第１４卷第１期高等数学研究Ｖ０１．１４．Ｎｏ．１２０ｌ１年１月ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣ（）ＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴｌＣＳ．Ｊａｎ．．２０ｌｌ
关于等价无穷小量
刘强
（首都经济贸易大学统计学院，北京ｌ０００７０）
摘要对等价无穷小量代换问题进行探讨．通过实例说明某文献中的一条定理存在不妥之处，并给出相应
修正．结果可拓广等价无穷小量替换方法的使用范围．
关键词极限ｆ无穷小量；等价，
中图分类号（）１７２．２文献标识码Ａ文章编号１００８－１３９９（２０１１）Ｏｌ－００２２－０２
’函数是微积分学研究的主要对象，而极限是微事实上，
积分学研究函数的一种重要工具．极限方法是微积
分学的基本方法．竖群一ｐ０ａ—ａ
对于极限问题的求解，文献中有很多方法，例如ｚｓｉｎ土一ｚ＋ｚ２ｃｏｓ土ＺＳｌｎ一一Ｚ十Ｚ。ＣｏＳ—
利用等价无穷小量替换、高阶无穷小量的性质、极限
存在准则、重要极限、罗必塔法则等，也可以利用导ｚｓｉｎ上＋ｚｚｓｉｎ土一ｚ
．ＺＺ
数的定义、定积分的定义求极限，等等．在上述诸多ｓｉｎ土一１＋ｚｃｏｓ土
方法中，利用等价无穷小量替换求极限是极限求解
过程中比较常用的一种方法．ｓｉｎ土一１＋ｚｓｉｎ土。ＺＺ
文［１］对等价无穷小量替换做了比较深刻的探而上述极限是不存在的．这是因为，若取
论，其中的定理２（即下文的命题１）更是拓广了等价１
无穷小量替换方法的使用范围．ＺＨ
命题ｌ［１］设口～口７，口～∥，则２一’号＋２研
（ｉ）若口与ｐ不等价，则口一口～口７一∥；则当咒一ｏ。时，ｚ。一０，ｚ。≠Ｏ，
（ｉｉ）若口与Ｊ９等价，则口一口与口’一∥未必等价．一ｓｉｎ土一ｌ＋ｚ。ｃｏｓ土墨兰！：
通常的教材一般强调等价无穷小量替换方法只：ｓｉｎ土一１十ｚ。ｓｉｎ上能用于积商运算，上述命题将等价无穷小量替换的Ｚ目ＺＨ
思想拓广到了加减的情形，使得极限求解过程非常
简捷．然而对于下面的例１，命题１显然不成立．璺导嵩一ｏ．若取
例１可以取１
．１Ｚ月２广’・
口２ＺＳＩｎ一’二研ｒ
Ｚ则当＂一ｏｏ时，ｚ。一Ｏ，ｚ。≠Ｏ，
口，：ｚｓｉｎ土＋一ｓｉｎ上，口＝ｚｓｌｎ一十ｚ。ｓｌｎ一＇：ｓｉｎ上一１＋ｚ。ｃｏｓ土墨墨：
卢一ｚ一矗。ｓ三，：ｓｉｎ土一１＋ｚ。ｓｉｎ土
ＺｎＺ“
ｇ—ｚ。
显然当ｚ—ｏ时，口，口７，卢，∥均为无穷小量，且口～口７，磐黼－１．，，罂百ｊ干百２Ｌ
，７
卢～∥，口与卢不等价，但口一Ｊ９与口７一∥也不等价．根据Ｈｅｉｎｅ定理［２］，极限（１）不存在．
现将命题１重新表述为如下定理．
收稿日期：２００９—０９—０３ｌ修改日期；２０１０—１Ｉ—０８．定理ｌ设在某个变化过程中有口～口７，ｐ～∥，基金项目：首都经济贸易大学教改立项资助Ｉ北京市属高等学校人才
强教计划资助项目：中青年骨干人才培养计划资助．且ｌｉｍ要存在或为。。，则
作者简介：刘强（１９７６一）．男，山东潍坊人，博士，副教授，主要从事金ｐ融数据分析研究．Ｅｍａｉｌｌｃｕｅｂｌｉｕｑｉａｎｇ＠１６３．ｃｏ札（ｉ）若口与卢不等价，则口一ｐ。口７一∥；
万方数据
第１４卷第１期高等数学研究Ｖ０１．１４，Ｎｏ．１２０１１年１月ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣ（）ＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＪａｎ．．２０１１
非齐次边界条件泛定方程的代换选择
韩锋，章柏红，刘志刚
（北京防化指挥工程学院基础部，北京１０２２０５）
摘要对具有非齐次边界条件的泛定方程齐次化过程中代换的选择进行研究和探讨．基于一些相关结论和
齐次化的定义得出新的研究成果，即给出对三类非齐次边界条件齐次化都适用的代换Ⅳ（ｚ，ｚ）兰Ａ（ｆ）一＋Ｂ（ｔ）．
关键词非齐次边界条件；非齐次；代换
中图分类号０１７５．２４文献标识码Ａ文章编号１００８－１３９９（２０１１）０ｌ－００２３一０３
随着科技化脚步的加快，人们越加认识到数学一个或几个通用的代换．实际上，不仅
工具的重要之处，在解决实际问题时，常常把一些实Ｗ（ｚ，￡）＝Ａ（￡）ｚ＋Ｂ（￡）
