人教版必修一求函数值域的几种常见方法
1．直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a≠0) 的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数y =
k x
(k ≠0) 的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}；
二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 的定义域为R ，
22
当a>0时，值域为{y |y ≥(4ac -b ) }；当a
4a 4a
例1．求下列函数的值域
① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②f (x ) =2+解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，
∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵4-x ∈[0, +∞) ∴f (x ) ∈[2, +∞) 即函数f (x ) =2+③y = ∵
1x +1
x x +1
=
4-x 的值域是 { y| y≥4-x ③y =
x x +1
④y =x +
x +1-1x +1
=1-
1x +1
≠0 ∴y ≠1
即函数的值域是 { y| y∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法④当x>0，∴y =x +
1x
=(x -
1x
) +2≥2，
2
当x
1-x
) =－(-x -
1-x
) -2≤-22
∴值域是(-∞, -2] [2，+∞). （此法也称为配方法） 函数y =x +
1x
的图像为：
2．二次函数比区间上的值域(最值) ：
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①y =x 2-4x +1；
②y =x 2-4x +1, x ∈[3, 4]；③y =x 2-4x +1, x ∈[0, 1]； ④y =x 2-4x +1, x ∈[0, 5]；
解：∵y =x 2-4x +1=(x -2) 2-3，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R ，
∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y≥-3 }. ②∵顶点横坐标2∈[3,4]， 当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上，y min =-2，y max =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2∈[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，y min =-2，y max =1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2∈ [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上，y min =-3，y max =6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) , ⑴若定义域为R 时， ①当a>0时，则当x =-②当a
b 2a b 2a
2
时，其最小值y min =(4ac -b ) ；
4a
2
时，其最大值y max =(4ac -b ) .
4a
⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若x 0∈[a,b],则f (x 0) 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a
②若x 0∉[a,b],则[a,b]是在f (x ) 的单调区间内，只需比较f (a ), f (b ) 的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．判别式法（△法）：
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0例3．求函数y =
x -5x +6x +x -6
2
2
的值域
2
方法一：去分母得 (y-1) x +(y+5)x-6y -6=0 ①
当 y≠1时 ∵x ∈R ∴△=(y+5)2+4(y-1) ×6(y+1)≥0 由此得 (5y+1)2≥检验 y =-
15
-
15
+565
=2（代入①求根） )
时 x =-
2⋅(-
∵2 ∉ 定义域 { x| x≠2且 x≠3} ∴y ≠-再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y ≠1 综上所述，函数y =
x -5x +6x +x -6
22
15
的值域为 { y| y≠1且 y≠-
(x -2)(x -3) (x -2)(x +3)
=x -3x +3
=1-
15
}
6
方法二：把已知函数化为函数y = 由此可得 y≠ (x≠2)
x -3
∵ x=2时 y =-
2
15
即 y ≠-
15
15
∴函数y =
x -5x +6x +x -6
2
的值域为 { y| y≠1且 y≠-说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式. 解题中要注意二次项系数是否为0的讨论. 4．换元法
例4．求函数y =2x +4-x 的值域
-x 则 t≥0 x=1-t 2
2
2
2
解：设 t =
代入得 y =f (t ) =2⋅(1-t ) +4t =-2t +4t +2=-2(t -1) +4 ∵t ≥0 ∴y ≤4 5．分段函数
例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
⎧-2x +1(x
解法1：将函数化为分段函数形式：y =⎨3(-1≤x
⎪2x -1(x ≥2) ⎩
的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y≥3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1，2的距离之和，∴易见y 的最小值是
3，∴函数的值域是[3，+∞]. 如图
两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.
说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等. 有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法. 三、练习：
1 y =x 2+
1x
2
+9(x ≠0) ；
2
解：∵x ≠0，y =x +
1x
2
+9=(x -
1x
) +11，∴y ≥11.
2
2
另外，此题利用基本不等式解更简捷：y =x +2 y =
52x -4x +3
2
1x
2
+9≥2+9=11
∵2x 2-4x+3>0恒成立(为什么？) ， ∴函数的定义域为R ，
∴原函数可化为2y x 2-4yx+3y-5=0，由判别式∆≥0， 即16y -4×2y(3y-5)=-8y +40y≥0(y≠0), 解得0≤y ≤5，又∵y ≠0, ∴0
注意：利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到. 3 求函数的值域 ①y =x +
2-x ； ②y =2-
2
2
4x -x
2
解：①令u =
2-x ≥0, 则x =2-u 2,
2
原式可化为y =2-u +u =-(u -∵u ≥0，∴y ≤
94
12
) +
2
94
,
94
，∴函数的值域是（-∞，
2
].
②解：令 t=4x-x ≥0 得 0≤x ≤4
在此区间内 (4x-x 2) max =4 ，(4x-x 2) min =0 ∴函数y =2-
小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.
x -x +1x +x +1
22
4x -x
2
的值域是{ y| 0≤y ≤2}
作业：求函数y=值域
34
34
解：∵x 2+x +1=(x +
12
) +
2
≥>0，
∴函数的定义域R ，原式可化为y (x 2+x +1) =x 2-x +1, 整理得(y -1) x 2+(y +1) x ++y -1=0， 若y=1,即2x=0,则x=0； 若y ≠1, ∵x ∈R ，即有∆≥0， ∴(y +1) 2-4(y-1) 2≥0, 解得综上：函数是值域是{y|
13
13
≤y ≤3且 y≠1.
