（三）解几何题技巧
1. 等分图形
【均分整体】有些几何问题，只要把大图形均分为若干个小图形，就能找到问题的答案。
例如，下面两图中的正方形分别内接于同一个等腰直角三角形（内接指四个顶点全在三角形的边上）。已知左图（图4.11）中正方形面积为72平方厘米，求右图（4.12）中正方形的面积。
由于左右两个三角形完全相同，我们不妨把这两个图形进行等分，看看这两个正方形分别与同一个等腰直角三角形有什么样的关系。等分后的情况见图4.13和图4.14。
积是
图4.12的正方形面积是
【均分局部】有些几何问题，整体的均分不太方便，或不能够办到，这时可以考虑把它的局部去均分，然后从整体上去观察，往往也能使问题获得解决。 例如图4.15，在正方形ABCD 中，画有甲、乙、丙三个小正方形。问：乙、丙面积之和与甲相比，哪一个大些？
大家由前面的“均分整体”已经知道，像甲、乙这样的两个正方形，面积不是相等的。如图4.16，经过等分，正方形甲的面积等于△ABC 面积的一半；正方形丙的面积等于△EDF 的一半，正方形乙的面积等于梯形ACFE 面积的一半。这样，一个大正方形ABCD ，就划分成了三个局部：等腰直角△ABC ；等腰梯形ACFE ；等腰直角△EDF 。其中甲、乙、丙的面积分别为各自所在图形的一半，而△EDF 的面积加梯形ACFE 的面积等于△ADC 的面积，即等于△ABC 的面积。所以，乙、丙面积之和等于甲的面积。
2. 平移变换
【平移线段】有些几何问题，通过线段的上、下、左、右平移以后，能使问
题很快地得到正确的解答。
例如，下面的两个图形（图4.17和图4.18）的周长是否相等？
单凭眼睛观察，似乎图4.18的周长比图4.17的要长一些。但把有关线段平移以后，图4.18就变成了图4.19，其中的线段，有的上移，有的左移，有的右移，它可移成一个正方形。于是，不难发现两图周长是相等的。
【平移空白或阴影部分】有些求阴影部分或空白部分面积的几何题，采用平移空白部分或平移阴影部分的办法，往往能化难为易，很快使问题求得解答。例如，计算图4.20中阴影部分的面积。
圆面积”，然后相加，得整个阴影部分的面积。这显然是很费时费力的。但认真观察一下就会发现，图4.20左半左上部的空白部分，与右半左上部的阴影部分大小一样，只需将右半左上部的阴影部分，平移到左半左上部的空白部分，所有的阴影部分便构成一个正方形了（如图4.21）。所以，阴影部分的面积很快就可求得为5×5=25。
又如，一块长30米，宽24米的草地，中间有两条宽2米的走道，把草地分为四块，求草地的面积（如图4.22）。
这只要把丙向甲平移靠拢，把丁向乙平移靠拢，题目也就很快能解答出来了。（具体解法略）
3. 旋转变换
【旋转成定角】例如下面的题目：
“在图4.23中，半径为8厘米的圆的内外各有一个正方形，圆内正方形顶点都在圆周上，圆外正方形四条边与圆都只有一个接触点。问：“大正方形的面积比小正方形的面积大多少？”
按一般方法，先求大、小正方形的面积，再求它们的差，显然是有难度的。若将小正方形围绕圆心旋转45°，使原图变成图4.24，容易发现，小正方形的面积为大正方形面积的一半。所以，大正方形面积比小正方形的面积大
（8×2）×（8×2）÷2
=16×16÷2
=128（平方厘米）
又如，如图4.25，求正方形内阴影部分的面积。（单位：厘米）
表面上看，题目也是很难解答的。但只要将两个卵叶片形的阴影部分绕正方形的中心，分别按顺时针和逆时针方向旋转90°，就得到了一个由阴影部分组成的半圆（如图4.26），于是，阴影部分的面积就很容易解答出来了。（解答略）
【开扇式旋转】有些图形相互交错，增加了解答的难度。若像打开折扇一样，绕着某个定点作“开扇式”旋转，往往会使人顿开茅塞，使问题很快获得解决。例如，求图4.27的阴影部分的面积（单位：厘米）。若采用正方形面积减空白部分面积的求法，
