承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）： 河北师范大学汇华学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 杨艳艳 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名) ：
日期：2007 年 9月24 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编 号 专 用 页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
中国人口增长预测
摘要
当今社会，人口问题以及人口增长所带来的社会问题越来越受到人们的关注，如老龄化问题，城乡差异问题，以及由人口增长带来的环境问题和能源问题等等。本文结合中国实际情况讨论了我国人口增长趋势，并建立模型分析了老龄化问题，城乡人口差异问题的原因。
首先我们假设题目所提供的调查数据有一定的代表性，而且我国人口的增长情况不受自然灾害以及突发事件等因素的影响，另外我们查阅了大量的资料，对题目附录中所给的数据做了恰当的处理。
然后我们参考了传统的“指数增长模型（Malthus 模型）”，根据它可以比较准确的预测中短期内人口的增长情况，由于我国是世界上老龄化速度最快的国家，随着人口老龄化程度的加大，人口死亡率也会逐渐升高，“指数增长模型”不能用来预测我国长期人口增长情况，根据我国的特殊国情，我们想到以（老年人口数+死亡人口数）—（少年人口数+出生人口数）的差值来衡量我国老龄化的发展速率以及人口增长情况，即差值为负时，少年人口数与出生人口数的和大于老年人口数与死亡人口数的和，这时人口呈增长趋势，反之，少年人口数与出生人口数的和小于老年人口数与死亡人口数的和，人口出现负增长。最后，我们利用MathLab 软件计算得出中国人口将在2050年达到资源环境最大人口承载量16亿左右。
接着，为了分析城乡人口差异形成的原因，我们把题目所给数据根据城、镇、乡分开来计算，分别做出它们的（老年人口数+死亡人口数）—（少年人口数+出生人口数）的差值图，见图五、六、七。进行分析比较，发现我国城市进入老龄化高峰期要比乡镇早10年左右，城市约在2030年左右达到老龄化高峰，而乡镇的老龄化高峰期将会在2040年左右到来。也就是我国城市会比乡村提前10年进入人口负增长时期，由此可以判断我国计划生育政策在控制城市人口数量的工作中收到了良好的效果。而且分析差值还可以发现同一时期乡村的差值要比城市大的多，说明了我国乡村育龄期妇女的总生育率要比城镇的高的多。
我们所建模型的优点：通过这个模型我们能够预测人口总数、人口增长数、出生人口数、死亡人口数、老年人口增长数、少年人口增长数。我们虽然把人口数看成了时间的函数，但我们考察了年龄、大小、城镇乡等对人口增长的影响，并且通过自己建立的模型推算出了我国达到老龄化的高峰的时间和出现负增长的时间。不仅克服了指数模型和阻滞增长模型单调增长的趋势，而且把城乡差异体现出来。
为了弥补此模型没有考虑环境对人口数量的制约，我们又建立了另外一个阻滞模型，得取的数据也反映了我国人口将在2050年达到16亿左右，于建立的指数模型基本吻合。
关键字： 指数增长模型 老龄化 城乡差异 MathLab软件
一、问题重述
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》还做出了进一步的分析。
关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出模型中的优点与不足之处。
二、问题背景
中国是世界上人口最多的发展中国家。人口众多、资源相对不足、环境承载能力较弱是中国现阶段的基本国情，短时间内难以改变。人口问题是中国在社会主义初级阶段长期面临的问题，是关系中国经济社会发展的关键性因素。
2000年，65岁以上老年人口比重达7％以上，根据国际标准，中国已经进入老龄社会。据预测，到2020年，65岁老年人口将达1.64亿，占总人口比重16.1％，80岁以上老人达2200万。我国在本世纪中叶前60岁及以上老年人口将达到4亿多，占届时全世界老年人口的1/4。我国当前有1.4亿老年人口，但从2010年开始，每年“鱼贯”进入老年期的有1000万到2000万人，30年后将增加3亿老年人 按照目前总和生育率1.8预测，2010年和2020年，中国人口总量将分别达到13.7亿和14.6亿；人口总量高峰将出现在2033年前后，达15亿左右。中国老龄化呈现速度快、规模大、“未富先老”等特点，对未来社会抚养比、储蓄率、消费结构及社会保障等产生重大影响[1]。
