函数值域的求法

函数值域的求法

函数的值域是重点，也是难点，没有统一的求解方法，要根据所给函数关系解析式的结构特点，选择恰当的方法，常用的方法有：观察法、配方法、换元法、单调性法、判别式法、图象法等。下面通过几个例子介绍几种常用方法。

例1 求下列函数的值域： ⑴yx1；⑵y54xx2；⑶y2x4x；⑷y2x34x；⑸3x23x1y2；⑹y|x1||x2|。 xx1

⑴思路分析：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出待求函数的值域。

解:∵x0,x11 ∴yx1的值域为[1,].

规律技巧总结:观察法:将函数分解成几个常见的函数,然后利用这些熟知的函数的值域来求原函数的值域的方法,叫观察法.

⑵思路分析:这是一道被开方数是二次函数的复合函数题,可用配方法,结合二次函数的图象或单调性来求解

解:y54xx2(x2)29,

显然,y254xx2的最大值是9,故函数y54xx2的最大值是3,且y0. ∴函数y54xx2的值域是[0,3].

规律技巧总结:配方法:这是求二次函数类值域问题的最基本的方法.一般地,形如F(x)a[f(x)]2bf(x)c的函数的值域问题,均可考虑用配方法.

⑶思路分析:对于此类含有二次根式的函数值域问题,一般采用换元法,将其转换为二次函数,结合图象求解.

解:设变量tx,于是t0,x1t2.所以y2(1t2)4t2(t1)244. 于是所求函数的值域是yy4.

规律技巧总结(1)利用变量代换把本来比较难处理的问题化成简单的二次函数问题,从而将复杂的函数求值域问题转化为简单函数的值域问题.

(2)换元法:运用代换,将所给函数转化成值域容易确定的函数,从而求得原函数的值域.一般地,形如yaxbd(a,b,c,d均为常数,且ac0)的函数常用此法求值域.用此法求值域要特别注意换元后中间变量的取值范围.

⑷思路分析:这小题可以和题(3)一样,采用换元法,也可以通过观察函数的特点,发现这是一个单调递增函数,进而可根据其定义域求其值域.

13t2

,代入原函数式整理后,解法1:(换元法)令t4x,则t134x(t0),于是x42

1777得yt2t(注意t0).利用二次函数图象可求得y.所以原函数的值域是(, 2222解法2:(单调性法)由134x0得函数的定义域为(,

定义域上为增函数,所以y2

7故函数的值域为(, 213),又因为y2x34x在41313734 442

规律技巧总结:确定函数在定义域(或某个定义域的子集上)的单调性,然后利用函数单调性来求函数的值域,这种方法称为单调性法.注意(3)、(4)题的异同点,由于(3)题无法确定其单调性,故不适合用单调性来求值域.

3x23x1⑸思路分析1:可以把函数y2变形为y(x2x1)3x23x1,整理为关于xxx1

的方程:(y3)x2(y3)xy10然后根据方程有实根去求y的取值范围,即函数的值域.

3x23x1解法1:由y2可知,对，分母x2x1恒不为零,则原式可变形为 xx1

(x2x1)y3x23x1,整理成关于x的方程得(y3)x2(y3)xy10.

y3(若y3,则3x23x13x23x313,显然不成立).

△(y3)24(y3)(y1)(y3)(y34y4)(y3)(3y1)0 解得1y3 3

13x23x1∴函数y2的值域为[，3）. 3xx1

规律技巧总结:判别式法求解问题的思路是利用二次方程ax2bxc0(a0)有实根的充要条件b24ac0.但应注意到原函数的定义域、值域是否统一，以及二次方程系数a0的情形.

判别式法:把函数数转化成关于x的二次方程F(x,y)0,方程有实根,利用判别式大于等

a1x2b1xc1于0,求得原函数的值域.形如y(a1,a2不同时为0）的函数常用此法求值域. a2x2b2xc2

思路分析2:这小题是一道分式函数题,分子、分母均有变量，难以确定其变化变化情况，23x23x1,然后根据函数yx2x1可以通过分子常数化，即把y2化为y32xx1xx1

的值域来求原函数的值域.

3x23x13x23x3223. 解法2:y222xx1xx1xx1

13314. 因为x2x1(x)2,所以02244xx13

128220,所以323. 3xx13xx1

1故函数的值域为[，3）. 3

cxd(a0))的值域.可通过对分式函数的分子进行规律技巧总结:求分式函数(如yaxb

分离,使其常数化,然后利用分母的值域来确定原函数的值域,这种方法称为分离常数法.

(6)思路分析:通过对绝对值内部符号的讨论.将含绝对值符号的解析式转化为不含绝对值号的解析式,画出图象,求出值域.

解:将原函数的解析式中的绝对值符号去掉,化为分段函数.

2x1(x1)f(x)3(1x2)

2x1(x2)

它的图象如图所示,显然,函数值y3.所以函数的值域为y3.所以函数的值域为 3,)

点拨:通过对绝对值内部符合的讨论,将含绝对值符合的解析式转化为不含绝对值符合的解析式,然后画图,求出值域.

