微积分讲课提纲
微积分（I） 浙江大学理学院 讲课人：朱静芬 E_mail:[email protected]
第三节 函数极限
一、 函数极限的概念
二、 函数极限的性质 三、 函数极限存在的准则 四、 无穷小量、无穷大量、阶的比较 五、 两个重要极限
一、无穷小
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x 0 ( 或 x X ) 的一切 x , 对应的函数值
f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) ,
那末 称函数 f ( x ) 当 x x 0 ( 或 x )时为无穷小 量,记作
( X )语言表述
0, 0(or X 0) 当 , 0 x x0 ( x X ) 时 ,有 f ( x ) 则 lim f ( x ) 0
x x0 ( x )
x x0
lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0).
x
例如, lim sin x 0,
x 0
函数 sin x是当x 0时的无穷小.
1 函数 是当x 时的无穷小. x
1 lim 0, x x
n ( 1) n ( 1 ) lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
注意: （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数. （3）此概念对数列极限也适用. 若 lim xn 0 ,称
n
数列 x n 为n 的无穷小。
（4）不能说函数 f ( x ) 是无穷小, 应该说在什么
情况下的无穷小. 即指出自变量的变化过程.
（5) 同样有x x0 0, x x0 0, x , x 时无穷小.
有界量与无界量
定义：
o o U ( x ) U ( x0 ) 若存在 x0 的某空心邻域 0 ，使f (x) 在
内有界，则称f (x)当 x x 0 时是有界量。
定义：
o U x 对 0 无论多么小的某空心邻域 ( x0 , )，任给M> 0 ， U o ( x0,,使 存在 x’ |f (x’)|> M，称 f (x) 当 )
x x0时是无界量。
2、无穷小与函数极限的关系:
定理 1
x x0
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ),
其中 ( x ) 是当 x x 0 时的无穷小.
意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题
(无穷小); （2）给出了函数 f ( x ) 在 x0 附近的近似表达
式 f ( x ) A, 误差为 ( x ).
3、无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是 无穷小.
证 设及 是当x 时的两个无穷小,
0, N 1 0, N 2 0, 使得 当 x N 1时恒有 ; 当 x N 2时恒有 ; 2 2 取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有 , 2 2 0 ( x )
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1 例如, n 时, 是无穷小， n 1 但n个 之和为1不是无穷小. n
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 设函数u在U 0 ( x0 , 1 )内有界，
则M 0, 1
0, 使得当0 x x 0 1时 恒有 u M . 又设是当x x0时的无穷小, 0, 2 0, 使得当0 x x 0 2时
恒有 . 取 min{ 1 , 2 }, M
则当 0 x x0 时, 恒有
u u M , M
当x x0时, u 为无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 注意 无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小. sin 2 x 1 例如,(1). lim lim sin 2 x 0. x x x x 1 (2). lim x cos 0. x 0 x arctan x 1 (3). lim lim 2 arctan x 0. 2 x x x x
二、无穷小的比较
1 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x
2 2
sin x sin x与x大致相同 ; lim x0 x 1 2 x sin 1 0 x lim sin 不存在. 不可比. （ 型）lim 2 x0 x0 0 x x
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
观 察 各 极 限
x2 lim x0 3 x
x 2比3 x要快得多;
定义: 设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小, 记作 o( )；
( ２ ) 如果 lim ，就说 是比 低阶的无穷小． ( 3) 如果 lim C 0, 就说 与 是同阶的无穷小; 特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小; 记作 ~ ;
(4) 如果 lim k C 0, k 0, 就说 是 的 k 阶的 无穷小. 记作： o( k ) 例如， x2 2 lim 0， 即 x o( 3 x ) ( x 0). x 0 3 x 当 x 0 时，x 2 是比 3 x 高阶的无穷小;
即 sin x ~ x ( x 0). 当 x 0 时， sin x 与 x 是等价无穷小．
2 9 x lim 6, x3 x 3
sin x lim 1， x 0 x
当x 3时, x2 9与x 3是同阶无穷小
1 例： 证明: 当x 0时, 1 x 1 ~ x n n 1 x 1 ( n 1 x )n 1 证明 lim lim x 0 x 0 1 1 x x[ n (1 x )n1 n (1 x )n 2 1] n n n lim x 0 n (1 x )n1 n (1 x )n 2 1
n
1
1 1 x 1 ~ x ( x 0) n
n
定理 与 是等价无穷小的的充分 必要条件 为 o( ).称 是 的主要部分．
证 必要性
设 ~ ，
lim lim 1 0， o()，即 o()．
充分性
设 o()．
o( ) o( ) lim （１＋ ） 1， lim lim
~ ．
三、无穷大
定义 设函数 f ( x )在 x 0 某一去心邻域内有定义 （或 x 大 于某一正数时有定义） ．如果对于任意给定的正数 M (不 论它多么大),总存在正数 (或正数 X ),使得对于适
合 不等式 0 x x 0 (或 x X )的一切 x ,对应的函数 值 f ( x ) 总满足不等式 f ( x ) M , 则称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时为无穷大,记作
x x0
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x
f ( x )当 x 时的无穷大量 :
M 0, 若 X 0, 当 | x | X 时, 有
| f ( x) | M
成立, 则称 f ( x ) 为 x 时的无穷大量 , 记为
lim f ( x ) 或 f ( x ) ( x ) .