际的问题转化为数学模型，即一些方程的形式．求解这种形式对几种边界条件都适用（但对第二类边界这些方程成为解决问题的关键．尽管现实问题常常条件齐次化，需要在一定条件下），通过迸一步的研较为复杂，转化的方程通常是边界条件菲齐次化的究还发现，
泛定方程．不过，这类方程的求解思想并不复杂，只Ⅳ（ｚ，￡）＝Ａ（￡）ｚ２＋Ｂ（￡）
这种形式对几种边界条件也都适用（但对第一、二类
本文给出三类边界条件齐次化都适用的代换．边界条件齐次化，需要在一定条件下）．
即选用一个适当的未知函数之间的代换，使对新的第一类边界条件齐次化的处理‘１’２］：
未知函数，边界条件是齐次的，并给出这个代换．对
于第一、二、三类非齐次边界条件齐次化，肯定存在ｆ争＿口２妻＋弛凯ｏ＜ｚ＜址＞ｏ；
．｛“Ｉ，。ｏ＝“ｌ（￡），“Ｉ；。ｆ＝“２（￡）；
＾
程解析理论研究．Ｅｍａｍ∽矿如），詈Ｌ。灿）・ｈａｎｆｅｎｇｌ６６１＠１６３．ｃｏｍ．
章柏红（１９６９一），女，湖南长沙人，副教授，从事高等数学此处仅以波动方程为例，显然对于热传导方程
等学科教法研究．也是适用的．我们设法作一代换将边界条件化为齐
《：Ｈｔ＝＇●ｏ●ｏ●－ｏ●ｏ●
（¨）若口与卢等价，则口一卢与口７一∥未必等价．ｌｉｍ删：ｌｉｍ￡二堑；（２）如此以来，文［１］关于其中定理２的证明将不存ｙｙ
在任何问题，且所有例题都是适用的．同理文［１］中（ｉｌ）当口与Ｊ１９等价时，（２）式未必成立．的推论也可重新表述如下．参考文献
推论１设口，口，），是自变量同一变化过程中的［１］李秀敏．壬灵色．等价无穷小代换在求极限过程中的应无穷小量，ａ～口７，口～∥，且ｌｉｍ要存在或为。ｏ，则用［Ｊ］．高等数学研究。２００２，５（３）：３６—３７．
。
ｐ［２］同济大学应用数学系．高等数学：上册［Ｍ］．５版．北京：
（ｉ）当口与．１９不等价时，有高等教育出版社，２００２：３７．
ｏｎＥｑｕｉＶａｌｅｎｔＩｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌｓ
ＬＩＵＱｉａｎｇ，
（ｓｃｈｏｏｌｏｆＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ．ＣａｐｉｔａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＥｃｏｎｏｍｉｃｓａｎｄＢｕｓｉｎｅｓｓ．Ｂｅ订ｉｎｇ１０００７０．ＰＲＣ）
Ａｂｓｔ憎ｃｔ：ＴｈｉｓｐａｐｅｒｄｉｓｃｕｓｓｅｓｅｑｕｉＶａｌｅｎｔｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌｓ．Ａｎｅｘａｍｐｌｅｉｓｓｔｕｄｉｅｄａｎｄａ
ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｏｆａｓｈｏｒｔｆａｌｌｏｆａｔｈｅｏｒｅｍｉｎａｌｉｔｅｒａｔｕｒｅｉｓｐｒｏｖｉｄｅｄ．Ｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ
ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌｓｉｓｅｘｔｅｎｄｅｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｌｉｍｉｔ，ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ，ｅｑｕｉＶａｌｅｎｔ
万方数据需把非齐次边界条件齐次化即可．收稿日期：２００７—１１一０６；修改日期：２０１０一０４—２５．作者简介：韩锋（１９８０一）．女．黑龙江肇东人．讲师．主要从事微分方
关于等价无穷小量
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：刘强， LIU Qiang首都经济贸易大学统计学院,北京,100070高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2011,14(1)
参考文献(2条)
1.同济大学应用数学系 高等数学 2002
2.李秀敏;王灵色 等价无穷小代换在求极限过程中的应用[期刊论文]-高等数学研究 2002(03)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj201101010.aspx