三、模型假设
1． 假设国际迁入、迁出对我国人口自然增长率没有影响。 2． 假设调查的数据有一定的代表性。
3． 假设不存在自然因素和突发事件，如地震，洪水以及战争，瘟疫等使人口数
量及结构大规模变动的量。
4． 模型中假设60岁以上的为老年，15岁以下的为少年。
5． 模型中假设出生人口数和少年人口数的总和大于死亡人口数和老年人口数的
总和，就说明老龄化问题尚未达到高峰；反之，那时我国的老龄化问题将达到高峰，死亡人数也会增加。
四、符号说明
符号 符号说明 N(t) 表示t 年人口的总数 N1（t ） 表示t 年出生人口数目
N2（t ） N3（t ） N4（t ） A B C D x (i ) 表示t 年死亡人口数目 表示t 年老龄化人口数目 表示t 年少年人口数目 为人口出生率的增长率 为人口死亡率的增长率 为人口老龄化增长率 为人口少年化增长率 年龄为i 的男性比率 年龄为i 的女性比率 年龄为j 的男性死亡率 年龄为j 的女性死亡率
y (i ) u (j )
v (j )
五、模型一建立
记年份t 的人口为N （t ）, 当考察我国人口时，利用微积分这一数学工具，将N （t ）视为连续、可微函数，设2001年的人口为 N 0，即t 0=2001，假设人口增长率为常数r ，在t 到t +∆t 的时间内显然有：
N (t +∆t ) -N (t ) =rN (t ) ∆t
两端除以∆t ，得：
N (t +∆t ) -N (t )
=rN (t )
∆t
令 ∆t →0, 得到N(t)满足微分方程：
dN
=rN dt
N (0)=N 0
由这个方程容易解出：
N (t ) =N 0e rt ①
我们可以看出r>0时人口将按指数规律随时间无限增长，但就我国目前基本国情而言，很多方面的因素制约着人口的指数型增长，如计划生育政策，老龄化问题等，那么我们就这些问题将模型进行简化，忽略自然灾害、瘟疫、战争等对人口数量的影响，通过年龄结构，出生率，死亡率的横向比较以及城市、镇、乡村同一时期内人口数量变化的纵向分析，来研究上述因素对中国人口数量造成了哪些影响。
那么根据①式，我们假设2001年老年人口数目为N 1，2001年少年人口的数目为N 2，可以得到t 年的出生人口数，死亡人口数，老龄化人口数，少年化人口数分别为：
N （1t ）=N0e A (t -t o ) ②
N （2t ）=N0e B (t -t o ) ③
3t ）=N1e C (t -t o ) ④ N （
4t ）=N2e D (t -t o ) ⑤ N （
如果N 1(t ) +N 4(t ) >N 2(t ) +N 3(t ) 成立，则说明我国人口数量呈增长趋势，在此
时我国人口老龄化尚未达到高峰；反之，该时刻我国的人口老龄化将达到高峰，死亡人
数也会增加。此时，应该适当放宽计划生育政策来增加人口数量。
六、模型一求解及分析
对于我国人口增长的问题，我们查阅了大量资料，根据中国人口现状对题中附件所给于数据做了如下处理：
表一
其中：
人口出生率=x (0)+y (0)
90+⎤1⎡90+
人口死亡率=⎢∑x (i ) u (j ) +∑y (i ) v (j ) ⎥
1000⎣i =0, j =0i =0, j =0⎦
人口自然增长率指一定时期内人口自然增长数（出生人数减死亡人数）与该时期内
平均人口数之比，通常以年为单位计算，用百比来表示，计算公式为：
年内出生人数－年内死亡人数
人口自然增长率＝───────────── ×100%
年平均人口数
＝ 人口出生率－人口死亡率 [2]
表二
A 可以看做是第 n+1年的人口出生率减去第n 年的人口出生率。为了减小误差，这里我们取2001年到2005年的平均值 。同理，B 即死亡率的增长率也可以由2001年到2005年死亡率差的平均值算出。
图一
老龄化比率=
i =60
∑x (i ) +∑y (i )
i =60
90+90+
所以，如果我们要计算2004年到2005年的老龄化增长率，就是以2005年的老龄化比率减去2004年的老龄化比率，同理，可以计算得到2003年到2004年，2002年到2003年，2001年到2002年的老龄化增长率。根据以上数据可求得2001到2005年的城、镇、乡平均老龄化增长率C 。
