高等数学等价无穷小替换

无穷小极限的简单计算

【教学目的】

1、理解无穷小与无穷大的概念；

2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】

1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较；

3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】

重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。

【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。

【授课内容】

一、无穷小与无穷大

1.定义

前面我们研究了n数列xn的极限、x（x、函数fxx）的极限、xx0（xx0、xx0）函数f(x)的极限这七种趋近方式。下面我们用

x＊表示上述七种的某一种趋近方式，即

＊nxxxxx0



xx0





xx0



定义：当在给定的x＊下，f(x)以零为极限，则称f(x)是x＊下的无穷小，即limfx0。

x＊

例如,limsinx0,函数sinx是当x0时的无穷小.

x0

lim

11

0,函数是当x时的无穷小. xxx

(1)n(1)nlim0,数列是当n时的无穷小. nnn

【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何

非零常量都不是无穷小。

定义：当在给定的x＊下，fx无限增大，则称fx是x＊下的无穷

都是无穷大量， 大，即limfx。显然，n时，n、n2、n3、

x＊

【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷

小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如

x

limex0，limex，

x

所以ex当x时为无穷小，当x时为无穷大。

2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果fx为无穷大， 则

11为无穷小；反之，如果fx为无穷小，且fx0，则为无穷大。 fxfx小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。

3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 limf(x)=A?f(x)

xx0x

A+(x),其中(x)是自变量在同一变化过程

xx0（或x）中的无穷小.

证：（必要性）设limf(x)=A,令(x)=f(x)-A,则有lim(x)=0,

xx0

xx0

f(x)A(x).

（充分性）设f(x)=A+(x),其中(x)是当xx0时的无穷小，则

xx0

limf(x)=lim(A+(x))Alim(x)A.

x

x0

xx0

【意义】

（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);

（2）给出了函数f(x)在x0附近的近似表达式f(x)»A,误差为(x). 3.无穷小的运算性质

定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

11

例如,n时,是无穷小，但n个之和为1不是无穷小.

nn

定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

如：lim(1)n

111

0，limxsin0，limsinx0 nx0xxnx

推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.

推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.

二、无穷小的比较

例如，当x0时,x,x2,sinx,x2sin

x2

0,x2比3x要快得多; limx03x

sinx

1,sinx与x大致相同;

x0x

1x2sin1limsin不存在.不可比. lim2x0x0xx

极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. lim

1

都是无穷小，观察各极限： x

1．定义:设,是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且¹0.



=0,就说是比高阶的无穷小,记作=o(); 

(2)如果limC(C0),就说与是同阶的无穷小;



特殊地如果lim=1,则称与是等价的无穷小，记作~;



(3)如果limk=C(C?0,k0),就说是的k阶的无穷小.



(1)如果lim

例1 证明:当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.

tanx34xtan3x

4lim()4,故当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小证：lim. 4x0x0xx

例2 当x0时,求tanxsinx关于x的阶数. 解lim

x0

tanxsinxtanx1cosx1lim(),tanxsinx为x的三阶无穷小. x0x3xx22

2．常用等价无穷小:当x0时,

（1）sinx～x；（2）arcsinx～x；（3）tanx～x； （4）arctanx～x；（5）ln(1x)～x；（6）ex1～x

x2

（7）1cosx～（8）(1x)1～x（9）ax-1～lna*x

2

用等价无穷小可给出函数的近似表达式:

lim1,lim0,即o(),于是有o().



1

例如sinxxo(x),cosx1x2o(x2).

2

3．等价无穷小替换 定理：设~,~且lim证：lim

存在,则limlim. 



)limlimlimlim. 

2

tan22xex1

.；例3 （1）求lim（2）lim x01cosxx0cosx1

12(2x)2

解: （1）当x0时,1cosx~x,tan2x~2x.故原极限=lim= 8

x012x2

2x2

（2）原极限=lim

x0x2

2

=1

2

例4 求lim

tanxsinx

.

x0sin32x

错解:当x0时,tanx~x,sinx~x.原式lim

xx

=0

x0(2x)3

13x, 2

正解:当x0时,sin2x~2x,tanxsinxtanx(1cosx)~

13x1. 故原极限=lim

x0(2x)316

【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进

行等价无穷小替换。

tan5xcosx1

. 例5 求lim

x0sin3x

1

解:tanx5xo(x),sin3x3xo(x),1cosxx2o(x2).

