反比例函数中的面积问题
一、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题
结论1：过双曲线上任意一点作
x 轴、
y 轴的垂线，所得矩形的面积S 为定值|k| ，对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：
结论2：在直角三角形ABO 中，面积S=
结论3：在直角三角形ACB 中，面积为S=2|k|
结论4：在三角形AMB 中，面积为S=|k|
（2）（2008甘肃省兰州市）如图，已知
双曲线
的边（）经过矩形 的中点
的面积为2，则，且四边形 ．
分析：连结OB ，∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点
∴
而 由四边形OEBF 的面积为2得 解得 k=2 例2（2008贵州省黔南州）如图，矩形ABOD 的顶点A 是函数与函数
在第二象限的交点，轴于B ，轴于D ，且矩形ABOD 的
面积为3。（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点A 、C 的坐标．
（3）若点P 是y 轴上一动点，且，求点P 的坐标．
解：∴反比例函数的解析式为（2）∴点A 、C 的坐标分别为（
（3）设点P 的坐标为（0
，m ）
直线
∵
∴∣PM ∣＝，即∣m －2∣＝，∴与y 轴的交点坐标为M （0，2） 或， ，一次函数的解析式为，3），（3， ）
评注：依据图象及结论求k 值是本题的关键，只有求出k 代值，才能通过解方程组求A 、C 两点的坐标，然后才能解决第③小问。
2． 已知反比例函数解析式，求图形的面积
例3（1）（2008湖北省鄂州市）在反比例函数
不等于4的是（ B ）
的图象中，阴影部分的面积
A
． B． C． D．
二、利用点的坐标及面积公式求面积
例4（2008四川省南充市）如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线与轴的交点的坐标及三角形
．
时，
点 的面积． 解：反比例函数的解析式为：一次函数的解析式为：（2）是直线与轴的交点 当
例5(2009年达州) 如图，直线与反比例函数（＜0）的图象相
交于点A 、点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标
为（－2，4），点B 的横坐标为－4.
（1）试确定反比例函数的关系式；
（2）求△AOC的面积. 解：（1）∵点A （-2，4）在反比例函数图象上
∴反比例函数解析式为y=
=12 （2）∴直线AB 为y=x+6 与x 轴的交点坐标C （-6，0） ∴S=
评注：对于例4、例5类型的题目，其解题方法基本上都是分三步：先由条件求函数解析式，再通过解方程组求交点坐标，最后由面积公式计算面积。
评注：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，若具有对称特征，则应用对称关系可以简化解题过程。
例9．（2009年济南）已知：如图，正比例函数
的图象交于点 的图象与反比例函数
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线
轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由． 分析：（1）由点A （3，2）在两函数图象上，可求得
k=6,a=，正比例函数为, 反比例函数为
(2)0
由四边形OADM 的面积为6得 3+6+3=3t 解得t=4
故点M 为（
D点为（3，4） 从而M 点为BD 中点，BM=DM
反比例函数中的面积问题
一、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题
结论1：过双曲线上任意一点作
x 轴、
y 轴的垂线，所得矩形的面积S 为定值|k| ，对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：
结论2：在直角三角形ABO 中，面积S=
结论3：在直角三角形ACB 中，面积为S=2|k|
结论4：在三角形AMB 中，面积为S=|k|
（2）（2008甘肃省兰州市）如图，已知
双曲线
的边（）经过矩形 的中点
的面积为2，则，且四边形 ．
分析：连结OB ，∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点
∴
而 由四边形OEBF 的面积为2得 解得 k=2 例2（2008贵州省黔南州）如图，矩形ABOD 的顶点A 是函数与函数
在第二象限的交点，轴于B ，轴于D ，且矩形ABOD 的
面积为3。（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点A 、C 的坐标．
（3）若点P 是y 轴上一动点，且，求点P 的坐标．
解：∴反比例函数的解析式为（2）∴点A 、C 的坐标分别为（
（3）设点P 的坐标为（0
，m ）
直线
∵
∴∣PM ∣＝，即∣m －2∣＝，∴与y 轴的交点坐标为M （0，2） 或， ，一次函数的解析式为，3），（3， ）
评注：依据图象及结论求k 值是本题的关键，只有求出k 代值，才能通过解方程组求A 、C 两点的坐标，然后才能解决第③小问。
2． 已知反比例函数解析式，求图形的面积
例3（1）（2008湖北省鄂州市）在反比例函数
不等于4的是（ B ）
的图象中，阴影部分的面积
A
． B． C． D．
二、利用点的坐标及面积公式求面积
例4（2008四川省南充市）如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线与轴的交点的坐标及三角形
．
时，
点 的面积． 解：反比例函数的解析式为：一次函数的解析式为：（2）是直线与轴的交点 当
例5(2009年达州) 如图，直线与反比例函数（＜0）的图象相
交于点A 、点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标
为（－2，4），点B 的横坐标为－4.
（1）试确定反比例函数的关系式；
（2）求△AOC的面积. 解：（1）∵点A （-2，4）在反比例函数图象上
∴反比例函数解析式为y=
=12 （2）∴直线AB 为y=x+6 与x 轴的交点坐标C （-6，0） ∴S=
评注：对于例4、例5类型的题目，其解题方法基本上都是分三步：先由条件求函数解析式，再通过解方程组求交点坐标，最后由面积公式计算面积。
评注：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，若具有对称特征，则应用对称关系可以简化解题过程。
例9．（2009年济南）已知：如图，正比例函数
的图象交于点 的图象与反比例函数
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线
轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由． 分析：（1）由点A （3，2）在两函数图象上，可求得
k=6,a=，正比例函数为, 反比例函数为
(2)0
由四边形OADM 的面积为6得 3+6+3=3t 解得t=4
故点M 为（
D点为（3，4） 从而M 点为BD 中点，BM=DM