 0=e

⋅e

i δ

δ为实数，可取为δ=0

所以 |α>=e

∞

∑

n =0

n !

|n >

三、给定(θ, ϕ) 方向的单位矢量n =(sinθcos ϕ, sin θsin ϕ, cos θ) ，在σz 表象中

求σn =σ⋅n 的本征值和归一化本征矢。

θc o s ϕ+σy s i n θs i n ϕ+σz c o s θ 所以解：因为σn =σx s i n

⎛cos θ

sin θe i ϕ⎝

sin θe ⎫⎪

-cos θ⎪⎭

sin θe

-i ϕ

σn

σn 的本征值为±1

⎛cos θ

由本征方程 sin θe i ϕ

⎝⎫⎪

-cos θ⎪⎭

-i ϕ

⎛a ⎫⎛a ⎫

⎪ =λ b ⎪ b ⎪⎪ 求得 ⎝⎭⎝⎭

θ⎛

cos

2对于λ=+1 ϕ1=

sin θe i ϕ

2⎝θ-i ϕ/2⎫⎛

⎪ cos e

2⎪ 或ϕ1=

sin θe i ϕ/2⎪

⎪

2⎝⎭

⎫

⎪⎪ ⎪⎪⎭⎫⎪⎪ ⎪⎪⎭

对于λ=-1 ϕ-1

θ⎛

sin

-cos θe i ϕ

2⎝θ-i ϕ/2⎫⎛

⎪ sin e

2⎪ 或ϕ-1=

⎪ -cos θe i ϕ/2⎪

2⎭⎝

四、设一定域电子（作为近似模型，不考虑轨道运动），处于沿x 方向的均匀

磁场B 中，哈密顿量为H =（Larmor ）频率

e B 2μc

σx = ωL σx ωL =

eB 2μc

拉莫尔

设t =0时，电子自旋“向上”（S z = /2）。求t >0时（1）电子自旋态χ(t ) ；（2）电子自旋S 的平均值。解：（1）方法一

令 χ(t ) = b (t ) ⎪⎪ 初始条件 χ(0) = b (0) ⎪⎪= 0⎪⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由薛定谔方程 i

=-i ωL b 得 a

=i ω(a -b ) -b a L

⎛a (t ) ⎫⎛a (0) ⎫⎛1⎫

⎛a ⎫d ⎛a ⎫

⎪ ⎪= ωL ⎪⎪dt ⎝b ⎭⎝b ⎭

=-i ωa b L

=-i ω(a +b ) +b a L

积分得

i ωL t

a (t ) +b (t ) =[a (0) +b (0)]e

-i ωL t

a (t ) -b (t ) =[a (0) -b (0)]e

b (t ) =-i s i n ωL t

由此可得 a (t ) =c o s ωL t

ωL t ⎫⎛c o s

⎪ χ(t ) = -i s i n ⎪ ωt L ⎭⎝

方法二

体系能量本征态即σx 的本征态，本征值和本征态分别为 σx =+1

E =E += ωL

ϕ+

1⎛1⎫

= ⎪⎪2⎝1⎭

1⎛1⎫ -1⎪⎪2⎝⎭

σx =-1 电子自旋初态

E =E +=- ωL ϕ-=

χ(0) = 0⎪⎪=

⎝⎭ T 时刻电子自旋态为 χ(t ) =

12(e

⎛1⎫

(ϕ++ϕ-)

-i ωL t

ϕ++e

i ωL t

ωL t ⎫⎛c o s

⎪ϕ-) = -i s i n ⎪ ωt L ⎭⎝

（2）电子自旋各分量的平均值 S x =χ+(t ) S x χ(t ) =

S y =χ(t ) S y χ(t ) =

(c o s ωL t

⎛0

i s i n ωL t ) 1

⎝ωL t ⎫1⎫⎛c o s ⎪⎪=0 ⎪ ⎪ωL t ⎭0⎭⎝-i s i n

(c o s ωL t

⎛0

i s i n ωL t ) i

⎝ωL t ⎫-i ⎫⎛c o s ⎪⎪=-s i n 2ωL t ⎪ ⎪ωL t ⎭0⎭⎝-i s i n 2

S z =χ(t ) S z χ(t ) =

(c o s ωL t

⎛1

i s i n ωL t ) 0

⎝ωL t ⎫ 0⎫⎛c o s

⎪⎪ 2ωL t -i s i n ⎪=2c o s ωt -1⎪⎭⎝L ⎭

五、已知系统的哈密顿量为

⎛2ε

H = 0

ε⎝

02ε0

⎫⎪

0⎪ λ

求能量至二级近似，波函数至一级近似。解：（1） H =H 0+H ' H 0

⎛2ε

= 0 ε⎝

02ε0

⎛0

⎪ 0⎪ H '= 0

02ε⎪⎭⎝

ε⎫000

0⎫

⎪0⎪λ⎪⎭

可见所设表象为非H 0表象，为将H 0对角化，先由H 0的本征方程求其本征值和本征矢。

求得结果为：本征值 E 1(0) =ε E 2(0) =2ε E 3(0) =3ε

相应本征矢 |1>=

⎛1⎫⎛0⎫

⎪ ⎪1

0|2>= ⎪ 1⎪ |3>=

2 ⎪ 0⎪⎝-1⎭⎝⎭020

⎛1⎫

1 ⎪ 0⎪ 2 ⎪⎝1⎭

（2）利用

⎛11 S = 0

2 ⎝-11⎫⎪

0⎪ 转到h 0表象（将H 0对角化） 1⎪⎭

⎛λ

2 0 -λ 2⎝E

(2) n

⎛ε

h 0=S +H 0S = 0

0⎝

02ε0

0⎫⎪

0⎪ 3ε⎪⎭

000

h '=S H 'S

⎪

2⎪0⎪λ⎪2⎪⎭

λ⎫

在

h 0

表象中

(1)

'=h nn

∑

m ≠n

'||h nm E

(0)

-E

(0) m

(1) n

∑

m ≠n

'h nm E n

(0)

-E m

ψ(0)

(0)

=λ/2

则

E 1

(1)

E 2(1) =0 E 3(1) =λ/2

(2) 1

8ε

(0) 3

(2) 2

=0 E

(2) 3

8ε

ψ1

(0)

ψ1(1) =

4ε

ψ2(1) =0 ψ3(1) =-

4ε

量子力学测试题（2）

1、一质量为m 的粒子沿x 正方向以能量E 向x=0处势垒运动。当x ≤0时，势能为零；当x >0时，势能为V 0=解：S-eq

为

34E

。问在x=0处粒子被反射的几率多大？

x ≤0x ≥0

⎧ψ1''+k 12ψ1=0

⎨

''+k 22ψ2=0⎩ψ2

其中k 12=2mE / 2

k 2=2m (E -V 0) /

=k 1/4

由题意知 x ≤0区域既有入射波，又有反射波；x ≥0区域仅有透射波故方程的解为

ψ1=e ik x +re -ik x x ≤0

ψ2=te ik x x ≥0

在x=0处，ψ及ψ'都连续，得到 1+r =t k 1(1-r ) =

R =r

k 12

t 由此解得

注意透射率T ≠t 因为k 2≠k 1 将

j =-

ik 1x

，re -ik x ，te ik

分别代入几率流密度公式

i ⎛ ψ2m ⎝

∂∂x

ψ-ψ

∂∂x

ψ⎪

⎫⎭

得入射粒子流密度 j 0= 反射粒子流密度

k 1

m k

j R =-1r

k 2m

透射粒子流密度 j T = 由此得反射率 R =

j R j 0j T j 0

透射率 T =2、计算

（1）[L , r ]=?

k 2k 1

R +T =1

（2）设F (x , p ) 是x , p 的整函数，则[p , F ]=?

解：（1）[L α, r 2]=[L α, x βx β]=x β[L α, x β]+[L α, x β]x β=i εαβγx βx γ+i εαβγx γx β=0

因为将第二项哑标作更换βγ 所以

[L , r ]=0

i εαβγx γx β=i εαγβx βx γ=-i εαβγx βx

∂∂x x

（2）先由归纳法证明 [p , x n ]=-i nx n -1=-i

n =1

（·）式

上式显然成立；设n =k 时上式成立，即 [p , x k ]=-i kx k -1

则 [p , x k +1]=[p , x k ]x +x k [p , x ]=-i kx k -i x k =-i (k +1) x k 显然，n =k +1时上式也成立，（·）式得证。因为 F (x , p ) =则

[p , F ]=

∑C

m , n =0

x p

m n

∑C

m , n

[p , x p ]=

m n

∑C

m , n

[p , x ]p

m n

=-i ∑C mn mx

m , n

m -1

=-i

∂∂x

3、试在氢原子的能量本征态ψnlm 下，计算r -1和r -2的平均值。解：处于束缚态ψnlm 下的氢原子的能量

E n =-

（1）计算方法

E n =

12n

-1 相应的维里定理为 n =l m

12n

μe

2 n

2a n

a =

μe

n =n r +l +1

l m

2E n e

所以 =-

1an

∂E n ∂e

方法2 选Z 为参量相应的F-H 定理

∂H ∂e

>n l m

H =-（2）计算

2μ

∇-

1an

>nlm

1an

等效的一维哈密顿量

H =-

2μdr

l (l +1) 2μr

取l 为参量相应的F-H 定理

n =n r +l +1

∂E n ∂l

∂H l ∂l

l m

注意

(2l +1)