第１４卷第１期高等数学研究Ｖ０１．１４．Ｎｏ．１２０ｌ１年１月ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣ（）ＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴｌＣＳ．Ｊａｎ．．２０ｌｌ
关于等价无穷小量
刘强
（首都经济贸易大学统计学院，北京ｌ０００７０）
摘要对等价无穷小量代换问题进行探讨．通过实例说明某文献中的一条定理存在不妥之处，并给出相应
修正．结果可拓广等价无穷小量替换方法的使用范围．
关键词极限ｆ无穷小量；等价，
中图分类号（）１７２．２文献标识码Ａ文章编号１００８－１３９９（２０１１）Ｏｌ－００２２－０２
’函数是微积分学研究的主要对象，而极限是微事实上，
积分学研究函数的一种重要工具．极限方法是微积
分学的基本方法．竖群一ｐ０ａ—ａ
对于极限问题的求解，文献中有很多方法，例如ｚｓｉｎ土一ｚ＋ｚ２ｃｏｓ土ＺＳｌｎ一一Ｚ十Ｚ。ＣｏＳ—
利用等价无穷小量替换、高阶无穷小量的性质、极限
存在准则、重要极限、罗必塔法则等，也可以利用导ｚｓｉｎ上＋ｚｚｓｉｎ土一ｚ
．ＺＺ
数的定义、定积分的定义求极限，等等．在上述诸多ｓｉｎ土一１＋ｚｃｏｓ土
方法中，利用等价无穷小量替换求极限是极限求解
过程中比较常用的一种方法．ｓｉｎ土一１＋ｚｓｉｎ土。ＺＺ
文［１］对等价无穷小量替换做了比较深刻的探而上述极限是不存在的．这是因为，若取
论，其中的定理２（即下文的命题１）更是拓广了等价１
无穷小量替换方法的使用范围．ＺＨ
命题ｌ［１］设口～口７，口～∥，则２一’号＋２研
（ｉ）若口与ｐ不等价，则口一口～口７一∥；则当咒一ｏ。时，ｚ。一０，ｚ。≠Ｏ，
（ｉｉ）若口与Ｊ９等价，则口一口与口’一∥未必等价．一ｓｉｎ土一ｌ＋ｚ。ｃｏｓ土墨兰！：
通常的教材一般强调等价无穷小量替换方法只：ｓｉｎ土一１十ｚ。ｓｉｎ上能用于积商运算，上述命题将等价无穷小量替换的Ｚ目ＺＨ
思想拓广到了加减的情形，使得极限求解过程非常
简捷．然而对于下面的例１，命题１显然不成立．璺导嵩一ｏ．若取
例１可以取１
．１Ｚ月２广’・
口２ＺＳＩｎ一’二研ｒ
Ｚ则当＂一ｏｏ时，ｚ。一Ｏ，ｚ。≠Ｏ，
口，：ｚｓｉｎ土＋一ｓｉｎ上，口＝ｚｓｌｎ一十ｚ。ｓｌｎ一＇：ｓｉｎ上一１＋ｚ。ｃｏｓ土墨墨：
卢一ｚ一矗。ｓ三，：ｓｉｎ土一１＋ｚ。ｓｉｎ土
ＺｎＺ“
ｇ—ｚ。
显然当ｚ—ｏ时，口，口７，卢，∥均为无穷小量，且口～口７，磐黼－１．，，罂百ｊ干百２Ｌ
，７
卢～∥，口与卢不等价，但口一Ｊ９与口７一∥也不等价．根据Ｈｅｉｎｅ定理［２］，极限（１）不存在．
现将命题１重新表述为如下定理．
收稿日期：２００９—０９—０３ｌ修改日期；２０１０—１Ｉ—０８．定理ｌ设在某个变化过程中有口～口７，ｐ～∥，基金项目：首都经济贸易大学教改立项资助Ｉ北京市属高等学校人才
强教计划资助项目：中青年骨干人才培养计划资助．且ｌｉｍ要存在或为。。，则
作者简介：刘强（１９７６一）．男，山东潍坊人，博士，副教授，主要从事金ｐ融数据分析研究．Ｅｍａｉｌｌｃｕｅｂｌｉｕｑｉａｎｇ＠１６３．ｃｏ札（ｉ）若口与卢不等价，则口一ｐ。口７一∥；
万方数据
第１４卷第１期高等数学研究Ｖ０１．１４，Ｎｏ．１２０１１年１月ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣ（）ＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＪａｎ．．２０１１
非齐次边界条件泛定方程的代换选择
韩锋，章柏红，刘志刚
（北京防化指挥工程学院基础部，北京１０２２０５）
摘要对具有非齐次边界条件的泛定方程齐次化过程中代换的选择进行研究和探讨．基于一些相关结论和
齐次化的定义得出新的研究成果，即给出对三类非齐次边界条件齐次化都适用的代换Ⅳ（ｚ，ｚ）兰Ａ（ｆ）一＋Ｂ（ｔ）．
关键词非齐次边界条件；非齐次；代换
中图分类号０１７５．２４文献标识码Ａ文章编号１００８－１３９９（２０１１）０ｌ－００２３一０３
随着科技化脚步的加快，人们越加认识到数学一个或几个通用的代换．实际上，不仅
工具的重要之处，在解决实际问题时，常常把一些实Ｗ（ｚ，￡）＝Ａ（￡）ｚ＋Ｂ（￡）