城
15
镇乡
15
少年化比率=
∑x (i ) +∑y (i )
i =0
i =0
同理，可以根据少年化比率我们也可以计算出2001年到2005年的城、镇、乡平均少年化增长率D 。
图三
常数r 为2001年到2005年的平均人口增长率，根据表二中的数据可得出： r =0.4523%
附件所给2001年中国人口1%调查数据不符合实际情况，经过根实际情况的分析比较，我们把该组数据做了统一扩大10倍处理，有：
9
N 0=1.220559⨯10
根据①式，利用MathLab 软件计算可得出2002年到2005年的人口数据：
表三
排除误差因素，由数据可得，拟合人口数基本符合我国人口数，所以可以用此模型来预测我国人口增长情况。
另外通过①式计算得出2008年到2012年短期内我国人口变化的数据：
2008年：1.26×109 2009年：1.271×109 2010年：1.277×109 2011年：1.283×109 2012年：1.289×109
中期四年的人口变化数据：
2020年：1.33×109 2025年：1.361×109 2030年：1.392×109 2035年：1.423×109
长期两年的人口变化数据：
2050年：1.523×109 2055年：1.558×109
根据以上几组数据，利用MATHCAD 软件做出图四如下：
图四
根据上述数据和图形，我们能够看到未来中国人口将按指数规律无限增长，但是人口、资源和环境三者是相互制约的，加之我国人口众多，而且资源短缺，人口与资源环境的矛盾日益尖锐，相关专家指出，中国资源环境的最大承载人口量为16亿[3]，由①式得出我国人口将在21世纪50年代达到16亿，所以①式并不能完全准确的预测我国人口长期增长情况。
因此，根据题中所给数据分析我国基本国情，对①式进行了优化，创造性的结合我国基本国情对城、镇、乡的人口因素分别用模型②、③、④、⑤进行了具体的分析计算，结果如下：
城市总人口数=2.95372
×108 2001
镇总人口数=1.58255×108
乡总人口数=7.66932×108
城市老年人口数=3.698 ⨯107 镇老年人口数=1.787⨯107 乡老年人口数=9.916⨯107
城市少年人口数=5.222⨯107 镇少年人口数=3.654⨯107 乡少年人口数=2.101⨯108
表四 根据表四数据，利用MathLab 软件可以算出各个时期城、镇、乡的N1
（t ）,N2(t),N3(t),N4(t)的人口数，详见表五、表六、表七。
表五 由 N 1(t ) -N 2(t ) -N 3(t ) +N 4(t ) 得城市的各时期的数值为：
2008年 0.108⨯108 2010年 0.095⨯108 2012年 0.084⨯108
年 0.035⨯108 年 -0.027⨯108
2050年 -0.148⨯108
由这些数据可以说明：城市在2030年左右老年人数和死亡人数之和大于出生人数和少年人数之和，人口开始出现负增长趋势，老龄化问题达到了最高峰。
图五
表六
由 N 1(t ) -N 2(t ) -N 3(t ) +N 4(t ) 得镇各时期的数值为：
年 0.154⨯108 年 0.144⨯108 年 0.135⨯108 年 0.11⨯108 年 0.056⨯108
2050年 -0.025⨯108
由这些数据可以说明：镇在2040年左右老年人数和死亡人数之和大于出生人数和少年人数之和，人口开始出现负增长趋势，老龄化问题达到了最高峰。
图六
表七
由 N 1(t ) -N 2(t ) -N 3(t ) +N 4(t ) 得乡各时期的数值为：
年 0.86⨯108 年 0.79⨯108 年 0.77⨯108 年 0.457⨯108 年 0.139⨯108
2050年 -0.4554⨯108
由这些数据可以说明：乡在2040年左右老年人数和死亡人数之和大于出生人数和少年人数之和，人口开始呈负增长趋势，老龄化问题达到了最高峰。
图七
综合上面三组数据可以看出乡镇的人口老龄化问题达到高峰要比城市晚十年，也就是人口出现负增长要比城市晚十年，这种城乡间的差异体现出了我国计划生育政策在控制城市人口增长方面收到了良好的效果。
