求函数值域----liy
求常见函数值域及其最值方法总结
1 直接法/观察法 有一些代数式的取值很明显，通过通过这些特殊的代数式的取值，可以直接看出整个函数解析式的值域： 例1：求函数y=√(2－3x) 的值域 例2：求函数y=3+√(2－3x) 的值域
例3：求函数y=x2+5 例4：y=︱x-2︱+10
提醒：要注意根号、平方、绝对值内的取值范围，切勿记忆成：“见到根号、平方、绝对值，值域就是≥0”
例5：求函数y=√(16－x 2) 的值域
2 利用常见函数性质求值域 最主要的是掌握基本函数图像的走势, 再根据”函数自变量取值范围”, 结合函数单调性, 求值域 1/一次函数y=ax+b(a≠0) 的定义域为R ，值域为R ；
k
2/反比例函数y =(k ≠0) 的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}；
x
3/二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 的定义域为R ，当a>0时，值域为{y |y ≥例1 求下列函数的值域 ①
y=3x+2(-1≤x ≤1) ②
(4ac -b 2) }；当a
y |y ≤
4a 4a
12
③ y =x +（记住图像） f (x ) =-1≤x ≤3）
x 3x
二次函数在区间上的值域(最值) ：
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ⒈ y =x 2-4x +1； ⒉
注：计算二次函数值域过程：
1/画图------判断函数开口方向, 顶点坐标, 确定”人为定义域”在图像中的位置 2/分析”人为定义域”内, 函数的增减性
练习： 1、求函数
y =x 2-4x +1, x ∈[3, 4] ⒊y =x 2-4x +1, x ∈[0, 1]； ⒋y =x 2-4x +1, x ∈[0, 5]；
y =x 2-2x +5, x ∈[0, 5] 的值域
-x 2+2x
求函数值域----liy
补充：利用函数单调性求复合函数的值域 （提醒学生对复合函数定义的理解）
例 求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。 求函数
⎛1⎫y = ⎪⎝3⎭
的值域 练习：求函数
y =
5
的值域
2x 2-4x +3
3 换元法
要点：（1）函数解析式中含有1个根式， （2）最高次数相同
例4 求函数y =x +2-x 的值域
解析：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现
换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
练习：1、求函数y=√x-1 –x 的值域。 2、求函数
y =9x -3x +2(x ∈[0, 1]) 的值域
5 平方开方法
要点：（1）有两个根式相加，（2）跟号内的自变量x 的系数互为相反数
例5 求函数
思考：（1）
y =x -3+5-x 的值域
y =x -3+x -5的值域的求法？ （2）y =x +1-x -1
6 绝对值函数值域求法
例7 求
y =x -3-x + 的值域
7 分离常数法
ax +b ⎧a ⎫
(c ≠0) ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为⎨y y ≠⎬；如果是条件
cx +d c ⎭⎩
ad b -a c (ad ≠bc ) ，用复合函数法来求值域。
定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为y =+
c cx +d
x -1x 2+2x +2
(-2≤x ≤2) 的值域 练习 1、求函数y = 的值域 2、求函数y =
x +2x +1
已知分式函数
y =
求函数值域----liy
8 双钩函数值域求法
例15 函数
y =x +
1
+1的值域 x
9 综合(求函数值域的逆向思维问题
)
变式:
练习：
1 、
3 、求函数的值域 ① y
求函数值域----liy
y =x 2+
51
y =+9(x ≠0) ； 2 、
2x 2-4x +3x 2
=x +2-x ； ②y =2-4x -x 2
4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
5、求函数
y =2x +4的值域
求：
求：
注意：从多个关系中发掘自变量的取值范围
求函数值域----liy
求常见函数值域及其最值方法总结
1 直接法/观察法 有一些代数式的取值很明显，通过通过这些特殊的代数式的取值，可以直接看出整个函数解析式的值域： 例1：求函数y=√(2－3x) 的值域 例2：求函数y=3+√(2－3x) 的值域
例3：求函数y=x2+5 例4：y=︱x-2︱+10
提醒：要注意根号、平方、绝对值内的取值范围，切勿记忆成：“见到根号、平方、绝对值，值域就是≥0”
例5：求函数y=√(16－x 2) 的值域
2 利用常见函数性质求值域 最主要的是掌握基本函数图像的走势, 再根据”函数自变量取值范围”, 结合函数单调性, 求值域 1/一次函数y=ax+b(a≠0) 的定义域为R ，值域为R ；
k
2/反比例函数y =(k ≠0) 的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}；
x
3/二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 的定义域为R ，当a>0时，值域为{y |y ≥例1 求下列函数的值域 ①
y=3x+2(-1≤x ≤1) ②
(4ac -b 2) }；当a
y |y ≤
4a 4a
12
③ y =x +（记住图像） f (x ) =-1≤x ≤3）
x 3x
二次函数在区间上的值域(最值) ：
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ⒈ y =x 2-4x +1； ⒉
注：计算二次函数值域过程：
1/画图------判断函数开口方向, 顶点坐标, 确定”人为定义域”在图像中的位置 2/分析”人为定义域”内, 函数的增减性
练习： 1、求函数
y =x 2-4x +1, x ∈[3, 4] ⒊y =x 2-4x +1, x ∈[0, 1]； ⒋y =x 2-4x +1, x ∈[0, 5]；
y =x 2-2x +5, x ∈[0, 5] 的值域
-x 2+2x
求函数值域----liy
补充：利用函数单调性求复合函数的值域 （提醒学生对复合函数定义的理解）
例 求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。 求函数
⎛1⎫y = ⎪⎝3⎭
的值域 练习：求函数
y =
5
的值域
2x 2-4x +3
3 换元法
要点：（1）函数解析式中含有1个根式， （2）最高次数相同
例4 求函数y =x +2-x 的值域
解析：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现
换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
练习：1、求函数y=√x-1 –x 的值域。 2、求函数
y =9x -3x +2(x ∈[0, 1]) 的值域
5 平方开方法
要点：（1）有两个根式相加，（2）跟号内的自变量x 的系数互为相反数
例5 求函数
思考：（1）
y =x -3+5-x 的值域
y =x -3+x -5的值域的求法？ （2）y =x +1-x -1
6 绝对值函数值域求法
例7 求
y =x -3-x + 的值域
7 分离常数法
ax +b ⎧a ⎫
(c ≠0) ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为⎨y y ≠⎬；如果是条件
cx +d c ⎭⎩
ad b -a c (ad ≠bc ) ，用复合函数法来求值域。
定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为y =+
c cx +d
x -1x 2+2x +2
(-2≤x ≤2) 的值域 练习 1、求函数y = 的值域 2、求函数y =
x +2x +1
已知分式函数
y =
求函数值域----liy
8 双钩函数值域求法
例15 函数
y =x +
1
+1的值域 x
9 综合(求函数值域的逆向思维问题
)
变式:
练习：
1 、
3 、求函数的值域 ① y
求函数值域----liy
y =x 2+
51
y =+9(x ≠0) ； 2 、
2x 2-4x +3x 2
=x +2-x ； ②y =2-4x -x 2
4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
5、求函数
y =2x +4的值域
求：
求：
注意：从多个关系中发掘自变量的取值范围