际的问题转化为数学模型，即一些方程的形式．求解这种形式对几种边界条件都适用（但对第二类边界这些方程成为解决问题的关键．尽管现实问题常常条件齐次化，需要在一定条件下），通过迸一步的研较为复杂，转化的方程通常是边界条件菲齐次化的究还发现，
泛定方程．不过，这类方程的求解思想并不复杂，只Ⅳ（ｚ，￡）＝Ａ（￡）ｚ２＋Ｂ（￡）
这种形式对几种边界条件也都适用（但对第一、二类
本文给出三类边界条件齐次化都适用的代换．边界条件齐次化，需要在一定条件下）．
即选用一个适当的未知函数之间的代换，使对新的第一类边界条件齐次化的处理‘１’２］：
未知函数，边界条件是齐次的，并给出这个代换．对
于第一、二、三类非齐次边界条件齐次化，肯定存在ｆ争＿口２妻＋弛凯ｏ＜ｚ＜址＞ｏ；
．｛“Ｉ，。ｏ＝“ｌ（￡），“Ｉ；。ｆ＝“２（￡）；
＾
程解析理论研究．Ｅｍａｍ∽矿如），詈Ｌ。灿）・ｈａｎｆｅｎｇｌ６６１＠１６３．ｃｏｍ．
章柏红（１９６９一），女，湖南长沙人，副教授，从事高等数学此处仅以波动方程为例，显然对于热传导方程
等学科教法研究．也是适用的．我们设法作一代换将边界条件化为齐
《：Ｈｔ＝＇●ｏ●ｏ●－ｏ●ｏ●
（¨）若口与卢等价，则口一卢与口７一∥未必等价．ｌｉｍ删：ｌｉｍ￡二堑；（２）如此以来，文［１］关于其中定理２的证明将不存ｙｙ
在任何问题，且所有例题都是适用的．同理文［１］中（ｉｌ）当口与Ｊ１９等价时，（２）式未必成立．的推论也可重新表述如下．参考文献
推论１设口，口，），是自变量同一变化过程中的［１］李秀敏．壬灵色．等价无穷小代换在求极限过程中的应无穷小量，ａ～口７，口～∥，且ｌｉｍ要存在或为。ｏ，则用［Ｊ］．高等数学研究。２００２，５（３）：３６—３７．
。
ｐ［２］同济大学应用数学系．高等数学：上册［Ｍ］．５版．北京：
（ｉ）当口与．１９不等价时，有高等教育出版社，２００２：３７．
ｏｎＥｑｕｉＶａｌｅｎｔＩｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌｓ
ＬＩＵＱｉａｎｇ，
（ｓｃｈｏｏｌｏｆＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ．ＣａｐｉｔａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＥｃｏｎｏｍｉｃｓａｎｄＢｕｓｉｎｅｓｓ．Ｂｅ订ｉｎｇ１０００７０．ＰＲＣ）
Ａｂｓｔ憎ｃｔ：ＴｈｉｓｐａｐｅｒｄｉｓｃｕｓｓｅｓｅｑｕｉＶａｌｅｎｔｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌｓ．Ａｎｅｘａｍｐｌｅｉｓｓｔｕｄｉｅｄａｎｄａ
ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｏｆａｓｈｏｒｔｆａｌｌｏｆａｔｈｅｏｒｅｍｉｎａｌｉｔｅｒａｔｕｒｅｉｓｐｒｏｖｉｄｅｄ．Ｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ
ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌｓｉｓｅｘｔｅｎｄｅｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｌｉｍｉｔ，ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ，ｅｑｕｉＶａｌｅｎｔ
万方数据需把非齐次边界条件齐次化即可．收稿日期：２００７—１１一０６；修改日期：２０１０一０４—２５．作者简介：韩锋（１９８０一）．女．黑龙江肇东人．讲师．主要从事微分方
关于等价无穷小量
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：刘强， LIU Qiang首都经济贸易大学统计学院,北京,100070高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2011,14(1)
参考文献(2条)
1.同济大学应用数学系 高等数学 2002
2.李秀敏;王灵色 等价无穷小代换在求极限过程中的应用[期刊论文]-高等数学研究 2002(03)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj201101010.aspx