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第
黄冈师范学院学报
.+/012,+34/2155215-+062,7189:0;8
(
(
用判别式法求分式函数值域时的误区
袁明豪)严培胜)孙幸荣
黄冈师范学院数学系)湖北黄州BA$C###D
摘要!讨论了在某些特殊情况下利用二次方程的判别式求分式函数值域时可能发生的错误(关键词!分式函数E二次方程E判别式中图分类号!
文献标识码!G
文章编号!&##$%C#HCA
IJKLMKNOPQRKSTMJNSURQJROVWQJXYZS[KQOJSVY\J[KQOJ]R
ZSJXR^U_QR[ZQPQJSJKPMKLO_
e)e)e‘abcdQJXLSO‘bcfMQRLMJXgachQJXZOJX
A(()4/)$C###))D>:i
!o:pb^RKZS[K8;?/;;:p
!EEtMUNOZ_R302?
在一些有关初等数学教学研究的参考资料中)常介绍利用判别式求函数值域的方法A如文u&vwu
设有非常值的分式函数
}#|~!#|~
A&D
其中
}~!$#)}#~!#$#)}~}#$#A
并记{的值域为%(AD|
注记!当A中三条件的任一个中的不等号改为等号时)要求{的值域都是很容易的事)所以我A
将A式变形为关于|的方程&DA}#y&}D|~A!#y&!D|~A
显然)函数{的定义域不是空集)于是关于|的方程A必有解(利用A的判别式)可得一个关AD$D$D|
于y的不等式!
’AyDzA!#y&!D&BA}#y&}DA
即
’AyDzA!#&B}#
并且不等式A必定有解)记A的解集为)(BDBD
一般情况下)会有)z%)即由不等式A求得的解集)就是函数A的值域)这就是利用判别式求分BD&D
式函数值域的方法(无疑)这是一种简便易行的方法(
然而)由于从A式到A式并不一定是等价变换)也就是说)从A式到A式并不一定保持|与y&D$D&D$D间的对应关系)有可能改变了函数A的定义域)使得不等式A的解集并非{的值域)从而造成上述&DBDAD|方法所得结果出现错误)这就是本文所说的误区A即当)$%时而误认为)z%D(
收稿日期!
第,期袁明豪/等C用判别式法求分式函数值域时的误区
H
先看几个出现这种误区的例子!
按*
例
’+*’-*
于是得)此时若认为%的值域是6则是错的/容易验证/不可取值)5#51!&()/17&(!
可见#可取一切实&($&8+
’+’+,
数!但若认为%的值域是&则是错的/事实上/不可取值4也不可取值!&(+9/-9(&(/’%’
8
*
按前述方法推导可得*
例)设函数#于是#可取一切$%&($*//&($&)-*(34/’2##
’+’+*
实数!但若认为%的值域是&则是错的/不难验证/不可取值
)
*按前述方法推导可得*
例1设函数#可见#可取一切实$%&($//&($&+8(34/’2##
’+*
但若认为%的值域是&则是错的/不难验证/不可取值8数!&(+9/-9(&(!’%’现在我们来讨论出现误区的两种情况!
例*设函数#$%&($’
*
*
定理
证明
当:时/由条件&均不为零!我们来验证@=而A?!事实上/;$:;;*(/
:;:;
***2($&
*
$$4*
:;
所以@=!
:;
另一方面/由于&是非常值函数/故当:时/必有:即:将&式作如下
**
$%&’($**
:;’-
$
-*
:;:;&:;’-
可见/不可取值/即A?!证毕!&(%’
:;:;
定理*当&式的分子0分母有一次公因式时/
在证明定理*之前/先证明一个引理!
*
引理设:则>4/-B$4的二根/’’’-
:&’($*:’$E
其中后式根号前只取某一固定符号!
证明
据此立即推得由韦达定理/有’-’$+/&+’($*-
根号前只取某一固定符号立即得到另一方面/由’(/*
-
引理证毕!
以下是定理*的证明!