计算量是很大的。由于它是由两个形状相同的扇形交叉重叠而成的，我们不妨把右下部的扇形打开，顺时针方向旋转90°，得到图4.28；再继续旋转，得到图4.29。在图4.29中，阴影部分面积便是半圆面积减三角形面积的差。所以，阴影部分面积是
42×3.14÷2-（4+4）×4×
2
=25.12-16
=9.12（平方厘米）
又如，求图4.30阴影部分的面积（单位：厘米）。
将这个图从中间剪开，以o 为旋转中心，将右半部分按顺时针方向转到左半部下方，便变成了图4.31。于是，阴影部分的面积便是半圆面积减去两直角边均为2厘米的一个空白等腰直角三角形面积的差。即
（4÷2）2×3.14÷2-2×2÷2
=6.28-2
=4.28（平方厘米）
4. 对称变换
【将军饮马】据说古代希腊有一位将军向当时的大学者海伦请教一个问题：从A 地出发到河边饮马，再到B 地（如图4.32所示），走什么样的路最近？如何确定饮马的地点？
海伦的方法是这样的：如图4.33，设L 为河，作AO ⊥L 交L 于O 点，延长AO 至A ＇，使A ＇O=AO。连结A ＇B ，交L 于C ，则C 点就是所要求的饮马地点。再连结AC ，则路程（AC+CB）为最短的路程。
为什么呢？因为A ＇是A 点关于L 的对称点，AC 与A ＇C 是相等的。而A ＇B 是一条线段，所以A ＇B 是连结A ＇、B 这两点间的所有线中，最短的一条，所以AC+CB=A＇C+CB=A＇B 也是最短的一条路了。这就是海伦运用对称变换，找到的一种最巧妙的解题方法。运用这种办法，可以巧妙地解决许多几何问题。
【划线均分】通过中心对称图形的对称中心，任意画一条直线，都可以把原图形均分成两个大小、形状完全相同的图形。利用这一性质，可以使某些较复杂的问题迅速地解答出来。例如
（1）把图形（图4.34）的面积，用一条直线分成相等的两个部分。
解题时，只要把这个图形看成是由两个矩形（长方形）组成的组合图形，而矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形， 所以只要找出两个对称中心（对角线交点），利用中心对称图形的上述性质，通过两个对称中心作一条直线，就能把它的面积分成相等的两个部分了。如前页的三种分法都行（如图4.35所示）。
（2）如图4.36，长方形ABCD 内有一个以O
点为圆心的圆，请画一条直
线，同时将长方形和圆分为面积相等的两个部分。
大家知道，长方形和圆都既是轴对称图形，又是中心对称图形。长方形的对称中心是对角线的交点，圆的对称中心是它的圆心。
根据中心对称图形的上述性质，先找出这两个对称中心O 点和P 点（如图
4.37），再过O 、P 作直线L ，此直线L 即是所画的那根直线。
5. 割补、拼接、截割
【割补】在数学中，把图形的某个部分割下，补到某一个新的位置，往往可以使新的图形，更便于发现数量关系，从而较快地解答出数学题目。
例如，在图4.38中，三个圆的面积都是12.56平方厘米，且三个圆两两相交，三个交点都是圆心，求三块阴影部分的面积。
从表面上看，题目是无法解答的。但只要仔细观察就能发现，根据轴对称性及割补方法，题目可作如下的解答：
如图4.39，将图形1翻折到图形2的位置；再将图形3和4
割下来，合并
在一起，补到图形5的位置上。于是，原来的阴影部分就正好拼成了一个半圆。所以，三块阴影部分的面积是12.56÷2=6.28（平方厘米）
【拼接，截割】
（1）平面图形的拼接、截割。
拼接和截割，是两个相反的过程。平面图形的拼接是把两个或两个以上的图形拼接在一起；平面图形的截割，是把一个图形截割成两个或两个以上的图形。 平面几何图形拼接或截割以后，面积和周长的变化有以下规律：
