反比例函数知识点归纳和典型例题
（一）知识结构
（二）学习目标
1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式能判断一个给定函数是否为反比例函数．
（k 为常数，），
2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点．
3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数函数性质分析和解决一些简单的实际问题．
（k 为常数，）的函数关系和性质，能利用这些
4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．
5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法． （三）重点难点
1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用． 2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握． 二、基础知识
（一）反比例函数的概念
1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x 的指数为，在解决有关自变量指数
问题时应特别注意系数这一限制条件；
2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反比
例函数的解析式；
3．反比例函数
（二）反比例函数的图象
的自变量，故函数图象与x 轴、y 轴无交点．
在用描点法画反比例函数（三）反比例函数及其图象的性质
的图象时，应注意自变量x 的取值不能为0，且x 应对称取点（关于原点对称）．
1．函数解析式：（
）
3．图象：
越小，图象的弯曲度越大．
越大，图
2．自变量的取值范围： （1）图象的形状：双曲线． 象的弯曲度越小，曲线越平直． 置和性质：
（2）图象的位 与坐标轴没有 当
时，图
交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 当
时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大．
，
（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（ 图象关于直线上．
4．k 的几何意义
）在双曲线的另一支上． ，
）在双曲线的另一支
对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）和（
如图1，设点P （a ，b ）是双曲线上任意一点，作PA ⊥x 轴于A 点，PB ⊥y 轴于B 点，则矩形PBOA
的面积是（三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是）．
如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC ⊥PA 的延长线于C ，则有三角形PQC 的面积为
．
图1 图2 5．说明：
（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个
分支分别讨论，不能一概而论．
（2）直线 当对称．
与双曲线的关系：
时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心
时，两图象没有交点；当
（3）反比例函数与一次函数的联系． （四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法：
（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式． 2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上． （五）充分利用数形结合的思想解决问题． 三、例题分析
1☆．反比例函数的概念
（1）下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）． A ．y=3x B ．
C ．3xy=1 D ．
（2）下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）．
A ． B ． C ． D ．
答案：（1）C ；（2）A ．
2．图象和性质
是反比例函数，
（1）已知函数
①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________． ②若y 随x 的增大而减小，那么k=___________．
（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．
（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．
（4）已知a ·b ＜0，点P （a ，b ）在反比例函数 则直线
不经过的象限是（ ）．
的图象上，
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
（5）若P （2，2）和Q （m ，）是反比例函数图象上的两点，
则一次函数y=kx+m的图象经过（ ）．
A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限
（6）已知函数和（k ≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．
A ． B ． C ． D ． 答案：（1）①
②1；（2）一、三；（3）四；（4）C ；（5）C ；（6）B ．
3．函数的增减性
（1）在反比例函数（ ）．
的图象上有两点，，且，则的值为
A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．非负数
（2）在函数的大小关系是（ ）． A ．
＜
＜
（a 为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、
B ．＜＜ C ．＜＜ D ．＜＜
（3）下列四个函数中：①；②；③；④．
y 随x 的增大而减小的函数有（ ）．
A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x ＞0时，这个反比例函数的
函数值y 随x 的增大而 （填“增大”或“减小”）． 答案：（1）A ；（2）D ；（3）B ．
注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x 的增大而减小．
4．解析式的确定
（1）若与成反比例，与成正比例，则y 是z 的（ ）．
A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．不能确定
（2）若正比例函数y=2x与反比例函数它们的另一个交点为________．
的图象有一个交点为 （2，m ），则m=_____，k=________，
（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．
（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．
①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．
（5）☆为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒． 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的
含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与x 成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克． 请根据题中所提供的信息解答下列问题：
①药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为_________________．
②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；
③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 答案：（1）B ； （2）4，8，（ （3）依题意，
且
，
）；
．
，解得
（4）①依题意，解得
②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．
（5）①，，；
②30；③消毒时间为
5．面积计算
（分钟），所以消毒有效．
（1）☆如图，在函数的图象上有三个点A 、B 、C ，过这三个点分别向x 轴、y 轴作垂线，过每一点所
、
、
，则（ ）．
D ．
作的两条垂线段与x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为 A ．
B ．
C ．
第（1）题图 第（2）题图
