函数的值域：
函数的定义域是使函数有意义的自变量x 的取值集合，而值域是函数值y 的集合． 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。
①直接法：利用常见函数的值域来求；
(1)一次函数y ＝kx ＋b(k≠0) 的定义域为 R ；值域为 R . （2）反比例函数y =
k x
(k ≠0) 的定义域为≠0}，值域为{y |y ≠0}；
（3）二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 的定义域为R ，
当a >0时，值域为{y |y ≥
4ac -b 4a
2
}；
2
当a
4a
②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：
f (x ) =ax
2
+bx +c , x ∈(m , n ) 的形式；
d bx +c
③分式转化法（或改为“分离常数法”）：爸原式化成y =a +的形式；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围；
⑥数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域； ⑧逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型如：y =
ax +b
cx +d
k
9基本不等式法：转化成型如：y =x + ○ (k >0) ，利用平均值不等式公式来求值域；
x
, x ∈(m , n ) ；
10三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域. ○
【例】求下列函数的值域：
（1）y =3x -x +2； （2）y =
2
3x +1x -2
2
； （3
）y =x +
（4）y =|x -1|+|x +4|； （5）y =
2x -x +2x +x +1
22
； （6
）y = ；
（7
）y =x + （8）y =
2x -x +12x -1
(x >
12
) ； （9）y =
1-sin x 2-cos x
解：（1）（配方法） y =3x 2-x +2=3(x -[2312, +∞) 16
) +
2
2312
≥
2312
， ∴y =3x 2-x +2的值域为
改题：求函数y =3x 2-x +2，x ∈[1,3]的值域
解：（利用函数的单调性）函数y =3x 2-x +2在x ∈[1,3]上单调增， ∴当x =1时，原函数有最小值为4；当x =3时，原函数有最大值为26∴函数y =3x 2-x +2，x ∈[1,3]的值域为[4,26]
（2）（法一）分离变量法：y ∵
7x -2
≠0
=
3x +1x -2
=
3(x -2) +7
x -2
=3+
7x -2
，
，∴3+
7x -2
=
≠3
， ∴函数y =的反函数为y
=
3x +1x -2
x -3
的值域为{y ∈R |y ≠3}
（法二）反函数法：y ∴原函数y =
3x +1x -2
3x +1x -2
2x +1
，其定义域为{x ∈R |x ≠3}，
的值域为{y ∈R |y ≠3}
（3）换元法（代数换元法）
：设t =
≥0，则x =1-t 2，
∴原函数可化为y =1-t 2+4t =-(t -2) 2+5(t ≥0) ，∴y ≤5， ∴原函数值域为(-∞, 5]
说明：总
结y =a x +y =ax +b +
2
型d 值域，变形
：y =ax +b +
2
或
⎧-2x -3⎪
y =|x -1|+|x +4|=⎨5
⎪2x +3⎩
(x ≤-4) (-4
（4）数形结合法：，
∴y ≥5， ∴函数值域为[5,+∞) （5）判别式法：∵x +x +1>0恒成立，∴函数的定义域为R 2
由y =
2x -x +2x +x +1
2
2
得：(y -2) x +(y +1) x +y -2=0 ①
2
①当y -2=0即y =2时，①即3x +0=0，∴x =0∈R
②当y -2≠0即y ≠2时，∵x ∈R 时方程(y -2) x +(y +1) x +y -2=0恒有实根， ∴ =(y +1) -4⨯(y -2) ≥0，∴1≤y ≤5且y ≠2， ∴原函数的值域为[1,5]
2
2
2
（6）求复合函数的值域： 设μ=-x 2-6x -5（μ≥0），则原函数可化为y
=又∵μ=-x 2-6x -5=-(x +3) 2+4≤4， ∴0≤
μ≤4[0,2]，
∴y =
[0,2]
（7）三角换元法： ∵1-x 2≥0⇒-1≤x ≤1，∴设x =cos α, α∈[0,π]，
则y =cos α+sin α=
π
4
2
α+
π
4
) ， ∵α∈[0,π]，∴α+
π4
∈[
π5π4, 4
]，
∴sin(α+) ∈[-，
∴α+
π
4
) ∈[-，
∴原函数的值域为[-1
（8）不等式法：y
=
2x -x +12x -1
2
=
x (2x -1) +12x -1
=x +
12x -1
=x -
12
+
x -
12
+
12
，
112
≥∵x >
12
，∴x -
12
1
>
0，∴x -
12
+
2x -
当且仅当x -
12
=
2x -
12
时，即x =
1+2
∴y ≥12
，
∴原函数的值域为12
, +∞)
（9）（法一）方程法：原函数可化为：sin x -y cos x =1-2y ，
∴x -ϕ) =1-2y （其
中cos ϕ=
sin ϕ=
），
∴sin(x -ϕ) =
[-1,1]，
4
4
， ∴原函数的值域为[0,]
33
∴|1-2y |≤3y -4y ≤0，∴0≤y ≤【练习1】：
2
2
（1）求函数y =-x -2x +3(-5≤x ≤-2) 的值域. ； （2）求函数y =
5x -14x +2
2
的值域. ；
（3）求函数y =
2x -2x +3x -x +1
2
2
的值域. ； （4）求函数y =
2x -2x +3x -x +1
2
的
值域.
