1.2.1函数的概念中定义域和值域求法

1.2.1函数的概念中关于函数定义域和函数值域的求法：

一．函数的定义域

1.函数的定义域是自变量x的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约。如函数y

Sr的定义域为2x的定义域为xx0，圆半径r与圆面积S的函数关系为rr0。

2.函数定义域的求法:

（1）求函数定义域的一般原则是：

①如果fx为整式，其定义域为实数集R；

②若fx是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合。

③若fx是偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合。

④若fx是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集。⑤fxx0的定义域是xRx0。

（2）抽象函数的定义域

①函数fx的定义域是指x的取值范围所组成的集合。

②函数fx的定义域还是指x的取值范围，而不是x的范围。

③已知fx的定义域是A，求fx的定义域，其实质是已知x的取值范围A，求出x的取值范围。 ④已知fx的定义域是B，求fx的定义域，其实质是已知fx中的x的取值范围为B，求出x的范围（值域），此范围就是fx的定义域。

⑤同在对应法则f下的范围相同，即ft,fx,fhx三个函数中的t,x,hx的范围相同。例1：若函数fx1的定义域是-2,3，则yf2x1的定义域是？

（3）如果是实际问题，除应考虑解析式本身有意义外，还应考虑实际问题有意义。

（4）定义域的逆向思维问题。

给出函数的解析式可以求出其定义域，有时我们也会遇到给出函数式并给出定义域，要求其函数式中参数的取值范围。

例2：已知函数y

mx6mxm8的定义域为R，则m的取值范围是? 2

二．函数的值域

1.函数的值域

对于函数yfx,xA，与x的值对应的y值叫函数值。如：函数yx25x3，当x=3时，

2y353327叫x=3时的函数值，函数值的集合fxxA叫函数的值域。

注意fx和fa的联系与区别：

fx是表示自变量x满足对应关系f的函数关系式，fa表示当xa时函数fx的值；在一般情况下，fx是一个变量，而fa是fx的一个具体的值，是常量。

如fx2x23x4，则

f32333429945. 2

13111 fa2a3a4a2a4. 222222

2.函数值域的求法

（1）基本初等函数的定义域和值域：

①一次函数fxkxb(k0)的定义域是R，值域是R.

②反比例函数fxk

x(k0)的定义域是-，00,，值域-，00,。

③二次函数fxax2bxca0的定义域是R.当a0时，值域是b,f2a当a0时，值域；



是-，f

b。 2a

（2）求函数值域的常用方法。

①观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域；如求函数y2。 4x的值域时，由x0及4-x0知4-x0,2。故所求的值域为0，2222

②配方法：若函数是二次函数形式即可化为yaxbxc(a0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间二次函数最值的求法。如求yx2x3的值域，因为y2。 x122，故所求的值域为2，2

③判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等。使用此方法特别注意自变量的取值范围。如

例3.求函数y

2x4x7x2x322的值域。

④换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数划归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域。如

例4.求函数yx

⑤分离常数法：将形如y

cxd

axb

域。如 a(axb)daxb

5x1

4x2cxdaxb(a0)的函数，分离常数，变形过程为2x1的值域。 bcaca，再结合x的范围确定a的取值范围，从而确定函数的值aaxbaxbdbcdbc例5.求函数y

的值域。