求值域的方法 1

函数值域的求解

函数值域的求法主要有以下10种方法：

（1） 观察法：根据各种非负数的特点及函数的图像、性质、简单的计算、推理，

评观察能直接得到一些简单的复合函数的值域.

（2） 配方法：对于形如yax2bxca0的值域问题可充分利用二次函数可配

方的特点，结合二次函数的定义域求出函数的值域.

（3） 几何法：根据所给数学式子的特征，构造合适的集合模型.

（4） 均值不等式法.

（5） 换

元法：分为三角换元法与整体换元法，对于形如yaxb问题可通过换元将原问题转化为二次型.

（6） 分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简

化而便于分析.

（7） 判别式法：把函数解析式化为关于x的一元二次方程，利用一元二次方程

ax2bxc的跟的判别式求值域.

一般地，形如yAxy2的dxexf函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围须为实数集R）.

（8） 单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.

对于形如y

yaxbac0时可利用单调性法.

（9） 有界限法：利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出

现反解出y的表达式的过程，故我们又常称此种方法为“反解有界性法”.

（10）导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.

一、观察法

例题1

求函数y1的值域.

解析：

0，所以函数的值域为1,.

x2变式1 函数y2xR的值域是________. x1

二、配方法

例题1

求函数y.

解析：

y

0,3. 变式1 求函数fx

1的值域. 1x1x三、几何法

例题1

求函数y.

解析：

y

Px,1到两个定点A1,0和B1,0的距离的和，作点B1,0关于直线y1的对称点B'1,2，连接B'A交y1于点P'0,1， 此时AB'的长即为PA与PB的长之和的最小值，点P'0,1到A、

B两点的距离之和为

故函数的值域为. 

变式1 求函数ysinx的值域. 2cosx

变式2 （2008年重庆，10）函数f

x

A. 20x2的值域是（ ） C.

D. B.1,0

变式3 函数f

x的值域是（ ）

66A. 55

2 C.

63B. 55D. 

四、均值不等式法

5x24x5例题1 已知x，求函数fx的值域. 22x4

解析：令t2x41,，则xt4， 2

t4t4452t4t1t1221 f

t（当且仅当，即t2时取等号） 4tt4t4t 故函数fx的值域为1,.

xx3变式1 求函数y的值域. 422x2x1

五、换元法

例题1 若函数yfx的值域是，求函数Fxfx的值域. ,32fx

111解析：令tfx,t,3，易得gtt在,1上单调递减，在1,3上单调递增. t2211

101510又gg3，且g12.故Fx的值域为2,. 3223

变式1

求函数yx.

x44x37x226x106变式2 当x1,1时，求函数fx的值域. 2x2x7

六、分离常数法

例题1 求y3x5

x1的值域. 解析：y3x5

x13x12

x132

x1，因为x10，

变式1 求y3x5

x1(x2)的值域.

变式2 求函数yx25x6

x2x6的值域.

变式3 求y2ex1

ex2的值域. y3. 

七、判别式法

x2x1例题1 求函数y2的值域. xx1

13解析：因为xx1x0恒成立，所以函数的定义域为R， 2422

原式可化为yx2x1x2x1，整理得y1x2y1xy10. 若y1，即2x0，则x0；

若y1，因为xR，即有0，y14y10， 11解得y3且y1.综上所述，函数的值域是y|y3. 3322

八、单调性法

例题1

求函数y.

解析：yx10，由，得x1.



x10

因此0y

所以函数y

. 变式1 函数f

x的值域是__________. 变式2

求函数y.

九、有界性法

2x2例题1 求函数y2xR的值域. x2

2x242x24解析：y2，由xR，可知x222，故 222x2x2x22

042，因此所求函数的值域为0,2. 2x2

2ex变式1 已知函数yxx0,1，求函数的值域. e2

变式2 已知函数fxex1,gxx24x3，若有fagb，则b的取值范围为（ ）

A.22

B.2 C.1,3 D.1,3 例题2 已知0x，求函数y

解析：令t

2cosx的值域. sinx2cosx，则tsinx2

cosx，得tsinxcosx2x2， sinx故sin

x

1，得t

t.

2cosx的值域为. sinx又x0,，则t

0，故t因此函数y



变式1 已知x0,2，求函数y

1sinx的值域. 2cosx

十、导数法

例题1 求函数fx12xx3x3,3的值域. 解析：由f'x123x20，得x12,x22.

fx的最大值fxmaxmaxf3,f216；

fx的最小值fxminminf2,f316，故fx的值域为16,16.

变式1 若函数yx3bx2cx在区间,0及2,上都是曾函数，而在0,2上是减函数，求此函数在1,4上的值域.

