关于无穷积分收敛的判断

课本中关于无穷积分收敛的判断主要是基于定理7与其推论（课本下册p.270）。由这一推论可以看出：推论是根据 x 时无穷小量 fx 相对于

fxd ，当 0d 时，无穷小量 fx 与xx1

x

无穷小量  是同阶无穷小量（即：相对于无穷小量，无穷小量 fx 的阶是

 ），由于例3 （课本下册p.263），相对于无穷小量，无穷小量 fx 的阶 1

limxfxd 等价于 lim

时无穷积分

的阶来判断。因为：x



a

fxdx 收敛，1 时无穷积分



a

fxdx 发散。当然，由于存

在不可比较的无穷小量，这一判断收敛的方法也不是万能的。

习题例解：

例1．判别无穷积分





sin

dx 的敛散性（课本下册p.277：2（5）） 2x

sin

解：由于 lim

x

21 ，相对于无穷小量 1 ，无穷小量 sin1 的阶为2 ，故：1xx2x2

这一无穷积分收敛。

（若直接用推论，判定收敛的理由是 limxsin

x

1 。） 2x

例2．判别无穷积分



0

dxe

的敛散性（课本下册p.277：2（7））

解：由于 lim

x

ex0

（注1），当 x ，无穷小量

1ex

是比无穷小量

1 x2

更高阶的无穷小量，因而无穷积分



0

dxe

收敛。

注1．由洛必达法则（课本上册pp.250-254）有 limx0，故

xe

xelimlimxx1

0 。 xe

关于无穷积分收敛的判断

课本中关于无穷积分收敛的判断主要是基于定理7与其推论（课本下册p.270）。由这一推论可以看出：推论是根据 x 时无穷小量 fx 相对于

fxd ，当 0d 时，无穷小量 fx 与xx1

x

无穷小量  是同阶无穷小量（即：相对于无穷小量，无穷小量 fx 的阶是

 ），由于例3 （课本下册p.263），相对于无穷小量，无穷小量 fx 的阶 1

limxfxd 等价于 lim

时无穷积分

的阶来判断。因为：x



a

fxdx 收敛，1 时无穷积分



a

fxdx 发散。当然，由于存

在不可比较的无穷小量，这一判断收敛的方法也不是万能的。

习题例解：

例1．判别无穷积分





sin

dx 的敛散性（课本下册p.277：2（5）） 2x

sin

解：由于 lim

x

21 ，相对于无穷小量 1 ，无穷小量 sin1 的阶为2 ，故：1xx2x2

这一无穷积分收敛。

（若直接用推论，判定收敛的理由是 limxsin

x

1 。） 2x

例2．判别无穷积分



0

dxe

的敛散性（课本下册p.277：2（7））

解：由于 lim

x

ex0

（注1），当 x ，无穷小量

1ex

是比无穷小量

1 x2

更高阶的无穷小量，因而无穷积分



0

dxe

收敛。

注1．由洛必达法则（课本上册pp.250-254）有 limx0，故

xe

xelimlimxx1

0 。 xe

关于无穷积分收敛的判断

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