函数值域的求法

函数的值域是重点，也是难点，没有统一的求解方法，要根据所给函数关系解析式的结构特点，选择恰当的方法，常用的方法有：观察法、配方法、换元法、单调性法、判别式法、图象法等。下面通过几个例子介绍几种常用方法。

例1 求下列函数的值域： ⑴yx1；⑵y54xx2；⑶y2x4x；⑷y2x34x；⑸3x23x1y2；⑹y|x1||x2|。 xx1

⑴思路分析：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出待求函数的值域。

解:∵x0,x11 ∴yx1的值域为[1,].

规律技巧总结:观察法:将函数分解成几个常见的函数,然后利用这些熟知的函数的值域来求原函数的值域的方法,叫观察法.

⑵思路分析:这是一道被开方数是二次函数的复合函数题,可用配方法,结合二次函数的图象或单调性来求解

解:y54xx2(x2)29,

显然,y254xx2的最大值是9,故函数y54xx2的最大值是3,且y0. ∴函数y54xx2的值域是[0,3].

规律技巧总结:配方法:这是求二次函数类值域问题的最基本的方法.一般地,形如F(x)a[f(x)]2bf(x)c的函数的值域问题,均可考虑用配方法.

⑶思路分析:对于此类含有二次根式的函数值域问题,一般采用换元法,将其转换为二次函数,结合图象求解.

解:设变量tx,于是t0,x1t2.所以y2(1t2)4t2(t1)244. 于是所求函数的值域是yy4.

规律技巧总结(1)利用变量代换把本来比较难处理的问题化成简单的二次函数问题,从而将复杂的函数求值域问题转化为简单函数的值域问题.

(2)换元法:运用代换,将所给函数转化成值域容易确定的函数,从而求得原函数的值域.一般地,形如yaxbd(a,b,c,d均为常数,且ac0)的函数常用此法求值域.用此法求值域要特别注意换元后中间变量的取值范围.

⑷思路分析:这小题可以和题(3)一样,采用换元法,也可以通过观察函数的特点,发现这是一个单调递增函数,进而可根据其定义域求其值域.

13t2

,代入原函数式整理后,解法1:(换元法)令t4x,则t134x(t0),于是x42

1777得yt2t(注意t0).利用二次函数图象可求得y.所以原函数的值域是(, 2222解法2:(单调性法)由134x0得函数的定义域为(,

定义域上为增函数,所以y2

7故函数的值域为(, 213),又因为y2x34x在41313734 442

规律技巧总结:确定函数在定义域(或某个定义域的子集上)的单调性,然后利用函数单调性来求函数的值域,这种方法称为单调性法.注意(3)、(4)题的异同点,由于(3)题无法确定其单调性,故不适合用单调性来求值域.

3x23x1⑸思路分析1:可以把函数y2变形为y(x2x1)3x23x1,整理为关于xxx1

的方程:(y3)x2(y3)xy10然后根据方程有实根去求y的取值范围,即函数的值域.

3x23x1解法1:由y2可知,对，分母x2x1恒不为零,则原式可变形为 xx1

(x2x1)y3x23x1,整理成关于x的方程得(y3)x2(y3)xy10.

y3(若y3,则3x23x13x23x313,显然不成立).

△(y3)24(y3)(y1)(y3)(y34y4)(y3)(3y1)0 解得1y3 3

13x23x1∴函数y2的值域为[，3）. 3xx1

规律技巧总结:判别式法求解问题的思路是利用二次方程ax2bxc0(a0)有实根的充要条件b24ac0.但应注意到原函数的定义域、值域是否统一，以及二次方程系数a0的情形.

判别式法:把函数数转化成关于x的二次方程F(x,y)0,方程有实根,利用判别式大于等

a1x2b1xc1于0,求得原函数的值域.形如y(a1,a2不同时为0）的函数常用此法求值域. a2x2b2xc2

思路分析2:这小题是一道分式函数题,分子、分母均有变量，难以确定其变化变化情况，23x23x1,然后根据函数yx2x1可以通过分子常数化，即把y2化为y32xx1xx1

的值域来求原函数的值域.

3x23x13x23x3223. 解法2:y222xx1xx1xx1

13314. 因为x2x1(x)2,所以02244xx13

128220,所以323. 3xx13xx1

1故函数的值域为[，3）. 3

cxd(a0))的值域.可通过对分式函数的分子进行规律技巧总结:求分式函数(如yaxb

分离,使其常数化,然后利用分母的值域来确定原函数的值域,这种方法称为分离常数法.

(6)思路分析:通过对绝对值内部符号的讨论.将含绝对值符号的解析式转化为不含绝对值号的解析式,画出图象,求出值域.

解:将原函数的解析式中的绝对值符号去掉,化为分段函数.

2x1(x1)f(x)3(1x2)

2x1(x2)

它的图象如图所示,显然,函数值y3.所以函数的值域为y3.所以函数的值域为 3,)

点拨:通过对绝对值内部符合的讨论,将含绝对值符合的解析式转化为不含绝对值符合的解析式,然后画图,求出值域.