x
换成 f ( x ) M , 则 lim f ( x ) x 称为正无穷大量 .
换成 f ( x ) M , 则 lim f ( x ) x 称为负穷大量.
注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
（2）切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
x x0
1 1 例如, 当x 0时, y sin x x 是一个无界变量, 但不是无穷大.
(1) 取 x k 1 2k 2 ( k 0,1,2,3,)
y
1 1 sin x x
y( x k ) 2k , 2 1 ( 2) 取 x k 2k
当k充分大时, y( x k ) M .
( k 0,1,2,3,)
无界，
当 k 充分大时, x k ,
但 y( x k ) 2k sin 2k 0 M .
不是无穷大．
无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
1 例 证明 lim . x 1 x 1
证 M 0. 要使 1 M , x 1
1 1 只要 x 1 , 取 , M M
1 1 1 . 当0 x 1 时, 就有 M . lim x 1 x 1 M x 1
1 y x 1
定义 : 如果 lim f ( x ) , 则直线x x 0是函数y f ( x )
x x0
的图形的铅直渐近线.
2、无穷大的运算性质
( 1 ) 若 lim f ( x) , 则 lim| f ( x ) | .
(2)在某极限过程中, 无穷大量与有 界量之和仍为无穷大量. (3)在某极限过程中,有限个无穷大量之 积仍是一个无穷大量.
考察
{xn } : 1, 2, 3, 4, , (1)n n, { yn } : 1, 2, 3, 4, , (1)n1 n,
显然, n 时, xn , yn . 此时
{xn yn } : 0, 0, , 0,
不是无穷大量
是无穷大量
{xn yn } : 2, 4, 6, 8,
有界量与无穷大量的乘积 是否一定为无穷大量？
考察
1 当 x ( 不妨设 | x | 1) 时, | g( x ) | 2 1, x
3 f ( x ) x ( x ) , f1 ( x) x ( x ) , 2 1 1 而 f1 ( x ) g( x ) x 2 0 ( x ) . x x 3 1 f 2 ( x ) g ( x ) x 2 x ( x ) . x
无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量.
3、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
证
设 lim f ( x ) .
x x0
0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 1 恒有 f ( x ) , 即 . f ( x) 1 当x x 0时, 为无穷小. f ( x)
反之, 设 lim f ( x )
0, 且 f ( x ) 0.
x x0
M 0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , M
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x)
1 当x x 0时, 为无穷大. f ( x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
1 例 : 求 lim 2 . x 1 x 1
(1 x ) 0. 解: 由于lim x 1
2
1 所以 lim . 2 x 1 (1 x )
1 注意 : 或者可以直接写成 lim , 2 x 1 (1 x ) 1 1 但不能写成lim . 2 x 1 (1 x ) 0
四、两个重要极限
sin x (1) lim 1 x 0 x
证明 设单位圆 O , 圆心角AOB x , (0 x
2
)
C
作单位圆的切线，得ACO .