2μ

-2

1(l +1/2) a n

4、有一个二能级体系，哈密顿量为H =H 0+H '， H 0和微扰算符H '的矩阵表示为

H 0

⎛E 1= 0⎝

0⎫⎛0

'⎪ H =λ 1⎪E 2⎭⎝

1⎫

⎪ 0⎪⎭

其中λ表征微扰强度，E 1≤E 2。用微扰法求H 的本征值和本征态。解：由于是对角化的，可见选用表象为H 0表象对于E 1

⎧'|2'|H nm (0)

'+∑+ ⎪E n =E n +H nn (0) (0)

⎪E -E m n m ⎨

'H mn '(0)

⎪ψ=ψ(0) +ψm + ∑n n (0) (0) ⎪E n -E m m ⎩

得

(1)

(2) 1

'H 12E 1

(0)

2(0)

-E 2

E 1-E 2

ψ1

(1)

'H 21E 1

(0)

-E 2

ψ(0)

(0)

⎛0⎫ 1⎪⎪ E 1-E 2⎝⎭

(1)

⎛1⎫ 0⎪⎪ E 2-E 1⎝⎭

(2)

'H 12E

(0) 2

2(0) 1

-E

E 2-E 1

(1) 2

'H 12E 2

(0)

-E 1

ψ1

(0)

所以，二级近似能量和一级近似态矢为

⎛1⎫⎛0⎫λ E 1+， ⎪⎪+ ⎪⎪

E 1-E 2⎝0⎭E 1-E 2⎝1⎭

⎛0⎫⎛1⎫λ ；E 2+， ⎪⎪+ ⎪⎪

E 2-E 1⎝1⎭E 1-E 2⎝0⎭

。

对于E 1=E 2，由简并微扰论计算得一级近似能量和零级近似态矢为 E 1+λ，

1⎛1⎫

1⎪⎪；E 1-λ2⎝⎭

σ⋅n 2

，

1⎛1⎫ -1⎪⎪。 2⎝⎭

5、自旋投影算符S n =

，σ为泡利矩阵，n 为单位矢量

（sin θcos ϕ, sin θsin ϕ, cos θ）。

（1）对电子自旋向上态χ+(s z = /2) ，求S n 的可能值及相应几率；（2）对σn 的本征值为1的本征态，求σy 的可能值及相应几率。解：（1）由S n 得

θ⎛

cos

2 χ1(s n ) =

sin θe i ϕ2

2⎝

∧

⎛cos θ

= i ϕ

2 ⎝sin θe

sin θe

⎫

⎪

2-cos θ⎪⎭

-i ϕ

⎛cos θ

sin θe i ϕ⎝

sin θe

⎫⎛a ⎫⎛a ⎫⎪ ⎪=m s ⎪ ⎪ b ⎪

-cos θ⎪⎝⎭⎭⎝b ⎭

-i ϕ

θ⎫⎛

⎪ sin

2⎪ χ1(s n ) =

⎪ -cos θe i ϕ2⎪

2⎭⎝

⎛1⎫

⎫

⎪⎪ ⎪⎪⎭

对于电子自旋向上态χ+(s z = /2) =α= 0⎪⎪，S n 取值±2的几率分别为

⎝⎭

+α χ1

θ⎛

= cos

2⎝θ⎛

= sin

2⎝

sin

θ2

i ϕ

⎫⎛1⎫

⎪ 0⎪⎪⎭⎝⎭e

i ϕ

=cos

θ2

χ+1α

-2

-cos

θ2

⎫⎛1⎫⎪ 0⎪⎪⎭⎝⎭

=sin

（2）σy 的本征值和本征态 λ=1，χ+(σy ) =

1⎛1⎫1⎛1⎫ ⎪ λ=-1χ(σ) =；，-y i ⎪ -i ⎪⎪2⎝⎭2⎝⎭

电子处于σn 的本征值为1的本征态(即S n 的本征值为

χ1(s n ) ) ，

的本征态

则σy 的可能值及相应几率为 λ=1

χ+(σy ) χ1(σn ) =

θ⎛

cos

2-i )

sin θe i ϕ

2⎝

⎫

⎪⎪⎪⎪⎭

(1+sin θsin ϕ)

λ=-1 χ-(σy ) χ1(σn ) =

θ⎛

c o 2i )

s i θe i ϕ

2⎝

⎫

⎪⎪⎪⎪⎭

(1-s i n θs i n ϕ)

6、设质量为m 的两个全同粒子作一维运动，它们之间的相互作用能为

a (x 1-x 2) (a >0) 。

（1）若粒子自旋为0，写出它们的相对运动态的能量和波函数；

（2）若粒子自旋s =1/2，写出它们的相对运动基态及第一激发态的能量和波函数。

解：体系的哈密顿量为

H =-

∂

221

2m ∂x

∂

222

2m ∂x

1212

a (x 1-x 2)

x =x 1-x 2

引入质心坐标X 和相对坐标x ： X =

(x 1+x 2)

在坐标变换x 1, x 2⇒X , x 下，体系的哈密顿量变为 H =-

∂

2M ∂X

∂

2μ∂x

ax M =2m

2μ=m /2

相对运动哈密顿量为 H r =-

2μdx

μωx ω=

（1）若粒子自旋为0，则相对运动态的能量和波函数为

1⎫⎛

E n = n +⎪ ω

2⎭⎝

ψn (x ) =N n e

αx

H n (αx )

α=

μω

n =0, 2, 4,

限定n =0, 2, 4, 是为了保证波函数对交换x 1和x 2是对称的。（2）若粒子自旋s =1/2，则相对运动态的能量和波函数为 E n = n +

⎝⎛

1⎫

⎪ ω2⎭

-12

n =0, 1, 2,

ψ(x , S ψ(x , S 其中

) =N n e

αx

H n (αx ) |00>

n =0, 2, 4, n =1, 3, 5,

) =N n e

αx

⎧|11>⎪

H n (αx ) ⎨|10>

⎪|1-1>⎩

|11>=α(1) α(2)

|10>=

[α(1) β(2) +α(2) β(1)]

|1-1>=β(1) β(2) 体系基态能量和波函数

E =

12 ω

|00>=

[α(1) β(2) -α(2) β(1)]

ψ(x , S z ) =N 0e

αx

|00>

体系第一激发态能量和波函数 E =

32 ω

ψ(x , S z ) =N 1e

122-αx 2

⎧|11>⎪

H 1(αx ) ⎨|10>

⎪|1-1>⎩

量子力学测试题（4）

（复旦2002）

1、已知一维运动的粒子在态ψ(x ) 中坐标x 和动量p x 的平均值分别为x 0和p 0，求在态ϕ(x ) =e -ip

ψ(x +x 0) 中坐标x 和动量p x 的平均值。

解：已知粒子在态ψ(x ) 中坐标x 和动量p x 的平均值分别为

+∞

x =⎰ψ*(x ) x ψ(x ) dx =x 0

-∞+∞

p x =⎰ψ*(x ) -i

-∞

⎛⎝∂⎫

⎪ψ(x ) dx =p 0 ∂x ⎭

现粒子处在ϕ(x ) 态，坐标x 和动量p x 的平均值

+∞

x =

⎰ϕ(x ) x ϕ(x ) dx =

-∞+∞

⎰ψ(x +x 0) x ψ(x +x 0) dx

-∞

⎰ψ

-∞

(x ')(x '-x 0) ψ(x ') d x '=x 0-x 0=0

∂⎫⎛*

p x =⎰ϕ(x ) -i ⎪ϕ(x ) dx =

∂x ⎝⎭-∞

+∞

+∞+∞

⎰e

-∞

ip 0x /

ψ(x +x 0) -i

⎝

-ip 0x /

⎛

∂⎫-ip 0x /

ψ(x +x 0)]dx ⎪[e

∂x ⎭

⎰e

-∞

ip 0x /

ψ(x +x 0)[-p 0e

-ip 0x /

ψ(x +x 0) +e

∂⎫⎛ -i ⎪ψ(x +x 0)]dx

∂x ⎝⎭

+∞

=-p 0+

⎰ψ(x ') -i

-∞

⎛⎝∂⎫

⎪ψ(x ') d x '=-p 0+p 0=0'∂x ⎭

2、一体系服从薛定谔方程

⎡ 21 2⎤ 22

(∇1+∇2) +k r 1-r 2⎥ψ(r 1, r 2) =E ψ(r 1, r 2) ⎢-

2⎣2m ⎦

（1）指出体系的所有守恒量（不必证明）；

（2）求基态能量和基态波函数。解：（1）体系的哈密顿量为 H =-

∇-

∇2+

k r 1-r 2

r =r 1-r 2

引入质心坐标R 和相对坐标r ： R =

1 (r 1+r 2) 2

在坐标变换r 1, r 2⇒R , r 下，体系的哈密顿量变为 H =-

∇

2 R

2μ

∇r +

kr M =2m

μ=m /2

容易得知系统的守恒量为E , L 2, L z 。（中心力场）（2）相对运动哈密顿量为 H r =-

2μ

∇

2μ

∇r +

μωr ω=

相对运动为三维各向同性谐振子，基态能量和波函数为 E N =

32 ω

ψ(r ) =

απ

3/2

122-r 2

N =0, 1, 2,

α=

μω

3、设t=0时氢原子处在态 ψ(r , 0) =

1[2ψ100+ψ

210

+2ψ

211

+3ψ

21-1

]