≤y ≤3}.
人教版必修一求函数值域的几种常见方法
1．直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a≠0) 的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数y =
k x
(k ≠0) 的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}；
二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 的定义域为R ，
22
当a>0时，值域为{y |y ≥(4ac -b ) }；当a
4a 4a
例1．求下列函数的值域
① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②f (x ) =2+解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，
∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵4-x ∈[0, +∞) ∴f (x ) ∈[2, +∞) 即函数f (x ) =2+③y = ∵
1x +1
x x +1
=
4-x 的值域是 { y| y≥4-x ③y =
x x +1
④y =x +
x +1-1x +1
=1-
1x +1
≠0 ∴y ≠1
即函数的值域是 { y| y∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法④当x>0，∴y =x +
1x
=(x -
1x
) +2≥2，
2
当x
1-x
) =－(-x -
1-x
) -2≤-22
∴值域是(-∞, -2] [2，+∞). （此法也称为配方法） 函数y =x +
1x
的图像为：
2．二次函数比区间上的值域(最值) ：
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①y =x 2-4x +1；
②y =x 2-4x +1, x ∈[3, 4]；③y =x 2-4x +1, x ∈[0, 1]； ④y =x 2-4x +1, x ∈[0, 5]；
解：∵y =x 2-4x +1=(x -2) 2-3，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R ，
∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y≥-3 }. ②∵顶点横坐标2∈[3,4]， 当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上，y min =-2，y max =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2∈[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，y min =-2，y max =1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2∈ [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上，y min =-3，y max =6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) , ⑴若定义域为R 时， ①当a>0时，则当x =-②当a
b 2a b 2a
2
时，其最小值y min =(4ac -b ) ；
4a
2
时，其最大值y max =(4ac -b ) .
4a
⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若x 0∈[a,b],则f (x 0) 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a
②若x 0∉[a,b],则[a,b]是在f (x ) 的单调区间内，只需比较f (a ), f (b ) 的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．判别式法（△法）：
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0例3．求函数y =
x -5x +6x +x -6
2
2
的值域
2
方法一：去分母得 (y-1) x +(y+5)x-6y -6=0 ①
当 y≠1时 ∵x ∈R ∴△=(y+5)2+4(y-1) ×6(y+1)≥0 由此得 (5y+1)2≥检验 y =-
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+565
=2（代入①求根） )
时 x =-
2⋅(-
∵2 ∉ 定义域 { x| x≠2且 x≠3} ∴y ≠-再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y ≠1 综上所述，函数y =
x -5x +6x +x -6
22
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的值域为 { y| y≠1且 y≠-
(x -2)(x -3) (x -2)(x +3)
=x -3x +3
=1-
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}
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方法二：把已知函数化为函数y = 由此可得 y≠ (x≠2)
x -3
∵ x=2时 y =-
2
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即 y ≠-
15
15
∴函数y =
x -5x +6x +x -6
2
的值域为 { y| y≠1且 y≠-说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式. 解题中要注意二次项系数是否为0的讨论. 4．换元法
例4．求函数y =2x +4-x 的值域
-x 则 t≥0 x=1-t 2
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解：设 t =
代入得 y =f (t ) =2⋅(1-t ) +4t =-2t +4t +2=-2(t -1) +4 ∵t ≥0 ∴y ≤4 5．分段函数
例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
⎧-2x +1(x
解法1：将函数化为分段函数形式：y =⎨3(-1≤x
⎪2x -1(x ≥2) ⎩
的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y≥3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1，2的距离之和，∴易见y 的最小值是
3，∴函数的值域是[3，+∞]. 如图
两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.
说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等. 有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法. 三、练习：
1 y =x 2+
1x
2
+9(x ≠0) ；
2
解：∵x ≠0，y =x +
1x
2
+9=(x -
1x
) +11，∴y ≥11.
2
2
另外，此题利用基本不等式解更简捷：y =x +2 y =
52x -4x +3
2
1x
2
+9≥2+9=11
∵2x 2-4x+3>0恒成立(为什么？) ， ∴函数的定义域为R ，
∴原函数可化为2y x 2-4yx+3y-5=0，由判别式∆≥0， 即16y -4×2y(3y-5)=-8y +40y≥0(y≠0), 解得0≤y ≤5，又∵y ≠0, ∴0
注意：利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到. 3 求函数的值域 ①y =x +
2-x ； ②y =2-
2
2
4x -x
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解：①令u =
2-x ≥0, 则x =2-u 2,
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原式可化为y =2-u +u =-(u -∵u ≥0，∴y ≤
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) +
2
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,
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，∴函数的值域是（-∞，
2
].
②解：令 t=4x-x ≥0 得 0≤x ≤4
在此区间内 (4x-x 2) max =4 ，(4x-x 2) min =0 ∴函数y =2-
小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.
x -x +1x +x +1
22
4x -x
2
的值域是{ y| 0≤y ≤2}
作业：求函数y=值域
34
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解：∵x 2+x +1=(x +
12
) +
2
≥>0，
∴函数的定义域R ，原式可化为y (x 2+x +1) =x 2-x +1, 整理得(y -1) x 2+(y +1) x ++y -1=0， 若y=1,即2x=0,则x=0； 若y ≠1, ∵x ∈R ，即有∆≥0， ∴(y +1) 2-4(y-1) 2≥0, 解得综上：函数是值域是{y|
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≤y ≤3且 y≠1.
≤y ≤3}.