函数值域的求解

函数值域的求法主要有以下10种方法：

（1） 观察法：根据各种非负数的特点及函数的图像、性质、简单的计算、推理，

评观察能直接得到一些简单的复合函数的值域.

（2） 配方法：对于形如yax2bxca0的值域问题可充分利用二次函数可配

方的特点，结合二次函数的定义域求出函数的值域.

（3） 几何法：根据所给数学式子的特征，构造合适的集合模型.

（4） 均值不等式法.

（5） 换

元法：分为三角换元法与整体换元法，对于形如yaxb问题可通过换元将原问题转化为二次型.

（6） 分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简

化而便于分析.

（7） 判别式法：把函数解析式化为关于x的一元二次方程，利用一元二次方程

ax2bxc的跟的判别式求值域.

一般地，形如yAxy2的dxexf函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围须为实数集R）.

（8） 单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.

对于形如y

yaxbac0时可利用单调性法.

（9） 有界限法：利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出

现反解出y的表达式的过程，故我们又常称此种方法为“反解有界性法”.

（10）导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.

一、观察法

例题1

求函数y1的值域.

解析：

0，所以函数的值域为1,.

x2变式1 函数y2xR的值域是________. x1

二、配方法

例题1

求函数y.

解析：

y

0,3. 变式1 求函数fx

1的值域. 1x1x三、几何法

例题1

求函数y.

解析：

y

Px,1到两个定点A1,0和B1,0的距离的和，作点B1,0关于直线y1的对称点B'1,2，连接B'A交y1于点P'0,1， 此时AB'的长即为PA与PB的长之和的最小值，点P'0,1到A、

B两点的距离之和为

故函数的值域为. 

变式1 求函数ysinx的值域. 2cosx

变式2 （2008年重庆，10）函数f

x

A. 20x2的值域是（ ） C.

D. B.1,0

变式3 函数f

x的值域是（ ）

66A. 55

2 C.

63B. 55D. 

四、均值不等式法

5x24x5例题1 已知x，求函数fx的值域. 22x4

解析：令t2x41,，则xt4， 2

t4t4452t4t1t1221 f

t（当且仅当，即t2时取等号） 4tt4t4t 故函数fx的值域为1,.

xx3变式1 求函数y的值域. 422x2x1

五、换元法

例题1 若函数yfx的值域是，求函数Fxfx的值域. ,32fx

111解析：令tfx,t,3，易得gtt在,1上单调递减，在1,3上单调递增. t2211

101510又gg3，且g12.故Fx的值域为2,. 3223

变式1

求函数yx.

x44x37x226x106变式2 当x1,1时，求函数fx的值域. 2x2x7

六、分离常数法

例题1 求y3x5

x1的值域. 解析：y3x5

x13x12

x132

x1，因为x10，

变式1 求y3x5

x1(x2)的值域.

变式2 求函数yx25x6

x2x6的值域.

变式3 求y2ex1

ex2的值域. y3. 

七、判别式法

x2x1例题1 求函数y2的值域. xx1

13解析：因为xx1x0恒成立，所以函数的定义域为R， 2422

原式可化为yx2x1x2x1，整理得y1x2y1xy10. 若y1，即2x0，则x0；

若y1，因为xR，即有0，y14y10， 11解得y3且y1.综上所述，函数的值域是y|y3. 3322

八、单调性法

例题1

求函数y.

解析：yx10，由，得x1.



x10

因此0y

所以函数y

. 变式1 函数f

x的值域是__________. 变式2

求函数y.

九、有界性法

2x2例题1 求函数y2xR的值域. x2

2x242x24解析：y2，由xR，可知x222，故 222x2x2x22

042，因此所求函数的值域为0,2. 2x2

2ex变式1 已知函数yxx0,1，求函数的值域. e2

变式2 已知函数fxex1,gxx24x3，若有fagb，则b的取值范围为（ ）

A.22

B.2 C.1,3 D.1,3 例题2 已知0x，求函数y

解析：令t

2cosx的值域. sinx2cosx，则tsinx2

cosx，得tsinxcosx2x2， sinx故sin

x

1，得t

t.

2cosx的值域为. sinx又x0,，则t

0，故t因此函数y



变式1 已知x0,2，求函数y

1sinx的值域. 2cosx

十、导数法

例题1 求函数fx12xx3x3,3的值域. 解析：由f'x123x20，得x12,x22.

fx的最大值fxmaxmaxf3,f216；

fx的最小值fxminminf2,f316，故fx的值域为16,16.

变式1 若函数yx3bx2cx在区间,0及2,上都是曾函数，而在0,2上是减函数，求此函数在1,4上的值域.