（1）求体系能量的平均值；（2）任意t 时刻波函数ψ(r , t ) ；（3）任意t 时刻体系处在l =1, m =1态的几率；（4）任意t 时刻体系处在m =0态的几率。解：氢原子定态能量和波函数为 E n =-

2an 11e

nlm

(r , θ, ϕ) =R nl (r ) Y lm (θ, ϕ)

（1）E =

E 1+E 2=-

40a

（2）任意t 时刻波函数

ψ(r , t ) =

1{2e

-iE 1t /

ψ100(r ) +e

-iE 2t /

[ψ

210

(r ) +

2ψ

(r ) +211

3ψ

(r )]}21-1

（3）任意t 时刻体系处在l =1, m =1态的几率为1/5；（4）任意t 时刻体系处在m =0态的几率为1/2。

4、一维谐振子受到微扰H '=cx 2作用，式中c 为常数。在粒子数表象中，

⎛ ⎫

x = ⎪

2m ω⎝⎭

1/2

(a +a )

a , a +分别为湮灭算符和产生算符，满足 a |n >=

n |n -1>

|n >=

n +1|n +1>

（1）用微扰论求准确到二级近似的能量值；

（2）求能量的准确值，并与微扰论给出的结果相比较。

解：（1）由[a , a +]=1 得 H '=cx 2=利用 a |n >=

c 2μω

(a +a ) =

c 2μω

[a +(a ) +1+2a a ]

n |n -1>a

|n >=

n +1|n +1>计算微扰矩阵元得

'==H mn

c 2μω

(n +1)(n +2) δm , n +2}

{n (n -1) δm , n -2+(2n +1) δmn +

零级近似能量、一级和二级修正能量分别为 E n (0) = n +

⎝⎛

1⎫

⎪ ω2⎭

'=n + E n (1)=H nn

⎝⎛

1⎫c

⎪2⎭μω

(2) n

∑

m ≠n

'H mn E n

(0)

2(0)

-E m

1⎫c ⎛

=[n (n -1) -(n +1)(n +2)]=-n + ⎪2323

2⎭2μω8μω⎝

⎛1⎫c ⎛

1+精确到二级近似的能量值为 E n = n +⎪ ω 2⎭μω⎝⎝

⎫

⎪ 24⎪

2μω⎭c

（2）现求能量精确值 H =

2μ

μωx +cx

222

2μ

⎫⎪⎪⎭

μω0x

ω0=ω2 本征能量 E n

⎛2c 2c

+=ω 1+2 μμω⎝

1/2

⎛1⎫1⎫2c ⎛⎛

= n +⎪ ω0= n +⎪ ω 1+2 2⎭2⎭μω⎝⎝⎝⎫

⎪⎪⎭

1/2

1⎫⎛1/2

= n +⎪ ω(1+λ)

2⎭⎝

n =0, 1, 2,

λ=

μω

视λ为微小量，则

⎛⎫1⎫λλ⎛(0) (1) (2)

⎪=E n E n = n +⎪ ω 1+-+ +E +E + n n ⎪2⎭28⎝⎝⎭

其中

E n

(0)

1⎫⎛

= n +⎪ ω

2⎭⎝

E n

(1)

1⎫c ⎛

= n +⎪

2⎭μω⎝

(2)

1⎫c ⎛

=- n +⎪23

2⎭2μω⎝

能量精确解的前三项与分别与零级近似能量、一级和二级修正能量相同。 5、设a , a +分别为湮灭算符和产生算符，满足对易关系[a , a +]=1。体系的哈密顿量为

H =Aaa +Ba +a ++Ca +a +D

（1）问A , B , C , D 满足什么条件H 才是厄密算符？（2）求体系的能量。解：（1）容易得知H 是厄密算符的条件是A , B , C , D 均为实数，且A =B ，则 H =A [a 2+(a +) 2]+Ca +a +D （1）（2）由（1）式得

C A

a a +a +(a )

+2+2

(H -D )

（2）

令 b =λa +γa + b =λa +γa

+ 其中λ, γ为待定实数

[b , b +]=[λa +γa +, λa ++γa ]=λ2[a , a +]+γ2[a +, a ] 已知 [a , a +]=1 则得 [b , b +]=λ2-γ2

为使b , b +与a , a +满足相同的对易关系 [b , b +]=1 则

λ-γ

计算 b +b =(λa ++γa ) (λa +γa +) =λ2a +a +λγ[a 2+(a +) 2]+γ2aa +

利用 [a , a +]=1

=1+a

得 b +b =(λ2+γ2) a +a +λγ[a 2+(a +) 2]+γ2 所以

λ+γλγ

a a +a +(a ) =

+2+2

λγ

(b b -γ) （3）

比较（2）式和（3）式，如令

λ+γλγ1

C A

则得

(H -D ) =

λγ

+2(b b -γ)

由此可得 H =

λγ

(b b -γ) +D （4）

如果已知λ, γ，则H 的本征值为 E n =

(n -γ) +D n =0, 1, 2,

λγ

现在来求λ, γ, 由于 λ-γ

2=1

λ+γλγ

C A

解之得

C -

λ=

A C

C +C

-4A

λ=

-4A

2C -4A 2C -4A

λγ=

-4A

22⎛C -C -4A

-4A n -

22 2C -4A ⎝

所

n =0, 1, 2,

以

E n =

⎫

⎪+D ⎪⎭

C >2A

武汉大学2002年度研究生入学考试量子力学试题选解

一．

名词解释（4分×5题）

1．德布罗意假设：微观粒子也具有波粒二象性，粒子的能量E

波长λ之间的关系，正像光子和光波的关系一样，为：

和动量P 与波的频率ν和

⎧ε=h ν= ω⎨

⎩p =h /λ= k

2. 波函数：描述微观体系的状态的一个函数称之为波函数，从这个波函数可以得出体系的所有

性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。

3．基本量子条件：

ˆα, x ˆβ]=0[x

ˆα, p ˆβ]=0[p

ˆβ]=i δαβˆα, p [x

4. 电子自旋：电子的内禀特性之一：①在非相对论量子力学中。电子自旋是作为假定由

Uhlenbeck

和

Goudsmit

提出的：每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取

两个数值：

s z =±

2；每个电子具有自旋磁矩Ms ，它和自旋角动量的关系式：

e e

M s =-S →M sz =±

μ2μ。②在相对论量子力学中，自旋象粒子的其他性质—样包含在波动方

程中，不需另作假定。

5. 全同性原理：在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。

二．

计算题（20分×4题）

⎧-U 0, x

U (x ) =⎨

⎩0, x >0入射，求透射系数。讨论如下三种情1. 粒子以能量E 由左向右对阶梯势

况：

（1）－U00；（3）E>0,但由右向左入射。

解： ⑴ －U0

写出分区薛定谔方程为：

⎧⎪-⎪⎨⎪-⎪⎩

d ψ1

2μdx

-U 0ψ1=E ψ1, x 0

d ψ

2μdx

2μ(E +U 0)

k 1=

令：

k 2=

，

-2μE

可将上述方程简化为：

⎧d 2ψ1

+k 1ψ1=0, x

⎪dx ⎨2

2⎪d ψ2-k ψ2=0, x >022⎪⎩dx

一般解可写为：

ik 1x -ik x

⎧+A 'e 1, x 0⎩ψ2=Be 由ψ2(∞) 有限，得＝

B 0

由波函数连接条件，有：

⎧ψ1(0) =ψ2(0) ⇒A +A '=B '⎨' '

⎩ψ2(0) =ψ2(0) ⇒ik 1(A -A ') =-k 2B

ik +k 2⎧

'=1A A ⎪⎪ik 1-k 2⎨

-i 2k 1

⎪B '=A ⎪ik -k 12解得： ⎩

据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数

k k 1i 2 2 1

J =|A |e x , J R =-|A '|e x , J D =(ψ2∇ψ

μμ2μ

|J R ||A '|ik +k 22

R ===(1) =1

|A |ik 1-k 2|J | |J D |=0D =

|J |

满足

-ψ2∇ψ2) =0

R+D＝1

可见，总能量小于势垒高度的粒子必全部被反射，但在x

率不为零。类似于光的“全内反射”。

⑵ E>0

写出分区薛定谔方程为：

⎧

⎪-⎪⎨⎪-⎪⎩

d ψ1

2μdx

-U 0ψ1=E ψ1, x 0

d ψ

2μdx

2μ(E +U 0)

k 1=

令：

k 2=

，

2μE

可将上述方程简化为：

⎧d 2ψ1

+k 1ψ1=0, x

⎪dx ⎨2

2⎪d ψ2

+k 2ψ2=0, x >02⎪⎩dx

一般解可写为：

ik 1x -ik x

⎧+A 'e 1, x 0⎩ψ2=Be

考虑到没有从右向左的入射波，B ’＝0 由波函数连接条件，有：

⎧ψ1(0) =ψ2(0) ⇒A +A '=B ⎨' '

⎩ψ2(0) =ψ2(0) ⇒k 1(A -A ') =k 2B

k -k 2⎧

'=1A A ⎪⎪k 1+k 2⎨

2k 1

⎪B =A ⎪k 1+k 2

解得： ⎩

据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数

k k 1 k 22 2 2 1J =|A |e x , J R =-|A '|e x , J D =|B |e x

μμμ

E +U 0-E 2U 0|J R ||A '|k 1-k 22

R ===() =() =

|A |k +k |J |E +U 0+E (E +U 0+12

4E (E +U 0) |J D |k 2|B |k 22k 12

=D ==() =

k 1|A |k 1k 1+k 2|J |(E +U 0+E )

E )

满足 R+D＝1

可见，尽管E>0，但仍有粒子被反射。 ⑶

E>0,粒子从右向左入射

仿⑵，有

ik 1x -ik x

⎧+A 'e 1, x

'⎪ψ=Be +B e , x >0⎩2

但 B ’为入射波系数，B 为反射波系数，A ’为透射波系数，A ＝0.