扇形 OAB的圆心角为 x ,
OAB的高为BD ,
于是有sin x BD, x 弧 AB,
B
o
D A
tan x AC , sin x sin x x tan x , 即 cos x 1, x
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时, 2 2
2 x x x 2 0 cos x 1 1 cos x 2 sin 2 2( ) , 2 2 2 2 x lim 0, lim(1 cos x ) 0, x 0 x 0 2
lim cos x 1, 又 lim 1 1,
x 0
x 0
y
sin x lim 1. x 0 x
X
sin x x
X
推广:
lim
x 0
sin
1
( lim 0 )
tan x 例. 求 lim x
解
tan x sin x 1 sin x 1 lim lim lim lim x 0 x 0 cos x 1 1 1 x 0 x x x 0 x cos x
即 : tan x ~ x (x 0)
1 例.求 lim 2n sin n 3n
1 1 sin 1 lim 3n lim 3n 2 lim 2n sin n 1 n 1 3 n 3n 2n 3n sin
解
2 3
例. 求
arcsin x lim u 1 解. lim u arcsin x u0 sin u x 0 x
例. 求 解.
arcsin x lim x 0 x
即 : arcsin x ~ x ( x 0).
sin 5 x 5 5 sin 5 x 5 x lim lim x 0 sin 3 x x 0 sin 3 x 3 3 3x
2
sin 5 x lim x 0 sin 3 x
x 2 x 2 (sin ) sin 1 cos x 1 1 2 2 例. 求 lim . lim lim 2 x 0 x2 x 0 x 0 2 x x 2 2
1 2 即 : 1 cos x ~ x ( x 0). 2
我们讨论另一个重要极 限 1 x lim(1 ) x x
1 n 定义： lim (1 ) e n n
当 x 1 时,
有 [ x ] x [ x ] 1,
1 [ x] 1 x 1 [ x ] 1 (1 ) (1 ) (1 ) , [ x] 1 x [ x] 1 [ x ]1 1 [ x] 1 而 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e. x x x [ x] [ x] [ x]
1 [ x] lim (1 ) x [ x] 1 1 [ x ]1 1 1 lim (1 ) lim (1 ) e. x x [ x] 1 [ x] 1
1 x lim (1 ) e . x x
令 t x,
1 x 1 t 1 t lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) x t t x t t 1 1 t 1 1 lim (1 ) (1 ) e. t t 1 t 1 1 x 综上所述恒有 lim (1 ) e x x 1 令t , 1 x
1t lim(1 x ) lim(1 ) e. x 0 t t
x
lim (1 x ) e
x 0
1
x
1 x (1 ) . 例： 求 lim x x
1 x 1 解 原式 lim[(1 ) ] lim x x x
1 . e
1 1 x (1 ) x
例 解
3 x 2x 求 lim ( ) . x 2 x
1 x2 2 1 4 原式 lim[(1 ) ] (1 ) e2 . x x2 x2
定理(等价无穷量替换定理) 设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim . 证 lim lim( ) lim lim lim
lim .
意义：在求函数极限时，分子、分母、中的因式可以用它们
的简单的等价量来替换，以便进行化简。但替换以后的函数 极限要存在或为无穷大。
注意：分子、分母中进行加、减的项不能替换，应分解因式，
用因式来替换。
例 解
求
tan 2 x lim x 0 sin 5 x
当x 0时, tan 2 x ~ 2 x , sin 5 x ~ 5 x , tan 2 x 2x 2 lim lim x 0 sin 5 x x 0 5 x 5
例 解
求
sin x lim 3 x 0 x 3 x
sin x x 1 1 lim 3 lim 3 lim 2 x 0 x 3 x x 0 x 3 x x 0 x 3 3
tan 2 2 x 求 lim . 例 x 0 1 cos x 解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x 2 , tan 2 x ~ 2 x . 2
( 2 x )2 原式 lim 8. x 0 1 x2 2
2
1 例： 求 lim x sin x x 1 2 2 1 lim x x sin lim x 解： lim x x x x x
注意
不能滥用等价无穷小代换.
切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对于代数和中各无穷小不能分别代换.
例
tan x sin x 求 lim . 3 x 0 sin 2 x
错 解 当x 0时, tan x ~ x , sin x ~ x .
x x 原式 lim 3 0. x 0 (2 x )
解
当x 0时, sin 2 x ~ 2 x ,
1 3 tan x sin x tan x(1 cos x ) ~ x , 2 1 3 x 1 2 . 原式 lim 3 x 0 ( 2 x ) 16
1 cos(1 cos 2 x ) 例：求 lim . 4 x 0 x
x2 由 1 cos x ~ ( x 0), 得 解： 2
等价无穷小替代
1 cos(1 cos 2 x) (1 cos 2 x) 2 lim lim 4 x0 x0 x 2 x4
(2 x) 2 lim x 0 2x4
2
4 lim (2 x) 2 . x 0 8 x 4
2
连续两次使用等价无穷小替代.