[答案]（1）配方法：[-12,3]；（2）分离常量法：⎨y y ∈R , 且y ≠
⎩⎧
5⎫
⎬； 4⎭
（3）判别式法： 2,
⎝
⎛
10⎤⎡15⎫
；（4）换元法：, +∞⎪。 ⎢83⎥⎦⎣⎭
【练习2】：
（1）求函数y =-x -4x +6在[1, 5)上的值域. ；（2）求函数y =
2
x -4x +32x -x -1
2
2
的值域和
y =
x -x x -x +1
2
2
值域. ；
x +2x +3x +6
2
（3）求函数y =
y =x +
的值域. ； （4）求函数y =6x +1+23x -1的值域和
2x +1值域.
[答案]（1）配方法：[2, 11)； （2）分离常量法：⎨y y ∈R , 且y ≠
⎩
⎧12
, 且y ≠-
2⎫
⎬；3⎭
⎡1⎫
； ⎢-3, 1⎪
⎣⎭
（3）判别式法：⎢-
⎣
⎡
11⎤⎡1⎫
, ⎥； （4）换元法：[3, +∞)；⎢-, +∞⎪。 53⎦⎣2⎭
函数的值域：
函数的定义域是使函数有意义的自变量x 的取值集合，而值域是函数值y 的集合． 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。
①直接法：利用常见函数的值域来求；
(1)一次函数y ＝kx ＋b(k≠0) 的定义域为 R ；值域为 R . （2）反比例函数y =
k x
(k ≠0) 的定义域为≠0}，值域为{y |y ≠0}；
（3）二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 的定义域为R ，
当a >0时，值域为{y |y ≥
4ac -b 4a
2
}；
2
当a
4a
②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：
f (x ) =ax
2
+bx +c , x ∈(m , n ) 的形式；
d bx +c
③分式转化法（或改为“分离常数法”）：爸原式化成y =a +的形式；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围；
⑥数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域； ⑧逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型如：y =
ax +b
cx +d
k
9基本不等式法：转化成型如：y =x + ○ (k >0) ，利用平均值不等式公式来求值域；
x
, x ∈(m , n ) ；
10三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域. ○
【例】求下列函数的值域：
（1）y =3x -x +2； （2）y =
2
3x +1x -2
2
； （3
）y =x +
（4）y =|x -1|+|x +4|； （5）y =
2x -x +2x +x +1
22
； （6
）y = ；
（7
）y =x + （8）y =
2x -x +12x -1
(x >
12
) ； （9）y =
1-sin x 2-cos x
解：（1）（配方法） y =3x 2-x +2=3(x -[2312, +∞) 16
) +
2
2312
≥
2312
， ∴y =3x 2-x +2的值域为
改题：求函数y =3x 2-x +2，x ∈[1,3]的值域
解：（利用函数的单调性）函数y =3x 2-x +2在x ∈[1,3]上单调增， ∴当x =1时，原函数有最小值为4；当x =3时，原函数有最大值为26∴函数y =3x 2-x +2，x ∈[1,3]的值域为[4,26]
（2）（法一）分离变量法：y ∵
7x -2
≠0
=
3x +1x -2
=
3(x -2) +7
x -2
=3+
7x -2
，
，∴3+
7x -2
=
≠3
， ∴函数y =的反函数为y
=
3x +1x -2
x -3