由波函数的标准条件，有

⎧ψ1(0) =ψ2(0) ⇒A '=B +B '⎨' ' ψ(0) =ψ(0) ⇒-k 1A '=k 2(B -B ') 2⎩2

解得：

2k 2⎧

'=A B '⎪⎪k 1+k 2⎨

k -k 2

⎪B =1B '⎪k +k 12 ⎩

据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数

k 2 k 2 k 12 2 2 J =-|B '|e x , J R =|B |e x , J D =|A '|e x

|J |k |B |R =R ==(1

|B '|k 1|J | |J D |k |A '|=1D ==

'k 2|B ||J |

满足

μμμ

E E ) =

-k 2+k 2k 1

(

) =(2k 2

E +U 0-E +U 0+) =

U 0

(E +U 0+

E )

4E (E +U 0) (E +U 0+

E )

k 2k 1+k 2

R+D＝1

可见，仍有粒子被反射。

ψ(x , 0) =

2. 一维谐振子在t ＝0时处于归一化波函数

0(x ) +

2(x ) +C φ4(x )

所描述的态中，式中φ0(x ), φ2(x ), φ4(x ) 均为一维谐振子的归一化定态波函数，求：

待定系数C ；

（2） t ＝0时，体系能量的可能取值及相应的几率；（3） t>0时，体系的状态波函数ψ(x , t ) 。（4） t ＝0与t>0时体系的x (0) , x (t ) 。

（1）

解：用Dirac 算符

|ψ(x , 0) >=

|0>+

|2>+C |4>

C =

，2

310

⑴ 由 =1，可求得

⑵ 能量可能取值

，2

相应的几率 1/2， 1/5， 3/10 因为n ＝0,2,4都为偶数，故宇称为偶

|ψ(x , t ) >=

⑶

2μω

|0>e

-i ωt

|2>e

-i ωt

310

|4>e

-i t

ˆ=(x

⑷ 利用

)

ˆ+a ˆ+) (a

，有

x (0) ==(

2μω

)

ˆ+a ˆ+) |ψ(x , 0) >

ˆ+a ˆ+)()(a

310

=()

(

++|2>+|4>

＝0

x (t ) ==(=0

2μω

)

ˆ+a ˆ+) |ψ(x , t ) >

ψ=Ne

-λ(r )

, a =

3. 若试探波函数取为

μe

，其中N 为归一化波函数，λ为变分参数，试用

变分法求氢原子的基态能量与基态波函数。

解：先将波函数归一化

⎰

∞

N e

-2λ(r )

4πr dr =4πN (12

a 2λa 2λ

)

⎰

∞

-x

x dx

=4πN (

a 2λ

2λ

)

Γ(

1+22

) =N (

) π

⇒N =(

而氢原子的哈米顿为

πa

) 4

e s r

ˆ=-H

2μr

[

∂∂r

) +

∞

ˆ2

L 2μr

-λ(r )

∂∂r (r

ˆ|ψ>=N E =

⎰

∂

e [-

∂∂r

2μr

) -

e s r

-λ(r )

4πr dr

-2λ(r )

=4πN

⎰

∞

-λ(r )

[

(2r e

2μ∂r a

2λ

-λ(r )

)]dr -4πN e

⎰

e rdr

-2λ(r )

=4πN

2λ

2μa

⎰

∞

-2λ(r )

(3r -

2λa

r ) dr -4πN e

⎰

e r d r

=4πN

2λ

2μa

⎰

∞

-2λ(r )

(3r ) dr 4πN

2λ

2μa

⎰

∞

-2λ(r )

2λa

r ) dr

－

4πN

＝

2λ

4πN e

⎰

e (

-2λ(r )

rdr a

)

2μa

a 2λ

)

Γ() 4πN 22－

2λa

2μ

) (

2λ

Γ() 22

4πN e s (

－

a 2λ

)

Γ(1)

＝

3π a 2μλ2

-N

πe a λ

2λ

＝πa

3232

3π a 2μλ2

2λπe s a

131

πa

＝2μa

λ-

2e s

πa

，得到

λ=

令 d λ

8μe s a 9π

242

89π

E 0=-

所以：

E min =-

4e s

3πa

=-0. 424

e s e s

a ，精确解为：

(r )

=-0. 500

e s

ψ0=(

变分值略大于精确值。

169πa

) e

89π

, a =

基态波函数为

μe

4. 两个自旋s=1/2的电子束缚在一维无限深方势阱(0≤x ≤a) 内，忽略两电子间的相互作

用，试写出该全同粒子体系基态及第一激发态的能量和状态波函数，并讨论能量的简并度。

解：忽略相互作用时，体系的能量本征值为

E =E 1+E 2=

2μa

222

(n 1+n 2)

（n1，n2＝1,2,3, „）

体系的总波函数是反对称的：

ψ=ψ(x 1, x 2) χ(s 1z , s 2z )

E =

π μa

⑴ 基态n1＝n2＝1，基态能量为

基态波函数为

ψ=ψS (x 1, x 2) χA (x 1, x 2) =

2a Sin

πx 1

Sin

πx 2

[χ(s 1z ) χ-(s 2z ) -χ-(s 1z ) χ(s 2z )]

可见基态能级不简并。

⑵ 第一激发态，（n1，n2）＝1,2 或（n1，n2）＝2,1

E =

5π 2μa

ψS (x 1, x 2) =

激发态能量为

[Sin

πx 1

Sin

2πx 2a

+Sin

2πx 1a

Sin

πx 2

]

2a [Sin

ψA (x 1, x 2) =

(1) S (2) S

πx 1

Sin

2πx 2a

-Sin

2πx 1a

Sin

πx 2

]

(s 1z , s 2z ) =χ1(s 1z ) χ1(s 2z )

χS (s 1z , s 2z ) =χA (s 1z , s 2z ) =

单态；

(3)

(s 1z , s 2z ) =χ-1(s 1z ) χ-1(s 2z )

1212

[χ1(s 1z ) χ-1(s 2z ) +χ-1(s 1z ) χ1(s 2z )]

[χ1(s 1z ) χ-1(s 2z ) -χ-1(s 1z ) χ1(s 2z )]

(1)

=ψS (x 1, x 2) χA (x 1, x 2) 三重态：ψ

(2, 3, 4)

=ψA (x 1, x 2) χS (x 1, x 2)

《量子力学》考试知识点

第一章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：

（一）、经典物理学困难的实例（二）、微观粒子波－粒二象性考核要求：

（一）、经典物理困难的实例

1. 识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。 2. 领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。第二章：波函数和薛定谔方程考核知识点：

（一）、波函数及波函数的统计解释（二）、含时薛定谔方程（三）、不含时薛定谔方程考核要求：

（一）、波函数及波函数的统计解释

1. 识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波

2. 领会：微观粒子状态的描述、Born 几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程

1. 领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理 2. 简明应用：量子力学的初值问题（三）、不含时薛定谔方程 1. 领会：定态、定态性质

2. 简明应用：定态薛定谔方程第三章：一维定态问题

一、考核知识点：

（一）、一维定态的一般性质（二）、实例二、考核要求：

1. 领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振

2. 简明应用：定态薛定谔方程的求解、无限深方势阱、线性谐振子第四章量子力学中的力学量一、考核知识点：

（一）、表示力学量算符的性质（二）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归一化” （四）、算符的共同本征函数

（五）、力学量的平均值随时间的变化二、考核要求：

（一）、表示力学量算符的性质

1. 识记：算符、力学量算符、对易关系

2. 领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系

（二）、厄密算符的本征值和本征函数

1. 识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性

1. 领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系

（四）、力学量的平均值随时间的变化

1. 识记：好量子数、能量－时间测不准关系 2. 简明应用：力学量平均值随时间变化第五章态和力学量的表象一、考核知识点：

（一）、表象变换，幺正变换

（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量子态的不同描述二、考核要求：

（一）、表象变换，幺正变换

1. 领会：幺正变换及其性质 2. 简明应用：表象变换

（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式

1. 识记：微扰

2. 领会：微扰论的思想

3. 简明应用：简并态能级的一级，二级修正及零级近似波函数

4. 综合应用：非简并定态能级的一级，二级修正、波函数的一级修正。（二）、变分法

1. 领会：变分原理

2. 简明应用：用Ritz 变分法求体系基态能级及近似波函数（三）、量子跃迁

1. 识记：跃迁、跃迁几率、自发辐射、受激辐射、费米黄金规则 2. 领会：跃迁理论与不含时微扰的关系

3. 简明应用：简单微扰体系跃迁几率的计算、常微扰、周期微扰第七章自旋与全同粒子一、考核知识点：（一）、电子自旋（二）、总角动量

（三）、碱金属的双线结构（四）、自旋单态和三重态（五）、全同粒子交换不变性二、考核要求：（一）、电子自旋

1. 识记：自旋存在的实验事实、二分量波函数

2. 领会：电子自旋的内禀磁矩、对易关系、泡利表象、矩阵表示（泡利矩阵）、自旋态的表示

3. 简明应用：考虑自旋后，状态和力学量的描述、考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程（二）、总角动量