另外，同一时期乡村的N 1(t ) -N 2(t ) -N 3(t ) +N 4(t ) 的值要比城镇的值大的多，也反映了乡村少年数和出生人数要多的多，说明乡村育龄期妇女的总生育率要比城镇的高的多。
七、模型二建立及求解
考虑到自然资源、环境条件等因素对人口的增长起阻滞作用，并随着人口的增加，阻滞作用越来越大。
阻滞作用体现在对人口增长率上，使得随着人口数量N 的增加而下降。若将r 表示N 的函数r(N),则应为减函数。于是：
dN
=r (N ) N ⑥ dt
N (0)=N 0 ⑦
对r(N)的一个最简单的假定是，设r(N)为N 的线形函数，即： r(N)=r-sN (r>0,s>0)
这里r 称固有增长率。为了确定系数s 的意义，引入自然资源和环境条件能容纳的最大人口数量N m ，称人口容量。当N=N m 时人口不再增长，即增长率r(N m )=0,代入⑦
r
式子得s=, 于是⑦式为
N m
N
r (N ) =r (1-) ⑧
N m
将⑧代入⑥得：
dN N
=r (1-) N dt N m
N
t =t 0
=N 0
它是一可变量分离的微分方程
dN
=rdt (1-) N
N m
⎡ 1⎤
⎢1N m ⎥
⎥dN =rdr +⎰⎢N N ⎢⎥1-
⎢N m ⎥⎣⎦
解得
N
=ce rt
1-N m 利用初始条件，解得
c =
N 0
e -rt 0 N 1-0
N m
代入，解得
N =
N m
1+(m -1) e -r (t -t 0)
N 0
[4] ⑨
由[3]知，中国环境所能容纳的最大人口数为：N m =16亿，已知N 0为2001年的人口总数为：N 0=1.221×109 ，已知t 0=2001
把2002年、2003年、2004年、2005年的人口总数分别代入⑨式得各年的固有增长率，最后得出平均的固有增长率r=0.138
图八
1.599⨯10
9
2.10
9
1.5.10
9
N (t ) 1.10
9
5.10
8
5.168⨯10
6
0-50
4020
t
02040
50
把r=0.138代入⑨式，得：
2008年 N=1.431⨯109 2010年 N=1.468⨯109 2012年 N=1.498⨯109
年 N=1.565⨯109 年 N=1.591⨯109
2050年 N=1.599⨯109
由图象可以看出，它是一条单调曲线，它不会无限增长下去，用来预测中长期的人口数据是比较准确的，克服了指数增长模型中的不足，它也预测出在2050年左右出现人口高峰。但体现不出老龄化趋势与城乡差异。
八、模型评价
优点：通过模型一我们预测了人口总数、人口增长数、出生人口数、死亡人口数、老年人口增长数、少年人口增长数。我们虽然把人口数看成了时间的函数，但我们考察了年龄、大小、城镇乡等对人口增长的影响，并且通过自己建立的模型推算出了什么时间我国达到老龄化的高峰和什么时间出现负增长。不仅克服了指数模型和阻滞增长模型单调增长的趋势，而且把城乡差异体现出来。
缺点：在使用模型时，人口增长率是一个常数，不符合发展趋势。按照题目给的数据，以及生活中的数据，人口增长率应是逐年递减的。如果按照常数计算，将会导致误差。其中我们利用了指数增长模型，它是一个单调曲线，但是实际考虑，应是在一定的时期内是增长的，而后又是缓慢减少的过程，这个过程是一条非单调的曲线。模型所描述的人群应是在一定的空间范围内，所研究的时间范围内不存在有迁移现象、没有经过战争、自然灾害等一些使人口数量及结构变动的量。这些假设是苛刻的，不现实的，所以说不适宜预测长期的人口数目。
参考文献
[1]中国人口 ,www.chinapop.gov.cn,2007年9月22日。
[2]中国人口自然增长率 ,www.stats.gov.cn,2007年9月22日。
[3]杨胜万，南北关系中的人口与可持续发展问题，www.npc.gov.cn/zgrdw,2007年9月23日。
[4]姜启源 谢金星 叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，9页至15页，2003年8月。
[5]王兵团，数学建模基础，北京：清华大学出版社，北京交通大学出版社，2004年11月。
[6]赵静 但琦 严尚安等，数学建模与数学实验，北京：高等教育出版社；海德堡：施普林格出版社，2001年11月。
[7]王冬琳，数学建模及实验，北京：国防工业出版社，2005年5月。 [8]赵小云 叶立军，数学化归思维论，北京：科学出版社，2005年3月。