证明
设函数&的分子0分母有一次公因式’分情况讨论如下C
=(.=
黄冈师范学院学报
第.>卷
一!若
当
0’*)-%
--#’*+*)’*+*#)
.
’*$*)%
容易看到&且当*时以下验证%且事实上&%34&#$*34,35&35,(%
.
故%’%)-/7%成立&35,6
又当*由/得2再由
...6)-’/#+9
.
.
-:
.
.
%.
-/+1/-%
.
.
故
35,
综上所得&当’式的分子!分母有一次公因式*()+*-%时&%与%且
满足不等式’9)&
+*#)
但它们都不在4中&例.就是这种情形,
当
.
%(
-0’*)-.
#’*+*)’*+*#)#*12#
其中*分母的另一根&由于0是非常值函数&显然应有*#’)$*#,*(与*(分别是分子!((
否则将得到%(
容易得到&矛盾,这就是说又由定理$&’)--*#&34&*0*((
.
所以从而5$4,(的证明可得6)-
另外&将0作如下变形8’)*
0’*)-%((
-
’*$*)%
显然是异于的即%(%(%(
可见&当*不可取值以$*#’)’)&34,0*%(时&
%(
下验证35,
.
由于*的分子!分母的公因式’即*分母的公共根)得+2+*()&-
所以#1/#&
..
./#/+9
-.’.
又由引理得
及
../#+9
利用以上诸关系式得8
../+9
.%(%%.6)-’.
.
1’.
%(
所以35,
第I期袁明豪%等4用判别式法求分式函数值域时的误区
N$-N
满足不等式&$
时%如果!则与但它们都不在,中%例-就是这种情形.
(#(#)!
二/若(由条件)得%由于(且3的分子/分母有一次公因式!则#0&%#’&%’&%)*
1
00
2#!56#2#)!
其中!的分子的另一根.)*!$是3
3)!*0)!’!*&
)!
显然%不可取值(下证(事实上%由于!)*%7,.78.3!&是分母的
2#2#2#
11
根%得6又由于!由引理得(及2#0
&$&1&11:*02#*
2#2#2#
&$
故78.
2#所以%当(的分子/分母有一次公因式!且分子的另一因式为!#0&而函数)$*
满足不等式)但它不在,中%例+就是这种情形.+*%2#
定理1证毕.最后%我们不加证明地指出下列事实4
函数)是显函数%其右边是分式%函数)是隐函数%其左边是整式%一般说来%;产生误区的原因4$*-*的定义域只会在)的定义域的基础上有所扩大%而不会缩小%从而可能导致)的值域扩大了原来$*-*)-*函数)的值域.也就是说%的解集8应是隐函数)的值域%但可能是函数)的值域,的扩集%即$*)+*-*$*有,
由于初等函数在其定义域内连续%中3的不连续点只能在其分母的=误区产生的非函数值4)$*)*!
零点或无穷远处.将)式变为)式后%分母的零点或无穷远处可能成为)的连续点%当!处于这种$*-*-*
状况时%由)所得的>值将不在函数)的值域,中%而只能是)的极限.以上定理证明中出现的+*$*$*
(#
等恰是这样的值如&$
及%4(#)!
1当(#’&*?@A0)1
!BC(##!52#!56#(
&$&$
当!0)#*$’!&
!B!#)!
由以上两点说明及定理的证明可以看到%误区产生的后果通常是将函数)的值域扩大%而且这种$*
?@A
或使扩大仅仅表现为增加了个别值所以%为了预防步入误区%可将或:的)*0&的>值*.)*:>>
(#(#
零点代入)式中的>进行检验.如果能求得对应的!值%并且此值在3的定义域内%则3可取值$*)*)*!!或或的零点9否则的零点就不是函数)的函数值%应从8中去掉%再将余下的集合作)*)*$*:>:>(#(#为)的值域.此外%为了避免错误的发生%对于满足本文定理条件的函数3也可利用定理证明中将$*)*%!变形后的函数表达式去求其值域,%而不必借助于判别式法%就不再详加说明了.)*3!