1. 识记：自旋－轨道耦合

2. 领会：总角动量、力学量完全集(H , l 2, j 2, j z ) 的共同本征值问题（三）、碱金属的双线结构

1.领会：碱金属原子光谱的双线结构及反常塞曼效应的现象及形成原因（四）、自旋单态和三重态 1.领会：自旋单态和三重态

ˆ2. 简明应用：在(S 1z , S 2z ) 和(S

ˆ) 表象中两自旋为12, S z

的粒子的自旋波

函数

（五）、全同粒子交换不变性

1. 领会：全同粒子体系与波函数的交换对称性、费米子和玻色子体系的描述、泡利不相容原理

2. 简明应用：两全同粒子体系、全同粒子体系波函数的结构 1、波函数与薛定谔方程

理解波函数的统计解释，态迭加原理，薛定鄂方程，粒子流密度和粒子数守恒定律

定态薛定谔方程。掌握一维无限深势阱，线性谐振子。 2、力学量的算符表示

氢原子

3、态和力学量的表象

理解态的表象，掌握算符的矩阵表示，量子力学公式的矩阵表述么正变换，了解狄喇克符号，线性谐振子与占有数表象。 4、定态近似方法

掌握非简并定态微扰理论，简并情况下的微扰理论，理解薛定鄂方程的

变分原理及变分法。 5、含时微扰论

掌握与时间有关的微扰理论，跃迁几率，光的发散和吸收及选择定则。 6、自旋与角动量

理解电子自旋，掌握电子的自旋算符和自旋函数。 7、全同粒子体系

理解两个角动量的耦合，光谱的精细结构和全同粒子的特性。掌握全同粒子体系的波函数，泡利原理，两个电子的自旋函数。了解氦原子（微扰法）。

练。

（中科大2003）

一、试证明：

（1）投影算符P =|n >中的平均值是正

定的，即≥0。

（2）设|ψ>是归一化波函数，对于线性厄密算符A 以下等式成立 i

d dt

=+i

∂A ∂t

。

证明：（1）因为 P +=(|n >

或==**=*

==||≥0

（2）因为 = 则

d A dt

∂ψ∂t

, A ψ

+ψ, A

∂ψ∂t

+ψ,

∂A ∂t

再由S-eq 得 i

d A dt

=A , H ]+i

∂A ∂t

或因为A =⎰ψ*A ψdx 所以

d A dt

⎰

∂ψ∂t 1i

A ψdx +⎰ψA

∂ψ∂t

dx +⎰ψ

∂A ∂t

ψdx

=-=1

⎰ψHA ψdx +

⎰ψAH ψdx +⎰ψ

∂A ∂t

ψdx

⎰ψ(AH -HA ) ψdx +⎰ψ

d A dt

=A , H ]+i

∂A ∂t

ψdx

即 i

二、对于一维谐振子，求消灭算符a 的本征态|α>，将其表示成各能

量本征态|n >的线性叠加。已知a |n . >=

∞

n |n -1>

。

解：设 |α>=

∑C

n =0

|n >

n |n -1>

∞

由于 a |α>=α|α> 且利用 a |n . >=

∞

得 a |α>=以

∑C

n =0

a |n >=

∑C

n =0

n |n -1>=α∑C n |n >

n =0

并利用 =δn 'n 得

C n =

αn

C n -1 依次递推得 C n =

n !

C 0

由归一化条件 =

∑

C n

=C 0

∑

n !

因为

∑

n !

-12

C 0=e

⋅e

i δ

δ为实数，可取为δ=0

所以 |α>=e

∞

∑

n =0

n !

|n >

三、给定(θ, ϕ) 方向的单位矢量n =(sinθcos ϕ, sin θsin ϕ, cos θ) ，在σz 表象中

求σn =σ⋅n 的本征值和归一化本征矢。

θc o s ϕ+σy s i n θs i n ϕ+σz c o s θ 所以解：因为σn =σx s i n

⎛cos θ

sin θe i ϕ⎝

sin θe ⎫⎪

-cos θ⎪⎭

sin θe

-i ϕ

σn

σn 的本征值为±1

⎛cos θ

由本征方程 sin θe i ϕ

⎝⎫⎪

-cos θ⎪⎭

-i ϕ

⎛a ⎫⎛a ⎫

⎪ =λ b ⎪ b ⎪⎪ 求得 ⎝⎭⎝⎭

θ⎛

cos

2对于λ=+1 ϕ1=

sin θe i ϕ

2⎝θ-i ϕ/2⎫⎛

⎪ cos e

2⎪ 或ϕ1=

sin θe i ϕ/2⎪

⎪

2⎝⎭

⎫

⎪⎪ ⎪⎪⎭⎫⎪⎪ ⎪⎪⎭

对于λ=-1 ϕ-1

θ⎛

sin

-cos θe i ϕ

2⎝θ-i ϕ/2⎫⎛

⎪ sin e

2⎪ 或ϕ-1=

⎪ -cos θe i ϕ/2⎪

2⎭⎝

四、设一定域电子（作为近似模型，不考虑轨道运动），处于沿x 方向的均匀

磁场B 中，哈密顿量为H =（Larmor ）频率

e B 2μc

σx = ωL σx ωL =

eB 2μc

拉莫尔

设t =0时，电子自旋“向上”（S z = /2）。求t >0时（1）电子自旋态χ(t ) ；（2）电子自旋S 的平均值。解：（1）方法一

令 χ(t ) = b (t ) ⎪⎪ 初始条件 χ(0) = b (0) ⎪⎪= 0⎪⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由薛定谔方程 i

=-i ωL b 得 a

=i ω(a -b ) -b a L

⎛a (t ) ⎫⎛a (0) ⎫⎛1⎫

⎛a ⎫d ⎛a ⎫

⎪ ⎪= ωL ⎪⎪dt ⎝b ⎭⎝b ⎭

=-i ωa b L

=-i ω(a +b ) +b a L

积分得

i ωL t

a (t ) +b (t ) =[a (0) +b (0)]e

-i ωL t

a (t ) -b (t ) =[a (0) -b (0)]e

b (t ) =-i s i n ωL t

由此可得 a (t ) =c o s ωL t

ωL t ⎫⎛c o s

⎪ χ(t ) = -i s i n ⎪ ωt L ⎭⎝

方法二

体系能量本征态即σx 的本征态，本征值和本征态分别为 σx =+1

E =E += ωL

ϕ+

1⎛1⎫

= ⎪⎪2⎝1⎭

1⎛1⎫ -1⎪⎪2⎝⎭

σx =-1 电子自旋初态

E =E +=- ωL ϕ-=

χ(0) = 0⎪⎪=

⎝⎭ T 时刻电子自旋态为 χ(t ) =

12(e

⎛1⎫

(ϕ++ϕ-)

-i ωL t

ϕ++e

i ωL t

ωL t ⎫⎛c o s

⎪ϕ-) = -i s i n ⎪ ωt L ⎭⎝

（2）电子自旋各分量的平均值 S x =χ+(t ) S x χ(t ) =

S y =χ(t ) S y χ(t ) =

(c o s ωL t

⎛0

i s i n ωL t ) 1

⎝ωL t ⎫1⎫⎛c o s ⎪⎪=0 ⎪ ⎪ωL t ⎭0⎭⎝-i s i n

(c o s ωL t

⎛0

i s i n ωL t ) i

⎝ωL t ⎫-i ⎫⎛c o s ⎪⎪=-s i n 2ωL t ⎪ ⎪ωL t ⎭0⎭⎝-i s i n 2

S z =χ(t ) S z χ(t ) =

(c o s ωL t

⎛1

i s i n ωL t ) 0

⎝ωL t ⎫ 0⎫⎛c o s

⎪⎪ 2ωL t -i s i n ⎪=2c o s ωt -1⎪⎭⎝L ⎭

五、已知系统的哈密顿量为

⎛2ε

H = 0

ε⎝

02ε0

⎫⎪

0⎪ λ

求能量至二级近似，波函数至一级近似。解：（1） H =H 0+H ' H 0

⎛2ε

= 0 ε⎝

02ε0

⎛0

⎪ 0⎪ H '= 0

02ε⎪⎭⎝

ε⎫000

0⎫

⎪0⎪λ⎪⎭

可见所设表象为非H 0表象，为将H 0对角化，先由H 0的本征方程求其本征值和本征矢。

求得结果为：本征值 E 1(0) =ε E 2(0) =2ε E 3(0) =3ε

相应本征矢 |1>=

⎛1⎫⎛0⎫

⎪ ⎪1

0|2>= ⎪ 1⎪ |3>=

2 ⎪ 0⎪⎝-1⎭⎝⎭020

⎛1⎫

1 ⎪ 0⎪ 2 ⎪⎝1⎭

（2）利用

⎛11 S = 0

2 ⎝-11⎫⎪

0⎪ 转到h 0表象（将H 0对角化） 1⎪⎭

⎛λ

2 0 -λ 2⎝E

(2) n

⎛ε

h 0=S +H 0S = 0

0⎝

02ε0

0⎫⎪

0⎪ 3ε⎪⎭

000

h '=S H 'S

⎪

2⎪0⎪λ⎪2⎪⎭

λ⎫

在

h 0

表象中

(1)

'=h nn

∑

m ≠n

'||h nm E

(0)

-E

(0) m

(1) n

∑

m ≠n

'h nm E n

(0)

-E m

ψ(0)