承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）： 河北师范大学汇华学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 杨艳艳 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名) ：
日期：2007 年 9月24 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编 号 专 用 页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
中国人口增长预测
摘要
当今社会，人口问题以及人口增长所带来的社会问题越来越受到人们的关注，如老龄化问题，城乡差异问题，以及由人口增长带来的环境问题和能源问题等等。本文结合中国实际情况讨论了我国人口增长趋势，并建立模型分析了老龄化问题，城乡人口差异问题的原因。
首先我们假设题目所提供的调查数据有一定的代表性，而且我国人口的增长情况不受自然灾害以及突发事件等因素的影响，另外我们查阅了大量的资料，对题目附录中所给的数据做了恰当的处理。
然后我们参考了传统的“指数增长模型（Malthus 模型）”，根据它可以比较准确的预测中短期内人口的增长情况，由于我国是世界上老龄化速度最快的国家，随着人口老龄化程度的加大，人口死亡率也会逐渐升高，“指数增长模型”不能用来预测我国长期人口增长情况，根据我国的特殊国情，我们想到以（老年人口数+死亡人口数）—（少年人口数+出生人口数）的差值来衡量我国老龄化的发展速率以及人口增长情况，即差值为负时，少年人口数与出生人口数的和大于老年人口数与死亡人口数的和，这时人口呈增长趋势，反之，少年人口数与出生人口数的和小于老年人口数与死亡人口数的和，人口出现负增长。最后，我们利用MathLab 软件计算得出中国人口将在2050年达到资源环境最大人口承载量16亿左右。
接着，为了分析城乡人口差异形成的原因，我们把题目所给数据根据城、镇、乡分开来计算，分别做出它们的（老年人口数+死亡人口数）—（少年人口数+出生人口数）的差值图，见图五、六、七。进行分析比较，发现我国城市进入老龄化高峰期要比乡镇早10年左右，城市约在2030年左右达到老龄化高峰，而乡镇的老龄化高峰期将会在2040年左右到来。也就是我国城市会比乡村提前10年进入人口负增长时期，由此可以判断我国计划生育政策在控制城市人口数量的工作中收到了良好的效果。而且分析差值还可以发现同一时期乡村的差值要比城市大的多，说明了我国乡村育龄期妇女的总生育率要比城镇的高的多。
我们所建模型的优点：通过这个模型我们能够预测人口总数、人口增长数、出生人口数、死亡人口数、老年人口增长数、少年人口增长数。我们虽然把人口数看成了时间的函数，但我们考察了年龄、大小、城镇乡等对人口增长的影响，并且通过自己建立的模型推算出了我国达到老龄化的高峰的时间和出现负增长的时间。不仅克服了指数模型和阻滞增长模型单调增长的趋势，而且把城乡差异体现出来。
为了弥补此模型没有考虑环境对人口数量的制约，我们又建立了另外一个阻滞模型，得取的数据也反映了我国人口将在2050年达到16亿左右，于建立的指数模型基本吻合。
关键字： 指数增长模型 老龄化 城乡差异 MathLab软件
一、问题重述
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》还做出了进一步的分析。
关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出模型中的优点与不足之处。
二、问题背景
中国是世界上人口最多的发展中国家。人口众多、资源相对不足、环境承载能力较弱是中国现阶段的基本国情，短时间内难以改变。人口问题是中国在社会主义初级阶段长期面临的问题，是关系中国经济社会发展的关键性因素。
2000年，65岁以上老年人口比重达7％以上，根据国际标准，中国已经进入老龄社会。据预测，到2020年，65岁老年人口将达1.64亿，占总人口比重16.1％，80岁以上老人达2200万。我国在本世纪中叶前60岁及以上老年人口将达到4亿多，占届时全世界老年人口的1/4。我国当前有1.4亿老年人口，但从2010年开始，每年“鱼贯”进入老年期的有1000万到2000万人，30年后将增加3亿老年人 按照目前总和生育率1.8预测，2010年和2020年，中国人口总量将分别达到13.7亿和14.6亿；人口总量高峰将出现在2033年前后，达15亿左右。中国老龄化呈现速度快、规模大、“未富先老”等特点，对未来社会抚养比、储蓄率、消费结构及社会保障等产生重大影响[1]。
