函数的值域与最值
教材分析：1、函数的值域与最值，特别是最值是高考重点，而且考察的题型涉
及选择、填空、解答题。
2、值域与最值知识在教材中比较分散，且方法较多，因此教学中要
善于总结。
教学目标：1、让学生掌握求值域的基本方法及基本函数的的值域。
2、培养学生观察、分析、总结、化归的能力，熟练各种方法。
教学重点：如何求值域
教学难点：判别式法、单调性法、数形结合法。
教学方法：导练法
教学过程：
一、知识提炼：
1、函数的定义域与值域的对应关系。
2、求函数值域的常用方法：
直接法、配方法、反函数法、判别式法、换元法、不等式法、单调性法、数
形结合法等。
二、例题讲解：
1例1：求函数y =x 2-x -(-1≤x ≤1) 的值域。 2
分析：此题是二次型函数值域问题，用配方法（学生回答）。
问题：在解此题要注意什么？（学生回答）。
x 2-x +1例2：求函数y =2的值域。 2x -2x +3
分析：此题是分式型函数值域问题，判别式法（学生回答）。
问题：在解此题要注意什么？（学生回答）（对所求值域的端点进行检验）。
e x -1例3：求函数y =x 的反函数的定义域。 e +1
分析：问题：互为反函数的定义域与值域存在怎样的关系？
此题采用不等式法或反解法。
23例4：求下列函数的值域(1)y=6x-2x , (0
(2) 若正数a 、b 满足ab=a+b+3,求ab 的取值 范围（99年高考题）。
分析：均值不等式可以解决诸多特殊条件的函数值域问题，变形恰当，柳暗花明。
例5 求下列函数的值域：
（1）
y =5-x +；（2
）y =x -2+
分析：比较代数换元，三角换元的不同特点，注意变量的范围。
例6：求下列函数的值域：
（1）y =2x 2+2x y =log 1 （2） （2）(-x 2+2x +1) 2
分析：求复合函数的值域时，注意内层函数的自变量的范围。
y 22例7：已知圆C ：x -4x+y+1=0上任意一点P （x,y), 求 的最大值与最小值。 x
y y -0y 分析：=，将看成点P （x,y ）与原点的连线的斜率在求解。 x x -0x
22变式：已知圆C ：x +y-4x+6y+11=0,求x+y+4的最值。（学生完成）
三、总结：1、求值域时不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域的
制约作用．
2、判别式法求值域对端点要进行检验．
3、利用均值不等式时要注意必须满足已知条件和不等式一端是常数，等号能成立．
4、熟练掌握求函数值域的几种方法，注意适用类型．
四、作业：名师对话
函数的值域与最值
教材分析：1、函数的值域与最值，特别是最值是高考重点，而且考察的题型涉
及选择、填空、解答题。
2、值域与最值知识在教材中比较分散，且方法较多，因此教学中要
善于总结。
教学目标：1、让学生掌握求值域的基本方法及基本函数的的值域。
2、培养学生观察、分析、总结、化归的能力，熟练各种方法。
教学重点：如何求值域
教学难点：判别式法、单调性法、数形结合法。
教学方法：导练法
教学过程：
一、知识提炼：
1、函数的定义域与值域的对应关系。
2、求函数值域的常用方法：
直接法、配方法、反函数法、判别式法、换元法、不等式法、单调性法、数
形结合法等。
二、例题讲解：
1例1：求函数y =x 2-x -(-1≤x ≤1) 的值域。 2
分析：此题是二次型函数值域问题，用配方法（学生回答）。
问题：在解此题要注意什么？（学生回答）。
x 2-x +1例2：求函数y =2的值域。 2x -2x +3
分析：此题是分式型函数值域问题，判别式法（学生回答）。
问题：在解此题要注意什么？（学生回答）（对所求值域的端点进行检验）。
e x -1例3：求函数y =x 的反函数的定义域。 e +1
分析：问题：互为反函数的定义域与值域存在怎样的关系？
此题采用不等式法或反解法。
23例4：求下列函数的值域(1)y=6x-2x , (0
(2) 若正数a 、b 满足ab=a+b+3,求ab 的取值 范围（99年高考题）。
分析：均值不等式可以解决诸多特殊条件的函数值域问题，变形恰当，柳暗花明。
例5 求下列函数的值域：
（1）
y =5-x +；（2
）y =x -2+
分析：比较代数换元，三角换元的不同特点，注意变量的范围。
例6：求下列函数的值域：
（1）y =2x 2+2x y =log 1 （2） （2）(-x 2+2x +1) 2
分析：求复合函数的值域时，注意内层函数的自变量的范围。
y 22例7：已知圆C ：x -4x+y+1=0上任意一点P （x,y), 求 的最大值与最小值。 x
y y -0y 分析：=，将看成点P （x,y ）与原点的连线的斜率在求解。 x x -0x
22变式：已知圆C ：x +y-4x+6y+11=0,求x+y+4的最值。（学生完成）
三、总结：1、求值域时不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域的
制约作用．
2、判别式法求值域对端点要进行检验．
3、利用均值不等式时要注意必须满足已知条件和不等式一端是常数，等号能成立．
4、熟练掌握求函数值域的几种方法，注意适用类型．
四、作业：名师对话