(0)

=λ/2

则

E 1

(1)

E 2(1) =0 E 3(1) =λ/2

(2) 1

8ε

(0) 3

(2) 2

=0 E

(2) 3

8ε

ψ1

(0)

ψ1(1) =

4ε

ψ2(1) =0 ψ3(1) =-

4ε

量子力学测试题（2）

1、一质量为m 的粒子沿x 正方向以能量E 向x=0处势垒运动。当x ≤0时，势能为零；当x >0时，势能为V 0=解：S-eq

为

34E

。问在x=0处粒子被反射的几率多大？

x ≤0x ≥0

⎧ψ1''+k 12ψ1=0

⎨

''+k 22ψ2=0⎩ψ2

其中k 12=2mE / 2

k 2=2m (E -V 0) /

=k 1/4

由题意知 x ≤0区域既有入射波，又有反射波；x ≥0区域仅有透射波故方程的解为

ψ1=e ik x +re -ik x x ≤0

ψ2=te ik x x ≥0

在x=0处，ψ及ψ'都连续，得到 1+r =t k 1(1-r ) =

R =r

k 12

t 由此解得

注意透射率T ≠t 因为k 2≠k 1 将

j =-

ik 1x

，re -ik x ，te ik

分别代入几率流密度公式

i ⎛ ψ2m ⎝

∂∂x

ψ-ψ

∂∂x

ψ⎪

⎫⎭

得入射粒子流密度 j 0= 反射粒子流密度

k 1

m k

j R =-1r

k 2m

透射粒子流密度 j T = 由此得反射率 R =

j R j 0j T j 0

透射率 T =2、计算

（1）[L , r ]=?

k 2k 1

R +T =1

（2）设F (x , p ) 是x , p 的整函数，则[p , F ]=?

解：（1）[L α, r 2]=[L α, x βx β]=x β[L α, x β]+[L α, x β]x β=i εαβγx βx γ+i εαβγx γx β=0

因为将第二项哑标作更换βγ 所以

[L , r ]=0

i εαβγx γx β=i εαγβx βx γ=-i εαβγx βx

∂∂x x

（2）先由归纳法证明 [p , x n ]=-i nx n -1=-i

n =1

（·）式

上式显然成立；设n =k 时上式成立，即 [p , x k ]=-i kx k -1

则 [p , x k +1]=[p , x k ]x +x k [p , x ]=-i kx k -i x k =-i (k +1) x k 显然，n =k +1时上式也成立，（·）式得证。因为 F (x , p ) =则

[p , F ]=

∑C

m , n =0

x p

m n

∑C

m , n

[p , x p ]=

m n

∑C

m , n

[p , x ]p

m n

=-i ∑C mn mx

m , n

m -1

=-i

∂∂x

3、试在氢原子的能量本征态ψnlm 下，计算r -1和r -2的平均值。解：处于束缚态ψnlm 下的氢原子的能量

E n =-

（1）计算方法

E n =

12n

-1 相应的维里定理为 n =l m

12n

μe

2 n

2a n

a =

μe

n =n r +l +1

l m

2E n e

所以 =-

1an

∂E n ∂e

方法2 选Z 为参量相应的F-H 定理

∂H ∂e

>n l m

H =-（2）计算

2μ

∇-

1an

>nlm

1an

等效的一维哈密顿量

H =-

2μdr

l (l +1) 2μr

取l 为参量相应的F-H 定理

n =n r +l +1

∂E n ∂l

∂H l ∂l

l m

注意

(2l +1)

2μ

-2

1(l +1/2) a n

4、有一个二能级体系，哈密顿量为H =H 0+H '， H 0和微扰算符H '的矩阵表示为

H 0

⎛E 1= 0⎝

0⎫⎛0

'⎪ H =λ 1⎪E 2⎭⎝

1⎫

⎪ 0⎪⎭

其中λ表征微扰强度，E 1≤E 2。用微扰法求H 的本征值和本征态。解：由于是对角化的，可见选用表象为H 0表象对于E 1

⎧'|2'|H nm (0)

'+∑+ ⎪E n =E n +H nn (0) (0)

⎪E -E m n m ⎨

'H mn '(0)

⎪ψ=ψ(0) +ψm + ∑n n (0) (0) ⎪E n -E m m ⎩

得

(1)

(2) 1

'H 12E 1

(0)

2(0)

-E 2

E 1-E 2

ψ1

(1)

'H 21E 1

(0)

-E 2

ψ(0)

(0)

⎛0⎫ 1⎪⎪ E 1-E 2⎝⎭

(1)

⎛1⎫ 0⎪⎪ E 2-E 1⎝⎭

(2)

'H 12E

(0) 2

2(0) 1

-E

E 2-E 1

(1) 2

'H 12E 2

(0)

-E 1

ψ1

(0)

所以，二级近似能量和一级近似态矢为

⎛1⎫⎛0⎫λ E 1+， ⎪⎪+ ⎪⎪

E 1-E 2⎝0⎭E 1-E 2⎝1⎭

⎛0⎫⎛1⎫λ ；E 2+， ⎪⎪+ ⎪⎪

E 2-E 1⎝1⎭E 1-E 2⎝0⎭

。

对于E 1=E 2，由简并微扰论计算得一级近似能量和零级近似态矢为 E 1+λ，

1⎛1⎫

1⎪⎪；E 1-λ2⎝⎭

σ⋅n 2

，

1⎛1⎫ -1⎪⎪。 2⎝⎭

5、自旋投影算符S n =

，σ为泡利矩阵，n 为单位矢量

（sin θcos ϕ, sin θsin ϕ, cos θ）。

（1）对电子自旋向上态χ+(s z = /2) ，求S n 的可能值及相应几率；（2）对σn 的本征值为1的本征态，求σy 的可能值及相应几率。解：（1）由S n 得

θ⎛

cos

2 χ1(s n ) =

sin θe i ϕ2

2⎝

∧

⎛cos θ

= i ϕ

2 ⎝sin θe

sin θe

⎫

⎪

2-cos θ⎪⎭

-i ϕ

⎛cos θ

sin θe i ϕ⎝

sin θe

⎫⎛a ⎫⎛a ⎫⎪ ⎪=m s ⎪ ⎪ b ⎪

-cos θ⎪⎝⎭⎭⎝b ⎭

-i ϕ

θ⎫⎛

⎪ sin

2⎪ χ1(s n ) =

⎪ -cos θe i ϕ2⎪

2⎭⎝

⎛1⎫

⎫

⎪⎪ ⎪⎪⎭

对于电子自旋向上态χ+(s z = /2) =α= 0⎪⎪，S n 取值±2的几率分别为

⎝⎭

+α χ1

θ⎛

= cos

2⎝θ⎛

= sin

2⎝

sin

θ2

i ϕ

⎫⎛1⎫

⎪ 0⎪⎪⎭⎝⎭e

i ϕ

=cos

θ2

χ+1α

-2

-cos

θ2

⎫⎛1⎫⎪ 0⎪⎪⎭⎝⎭

=sin

（2）σy 的本征值和本征态 λ=1，χ+(σy ) =

1⎛1⎫1⎛1⎫ ⎪ λ=-1χ(σ) =；，-y i ⎪ -i ⎪⎪2⎝⎭2⎝⎭

电子处于σn 的本征值为1的本征态(即S n 的本征值为

χ1(s n ) ) ，

的本征态

则σy 的可能值及相应几率为 λ=1

χ+(σy ) χ1(σn ) =

θ⎛

cos

2-i )

sin θe i ϕ

2⎝

⎫

⎪⎪⎪⎪⎭

(1+sin θsin ϕ)

λ=-1 χ-(σy ) χ1(σn ) =

θ⎛

c o 2i )

s i θe i ϕ

2⎝

⎫

⎪⎪⎪⎪⎭

(1-s i n θs i n ϕ)

6、设质量为m 的两个全同粒子作一维运动，它们之间的相互作用能为

a (x 1-x 2) (a >0) 。

（1）若粒子自旋为0，写出它们的相对运动态的能量和波函数；

（2）若粒子自旋s =1/2，写出它们的相对运动基态及第一激发态的能量和波函数。

解：体系的哈密顿量为

H =-

∂

221

2m ∂x

∂

222

2m ∂x

1212

a (x 1-x 2)

x =x 1-x 2

引入质心坐标X 和相对坐标x ： X =

(x 1+x 2)

在坐标变换x 1, x 2⇒X , x 下，体系的哈密顿量变为 H =-

∂

2M ∂X

∂

2μ∂x

ax M =2m

2μ=m /2

相对运动哈密顿量为 H r =-

2μdx

μωx ω=

（1）若粒子自旋为0，则相对运动态的能量和波函数为

1⎫⎛

E n = n +⎪ ω

2⎭⎝

ψn (x ) =N n e

αx

H n (αx )

α=

μω

n =0, 2, 4,

限定n =0, 2, 4, 是为了保证波函数对交换x 1和x 2是对称的。（2）若粒子自旋s =1/2，则相对运动态的能量和波函数为 E n = n +

⎝⎛

1⎫

⎪ ω2⎭

-12

n =0, 1, 2,

ψ(x , S ψ(x , S 其中

) =N n e

αx

H n (αx ) |00>

n =0, 2, 4, n =1, 3, 5,

) =N n e

αx

⎧|11>⎪

H n (αx ) ⎨|10>

⎪|1-1>⎩

|11>=α(1) α(2)

|10>=

[α(1) β(2) +α(2) β(1)]

|1-1>=β(1) β(2) 体系基态能量和波函数

E =

12 ω

|00>=

[α(1) β(2) -α(2) β(1)]