三、模型假设
1． 假设国际迁入、迁出对我国人口自然增长率没有影响。 2． 假设调查的数据有一定的代表性。
3． 假设不存在自然因素和突发事件，如地震，洪水以及战争，瘟疫等使人口数
量及结构大规模变动的量。
4． 模型中假设60岁以上的为老年，15岁以下的为少年。
5． 模型中假设出生人口数和少年人口数的总和大于死亡人口数和老年人口数的
总和，就说明老龄化问题尚未达到高峰；反之，那时我国的老龄化问题将达到高峰，死亡人数也会增加。
四、符号说明
符号 符号说明 N(t) 表示t 年人口的总数 N1（t ） 表示t 年出生人口数目
N2（t ） N3（t ） N4（t ） A B C D x (i ) 表示t 年死亡人口数目 表示t 年老龄化人口数目 表示t 年少年人口数目 为人口出生率的增长率 为人口死亡率的增长率 为人口老龄化增长率 为人口少年化增长率 年龄为i 的男性比率 年龄为i 的女性比率 年龄为j 的男性死亡率 年龄为j 的女性死亡率
y (i ) u (j )
v (j )
五、模型一建立
记年份t 的人口为N （t ）, 当考察我国人口时，利用微积分这一数学工具，将N （t ）视为连续、可微函数，设2001年的人口为 N 0，即t 0=2001，假设人口增长率为常数r ，在t 到t +∆t 的时间内显然有：
N (t +∆t ) -N (t ) =rN (t ) ∆t
两端除以∆t ，得：
N (t +∆t ) -N (t )
=rN (t )
∆t
令 ∆t →0, 得到N(t)满足微分方程：
dN
=rN dt
N (0)=N 0
由这个方程容易解出：
N (t ) =N 0e rt ①
我们可以看出r>0时人口将按指数规律随时间无限增长，但就我国目前基本国情而言，很多方面的因素制约着人口的指数型增长，如计划生育政策，老龄化问题等，那么我们就这些问题将模型进行简化，忽略自然灾害、瘟疫、战争等对人口数量的影响，通过年龄结构，出生率，死亡率的横向比较以及城市、镇、乡村同一时期内人口数量变化的纵向分析，来研究上述因素对中国人口数量造成了哪些影响。
那么根据①式，我们假设2001年老年人口数目为N 1，2001年少年人口的数目为N 2，可以得到t 年的出生人口数，死亡人口数，老龄化人口数，少年化人口数分别为：
N （1t ）=N0e A (t -t o ) ②
N （2t ）=N0e B (t -t o ) ③
3t ）=N1e C (t -t o ) ④ N （
4t ）=N2e D (t -t o ) ⑤ N （
如果N 1(t ) +N 4(t ) >N 2(t ) +N 3(t ) 成立，则说明我国人口数量呈增长趋势，在此
时我国人口老龄化尚未达到高峰；反之，该时刻我国的人口老龄化将达到高峰，死亡人
数也会增加。此时，应该适当放宽计划生育政策来增加人口数量。
六、模型一求解及分析
对于我国人口增长的问题，我们查阅了大量资料，根据中国人口现状对题中附件所给于数据做了如下处理：
表一
其中：
人口出生率=x (0)+y (0)
90+⎤1⎡90+
人口死亡率=⎢∑x (i ) u (j ) +∑y (i ) v (j ) ⎥
1000⎣i =0, j =0i =0, j =0⎦
人口自然增长率指一定时期内人口自然增长数（出生人数减死亡人数）与该时期内
平均人口数之比，通常以年为单位计算，用百比来表示，计算公式为：
年内出生人数－年内死亡人数
人口自然增长率＝───────────── ×100%
年平均人口数
＝ 人口出生率－人口死亡率 [2]
表二
A 可以看做是第 n+1年的人口出生率减去第n 年的人口出生率。为了减小误差，这里我们取2001年到2005年的平均值 。同理，B 即死亡率的增长率也可以由2001年到2005年死亡率差的平均值算出。
图一
老龄化比率=
i =60
∑x (i ) +∑y (i )
i =60
90+90+
所以，如果我们要计算2004年到2005年的老龄化增长率，就是以2005年的老龄化比率减去2004年的老龄化比率，同理，可以计算得到2003年到2004年，2002年到2003年，2001年到2002年的老龄化增长率。根据以上数据可求得2001到2005年的城、镇、乡平均老龄化增长率C 。