①两个或两个以上的图形拼接成一个新的几何图形，它的面积等于原来若干个几何图形的面积之和；而周长却会比原图形周长之和要短。如果拼接部分的总长度为a ，那么拼接后减少的周长就是2a 。
②把一个平面几何图形截割以后，各小块图形的面积之和，等于原图形的面积；但截割后各小块几何图形的周长之和，要比原图形的周长要长。若所有截割部分长度为a ，那么截割后增加的长度就是2a 。
依据这一规律，可快速地解答一些几何问题。例如，如图4.40，正方形被均分为大小、形状完全相同的三个长方形，每个长方形周长都是48厘米，求正方形的周长。
解题时，可以把大正方形看成是三个小长方形拼接而成的，三个小长方形的拼接部分，都是小长方形的长，长度等于大正方形的“边长”。拼接以后的图形（大正方形）的周长，比原来的三个小长方形的周长之和，要减少4个“边长”，而这4个“边长”正好相当于大正方形的周长。这就是说，三个小长方形的周长之和里，刚好包含有两个大正方形的周长。所以，正方形的周长是
48×3÷2
=144÷2
=72（厘米）
（2）立体图形的拼接、截割。立体几何图形拼接或截割以后，它的体积和表面积的变化，有以下规律：
①两个或两个以上的几何体，拼接成一个新几何体以后，它的体积等于原来若干个几何体体积之和；但是它的表面积却比原来若干个几何体的表面积之和要小。如果重叠部分为S ，那么减少的面积就是2S 。
②把一个几何体截割以后，各部分的体积之和等于原几何体体积；但截割后的表面积之和，却大于原几何体的表面积。如果其中的截割面积为S ，那么，增加的表而积就是2S 。
依据这一规律，可以较快地解答出某些题目。例如，如图4.41，把一个棱长为5厘米的正方体木块锯成两个形状大小完全相同的长方体（不计损耗），表面积会增加多少平方厘米？
因为正方体木块的截割面积为5×5=25（平方厘米），依据上面的规律可知，表面积会增加
25×2=50（平方厘米）
又如，把长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块截成形状、大小相同的两个长方体，表面会增加多少平方厘米？
由于此题未交代从何处下手截割，所以要分三种情况来解答题目。
①如图4.42左图的截法，表面积会增加。 5×6×2=30×2=60（平方厘米）
②如图4.42中图的截法，表面积会增加。 10×6×2=60×2=12（平方厘米） ③如图4.42右图的截法，表面积会增加 10×5×2=50×2=100（平方厘米） 6．扩缩图形
【扩图】 解题时，将几何图形扩大，有时候能使一时难以解决的问题变得非常简单。
例如，图4.43是一个圆心角为45°的扇形，其中的直角三角形BOC 的直角边为6厘米，求阴影部分的面积。
本来，求阴影部分的面积，只要用扇形面积减去直角三角形面积就行了。但是同学们暂时还未学求扇形半径R 的方法，怎么办呢？
由扇形的圆心角为45°，我们不妨将其扩大一倍，如图4.44所示。由此图可以求出三角形DOB 的面积为 可知
扩大后的阴影部分面积为 56.52-72÷25=6.52-36 =20.52（平方厘米）
所以，原图所求的阴影部分的面积为 20.52÷2=10.26（平方厘米）
这是个将图形整体扩大的例子。可否只将图形的某一个局部扩大，来求得问题的解答呢？回答是肯定的。例如：
如图4.45，图中的扇形半径为8厘米，圆心角为45°，求阴影部分的面积。
当然，这道题也可以将整个图形扩大一倍，去寻找答案。不过，解题的关键是求出空白部分（三角形）的面积，我们不妨以8厘米为边长，作一个正方形，这正方形面积便是空白三角形面积的4倍（即只将局部三角形面积扩大4倍）。于是空白的三角形面积便是 8×8÷4=16（平方厘米） 所要求的阴影部分的面积便是
【缩小研究对象】 有些图形从整体上研究，由于图形较为复杂，难以一下子解决问题，若根据图形特点，缩小研究范围，往往能较快地找到答案。