微积分讲课提纲
微积分（I） 浙江大学理学院 讲课人：朱静芬 E_mail:[email protected]
第三节 函数极限
一、 函数极限的概念
二、 函数极限的性质 三、 函数极限存在的准则 四、 无穷小量、无穷大量、阶的比较 五、 两个重要极限
一、无穷小
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x 0 ( 或 x X ) 的一切 x , 对应的函数值
f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) ,
那末 称函数 f ( x ) 当 x x 0 ( 或 x )时为无穷小 量,记作
( X )语言表述
0, 0(or X 0) 当 , 0 x x0 ( x X ) 时 ,有 f ( x ) 则 lim f ( x ) 0
x x0 ( x )
x x0
lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0).
x
例如, lim sin x 0,
x 0
函数 sin x是当x 0时的无穷小.
1 函数 是当x 时的无穷小. x
1 lim 0, x x
n ( 1) n ( 1 ) lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
注意: （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数. （3）此概念对数列极限也适用. 若 lim xn 0 ,称
n
数列 x n 为n 的无穷小。
（4）不能说函数 f ( x ) 是无穷小, 应该说在什么
情况下的无穷小. 即指出自变量的变化过程.
（5) 同样有x x0 0, x x0 0, x , x 时无穷小.
有界量与无界量
定义：
o o U ( x ) U ( x0 ) 若存在 x0 的某空心邻域 0 ，使f (x) 在
内有界，则称f (x)当 x x 0 时是有界量。
定义：
o U x 对 0 无论多么小的某空心邻域 ( x0 , )，任给M> 0 ， U o ( x0,,使 存在 x’ |f (x’)|> M，称 f (x) 当 )
x x0时是无界量。
2、无穷小与函数极限的关系:
定理 1
x x0
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ),
其中 ( x ) 是当 x x 0 时的无穷小.
意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题
(无穷小); （2）给出了函数 f ( x ) 在 x0 附近的近似表达
式 f ( x ) A, 误差为 ( x ).
3、无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是 无穷小.
证 设及 是当x 时的两个无穷小,
0, N 1 0, N 2 0, 使得 当 x N 1时恒有 ; 当 x N 2时恒有 ; 2 2 取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有 , 2 2 0 ( x )
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1 例如, n 时, 是无穷小， n 1 但n个 之和为1不是无穷小. n
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 设函数u在U 0 ( x0 , 1 )内有界，
则M 0, 1
0, 使得当0 x x 0 1时 恒有 u M . 又设是当x x0时的无穷小, 0, 2 0, 使得当0 x x 0 2时
恒有 . 取 min{ 1 , 2 }, M
则当 0 x x0 时, 恒有
u u M , M
当x x0时, u 为无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 注意 无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小. sin 2 x 1 例如,(1). lim lim sin 2 x 0. x x x x 1 (2). lim x cos 0. x 0 x arctan x 1 (3). lim lim 2 arctan x 0. 2 x x x x
二、无穷小的比较
1 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x
2 2
sin x sin x与x大致相同 ; lim x0 x 1 2 x sin 1 0 x lim sin 不存在. 不可比. （ 型）lim 2 x0 x0 0 x x
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
观 察 各 极 限
x2 lim x0 3 x
x 2比3 x要快得多;
定义: 设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小, 记作 o( )；
( ２ ) 如果 lim ，就说 是比 低阶的无穷小． ( 3) 如果 lim C 0, 就说 与 是同阶的无穷小; 特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小; 记作 ~ ;
(4) 如果 lim k C 0, k 0, 就说 是 的 k 阶的 无穷小. 记作： o( k ) 例如， x2 2 lim 0， 即 x o( 3 x ) ( x 0). x 0 3 x 当 x 0 时，x 2 是比 3 x 高阶的无穷小;
即 sin x ~ x ( x 0). 当 x 0 时， sin x 与 x 是等价无穷小．
2 9 x lim 6, x3 x 3
sin x lim 1， x 0 x
当x 3时, x2 9与x 3是同阶无穷小
1 例： 证明: 当x 0时, 1 x 1 ~ x n n 1 x 1 ( n 1 x )n 1 证明 lim lim x 0 x 0 1 1 x x[ n (1 x )n1 n (1 x )n 2 1] n n n lim x 0 n (1 x )n1 n (1 x )n 2 1
n
1
1 1 x 1 ~ x ( x 0) n
n
定理 与 是等价无穷小的的充分 必要条件 为 o( ).称 是 的主要部分．
证 必要性
设 ~ ，
lim lim 1 0， o()，即 o()．
充分性
设 o()．
o( ) o( ) lim （１＋ ） 1， lim lim
~ ．
三、无穷大
定义 设函数 f ( x )在 x 0 某一去心邻域内有定义 （或 x 大 于某一正数时有定义） ．如果对于任意给定的正数 M (不 论它多么大),总存在正数 (或正数 X ),使得对于适
合 不等式 0 x x 0 (或 x X )的一切 x ,对应的函数 值 f ( x ) 总满足不等式 f ( x ) M , 则称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时为无穷大,记作
x x0
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x
f ( x )当 x 时的无穷大量 :
M 0, 若 X 0, 当 | x | X 时, 有
| f ( x) | M
成立, 则称 f ( x ) 为 x 时的无穷大量 , 记为
lim f ( x ) 或 f ( x ) ( x ) .
