等分任意三角形面积的分割线有多少条
亮兵中学郭立新
如何将一个三角形面积分割成两个相等的部分，
是我们已熟知的问题，只要沿三角形的中线，即可把
三角形分割成面积相等的两个部分，许多同学认为，A 这样的分割线只有三条，但是，这样的分割线到底有
多少条呢？
问题1：请用一条直线，把△ABC 分割为面积相
等的两部分。
解：如右图，取BC 的中点，记为点D ，连结
AD ，则AD 所在直线把△ABC 分成面积相等的两个B C 部分。 D 大家知道，这样分割线一共有三条，分别是经过
△ABC 的三条中线的直线，能把△ABC 的面积分成
相等两部分。除了这三条以外，还有很多种，并且对于△ABC 边上任意一点，都可以找到一条经过这点且把三角形面积平分的直线。
问题2：点E 是△ABC 中AB 边上的任意一点，且AE≠BE，过点E 求作一条直线，把△ABC 分成面积相等的两部分。
解：如右图，取AB 的中点D ，连结CD ，过点D 作DF ‖CE ，交BC 于点
A F ，则直线EF 就是所求的分割线。
证明：设CD 、EF 相交于点P
∵点D 是AB 的中点
∴AD=BD ∴S △CAD=S△CBD P ∴S 四边形CAEP ＋S △PED=S四边形DPFB ＋S △
PCF
又∵DF ‖CE ∴S △FED=S△DCF （同底等高）
即：S △PED=S△PCF B F C ∴S 四边形CAEP=S四边形DPFB
∴S 四边形CAEP ＋SPCF=S四边形DPFB ＋S △PED
即S 四边形AEFC=S△EBF
由此可知，把三角形面积进行平分的直线有无数条，而且经过边上任意一条直线，运用梯形对角线的特殊性质，很容易作出这样的分割线。 那么，这些分割线会不会交于某特定的一点呢？
大家知道，三角形的三条中线都把三角形分成面积相等的两个部分，而三条中线交于它的重心，如果
这些分割线相交于一点，那么这点必定是三角形的重
心。
问题3：已知：如右图，在△ABC 中，G 是△ABC 的重心，过点G 作EF ‖BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，求证：S △AEF ：S △ABC=4:9
证明：延长AG ，交BC 于点D
∵点G 是△ABC 的重心
∴AG:AD=2:3
又∵EF ‖BC ，∴△AEF ∽△ABC ∴S △AEF ：S △ABC=4:9
由本题可得：平行于底边且经过重心G 的直线EF 把三角形面积分为4:9两部分，直线EF 并不是三角形的等积分割线。而根据问题2，可以找到一条过点E 把三角形面积平分的一条直线，这条直线必不过重心G 。
综上可知，三角形的等积分割线有无数条，而且任意给定边上一点，都可以作出相应的等积分割线，且只有一条，所有的分割线并不相交于三角形的重心。
等分任意三角形面积的分割线有多少条
亮兵中学郭立新
如何将一个三角形面积分割成两个相等的部分，
是我们已熟知的问题，只要沿三角形的中线，即可把
三角形分割成面积相等的两个部分，许多同学认为，A 这样的分割线只有三条，但是，这样的分割线到底有
多少条呢？
问题1：请用一条直线，把△ABC 分割为面积相
等的两部分。
解：如右图，取BC 的中点，记为点D ，连结
AD ，则AD 所在直线把△ABC 分成面积相等的两个B C 部分。 D 大家知道，这样分割线一共有三条，分别是经过
△ABC 的三条中线的直线，能把△ABC 的面积分成
相等两部分。除了这三条以外，还有很多种，并且对于△ABC 边上任意一点，都可以找到一条经过这点且把三角形面积平分的直线。
问题2：点E 是△ABC 中AB 边上的任意一点，且AE≠BE，过点E 求作一条直线，把△ABC 分成面积相等的两部分。
解：如右图，取AB 的中点D ，连结CD ，过点D 作DF ‖CE ，交BC 于点
A F ，则直线EF 就是所求的分割线。
证明：设CD 、EF 相交于点P
∵点D 是AB 的中点
∴AD=BD ∴S △CAD=S△CBD P ∴S 四边形CAEP ＋S △PED=S四边形DPFB ＋S △
PCF
又∵DF ‖CE ∴S △FED=S△DCF （同底等高）
即：S △PED=S△PCF B F C ∴S 四边形CAEP=S四边形DPFB
∴S 四边形CAEP ＋SPCF=S四边形DPFB ＋S △PED
即S 四边形AEFC=S△EBF
由此可知，把三角形面积进行平分的直线有无数条，而且经过边上任意一条直线，运用梯形对角线的特殊性质，很容易作出这样的分割线。 那么，这些分割线会不会交于某特定的一点呢？
大家知道，三角形的三条中线都把三角形分成面积相等的两个部分，而三条中线交于它的重心，如果
这些分割线相交于一点，那么这点必定是三角形的重
心。
问题3：已知：如右图，在△ABC 中，G 是△ABC 的重心，过点G 作EF ‖BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，求证：S △AEF ：S △ABC=4:9
证明：延长AG ，交BC 于点D
∵点G 是△ABC 的重心
∴AG:AD=2:3
又∵EF ‖BC ，∴△AEF ∽△ABC ∴S △AEF ：S △ABC=4:9
由本题可得：平行于底边且经过重心G 的直线EF 把三角形面积分为4:9两部分，直线EF 并不是三角形的等积分割线。而根据问题2，可以找到一条过点E 把三角形面积平分的一条直线，这条直线必不过重心G 。
综上可知，三角形的等积分割线有无数条，而且任意给定边上一点，都可以作出相应的等积分割线，且只有一条，所有的分割线并不相交于三角形的重心。