求值域方法

求函数的值域的常见方法

王远征 深圳市蛇口学校

求函数的值域是高中数学的重点学习内容，其方法灵活多样，针对不同的问题情景，要求解题者，选择合适的方法，切忌思维刻板。本文就已知解析式求函数的值域，这类问题介绍几种常用的方法。

一、 直接法

函数值的集合叫做函数的值域，根据定义，由函数的映射法则和定义域，直接求出函数的值域。

例1． 已知函数yx11，x1,0,1,2，求函数的值域。

2

解：因为x1,0,1,2，而f1f33，f0f20，f11 所以：y1,0,3，

注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该例的定义域为xR，则函数的值域为y|y1。请体会两者的区别。

二、 反函数法

反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。 例2．

求函数y1

x

5

的值域。 2x1

x

分析与解：注意到20，由原函数求出用y表示2的关系式，进而求出值域。 由y1

x

5x

2， 得：x

21

因为20，所以

y4

04y1， 1y

值域为：y|4y1

三、 函数的单调性

例3．求函数yx

1

在区间x0,上的值域。 x

分析与解答：任取x1,x20,，且x1x2，则

fx1fx2

x1x2x1x21，因为0x

x1x2

1

x2，所以：x1x20,x1x20，

当1x1x2时，x1x210，则fx1fx2；

当0x1x21时，x1x210，则fx1fx2；而当x1时，ymin2 于是：函数yx

1

在区间x0,上的值域为[2,)。 x

构造相关函数，利用函数的单调性求值域。 例4：求函数fxxx的值域。

1x0

分析与解答：因为1x1，而x与x在定义域内的单调性

1x0

不一致。现构造相关函数gxxx，易知g(x)在定义域内单调增。

gmaxg12，gming12，gx2，0g2x2，

又f

2

xg2x4，所以：2f2x4，2fx2。

四、 换元法

对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将

原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

例5．求函数y(x5x12)(x5x4)21的值域。

2

2

959

分析与解答：令tx25x4x，则t。

424

2

ytt821t28t21t45，

2

9119

当t时，ymin458，值域为y|y8

416164

例6．求函数yx2x的值域。

2

分析与解答：令tx，则x1t，t0，y1t22tt12

2

2

2

当t0时，tmax10201

所以值域为(,1]。

例7．求函数yxxx223的值域。 分析与解答：由yxxx223=x令x5

2x5，

2

2cos，

2

因为2x5022cos201cos1，[0,]， 则2x5=2sin，

2

于是：y

5

2sin2cos52sin5，[,]，

4444



2

sin1，所以：52y7。 24

五、 配方法

对解析式配方，然后求函数的值域。此法适用于形如Fxaf当要注意fx的值域。

例8．求函数y

2

xbfxc，

2xx23的值域。

(x1)24，于是：

2

分析与解答：因为2xx30，即3x1，y

0(x1)244，0y2。

1x22x4

例9．求函数y在区间x[,4]的值域。

4x

42x22x4

x6， 分析与解答：由y配方得：yx2xxx141

x2时，函数yx2是单调减函数，所以6y18； 4x4

4

当2x4时，函数yx2是单调增函数，所以6y7。

x

11

所以函数在区间x[,4]的值域是6y18。

44

当

2

六、 判别式法

把函数yfx同解变形为关于的一元二次方程，利用0，求原函数的值域，此方法适用与解析式中含有分式和根式。

2x22x3

例10．求函数y的值域。 2

xx1

13

分析与解答：因为xx1x0，原函数变形为：

24

2

2

y2x2y2xy30 （1）

当y2时，求得y3，所以y2。

当y2时，因为xR，所以一元二次方程（1）有实数根。则：

0，即：y24y2y302y

2

10

3

所以2y

10， 3

七、 基本不等式法

利用重要不等式ab2ab，a,bR求出函数的最值而得出值域的方法。此法的题形特征是：当解析式是和式时，要求积是定值；当解析式是积式时，要求和是定值；为此解答时，常需要对解析式进行恒等变形，具体讲要根据问题本身的特点进行拆项、添项；平方等恒等变形。



x230x

例11．求函数y的值域。

x2

x230x6464

x3234[x2] 分析与解答：y

x2x2x2

因为分母不为0，即x2，所以： 当x2时，x2取等号，ymax18； 当x2时，x2(当且仅当(x2)

64

2x2

x2

6464

,x6时，16，当且仅当x2

x2x2

6464

)2x2()16， x2x2

64

,x6时，取等号，ymin50； x2

值域y(,18][50,)

注意：利用重要不等式时，要求fx0,且等号要成立。

八、 数形结合法

当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。 例12．如例4求函数yxx的值域。

22

分析与解答：令ux，vx，则u0,v0，uv2，uvy， 22

原问题转化为 ：当直线uvy与圆uv2在直角坐标系uov的第一象限有公

共点时，求直线的截距的取值范围。

由图1知：当uvy经过点(0,2)时，ymin当直线与圆相切时，ymaxOD所以：值域为2y2

2；

2OC

2

2

2。

求函数的值域的常见方法

王远征 深圳市蛇口学校

求函数的值域是高中数学的重点学习内容，其方法灵活多样，针对不同的问题情景，要求解题者，选择合适的方法，切忌思维刻板。本文就已知解析式求函数的值域，这类问题介绍几种常用的方法。