例如，图4.46是一块黑白格子布，白色大正方形边长10厘米，白色小正方形边长4厘米。这块布的白色部分的面积占总面积的百分之几？
图形令人眼花缭乱，增大了解题时的难度。不过，仔细一看，就可发现它由9块形状大小相同的图形组成，我们只要研究其中一个小图形（如图4.47）的白色图形占整个图形的百分之几，就足以解决问题了，所以，题目的解答可以是 （10×10＋4×4）÷［（10＋4）×（10＋4）］ =116÷196 ≈0.592=59.2％。
又如，图4.48是一个对称图形。
问：图中的黑色部分与阴影部分比较，是黑色部分的面积大，还是阴影部分的面积大？
因它是个对称图形，可如图中虚线那样画两条直线，将它平分为四个部分。解题时，我们不必研究整个图形，只要研究它的四分之一就行了。
角扇形的面积。再由对称关系可知，图形中两个空白部分的大小是相等的，故用图中的上半部分减黑色部分所得的空白部分，等于下面半圆面积减“卵叶形”阴影部分所得的空白部分。在这一等式中，既然被减数和差都相等，那么减数（黑色部分和叶形阴影部分）也必定是相等的。于是可推出，整个图形的黑色部分和阴影部分的面积，也必定是相等的。
7．附录：等积变换
【用等积变换作图】 根据等积关系，可以使某些作图题较快地得到解答。例如
用三种方法把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。
形，不论其形状是否相同，只要它们的底、高分别相等，则面积也一定是相等的。所以，将任意三角形平均分成四个面积相等的三角形，作图方法如下： （1）把三角形底边平均分为四份，再把每个分点与顶点连结（如图4.50甲所示），所得的四个三角形——△ABD 、
△ADE 、△AEF 和△AFC ，是等底同高的，所以面积一定是相等的。（证明略） （2）如图4.50乙所示，先找出一条边BC 的中点D ，连结AD ，再找出AD 的中心E ，连结BE 和CE ，所得到的四个三角形——△ABE 、△BDE 、△ACE 和△CDE ，面积也一定是相等的。（证明略）
再三等分AD 得AF=FE=ED；然后，连结BF 和BE 。这样得到的四个三角形——△ACD 、△BAF 、△BFE 和△BED ，面积也一定是相等的。（证明略）
【用等积变换比大小】 比较两个图形的面积大小，常常以求一个图形的面积占另一个图形面积的几分之几的形式出现。
如图4.51，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点。求△AEF 是平行四边形的几分之几？
解题时，可取AD 的中点G 连结G 、E ，则有
△ABE 的面积=平行四边形ABEG 面积的一半=平行四边形ABCD 面积
再取AB 中点H ，连结H 、F ，则有
从而还可以推出
这时，所有空白部分占整个平行四边形面积的分数都已经求出来了，于是，阴影部分△AEF 的面积所占的分数便是
这样，一个本来很难解答的问题，经过等积变换，便较快地找到答案了。 再看下面的一个例子：
形ABCD 的面积=？
解题时，可先连结E 、D 和B 、D ，易知
进而便得
即 四边形EFGH 的面积∶四边形ABCD 的面积 =5∶9
【用等积变换求面积】 用等积变换求图形的面积，是常用的技巧之一。它能使分散的图形集中，使生疏、麻烦的题目转化为熟悉、简单的题目。例如 如图4.53，这是个直角梯形。求阴影部分的面积（单位： 厘米）。
图中的阴影部分由两个同高的三角形组成。它们的面积是：
这道题的解答，也可以把两个阴影部分集中，连结A 、C ，因为AB 平行于DC ，所以△DAE 的面积=△CAE 的面积（同底等高），两个阴影部分的面积就换成一个三角形CAB 的面积了。所以，阴影部分的面积就是8×4÷2=16（平方厘米）。
又如，如图4.54，这是大小两个正方形组成的图形。大正方形边长为8厘米，小正方形边长为5厘米，求阴影部分的面积。