的值域为{y ∈R |y ≠3}
（法二）反函数法：y ∴原函数y =
3x +1x -2
3x +1x -2
2x +1
，其定义域为{x ∈R |x ≠3}，
的值域为{y ∈R |y ≠3}
（3）换元法（代数换元法）
：设t =
≥0，则x =1-t 2，
∴原函数可化为y =1-t 2+4t =-(t -2) 2+5(t ≥0) ，∴y ≤5， ∴原函数值域为(-∞, 5]
说明：总
结y =a x +y =ax +b +
2
型d 值域，变形
：y =ax +b +
2
或
⎧-2x -3⎪
y =|x -1|+|x +4|=⎨5
⎪2x +3⎩
(x ≤-4) (-4
（4）数形结合法：，
∴y ≥5， ∴函数值域为[5,+∞) （5）判别式法：∵x +x +1>0恒成立，∴函数的定义域为R 2
由y =
2x -x +2x +x +1
2
2
得：(y -2) x +(y +1) x +y -2=0 ①
2
①当y -2=0即y =2时，①即3x +0=0，∴x =0∈R
②当y -2≠0即y ≠2时，∵x ∈R 时方程(y -2) x +(y +1) x +y -2=0恒有实根， ∴ =(y +1) -4⨯(y -2) ≥0，∴1≤y ≤5且y ≠2， ∴原函数的值域为[1,5]
2
2
2
（6）求复合函数的值域： 设μ=-x 2-6x -5（μ≥0），则原函数可化为y
=又∵μ=-x 2-6x -5=-(x +3) 2+4≤4， ∴0≤
μ≤4[0,2]，
∴y =
[0,2]
（7）三角换元法： ∵1-x 2≥0⇒-1≤x ≤1，∴设x =cos α, α∈[0,π]，
则y =cos α+sin α=
π
4
2
α+
π
4
) ， ∵α∈[0,π]，∴α+
π4
∈[
π5π4, 4
]，
∴sin(α+) ∈[-，
∴α+
π
4
) ∈[-，
∴原函数的值域为[-1
（8）不等式法：y
=
2x -x +12x -1
2
=
x (2x -1) +12x -1
=x +
12x -1
=x -
12
+
x -
12
+
12
，
112
≥∵x >
12
，∴x -
12
1
>
0，∴x -
12
+
2x -
当且仅当x -
12
=
2x -
12
时，即x =
1+2
∴y ≥12
，
∴原函数的值域为12
, +∞)
（9）（法一）方程法：原函数可化为：sin x -y cos x =1-2y ，
∴x -ϕ) =1-2y （其
中cos ϕ=
sin ϕ=
），
∴sin(x -ϕ) =
[-1,1]，
4
4
， ∴原函数的值域为[0,]
33
∴|1-2y |≤3y -4y ≤0，∴0≤y ≤【练习1】：
2
2
（1）求函数y =-x -2x +3(-5≤x ≤-2) 的值域. ； （2）求函数y =
5x -14x +2
2
的值域. ；
（3）求函数y =
2x -2x +3x -x +1
2
2
的值域. ； （4）求函数y =
2x -2x +3x -x +1
2
的
值域.
[答案]（1）配方法：[-12,3]；（2）分离常量法：⎨y y ∈R , 且y ≠
⎩⎧
5⎫
⎬； 4⎭
（3）判别式法： 2,
⎝
⎛
10⎤⎡15⎫
；（4）换元法：, +∞⎪。 ⎢83⎥⎦⎣⎭
【练习2】：
（1）求函数y =-x -4x +6在[1, 5)上的值域. ；（2）求函数y =
2
x -4x +32x -x -1
2
2
的值域和
y =
x -x x -x +1
2
2
值域. ；
x +2x +3x +6
2
（3）求函数y =
y =x +
的值域. ； （4）求函数y =6x +1+23x -1的值域和
2x +1值域.
[答案]（1）配方法：[2, 11)； （2）分离常量法：⎨y y ∈R , 且y ≠
⎩
⎧12
, 且y ≠-
2⎫
⎬；3⎭
⎡1⎫
； ⎢-3, 1⎪
⎣⎭
（3）判别式法：⎢-
⎣
⎡
11⎤⎡1⎫
, ⎥； （4）换元法：[3, +∞)；⎢-, +∞⎪。 53⎦⎣2⎭