2

o(x)1o(x2)122

5x5x+o(x)+x+o(x)

5. 原式=limlim

x0x0o(x)3x+o(x)3

3

x

三、极限的简单计算

1. 代入法：直接将xx0的x0代入所求极限的函数中去，若fx0存在，

2x53x42x12

；若fx0不存在，我们也能知道属即为其极限，例如lim

x193x32x4x29

于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，lim就代不进去了，但

x3x3

我们看出了这是一个

型未定式，我们可以用以下的方法来求解。 0

2. 分解因式，消去零因子法

x29

limx36。 例如，lim

x3x3x3

3. 分子（分母）有理化法 例如，lim

x2

x2532x1x

lim

x2

2

53

2x1

2x15

52x15x532

x

53

2

x24lim x22x4lim

x2x2 x22x22

又如，lim

x

x

2

1xlim



1x1x

2

x

0

4. 化无穷大为无穷小法

1

-3x2+x-7例如，lim2=limx2x-x+4x2-+

x

这个无穷大量。由此不难得出

3+

7

2=3，实际上就是分子分母同时除以x22x2

a0

，nmb

a0xma1xm1am0lim0，nm xbxnbxn1b01n，nm



xx2



lim

x

又如，lim

x

1x

1，（分子分母同除x）。 2

x

21

2n5n5n

lim15再如，limn，（分子分母同除）。 nn35nn

315

n

5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限

xarctanx10，例如，lim（无穷小量乘以有界量）。 x3x2x1

4x1

. 又如，求lim2

x1x2x3

解：lim(x22x3)0,商的法则不能用

x1

x22x30

又lim(4x1)30,lim0.

x1x134x1

4x1

.

x1x22x3

再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。

由无穷小与无穷大的关系,得lim

6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5） 7. 分段函数、复合函数求极限

1x,x0

例如，设f(x)2,求limf(x).

x0

x1,x0

解: x0是函数的分段点,两个单侧极限为

x0

limf(x)lim(1x)1,limf(x)lim(x21)1, 

x0

x0

x0

左右极限存在且相等,故limf(x)1.

x0

【启发与讨论】 思考题1：当x?0时,y

11

sin是无界变量吗？是无穷大吗？ xx

解：(1)取x0

12k

2

(k0,1,2,3,)

,当k充分大时,y(x0)M.无界， 21

(2)取x0(k0,1,2,3,)

2k

y(x0)2k



当k充分大时,xk,但y(xk)2ksin2k0M.不是无穷大． 结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.

思考题2：若f(x)0，且limf(x)A，问：能否保证有A0的结论？试举例

x

说明.

111

x0,f(x)0limf(x)limA0.

xxxxx

思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？

1sinx

解：不能．例如当x时f(x),g(x)都是无穷小量

xx

解：不能保证.例f(x)

但lim较.

x

g(x)

limsinx不存在且不为无穷大，故当x时f(x)和g(x)不能比f(x)x

【课堂练习】求下列函数的极限

excosx

（1）lim；

x0x

excosxex11cosx

limlim1 解：原极限=lim

x0x0x0xxx1

（2）求lim

x

0(1cosx)ln(1x)

3sinxx2cos

【分析】“”型，拆项。

1122

3sinxxcos3sinxxcos3

x=limx= 解：原极限=lim

x02x2x2x02x

5x54x43x2

（3）lim；

x2x54x1

【分析】“抓大头法”，用于



型 

5355x55解：原极限=lim=，或原极限=lim5= x22452x2x

xx

（4）lim(x2xx)；

x

【分析】分子有理化 解：原极限=lim

xx2xx

x

=lim

x

1

=

x12

1

x21

) （5）lim(2

x2x4x2

【分析】型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。

x13x2x2x21

lim)=lim解：lim(2== 2x2x2x4x24x2x2x4

（6）lim

x0

x2x93

2

【分析】“子。

”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因0

解：原极限=lim

x0

x2

x

2

93

x2

=6

（7）求lim(

n

12n). n2n2n2

解:n时,是无穷小之和．先变形再求极限.

1

n(n1)12n12n111lim(222)limlim(1). lim22nnnnnnnn2n2n【内容小结】

一、无穷小（大）的概念

无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:

(1) 无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；

（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. （3）无界变量未必是无穷大. 二、无穷小的比较:

1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较。高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。

2.等价无穷小的替换:

求极限的又一种方法, 注意适用条件.