参考文献4
邓鹤年%王海清.初等代数D武汉4湖北教育出版社%D$E毛信实%.$GHI.$H&J$H$.FE田万海%毛宏德.初等代数研究D北京4高等教育出版社%D1E余元希%.$GHH.1GIJ1GH.FE李炯生.高中数学竞赛教程D南京4江苏教育出版社%D-E常庚哲%.$GHG.$+1J$+K.FE
区*师专L中学数学教材教法与初等数学研究M教材编写组.初等代数研究D广州4广东高等教育出版D+E中南六省).FE
社%$GHG.1&$J1&-.
赵继源.初等代数研究D北京4中国地质大学出版社%DKE林六十%.$GG$.-&GJ-$&.FE
用判别式法求分式函数值域时的误区
作者：
作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
袁明豪， 严培胜， 孙幸荣
黄冈师范学院,数学系,湖北,黄州,438000黄冈师范学院学报
JOURNAL OF HUANGGANG NORMAL UNIVERSITY2003,23(6)
参考文献(5条)
1.林六十;赵继源 初等代数研究 1991
2.中南六省(区)师专《中学数学教材教法与初等数学研究》教材编写组 初等代数研究 19893.常庚哲;李炯生 高中数学竞赛教程 19894.余元希;田万海;毛宏德 初等代数研究 19885.毛信实;邓鹤年;王海清 初等代数 1986
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_hgsfxyxb200306004.aspx
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用判别式法求分式函数值域时的误区
袁明豪)严培胜)孙幸荣
黄冈师范学院数学系)湖北黄州BA$C###D
摘要!讨论了在某些特殊情况下利用二次方程的判别式求分式函数值域时可能发生的错误(关键词!分式函数E二次方程E判别式中图分类号!
文献标识码!G
文章编号!&##$%C#HCA
IJKLMKNOPQRKSTMJNSURQJROVWQJXYZS[KQOJSVY\J[KQOJ]R
ZSJXR^U_QR[ZQPQJSJKPMKLO_
e)e)e‘abcdQJXLSO‘bcfMQRLMJXgachQJXZOJX
A(()4/)$C###))D>:i
!o:pb^RKZS[K8;?/;;:p
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在一些有关初等数学教学研究的参考资料中)常介绍利用判别式求函数值域的方法A如文u&vwu
设有非常值的分式函数
}#|~!#|~
A&D
其中
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并记{的值域为%(AD|
注记!当A中三条件的任一个中的不等号改为等号时)要求{的值域都是很容易的事)所以我A
将A式变形为关于|的方程&DA}#y&}D|~A!#y&!D|~A
显然)函数{的定义域不是空集)于是关于|的方程A必有解(利用A的判别式)可得一个关AD$D$D|
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即
’AyDzA!#&B}#
并且不等式A必定有解)记A的解集为)(BDBD
一般情况下)会有)z%)即由不等式A求得的解集)就是函数A的值域)这就是利用判别式求分BD&D
式函数值域的方法(无疑)这是一种简便易行的方法(
然而)由于从A式到A式并不一定是等价变换)也就是说)从A式到A式并不一定保持|与y&D$D&D$D间的对应关系)有可能改变了函数A的定义域)使得不等式A的解集并非{的值域)从而造成上述&DBDAD|方法所得结果出现错误)这就是本文所说的误区A即当)$%时而误认为)z%D(
收稿日期!
第,期袁明豪/等C用判别式法求分式函数值域时的误区
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先看几个出现这种误区的例子!
按*
例
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于是得)此时若认为%的值域是6则是错的/容易验证/不可取值)5#51!&()/17&(!
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例)设函数#于是#可取一切$%&($*//&($&)-*(34/’2##
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实数!但若认为%的值域是&则是错的/不难验证/不可取值
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例1设函数#可见#可取一切实$%&($//&($&+8(34/’2##
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但若认为%的值域是&则是错的/不难验证/不可取值8数!&(+9/-9(&(!’%’现在我们来讨论出现误区的两种情况!