用一般解法解答此题，是比较麻烦的。我们可作如下巧解。
连结B 、E 。经观察，会发现△BEC 与△ABE 等积，因为它们都是以小正方形的边长为底，以大正方形的边长为高。从这两个三角形中，分别减去△BEF 的面积，就得到△ABF 和△FEC 为等积的三角形。因此 △ABC 的面积=AFC的面积+△ABF 的面积 =△AFC 的面积+△FEC 的面积 =△AEC 的面积
=12.5（平方厘米）
【用等积变换证题】 用等积关系证明几何问题，例如
如图4.55，在△ABC 中，AB=AC，D 为BC 的边上任意一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，CG 是AB 边上的高。证明：CG=DE＋DF 。
证明时，可连结A 、D ，使△ABC 分成△ABD 和△ADC 两个三角形。于是，有
因AB=AC，故可用AB 代替AC 。所以，①+②得
即 CG=DE＋DF 8．运用图形间的等量关系
【应用弦图解题】 我国古代有种图形叫做“弦图”（如图4.56所示），有的数学家应用它成功地证明了“勾股定理”。
我国宋代著名数学家杨辉，在他著的《田亩比类乘除捷法》一书中，提出了这样一个问题：
有一块长方形田，面积为864平方步（“步”是古代长度单位，1里=300步，1步=5尺），已知长比宽少12步，问：它的长、宽共是多少步？ 杨辉在该书上出示了一个弦图（如图4.57），他是用四个面积为864
共是60步。显然，这样运用弦图来解答题目，是十分高明和十分巧妙的！ 有些竞赛题也可以用弦图来巧解。第一届“华罗庚金杯赛”中，就两次出现了应用弦图来解答的题目。尤其是那一道决赛题：
平方米。锯下的木条面积是多少平方米？”
仿杨辉的解法，可假定剩下4块长方形木块，并利用它拼成了一个“弦图”，如图4.58。于是可知，大正方形的面积为
【解纵横交错的复杂题】 把同样大小的长方形有规律地纵横交错地放在一起，常常需要根据长、宽关系，找出等量关系来解答题目。例如
如图4.59，这是由同样大小的纸片摆成的图形，小纸片宽12厘米，求阴影部分的总面积。
由图可知，5个纸片的长=3个纸片的长+3个纸片的宽，所以 2个纸片长=3个纸片宽 1个纸片长=12×3÷2 =18（厘米）
进而可知，每个阴影部分的小正方形的边长为18-12=6（厘米） 阴影部分的总面积便是 6×6×3=108（平方厘米）
又如，“有9个长方形，它们的长、宽分别相等，用它们拼成的大长方形（如图4.60）的面积是45平方厘米，求大长方形的周长。”
解题的关键，是求出一个小长方形的长和宽。由5个小长方形的宽等于
形重新分割为5个小正方形，小正方形的边长，正好是小长方形的宽（如图4.61）。所以，5个小正方形面积之和，就是四个小正方形的面积之和，即5个小正方形面积为
45÷9×4=20（平方厘米） 每个小正方形的面积为 20÷5=4（平方厘米）
显然，每个小正方形的边长（即小长方形的宽）为2厘米，小长方形的长便是
进而便可求得大长方形的周长为 ［2.5×4＋（2.5＋2）］×2=29（厘米）。 此外，题目还可这样解答：
因为小长方形宽的5倍等于长的4倍，所以，可用（4与5的最小公倍数）20个小长方形拼成一个大的正方形（如图4.62）。大正方形面积是
它的边长便是10厘米，则小正方形的长为 10÷4=2.5（厘米） 小正方形的宽为
10÷5=2（厘米）
于是，原来的大长方形的周长就是 （2.5×4＋2.5＋2）×2=29（厘米）。
【用面积线段比的关系解题】 利用面积比与线段比之间的等量关系，常常能使复杂问题简单化。例如
为什么成立？
由图中可以看出，△PBC 和△ABC 是同底的两个三角形，所以
又如，第一届“华罗庚金杯赛”上有过一道这样的题目：
“如图4.64