三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;

a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.

无穷小极限的简单计算

【教学目的】

1、理解无穷小与无穷大的概念；

2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】

1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较；

3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】

重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。

【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。

【授课内容】

一、无穷小与无穷大

1.定义

前面我们研究了n数列xn的极限、x（x、函数fxx）的极限、xx0（xx0、xx0）函数f(x)的极限这七种趋近方式。下面我们用

x＊表示上述七种的某一种趋近方式，即

＊nxxxxx0



xx0





xx0



定义：当在给定的x＊下，f(x)以零为极限，则称f(x)是x＊下的无穷小，即limfx0。

x＊

例如,limsinx0,函数sinx是当x0时的无穷小.

x0

lim

11

0,函数是当x时的无穷小. xxx

(1)n(1)nlim0,数列是当n时的无穷小. nnn

【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何

非零常量都不是无穷小。

定义：当在给定的x＊下，fx无限增大，则称fx是x＊下的无穷

都是无穷大量， 大，即limfx。显然，n时，n、n2、n3、

x＊

【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷

小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如

x

limex0，limex，

x

所以ex当x时为无穷小，当x时为无穷大。

2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果fx为无穷大， 则

11为无穷小；反之，如果fx为无穷小，且fx0，则为无穷大。 fxfx小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。

3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 limf(x)=A?f(x)

xx0x

A+(x),其中(x)是自变量在同一变化过程

xx0（或x）中的无穷小.

证：（必要性）设limf(x)=A,令(x)=f(x)-A,则有lim(x)=0,

xx0

xx0

f(x)A(x).

（充分性）设f(x)=A+(x),其中(x)是当xx0时的无穷小，则

xx0

limf(x)=lim(A+(x))Alim(x)A.

x

x0

xx0

【意义】

（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);

（2）给出了函数f(x)在x0附近的近似表达式f(x)»A,误差为(x). 3.无穷小的运算性质

定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

11

例如,n时,是无穷小，但n个之和为1不是无穷小.

nn

定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

如：lim(1)n

111

0，limxsin0，limsinx0 nx0xxnx

推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.

推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.

二、无穷小的比较

例如，当x0时,x,x2,sinx,x2sin

x2

0,x2比3x要快得多; limx03x

sinx

1,sinx与x大致相同;

x0x

1x2sin1limsin不存在.不可比. lim2x0x0xx

极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. lim

1

都是无穷小，观察各极限： x

1．定义:设,是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且¹0.



=0,就说是比高阶的无穷小,记作=o(); 

(2)如果limC(C0),就说与是同阶的无穷小;



特殊地如果lim=1,则称与是等价的无穷小，记作~;



(3)如果limk=C(C?0,k0),就说是的k阶的无穷小.



(1)如果lim

例1 证明:当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.

tanx34xtan3x

4lim()4,故当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小证：lim. 4x0x0xx

例2 当x0时,求tanxsinx关于x的阶数. 解lim

x0

tanxsinxtanx1cosx1lim(),tanxsinx为x的三阶无穷小. x0x3xx22

2．常用等价无穷小:当x0时,

（1）sinx～x；（2）arcsinx～x；（3）tanx～x； （4）arctanx～x；（5）ln(1x)～x；（6）ex1～x

x2

（7）1cosx～（8）(1x)1～x（9）ax-1～lna*x

2

用等价无穷小可给出函数的近似表达式:

lim1,lim0,即o(),于是有o().



1

例如sinxxo(x),cosx1x2o(x2).

2

3．等价无穷小替换 定理：设~,~且lim证：lim

存在,则limlim. 



)limlimlimlim. 

2

tan22xex1

.；例3 （1）求lim（2）lim x01cosxx0cosx1

12(2x)2

解: （1）当x0时,1cosx~x,tan2x~2x.故原极限=lim= 8

x012x2

2x2

（2）原极限=lim

x0x2

2

=1

2

例4 求lim

tanxsinx

.

x0sin32x

错解:当x0时,tanx~x,sinx~x.原式lim

xx

=0

x0(2x)3

13x, 2

正解:当x0时,sin2x~2x,tanxsinxtanx(1cosx)~

13x1. 故原极限=lim

x0(2x)316

【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进

行等价无穷小替换。

tan5xcosx1

. 例5 求lim

x0sin3x

1

解:tanx5xo(x),sin3x3xo(x),1cosxx2o(x2).