例*设函数#$%&($’
*
*
定理
证明
当:时/由条件&均不为零!我们来验证@=而A?!事实上/;$:;;*(/
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定理*当&式的分子0分母有一次公因式时/
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*
引理设:则>4/-B$4的二根/’’’-
:&’($*:’$E
其中后式根号前只取某一固定符号!
证明
据此立即推得由韦达定理/有’-’$+/&+’($*-
根号前只取某一固定符号立即得到另一方面/由’(/*
-
引理证毕!
以下是定理*的证明!
证明
设函数&的分子0分母有一次公因式’分情况讨论如下C
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黄冈师范学院学报
第.>卷
一!若
当
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又当*由/得2再由
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其中*分母的另一根&由于0是非常值函数&显然应有*#’)$*#,*(与*(分别是分子!((
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第I期袁明豪%等4用判别式法求分式函数值域时的误区
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满足不等式)但它不在,中%例+就是这种情形.+*%2#
定理1证毕.最后%我们不加证明地指出下列事实4
函数)是显函数%其右边是分式%函数)是隐函数%其左边是整式%一般说来%;产生误区的原因4$*-*的定义域只会在)的定义域的基础上有所扩大%而不会缩小%从而可能导致)的值域扩大了原来$*-*)-*函数)的值域.也就是说%的解集8应是隐函数)的值域%但可能是函数)的值域,的扩集%即$*)+*-*$*有,
由于初等函数在其定义域内连续%中3的不连续点只能在其分母的=误区产生的非函数值4)$*)*!
零点或无穷远处.将)式变为)式后%分母的零点或无穷远处可能成为)的连续点%当!处于这种$*-*-*
状况时%由)所得的>值将不在函数)的值域,中%而只能是)的极限.以上定理证明中出现的+*$*$*
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等恰是这样的值如&$
及%4(#)!
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由以上两点说明及定理的证明可以看到%误区产生的后果通常是将函数)的值域扩大%而且这种$*
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或使扩大仅仅表现为增加了个别值所以%为了预防步入误区%可将或:的)*0&的>值*.)*:>>
(#(#
零点代入)式中的>进行检验.如果能求得对应的!值%并且此值在3的定义域内%则3可取值$*)*)*!!或或的零点9否则的零点就不是函数)的函数值%应从8中去掉%再将余下的集合作)*)*$*:>:>(#(#为)的值域.此外%为了避免错误的发生%对于满足本文定理条件的函数3也可利用定理证明中将$*)*%!变形后的函数表达式去求其值域,%而不必借助于判别式法%就不再详加说明了.)*3!
参考文献4
邓鹤年%王海清.初等代数D武汉4湖北教育出版社%D$E毛信实%.$GHI.$H&J$H$.FE田万海%毛宏德.初等代数研究D北京4高等教育出版社%D1E余元希%.$GHH.1GIJ1GH.FE李炯生.高中数学竞赛教程D南京4江苏教育出版社%D-E常庚哲%.$GHG.$+1J$+K.FE
区*师专L中学数学教材教法与初等数学研究M教材编写组.初等代数研究D广州4广东高等教育出版D+E中南六省).FE
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赵继源.初等代数研究D北京4中国地质大学出版社%DKE林六十%.$GG$.-&GJ-$&.FE
用判别式法求分式函数值域时的误区
作者：
作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
袁明豪， 严培胜， 孙幸荣
黄冈师范学院,数学系,湖北,黄州,438000黄冈师范学院学报
JOURNAL OF HUANGGANG NORMAL UNIVERSITY2003,23(6)
参考文献(5条)
1.林六十;赵继源 初等代数研究 1991
2.中南六省(区)师专《中学数学教材教法与初等数学研究》教材编写组 初等代数研究 19893.常庚哲;李炯生 高中数学竞赛教程 19894.余元希;田万海;毛宏德 初等代数研究 19885.毛信实;邓鹤年;王海清 初等代数 1986
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_hgsfxyxb200306004.aspx