x
换成 f ( x ) M , 则 lim f ( x ) x 称为正无穷大量 .
换成 f ( x ) M , 则 lim f ( x ) x 称为负穷大量.
注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
（2）切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
x x0
1 1 例如, 当x 0时, y sin x x 是一个无界变量, 但不是无穷大.
(1) 取 x k 1 2k 2 ( k 0,1,2,3,)
y
1 1 sin x x
y( x k ) 2k , 2 1 ( 2) 取 x k 2k
当k充分大时, y( x k ) M .
( k 0,1,2,3,)
无界，
当 k 充分大时, x k ,
但 y( x k ) 2k sin 2k 0 M .
不是无穷大．
无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
1 例 证明 lim . x 1 x 1
证 M 0. 要使 1 M , x 1
1 1 只要 x 1 , 取 , M M
1 1 1 . 当0 x 1 时, 就有 M . lim x 1 x 1 M x 1
1 y x 1
定义 : 如果 lim f ( x ) , 则直线x x 0是函数y f ( x )
x x0
的图形的铅直渐近线.
2、无穷大的运算性质
( 1 ) 若 lim f ( x) , 则 lim| f ( x ) | .
(2)在某极限过程中, 无穷大量与有 界量之和仍为无穷大量. (3)在某极限过程中,有限个无穷大量之 积仍是一个无穷大量.
考察
{xn } : 1, 2, 3, 4, , (1)n n, { yn } : 1, 2, 3, 4, , (1)n1 n,
显然, n 时, xn , yn . 此时
{xn yn } : 0, 0, , 0,
不是无穷大量
是无穷大量
{xn yn } : 2, 4, 6, 8,
有界量与无穷大量的乘积 是否一定为无穷大量？
考察
1 当 x ( 不妨设 | x | 1) 时, | g( x ) | 2 1, x
3 f ( x ) x ( x ) , f1 ( x) x ( x ) , 2 1 1 而 f1 ( x ) g( x ) x 2 0 ( x ) . x x 3 1 f 2 ( x ) g ( x ) x 2 x ( x ) . x
无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量.
3、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
证
设 lim f ( x ) .
x x0
0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 1 恒有 f ( x ) , 即 . f ( x) 1 当x x 0时, 为无穷小. f ( x)
反之, 设 lim f ( x )
0, 且 f ( x ) 0.
x x0
M 0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , M
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x)
1 当x x 0时, 为无穷大. f ( x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
1 例 : 求 lim 2 . x 1 x 1
(1 x ) 0. 解: 由于lim x 1
2
1 所以 lim . 2 x 1 (1 x )
1 注意 : 或者可以直接写成 lim , 2 x 1 (1 x ) 1 1 但不能写成lim . 2 x 1 (1 x ) 0
四、两个重要极限
sin x (1) lim 1 x 0 x
证明 设单位圆 O , 圆心角AOB x , (0 x
2
)
C
作单位圆的切线，得ACO .