城
15
镇乡
15
少年化比率=
∑x (i ) +∑y (i )
i =0
i =0
同理，可以根据少年化比率我们也可以计算出2001年到2005年的城、镇、乡平均少年化增长率D 。
图三
常数r 为2001年到2005年的平均人口增长率，根据表二中的数据可得出： r =0.4523%
附件所给2001年中国人口1%调查数据不符合实际情况，经过根实际情况的分析比较，我们把该组数据做了统一扩大10倍处理，有：
9
N 0=1.220559⨯10
根据①式，利用MathLab 软件计算可得出2002年到2005年的人口数据：
表三
排除误差因素，由数据可得，拟合人口数基本符合我国人口数，所以可以用此模型来预测我国人口增长情况。
另外通过①式计算得出2008年到2012年短期内我国人口变化的数据：
2008年：1.26×109 2009年：1.271×109 2010年：1.277×109 2011年：1.283×109 2012年：1.289×109
中期四年的人口变化数据：
2020年：1.33×109 2025年：1.361×109 2030年：1.392×109 2035年：1.423×109
长期两年的人口变化数据：
2050年：1.523×109 2055年：1.558×109
根据以上几组数据，利用MATHCAD 软件做出图四如下：
图四
根据上述数据和图形，我们能够看到未来中国人口将按指数规律无限增长，但是人口、资源和环境三者是相互制约的，加之我国人口众多，而且资源短缺，人口与资源环境的矛盾日益尖锐，相关专家指出，中国资源环境的最大承载人口量为16亿[3]，由①式得出我国人口将在21世纪50年代达到16亿，所以①式并不能完全准确的预测我国人口长期增长情况。
因此，根据题中所给数据分析我国基本国情，对①式进行了优化，创造性的结合我国基本国情对城、镇、乡的人口因素分别用模型②、③、④、⑤进行了具体的分析计算，结果如下：
城市总人口数=2.95372
×108 2001
镇总人口数=1.58255×108
乡总人口数=7.66932×108
城市老年人口数=3.698 ⨯107 镇老年人口数=1.787⨯107 乡老年人口数=9.916⨯107
城市少年人口数=5.222⨯107 镇少年人口数=3.654⨯107 乡少年人口数=2.101⨯108
表四 根据表四数据，利用MathLab 软件可以算出各个时期城、镇、乡的N1
（t ）,N2(t),N3(t),N4(t)的人口数，详见表五、表六、表七。
表五 由 N 1(t ) -N 2(t ) -N 3(t ) +N 4(t ) 得城市的各时期的数值为：
2008年 0.108⨯108 2010年 0.095⨯108 2012年 0.084⨯108
年 0.035⨯108 年 -0.027⨯108
2050年 -0.148⨯108
由这些数据可以说明：城市在2030年左右老年人数和死亡人数之和大于出生人数和少年人数之和，人口开始出现负增长趋势，老龄化问题达到了最高峰。
图五
表六
由 N 1(t ) -N 2(t ) -N 3(t ) +N 4(t ) 得镇各时期的数值为：
年 0.154⨯108 年 0.144⨯108 年 0.135⨯108 年 0.11⨯108 年 0.056⨯108
2050年 -0.025⨯108
由这些数据可以说明：镇在2040年左右老年人数和死亡人数之和大于出生人数和少年人数之和，人口开始出现负增长趋势，老龄化问题达到了最高峰。
图六
表七
由 N 1(t ) -N 2(t ) -N 3(t ) +N 4(t ) 得乡各时期的数值为：
年 0.86⨯108 年 0.79⨯108 年 0.77⨯108 年 0.457⨯108 年 0.139⨯108
2050年 -0.4554⨯108
由这些数据可以说明：乡在2040年左右老年人数和死亡人数之和大于出生人数和少年人数之和，人口开始呈负增长趋势，老龄化问题达到了最高峰。
图七
综合上面三组数据可以看出乡镇的人口老龄化问题达到高峰要比城市晚十年，也就是人口出现负增长要比城市晚十年，这种城乡间的差异体现出了我国计划生育政策在控制城市人口增长方面收到了良好的效果。