2

o(x)1o(x2)122

5x5x+o(x)+x+o(x)

5. 原式=limlim

x0x0o(x)3x+o(x)3

3

x

三、极限的简单计算

1. 代入法：直接将xx0的x0代入所求极限的函数中去，若fx0存在，

2x53x42x12

；若fx0不存在，我们也能知道属即为其极限，例如lim

x193x32x4x29

于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，lim就代不进去了，但

x3x3

我们看出了这是一个

型未定式，我们可以用以下的方法来求解。 0

2. 分解因式，消去零因子法

x29

limx36。 例如，lim

x3x3x3

3. 分子（分母）有理化法 例如，lim

x2

x2532x1x

lim

x2

2

53

2x1

2x15

52x15x532

x

53

2

x24lim x22x4lim

x2x2 x22x22

又如，lim

x

x

2

1xlim



1x1x

2

x

0

4. 化无穷大为无穷小法

1

-3x2+x-7例如，lim2=limx2x-x+4x2-+

x

这个无穷大量。由此不难得出

3+

7

2=3，实际上就是分子分母同时除以x22x2

a0

，nmb

a0xma1xm1am0lim0，nm xbxnbxn1b01n，nm



xx2



lim

x

又如，lim

x

1x

1，（分子分母同除x）。 2

x

21

2n5n5n

lim15再如，limn，（分子分母同除）。 nn35nn

315

n

5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限

xarctanx10，例如，lim（无穷小量乘以有界量）。 x3x2x1

4x1

. 又如，求lim2

x1x2x3

解：lim(x22x3)0,商的法则不能用

x1

x22x30

又lim(4x1)30,lim0.

x1x134x1

4x1

.

x1x22x3

再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。

由无穷小与无穷大的关系,得lim

6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5） 7. 分段函数、复合函数求极限

1x,x0

例如，设f(x)2,求limf(x).

x0

x1,x0

解: x0是函数的分段点,两个单侧极限为

x0

limf(x)lim(1x)1,limf(x)lim(x21)1, 

x0

x0

x0

左右极限存在且相等,故limf(x)1.

x0

【启发与讨论】 思考题1：当x?0时,y

11

sin是无界变量吗？是无穷大吗？ xx

解：(1)取x0

12k

2

(k0,1,2,3,)

,当k充分大时,y(x0)M.无界， 21

(2)取x0(k0,1,2,3,)

2k

y(x0)2k



当k充分大时,xk,但y(xk)2ksin2k0M.不是无穷大． 结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.

思考题2：若f(x)0，且limf(x)A，问：能否保证有A0的结论？试举例

x

说明.

111

x0,f(x)0limf(x)limA0.

xxxxx

思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？

1sinx

解：不能．例如当x时f(x),g(x)都是无穷小量

xx

解：不能保证.例f(x)

但lim较.

x

g(x)

limsinx不存在且不为无穷大，故当x时f(x)和g(x)不能比f(x)x

【课堂练习】求下列函数的极限

excosx

（1）lim；

x0x

excosxex11cosx

limlim1 解：原极限=lim

x0x0x0xxx1

（2）求lim

x

0(1cosx)ln(1x)

3sinxx2cos

【分析】“”型，拆项。

1122

3sinxxcos3sinxxcos3

x=limx= 解：原极限=lim

x02x2x2x02x

5x54x43x2

（3）lim；

x2x54x1

【分析】“抓大头法”，用于



型 

5355x55解：原极限=lim=，或原极限=lim5= x22452x2x

xx

（4）lim(x2xx)；

x

【分析】分子有理化 解：原极限=lim

xx2xx

x

=lim

x

1

=

x12

1

x21

) （5）lim(2

x2x4x2

【分析】型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。

x13x2x2x21

lim)=lim解：lim(2== 2x2x2x4x24x2x2x4

（6）lim

x0

x2x93

2

【分析】“子。

”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因0

解：原极限=lim

x0

x2

x

2

93

x2

=6

（7）求lim(

n

12n). n2n2n2

解:n时,是无穷小之和．先变形再求极限.

1

n(n1)12n12n111lim(222)limlim(1). lim22nnnnnnnn2n2n【内容小结】

一、无穷小（大）的概念

无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:

(1) 无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；

（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. （3）无界变量未必是无穷大. 二、无穷小的比较:

1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较。高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。

2.等价无穷小的替换:

求极限的又一种方法, 注意适用条件.

三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;

a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.