（2）☆如图，A 、B 是函数的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC 的面积
S ，则（ ）．
A ．S=1 B ．1＜S ＜2 C ．S=2 D ．S ＞2
（3）如图，Rt △AOB 的顶点A 在双曲线上，且S △AOB=3，求m 的值．
第（3）题图 第（4）题图
（4）☆已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x
轴、y 轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x 轴、y 轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．
（5）如图，正比例函数y=kx（k ＞0）和反比例函数于B ，连接BC ，若△ABC 面积为S ，则S=_________．
的图象相交于A 、C 两点，过A 作x 轴垂线交x 轴
第（5）题图 第（6）题图
（6）如图在Rt △ABO 中，顶点A 是双曲线与直线在第四象限的交点，AB ⊥x 轴于B
且S △ABO=．
①求这两个函数的解析式；
②求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和△AOC 的面积．
（7）如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 、C 分别在x 轴、
y 轴上，点B 在函数（k ＞0，x ＞0）的图象上，点P （m ，n ）是函数（k ＞0，x ＞0）的图象上任意
一点，过P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为E 、F ，设矩形OEPF 在正方形OABC 以外的部分的面积为S ． ① 求B 点坐标和k 的值；
② 当时，求点P 的坐标；
③ 写出S 关于m 的函数关系式． 答案：（1）D ； （2）C ；（3）6； （4），
，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为
，前者大．
（5）1．
（6）①双曲线为，直线为； ②直线与两轴的交点分别为（0，）和（
，0），且A （1，
）和C （
，1），
因此面积为4．
（7）①B （3，3），
；
②时，E （6，0），；
③．
6．综合应用
（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（ ）．
A ．互为倒数 B ．符号相同 C ．绝对值相等 D ．符号相反
（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A 、B 两点：A （，1），B （1，n ）．
① 求反比例函数和一次函数的解析式；
② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．
（3）如图所示，已知一次函数（k ≠0）的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、
B 两点，且与反比例函数（m ≠0）的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D ，若OA=OB=OD=1．
① 求点A 、B 、D 的坐标；
② 求一次函数和反比例函数的解析式．
（4）☆如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象
限C 、D 两点，坐标轴交于A 、B 两点，连结OC ，OD （O 是坐标原点）． ① 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m 的值；
② 双曲线上是否存在一点P ，使得△POC 和△POD 的面积相等？若存在，给出证明并求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
（5）不解方程，判断下列方程解的个数．
①； ②．
答案： （1）D ．
（2）① 反比例函数为 ②范围是 （3）①A （0，
或
，一次函数为．
；
），B （0，1），D （1，0）；
②一次函数为，反比例函数为．
（4）①反比例函数为 ②存在
（2，2）．
，；
（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；
②构造双曲线
和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．
反比例函数知识点归纳和典型例题
（一）知识结构
（二）学习目标
1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式能判断一个给定函数是否为反比例函数．
（k 为常数，），
2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点．
3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数函数性质分析和解决一些简单的实际问题．
（k 为常数，）的函数关系和性质，能利用这些
4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．
5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法． （三）重点难点
1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用． 2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握． 二、基础知识
（一）反比例函数的概念
1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x 的指数为，在解决有关自变量指数
问题时应特别注意系数这一限制条件；
2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反比
例函数的解析式；
3．反比例函数
（二）反比例函数的图象
的自变量，故函数图象与x 轴、y 轴无交点．
在用描点法画反比例函数（三）反比例函数及其图象的性质
的图象时，应注意自变量x 的取值不能为0，且x 应对称取点（关于原点对称）．
1．函数解析式：（
）
3．图象：
越小，图象的弯曲度越大．
越大，图
2．自变量的取值范围： （1）图象的形状：双曲线． 象的弯曲度越小，曲线越平直． 置和性质：
（2）图象的位 与坐标轴没有 当
时，图
交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 当
时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大．
，
（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（ 图象关于直线上．
4．k 的几何意义
）在双曲线的另一支上． ，
）在双曲线的另一支
对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）和（
如图1，设点P （a ，b ）是双曲线上任意一点，作PA ⊥x 轴于A 点，PB ⊥y 轴于B 点，则矩形PBOA
的面积是（三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是）．
如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC ⊥PA 的延长线于C ，则有三角形PQC 的面积为
．
图1 图2 5．说明：
（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个
分支分别讨论，不能一概而论．
（2）直线 当对称．
与双曲线的关系：
时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心
时，两图象没有交点；当
（3）反比例函数与一次函数的联系． （四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法：
（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式． 2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上． （五）充分利用数形结合的思想解决问题． 三、例题分析
1☆．反比例函数的概念
（1）下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）． A ．y=3x B ．
C ．3xy=1 D ．
（2）下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）．
A ． B ． C ． D ．
答案：（1）C ；（2）A ．
2．图象和性质
是反比例函数，
（1）已知函数