一、 直接法

函数值的集合叫做函数的值域，根据定义，由函数的映射法则和定义域，直接求出函数的值域。

例1． 已知函数yx11，x1,0,1,2，求函数的值域。

2

解：因为x1,0,1,2，而f1f33，f0f20，f11 所以：y1,0,3，

注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该例的定义域为xR，则函数的值域为y|y1。请体会两者的区别。

二、 反函数法

反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。 例2．

求函数y1

x

5

的值域。 2x1

x

分析与解：注意到20，由原函数求出用y表示2的关系式，进而求出值域。 由y1

x

5x

2， 得：x

21

因为20，所以

y4

04y1， 1y

值域为：y|4y1

三、 函数的单调性

例3．求函数yx

1

在区间x0,上的值域。 x

分析与解答：任取x1,x20,，且x1x2，则

fx1fx2

x1x2x1x21，因为0x

x1x2

1

x2，所以：x1x20,x1x20，

当1x1x2时，x1x210，则fx1fx2；

当0x1x21时，x1x210，则fx1fx2；而当x1时，ymin2 于是：函数yx

1

在区间x0,上的值域为[2,)。 x

构造相关函数，利用函数的单调性求值域。 例4：求函数fxxx的值域。

1x0

分析与解答：因为1x1，而x与x在定义域内的单调性

1x0

不一致。现构造相关函数gxxx，易知g(x)在定义域内单调增。

gmaxg12，gming12，gx2，0g2x2，

又f

2

xg2x4，所以：2f2x4，2fx2。

四、 换元法

对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将

原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

例5．求函数y(x5x12)(x5x4)21的值域。

2

2

959

分析与解答：令tx25x4x，则t。

424

2

ytt821t28t21t45，

2

9119

当t时，ymin458，值域为y|y8

416164

例6．求函数yx2x的值域。

2

分析与解答：令tx，则x1t，t0，y1t22tt12

2

2

2

当t0时，tmax10201

所以值域为(,1]。

例7．求函数yxxx223的值域。 分析与解答：由yxxx223=x令x5

2x5，

2

2cos，

2

因为2x5022cos201cos1，[0,]， 则2x5=2sin，

2

于是：y

5

2sin2cos52sin5，[,]，

4444



2

sin1，所以：52y7。 24

五、 配方法

对解析式配方，然后求函数的值域。此法适用于形如Fxaf当要注意fx的值域。

例8．求函数y

2

xbfxc，

2xx23的值域。

(x1)24，于是：

2

分析与解答：因为2xx30，即3x1，y

0(x1)244，0y2。

1x22x4

例9．求函数y在区间x[,4]的值域。

4x

42x22x4

x6， 分析与解答：由y配方得：yx2xxx141

x2时，函数yx2是单调减函数，所以6y18； 4x4

4

当2x4时，函数yx2是单调增函数，所以6y7。

x

11

所以函数在区间x[,4]的值域是6y18。

44

当

2

六、 判别式法

把函数yfx同解变形为关于的一元二次方程，利用0，求原函数的值域，此方法适用与解析式中含有分式和根式。

2x22x3

例10．求函数y的值域。 2

xx1

13

分析与解答：因为xx1x0，原函数变形为：

24

2

2

y2x2y2xy30 （1）

当y2时，求得y3，所以y2。

当y2时，因为xR，所以一元二次方程（1）有实数根。则：

0，即：y24y2y302y

2

10

3

所以2y

10， 3

七、 基本不等式法

利用重要不等式ab2ab，a,bR求出函数的最值而得出值域的方法。此法的题形特征是：当解析式是和式时，要求积是定值；当解析式是积式时，要求和是定值；为此解答时，常需要对解析式进行恒等变形，具体讲要根据问题本身的特点进行拆项、添项；平方等恒等变形。



x230x

例11．求函数y的值域。

x2

x230x6464

x3234[x2] 分析与解答：y

x2x2x2

因为分母不为0，即x2，所以： 当x2时，x2取等号，ymax18； 当x2时，x2(当且仅当(x2)

64

2x2

x2

6464

,x6时，16，当且仅当x2

x2x2

6464

)2x2()16， x2x2

64

,x6时，取等号，ymin50； x2

值域y(,18][50,)

注意：利用重要不等式时，要求fx0,且等号要成立。

八、 数形结合法

当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。 例12．如例4求函数yxx的值域。

22

分析与解答：令ux，vx，则u0,v0，uv2，uvy， 22

原问题转化为 ：当直线uvy与圆uv2在直角坐标系uov的第一象限有公

共点时，求直线的截距的取值范围。

由图1知：当uvy经过点(0,2)时，ymin当直线与圆相切时，ymaxOD所以：值域为2y2

2；

2OC

2

2

2。