ψ(x , S z ) =N 0e

αx

|00>

体系第一激发态能量和波函数 E =

32 ω

ψ(x , S z ) =N 1e

122-αx 2

⎧|11>⎪

H 1(αx ) ⎨|10>

⎪|1-1>⎩

量子力学测试题（4）

（复旦2002）

1、已知一维运动的粒子在态ψ(x ) 中坐标x 和动量p x 的平均值分别为x 0和p 0，求在态ϕ(x ) =e -ip

ψ(x +x 0) 中坐标x 和动量p x 的平均值。

解：已知粒子在态ψ(x ) 中坐标x 和动量p x 的平均值分别为

+∞

x =⎰ψ*(x ) x ψ(x ) dx =x 0

-∞+∞

p x =⎰ψ*(x ) -i

-∞

⎛⎝∂⎫

⎪ψ(x ) dx =p 0 ∂x ⎭

现粒子处在ϕ(x ) 态，坐标x 和动量p x 的平均值

+∞

x =

⎰ϕ(x ) x ϕ(x ) dx =

-∞+∞

⎰ψ(x +x 0) x ψ(x +x 0) dx

-∞

⎰ψ

-∞

(x ')(x '-x 0) ψ(x ') d x '=x 0-x 0=0

∂⎫⎛*

p x =⎰ϕ(x ) -i ⎪ϕ(x ) dx =

∂x ⎝⎭-∞

+∞

+∞+∞

⎰e

-∞

ip 0x /

ψ(x +x 0) -i

⎝

-ip 0x /

⎛

∂⎫-ip 0x /

ψ(x +x 0)]dx ⎪[e

∂x ⎭

⎰e

-∞

ip 0x /

ψ(x +x 0)[-p 0e

-ip 0x /

ψ(x +x 0) +e

∂⎫⎛ -i ⎪ψ(x +x 0)]dx

∂x ⎝⎭

+∞

=-p 0+

⎰ψ(x ') -i

-∞

⎛⎝∂⎫

⎪ψ(x ') d x '=-p 0+p 0=0'∂x ⎭

2、一体系服从薛定谔方程

⎡ 21 2⎤ 22

(∇1+∇2) +k r 1-r 2⎥ψ(r 1, r 2) =E ψ(r 1, r 2) ⎢-

2⎣2m ⎦

（1）指出体系的所有守恒量（不必证明）；

（2）求基态能量和基态波函数。解：（1）体系的哈密顿量为 H =-

∇-

∇2+

k r 1-r 2

r =r 1-r 2

引入质心坐标R 和相对坐标r ： R =

1 (r 1+r 2) 2

在坐标变换r 1, r 2⇒R , r 下，体系的哈密顿量变为 H =-

∇

2 R

2μ

∇r +

kr M =2m

μ=m /2

容易得知系统的守恒量为E , L 2, L z 。（中心力场）（2）相对运动哈密顿量为 H r =-

2μ

∇

2μ

∇r +

μωr ω=

相对运动为三维各向同性谐振子，基态能量和波函数为 E N =

32 ω

ψ(r ) =

απ

3/2

122-r 2

N =0, 1, 2,

α=

μω

3、设t=0时氢原子处在态 ψ(r , 0) =

1[2ψ100+ψ

210

+2ψ

211

+3ψ

21-1

]

2an 11e

nlm

(r , θ, ϕ) =R nl (r ) Y lm (θ, ϕ)

（1）E =

E 1+E 2=-

40a

（2）任意t 时刻波函数

ψ(r , t ) =

1{2e

-iE 1t /

ψ100(r ) +e

-iE 2t /

[ψ

210

(r ) +

2ψ

(r ) +211

3ψ

(r )]}21-1

（3）任意t 时刻体系处在l =1, m =1态的几率为1/5；（4）任意t 时刻体系处在m =0态的几率为1/2。

4、一维谐振子受到微扰H '=cx 2作用，式中c 为常数。在粒子数表象中，

⎛ ⎫

x = ⎪

2m ω⎝⎭

1/2

(a +a )

a , a +分别为湮灭算符和产生算符，满足 a |n >=

n |n -1>

|n >=

n +1|n +1>

（1）用微扰论求准确到二级近似的能量值；

（2）求能量的准确值，并与微扰论给出的结果相比较。

解：（1）由[a , a +]=1 得 H '=cx 2=利用 a |n >=

c 2μω

(a +a ) =

c 2μω

[a +(a ) +1+2a a ]

n |n -1>a

|n >=

n +1|n +1>计算微扰矩阵元得

'==H mn

c 2μω

(n +1)(n +2) δm , n +2}

{n (n -1) δm , n -2+(2n +1) δmn +

零级近似能量、一级和二级修正能量分别为 E n (0) = n +

⎝⎛

1⎫

⎪ ω2⎭

'=n + E n (1)=H nn

⎝⎛

1⎫c

⎪2⎭μω

(2) n

∑

m ≠n

'H mn E n

(0)

2(0)

-E m

1⎫c ⎛

=[n (n -1) -(n +1)(n +2)]=-n + ⎪2323

2⎭2μω8μω⎝

⎛1⎫c ⎛

1+精确到二级近似的能量值为 E n = n +⎪ ω 2⎭μω⎝⎝

⎫

⎪ 24⎪

2μω⎭c

（2）现求能量精确值 H =

2μ

μωx +cx

222

2μ

⎫⎪⎪⎭

μω0x

ω0=ω2 本征能量 E n

⎛2c 2c

+=ω 1+2 μμω⎝

1/2

⎛1⎫1⎫2c ⎛⎛

= n +⎪ ω0= n +⎪ ω 1+2 2⎭2⎭μω⎝⎝⎝⎫

⎪⎪⎭

1/2

1⎫⎛1/2

= n +⎪ ω(1+λ)

2⎭⎝

n =0, 1, 2,

λ=

μω

视λ为微小量，则

⎛⎫1⎫λλ⎛(0) (1) (2)

⎪=E n E n = n +⎪ ω 1+-+ +E +E + n n ⎪2⎭28⎝⎝⎭

其中

E n

(0)

1⎫⎛

= n +⎪ ω

2⎭⎝

E n

(1)

1⎫c ⎛

= n +⎪

2⎭μω⎝

(2)

1⎫c ⎛

=- n +⎪23

2⎭2μω⎝

H =Aaa +Ba +a ++Ca +a +D

C A

a a +a +(a )

+2+2

(H -D )

（2）

令 b =λa +γa + b =λa +γa

+ 其中λ, γ为待定实数

[b , b +]=[λa +γa +, λa ++γa ]=λ2[a , a +]+γ2[a +, a ] 已知 [a , a +]=1 则得 [b , b +]=λ2-γ2

为使b , b +与a , a +满足相同的对易关系 [b , b +]=1 则

λ-γ

计算 b +b =(λa ++γa ) (λa +γa +) =λ2a +a +λγ[a 2+(a +) 2]+γ2aa +

利用 [a , a +]=1

=1+a

得 b +b =(λ2+γ2) a +a +λγ[a 2+(a +) 2]+γ2 所以

λ+γλγ

a a +a +(a ) =

+2+2

λγ

(b b -γ) （3）

比较（2）式和（3）式，如令

λ+γλγ1

C A

则得

(H -D ) =

λγ

+2(b b -γ)

由此可得 H =

λγ

(b b -γ) +D （4）

如果已知λ, γ，则H 的本征值为 E n =

(n -γ) +D n =0, 1, 2,

λγ

现在来求λ, γ, 由于 λ-γ

2=1

λ+γλγ

C A

解之得

C -

λ=

A C

C +C

-4A

λ=

-4A

2C -4A 2C -4A

λγ=

-4A

22⎛C -C -4A

-4A n -

22 2C -4A ⎝

所

n =0, 1, 2,

以

E n =

⎫

⎪+D ⎪⎭

C >2A

武汉大学2002年度研究生入学考试量子力学试题选解

一．

名词解释（4分×5题）

1．德布罗意假设：微观粒子也具有波粒二象性，粒子的能量E

波长λ之间的关系，正像光子和光波的关系一样，为：

和动量P 与波的频率ν和

⎧ε=h ν= ω⎨

⎩p =h /λ= k

2. 波函数：描述微观体系的状态的一个函数称之为波函数，从这个波函数可以得出体系的所有

性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。

3．基本量子条件：

ˆα, x ˆβ]=0[x

ˆα, p ˆβ]=0[p

ˆβ]=i δαβˆα, p [x

4. 电子自旋：电子的内禀特性之一：①在非相对论量子力学中。电子自旋是作为假定由

Uhlenbeck

和

Goudsmit

提出的：每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取

两个数值：

s z =±

2；每个电子具有自旋磁矩Ms ，它和自旋角动量的关系式：

e e

M s =-S →M sz =±

μ2μ。②在相对论量子力学中，自旋象粒子的其他性质—样包含在波动方

程中，不需另作假定。

5. 全同性原理：在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。

二．

计算题（20分×4题）

⎧-U 0, x

U (x ) =⎨

⎩0, x >0入射，求透射系数。讨论如下三种情1. 粒子以能量E 由左向右对阶梯势

况：

（1）－U00；（3）E>0,但由右向左入射。

解： ⑴ －U0

写出分区薛定谔方程为：

⎧⎪-⎪⎨⎪-⎪⎩

d ψ1

2μdx

-U 0ψ1=E ψ1, x 0

d ψ

2μdx

2μ(E +U 0)

k 1=

令：

k 2=

，

-2μE

可将上述方程简化为：

⎧d 2ψ1

+k 1ψ1=0, x

⎪dx ⎨2

2⎪d ψ2-k ψ2=0, x >022⎪⎩dx

一般解可写为：

ik 1x -ik x

⎧+A 'e 1, x 0⎩ψ2=Be 由ψ2(∞) 有限，得＝

B 0

由波函数连接条件，有：

⎧ψ1(0) =ψ2(0) ⇒A +A '=B '⎨' '