扇形 OAB的圆心角为 x ,
OAB的高为BD ,
于是有sin x BD, x 弧 AB,
B
o
D A
tan x AC , sin x sin x x tan x , 即 cos x 1, x
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时, 2 2
2 x x x 2 0 cos x 1 1 cos x 2 sin 2 2( ) , 2 2 2 2 x lim 0, lim(1 cos x ) 0, x 0 x 0 2
lim cos x 1, 又 lim 1 1,
x 0
x 0
y
sin x lim 1. x 0 x
X
sin x x
X
推广:
lim
x 0
sin
1
( lim 0 )
tan x 例. 求 lim x
解
tan x sin x 1 sin x 1 lim lim lim lim x 0 x 0 cos x 1 1 1 x 0 x x x 0 x cos x
即 : tan x ~ x (x 0)
1 例.求 lim 2n sin n 3n
1 1 sin 1 lim 3n lim 3n 2 lim 2n sin n 1 n 1 3 n 3n 2n 3n sin
解
2 3
例. 求
arcsin x lim u 1 解. lim u arcsin x u0 sin u x 0 x
例. 求 解.
arcsin x lim x 0 x
即 : arcsin x ~ x ( x 0).
sin 5 x 5 5 sin 5 x 5 x lim lim x 0 sin 3 x x 0 sin 3 x 3 3 3x
2
sin 5 x lim x 0 sin 3 x
x 2 x 2 (sin ) sin 1 cos x 1 1 2 2 例. 求 lim . lim lim 2 x 0 x2 x 0 x 0 2 x x 2 2
1 2 即 : 1 cos x ~ x ( x 0). 2
我们讨论另一个重要极 限 1 x lim(1 ) x x
1 n 定义： lim (1 ) e n n
当 x 1 时,
有 [ x ] x [ x ] 1,
1 [ x] 1 x 1 [ x ] 1 (1 ) (1 ) (1 ) , [ x] 1 x [ x] 1 [ x ]1 1 [ x] 1 而 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e. x x x [ x] [ x] [ x]
1 [ x] lim (1 ) x [ x] 1 1 [ x ]1 1 1 lim (1 ) lim (1 ) e. x x [ x] 1 [ x] 1
1 x lim (1 ) e . x x
令 t x,
1 x 1 t 1 t lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) x t t x t t 1 1 t 1 1 lim (1 ) (1 ) e. t t 1 t 1 1 x 综上所述恒有 lim (1 ) e x x 1 令t , 1 x
1t lim(1 x ) lim(1 ) e. x 0 t t
x
lim (1 x ) e
x 0
1
x
1 x (1 ) . 例： 求 lim x x
1 x 1 解 原式 lim[(1 ) ] lim x x x
1 . e
1 1 x (1 ) x
例 解
3 x 2x 求 lim ( ) . x 2 x
1 x2 2 1 4 原式 lim[(1 ) ] (1 ) e2 . x x2 x2
定理(等价无穷量替换定理) 设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim . 证 lim lim( ) lim lim lim
lim .
意义：在求函数极限时，分子、分母、中的因式可以用它们
的简单的等价量来替换，以便进行化简。但替换以后的函数 极限要存在或为无穷大。
注意：分子、分母中进行加、减的项不能替换，应分解因式，
用因式来替换。
例 解
求
tan 2 x lim x 0 sin 5 x
当x 0时, tan 2 x ~ 2 x , sin 5 x ~ 5 x , tan 2 x 2x 2 lim lim x 0 sin 5 x x 0 5 x 5
例 解
求
sin x lim 3 x 0 x 3 x
sin x x 1 1 lim 3 lim 3 lim 2 x 0 x 3 x x 0 x 3 x x 0 x 3 3
tan 2 2 x 求 lim . 例 x 0 1 cos x 解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x 2 , tan 2 x ~ 2 x . 2
( 2 x )2 原式 lim 8. x 0 1 x2 2
2
1 例： 求 lim x sin x x 1 2 2 1 lim x x sin lim x 解： lim x x x x x
注意
不能滥用等价无穷小代换.
切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对于代数和中各无穷小不能分别代换.
例
tan x sin x 求 lim . 3 x 0 sin 2 x
错 解 当x 0时, tan x ~ x , sin x ~ x .
x x 原式 lim 3 0. x 0 (2 x )
解
当x 0时, sin 2 x ~ 2 x ,
1 3 tan x sin x tan x(1 cos x ) ~ x , 2 1 3 x 1 2 . 原式 lim 3 x 0 ( 2 x ) 16
1 cos(1 cos 2 x ) 例：求 lim . 4 x 0 x
x2 由 1 cos x ~ ( x 0), 得 解： 2
等价无穷小替代
1 cos(1 cos 2 x) (1 cos 2 x) 2 lim lim 4 x0 x0 x 2 x4
(2 x) 2 lim x 0 2x4
2
4 lim (2 x) 2 . x 0 8 x 4
2
连续两次使用等价无穷小替代.