另外，同一时期乡村的N 1(t ) -N 2(t ) -N 3(t ) +N 4(t ) 的值要比城镇的值大的多，也反映了乡村少年数和出生人数要多的多，说明乡村育龄期妇女的总生育率要比城镇的高的多。
七、模型二建立及求解
考虑到自然资源、环境条件等因素对人口的增长起阻滞作用，并随着人口的增加，阻滞作用越来越大。
阻滞作用体现在对人口增长率上，使得随着人口数量N 的增加而下降。若将r 表示N 的函数r(N),则应为减函数。于是：
dN
=r (N ) N ⑥ dt
N (0)=N 0 ⑦
对r(N)的一个最简单的假定是，设r(N)为N 的线形函数，即： r(N)=r-sN (r>0,s>0)
这里r 称固有增长率。为了确定系数s 的意义，引入自然资源和环境条件能容纳的最大人口数量N m ，称人口容量。当N=N m 时人口不再增长，即增长率r(N m )=0,代入⑦
r
式子得s=, 于是⑦式为
N m
N
r (N ) =r (1-) ⑧
N m
将⑧代入⑥得：
dN N
=r (1-) N dt N m
N
t =t 0
=N 0
它是一可变量分离的微分方程
dN
=rdt (1-) N
N m
⎡ 1⎤
⎢1N m ⎥
⎥dN =rdr +⎰⎢N N ⎢⎥1-
⎢N m ⎥⎣⎦
解得
N
=ce rt
1-N m 利用初始条件，解得
c =
N 0
e -rt 0 N 1-0
N m
代入，解得
N =
N m
1+(m -1) e -r (t -t 0)
N 0
[4] ⑨
由[3]知，中国环境所能容纳的最大人口数为：N m =16亿，已知N 0为2001年的人口总数为：N 0=1.221×109 ，已知t 0=2001
把2002年、2003年、2004年、2005年的人口总数分别代入⑨式得各年的固有增长率，最后得出平均的固有增长率r=0.138
图八
1.599⨯10
9
2.10
9
1.5.10
9
N (t ) 1.10
9
5.10
8
5.168⨯10
6
0-50
4020
t
02040
50
把r=0.138代入⑨式，得：
2008年 N=1.431⨯109 2010年 N=1.468⨯109 2012年 N=1.498⨯109
年 N=1.565⨯109 年 N=1.591⨯109
2050年 N=1.599⨯109
由图象可以看出，它是一条单调曲线，它不会无限增长下去，用来预测中长期的人口数据是比较准确的，克服了指数增长模型中的不足，它也预测出在2050年左右出现人口高峰。但体现不出老龄化趋势与城乡差异。
八、模型评价
优点：通过模型一我们预测了人口总数、人口增长数、出生人口数、死亡人口数、老年人口增长数、少年人口增长数。我们虽然把人口数看成了时间的函数，但我们考察了年龄、大小、城镇乡等对人口增长的影响，并且通过自己建立的模型推算出了什么时间我国达到老龄化的高峰和什么时间出现负增长。不仅克服了指数模型和阻滞增长模型单调增长的趋势，而且把城乡差异体现出来。
缺点：在使用模型时，人口增长率是一个常数，不符合发展趋势。按照题目给的数据，以及生活中的数据，人口增长率应是逐年递减的。如果按照常数计算，将会导致误差。其中我们利用了指数增长模型，它是一个单调曲线，但是实际考虑，应是在一定的时期内是增长的，而后又是缓慢减少的过程，这个过程是一条非单调的曲线。模型所描述的人群应是在一定的空间范围内，所研究的时间范围内不存在有迁移现象、没有经过战争、自然灾害等一些使人口数量及结构变动的量。这些假设是苛刻的，不现实的，所以说不适宜预测长期的人口数目。
参考文献
[1]中国人口 ,www.chinapop.gov.cn,2007年9月22日。
[2]中国人口自然增长率 ,www.stats.gov.cn,2007年9月22日。
[3]杨胜万，南北关系中的人口与可持续发展问题，www.npc.gov.cn/zgrdw,2007年9月23日。
[4]姜启源 谢金星 叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，9页至15页，2003年8月。
[5]王兵团，数学建模基础，北京：清华大学出版社，北京交通大学出版社，2004年11月。
[6]赵静 但琦 严尚安等，数学建模与数学实验，北京：高等教育出版社；海德堡：施普林格出版社，2001年11月。
[7]王冬琳，数学建模及实验，北京：国防工业出版社，2005年5月。 [8]赵小云 叶立军，数学化归思维论，北京：科学出版社，2005年3月。