⎩ψ2(0) =ψ2(0) ⇒ik 1(A -A ') =-k 2B

ik +k 2⎧

'=1A A ⎪⎪ik 1-k 2⎨

-i 2k 1

⎪B '=A ⎪ik -k 12解得： ⎩

据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数

k k 1i 2 2 1

J =|A |e x , J R =-|A '|e x , J D =(ψ2∇ψ

μμ2μ

|J R ||A '|ik +k 22

R ===(1) =1

|A |ik 1-k 2|J | |J D |=0D =

|J |

满足

-ψ2∇ψ2) =0

R+D＝1

可见，总能量小于势垒高度的粒子必全部被反射，但在x

率不为零。类似于光的“全内反射”。

⑵ E>0

写出分区薛定谔方程为：

⎧

⎪-⎪⎨⎪-⎪⎩

d ψ1

2μdx

-U 0ψ1=E ψ1, x 0

d ψ

2μdx

2μ(E +U 0)

k 1=

令：

k 2=

，

2μE

可将上述方程简化为：

⎧d 2ψ1

+k 1ψ1=0, x

⎪dx ⎨2

2⎪d ψ2

+k 2ψ2=0, x >02⎪⎩dx

一般解可写为：

ik 1x -ik x

⎧+A 'e 1, x 0⎩ψ2=Be

考虑到没有从右向左的入射波，B ’＝0 由波函数连接条件，有：

⎧ψ1(0) =ψ2(0) ⇒A +A '=B ⎨' '

⎩ψ2(0) =ψ2(0) ⇒k 1(A -A ') =k 2B

k -k 2⎧

'=1A A ⎪⎪k 1+k 2⎨

2k 1

⎪B =A ⎪k 1+k 2

解得： ⎩

据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数

k k 1 k 22 2 2 1J =|A |e x , J R =-|A '|e x , J D =|B |e x

μμμ

E +U 0-E 2U 0|J R ||A '|k 1-k 22

R ===() =() =

|A |k +k |J |E +U 0+E (E +U 0+12

4E (E +U 0) |J D |k 2|B |k 22k 12

=D ==() =

k 1|A |k 1k 1+k 2|J |(E +U 0+E )

E )

满足 R+D＝1

可见，尽管E>0，但仍有粒子被反射。 ⑶

E>0,粒子从右向左入射

仿⑵，有

ik 1x -ik x

⎧+A 'e 1, x

'⎪ψ=Be +B e , x >0⎩2

但 B ’为入射波系数，B 为反射波系数，A ’为透射波系数，A ＝0.

由波函数的标准条件，有

⎧ψ1(0) =ψ2(0) ⇒A '=B +B '⎨' ' ψ(0) =ψ(0) ⇒-k 1A '=k 2(B -B ') 2⎩2

解得：

2k 2⎧

'=A B '⎪⎪k 1+k 2⎨

k -k 2

⎪B =1B '⎪k +k 12 ⎩

据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数

k 2 k 2 k 12 2 2 J =-|B '|e x , J R =|B |e x , J D =|A '|e x

|J |k |B |R =R ==(1

|B '|k 1|J | |J D |k |A '|=1D ==

'k 2|B ||J |

满足

μμμ

E E ) =

-k 2+k 2k 1

(

) =(2k 2

E +U 0-E +U 0+) =

U 0

(E +U 0+

E )

4E (E +U 0) (E +U 0+

E )

k 2k 1+k 2

R+D＝1

可见，仍有粒子被反射。

ψ(x , 0) =

2. 一维谐振子在t ＝0时处于归一化波函数

0(x ) +

2(x ) +C φ4(x )

所描述的态中，式中φ0(x ), φ2(x ), φ4(x ) 均为一维谐振子的归一化定态波函数，求：

待定系数C ；

（2） t ＝0时，体系能量的可能取值及相应的几率；（3） t>0时，体系的状态波函数ψ(x , t ) 。（4） t ＝0与t>0时体系的x (0) , x (t ) 。

（1）

解：用Dirac 算符

|ψ(x , 0) >=

|0>+

|2>+C |4>

C =

，2

310

⑴ 由 =1，可求得

⑵ 能量可能取值

，2

相应的几率 1/2， 1/5， 3/10 因为n ＝0,2,4都为偶数，故宇称为偶

|ψ(x , t ) >=

⑶

2μω

|0>e

-i ωt

|2>e

-i ωt

310

|4>e

-i t

ˆ=(x

⑷ 利用

)

ˆ+a ˆ+) (a

，有

x (0) ==(

2μω

)

ˆ+a ˆ+) |ψ(x , 0) >

ˆ+a ˆ+)()(a

310

=()

(

++|2>+|4>

＝0

x (t ) ==(=0

2μω

)

ˆ+a ˆ+) |ψ(x , t ) >

ψ=Ne

-λ(r )

, a =

3. 若试探波函数取为

μe

，其中N 为归一化波函数，λ为变分参数，试用

变分法求氢原子的基态能量与基态波函数。

解：先将波函数归一化

⎰

∞

N e

-2λ(r )

4πr dr =4πN (12

a 2λa 2λ

)

⎰

∞

-x

x dx

=4πN (

a 2λ

2λ

)

Γ(

1+22

) =N (

) π

⇒N =(

而氢原子的哈米顿为

πa

) 4

e s r

ˆ=-H

2μr

[

∂∂r

) +

∞

ˆ2

L 2μr

-λ(r )

∂∂r (r

ˆ|ψ>=N E =

⎰

∂

e [-

∂∂r

2μr

) -

e s r

-λ(r )

4πr dr

-2λ(r )

=4πN

⎰

∞

-λ(r )

[

(2r e

2μ∂r a

2λ

-λ(r )

)]dr -4πN e

⎰

e rdr

-2λ(r )

=4πN

2λ

2μa

⎰

∞

-2λ(r )

(3r -

2λa

r ) dr -4πN e

⎰

e r d r

=4πN

2λ

2μa

⎰

∞

-2λ(r )

(3r ) dr 4πN

2λ

2μa

⎰

∞

-2λ(r )

2λa

r ) dr

－

4πN

＝

2λ

4πN e

⎰

e (

-2λ(r )

rdr a

)

2μa

a 2λ

)

Γ() 4πN 22－

2λa

2μ

) (

2λ

Γ() 22

4πN e s (

－

a 2λ

)

Γ(1)

＝

3π a 2μλ2

-N

πe a λ

2λ

＝πa

3232

3π a 2μλ2

2λπe s a

131

πa

＝2μa

λ-

2e s

πa

，得到

λ=

令 d λ

8μe s a 9π

242

89π

E 0=-

所以：

E min =-

4e s

3πa

=-0. 424

e s e s

a ，精确解为：

(r )

=-0. 500

e s

ψ0=(

变分值略大于精确值。

169πa

) e

89π

, a =

基态波函数为

μe

4. 两个自旋s=1/2的电子束缚在一维无限深方势阱(0≤x ≤a) 内，忽略两电子间的相互作

用，试写出该全同粒子体系基态及第一激发态的能量和状态波函数，并讨论能量的简并度。

解：忽略相互作用时，体系的能量本征值为

E =E 1+E 2=

2μa

222

(n 1+n 2)

（n1，n2＝1,2,3, „）

体系的总波函数是反对称的：

ψ=ψ(x 1, x 2) χ(s 1z , s 2z )

E =

π μa

⑴ 基态n1＝n2＝1，基态能量为

基态波函数为

ψ=ψS (x 1, x 2) χA (x 1, x 2) =

2a Sin

πx 1

Sin

πx 2

[χ(s 1z ) χ-(s 2z ) -χ-(s 1z ) χ(s 2z )]

可见基态能级不简并。

⑵ 第一激发态，（n1，n2）＝1,2 或（n1，n2）＝2,1

E =

5π 2μa

ψS (x 1, x 2) =

激发态能量为

[Sin

πx 1

Sin

2πx 2a

+Sin

2πx 1a

Sin

πx 2

]

2a [Sin

ψA (x 1, x 2) =

(1) S (2) S

πx 1

Sin

2πx 2a

-Sin

2πx 1a

Sin

πx 2

]

(s 1z , s 2z ) =χ1(s 1z ) χ1(s 2z )

χS (s 1z , s 2z ) =χA (s 1z , s 2z ) =

单态；

(3)

(s 1z , s 2z ) =χ-1(s 1z ) χ-1(s 2z )

1212

[χ1(s 1z ) χ-1(s 2z ) +χ-1(s 1z ) χ1(s 2z )]

[χ1(s 1z ) χ-1(s 2z ) -χ-1(s 1z ) χ1(s 2z )]

(1)

=ψS (x 1, x 2) χA (x 1, x 2) 三重态：ψ

(2, 3, 4)

=ψA (x 1, x 2) χS (x 1, x 2)

[量子力学]考试知识点

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