①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________． ②若y 随x 的增大而减小，那么k=___________．
（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．
（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．
（4）已知a ·b ＜0，点P （a ，b ）在反比例函数 则直线
不经过的象限是（ ）．
的图象上，
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
（5）若P （2，2）和Q （m ，）是反比例函数图象上的两点，
则一次函数y=kx+m的图象经过（ ）．
A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限
（6）已知函数和（k ≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．
A ． B ． C ． D ． 答案：（1）①
②1；（2）一、三；（3）四；（4）C ；（5）C ；（6）B ．
3．函数的增减性
（1）在反比例函数（ ）．
的图象上有两点，，且，则的值为
A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．非负数
（2）在函数的大小关系是（ ）． A ．
＜
＜
（a 为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、
B ．＜＜ C ．＜＜ D ．＜＜
（3）下列四个函数中：①；②；③；④．
y 随x 的增大而减小的函数有（ ）．
A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x ＞0时，这个反比例函数的
函数值y 随x 的增大而 （填“增大”或“减小”）． 答案：（1）A ；（2）D ；（3）B ．
注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x 的增大而减小．
4．解析式的确定
（1）若与成反比例，与成正比例，则y 是z 的（ ）．
A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．不能确定
（2）若正比例函数y=2x与反比例函数它们的另一个交点为________．
的图象有一个交点为 （2，m ），则m=_____，k=________，
（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．
（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．
①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．
（5）☆为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒． 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的
含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与x 成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克． 请根据题中所提供的信息解答下列问题：
①药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为_________________．
②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；
③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 答案：（1）B ； （2）4，8，（ （3）依题意，
且
，
）；
．
，解得
（4）①依题意，解得
②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．
（5）①，，；
②30；③消毒时间为
5．面积计算
（分钟），所以消毒有效．
（1）☆如图，在函数的图象上有三个点A 、B 、C ，过这三个点分别向x 轴、y 轴作垂线，过每一点所
、
、
，则（ ）．
D ．
作的两条垂线段与x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为 A ．
B ．
C ．
第（1）题图 第（2）题图
（2）☆如图，A 、B 是函数的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC 的面积
S ，则（ ）．
A ．S=1 B ．1＜S ＜2 C ．S=2 D ．S ＞2
（3）如图，Rt △AOB 的顶点A 在双曲线上，且S △AOB=3，求m 的值．
第（3）题图 第（4）题图
（4）☆已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x
轴、y 轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x 轴、y 轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．
（5）如图，正比例函数y=kx（k ＞0）和反比例函数于B ，连接BC ，若△ABC 面积为S ，则S=_________．
的图象相交于A 、C 两点，过A 作x 轴垂线交x 轴
第（5）题图 第（6）题图
（6）如图在Rt △ABO 中，顶点A 是双曲线与直线在第四象限的交点，AB ⊥x 轴于B
且S △ABO=．
①求这两个函数的解析式；
②求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和△AOC 的面积．
（7）如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 、C 分别在x 轴、
y 轴上，点B 在函数（k ＞0，x ＞0）的图象上，点P （m ，n ）是函数（k ＞0，x ＞0）的图象上任意
一点，过P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为E 、F ，设矩形OEPF 在正方形OABC 以外的部分的面积为S ． ① 求B 点坐标和k 的值；
② 当时，求点P 的坐标；
③ 写出S 关于m 的函数关系式． 答案：（1）D ； （2）C ；（3）6； （4），
，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为
，前者大．
（5）1．
（6）①双曲线为，直线为； ②直线与两轴的交点分别为（0，）和（
，0），且A （1，
）和C （
，1），
因此面积为4．
（7）①B （3，3），
；
②时，E （6，0），；
③．
6．综合应用
（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（ ）．
A ．互为倒数 B ．符号相同 C ．绝对值相等 D ．符号相反
（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A 、B 两点：A （，1），B （1，n ）．
① 求反比例函数和一次函数的解析式；
② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．
（3）如图所示，已知一次函数（k ≠0）的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、
B 两点，且与反比例函数（m ≠0）的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D ，若OA=OB=OD=1．
① 求点A 、B 、D 的坐标；
② 求一次函数和反比例函数的解析式．
（4）☆如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象
限C 、D 两点，坐标轴交于A 、B 两点，连结OC ，OD （O 是坐标原点）． ① 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m 的值；
② 双曲线上是否存在一点P ，使得△POC 和△POD 的面积相等？若存在，给出证明并求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
（5）不解方程，判断下列方程解的个数．
①； ②．
答案： （1）D ．
（2）① 反比例函数为 ②范围是 （3）①A （0，
或
，一次函数为．
；
），B （0，1），D （1，0）；
②一次函数为，反比例函数为．
（4）①反比例函数为 ②存在
（2，2）．
，；
（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；
②构造双曲线
和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．