，一个长方形地面被两条直线分成四个长方形，其中三个的面
积是20公亩、25公亩和30公亩，另一个（图中阴影部分）长方形的面积是多少公亩？”
图中可见，右边两个长方形是长相同的长方形，它们的面积比等于它们宽的比；同样，左边两个长方形也是长相同的长方形，它们的面积比，也等于它们宽的比。
设阴影部分面积为x 公亩，由于左右两组长方形面积之比，都等于相同的宽之比，所以
即另一个（阴影部分）长方形面积为37.5公亩。 9．利用间接条件
【利用隐含的间接条件】 发现和利用隐含的间接条件来解答题目，往往能克服所学知识不够所造成的困难，大大减少计算的时间。例如
如图4.65，已知正方形面积为18平方厘米，求阴影部分的面积。 一般解法是用正方形面积，减去圆的面积。但在小学阶段，大家还不会求圆的半径或直径怎么办呢？ 因为圆面积公式是
刃而解。至于能否求出r 或d 这样的直接条件，是并不重要的。所以，可以用下面的方法来解答：
便是
18-14.3=3.87（平方厘米）
阴影部分的面积便是 18-14.13=3.87（平方厘米）
（3）若把正方形面积扩大2倍，则面积为36平方厘米，新正方形的边长就是6厘米，即随之也扩大了2倍的新圆的直径为6厘米，半径为3厘米。所以随之而扩大了2倍的阴影部分的面积是
=7.74（平方厘米） 原来的阴影部分的面积便是 7.74÷2=3.87（平方厘米）
又如，如图4.66，ABCD 为矩形，里面有一个最大的半圆，OC=10厘米，求阴影部分的面积。
解题时，可将矩形分割为两个小正方形，并连结O 、D 。因为△DOC 是等腰三角形，OC=OD=10厘米，所以
故阴影部分的面积便是 100-3.14×50÷2＝100-78.5 =21.5（平方厘米）
【利用定比】 利用题目中不变的“定比”来解题，有时也能使题目得到较快地解答。这也是利用间接条件去解答题目。
我们仍以上面的第一个例子（图4.65）为例。按照扩、缩图形的思路，可将它一分为四，得到图4.67。
小正方形的面积和阴影部分的面积也会改变。不过，变化中有个不变的因素，即阴影部分面积和小正方形面积之比是不变的。实际上，这也是题目中的一个间接条件。
设小正方形边长为a ，则阴影部分面积占小正方形面积的
所以，原图阴影部分的面积是 18÷4×21.5％×4=4.5×21.5％×4 =0.9675×4 =3.87（平方厘米）
或者是18×21.5％=3.87（平方厘米）
显然，只要是由这样的基本图形拼合的图形，如以下四图（图4.68），都可用“21.5％”（即21.5∶100）这一定比，去求图中的阴影部分的面积。（解略）
（三）解几何题技巧
1. 等分图形
【均分整体】有些几何问题，只要把大图形均分为若干个小图形，就能找到问题的答案。
例如，下面两图中的正方形分别内接于同一个等腰直角三角形（内接指四个顶点全在三角形的边上）。已知左图（图4.11）中正方形面积为72平方厘米，求右图（4.12）中正方形的面积。
由于左右两个三角形完全相同，我们不妨把这两个图形进行等分，看看这两个正方形分别与同一个等腰直角三角形有什么样的关系。等分后的情况见图4.13和图4.14。
积是
图4.12的正方形面积是
【均分局部】有些几何问题，整体的均分不太方便，或不能够办到，这时可以考虑把它的局部去均分，然后从整体上去观察，往往也能使问题获得解决。 例如图4.15，在正方形ABCD 中，画有甲、乙、丙三个小正方形。问：乙、丙面积之和与甲相比，哪一个大些？
大家由前面的“均分整体”已经知道，像甲、乙这样的两个正方形，面积不是相等的。如图4.16，经过等分，正方形甲的面积等于△ABC 面积的一半；正方形丙的面积等于△EDF 的一半，正方形乙的面积等于梯形ACFE 面积的一半。这样，一个大正方形ABCD ，就划分成了三个局部：等腰直角△ABC ；等腰梯形ACFE ；等腰直角△EDF 。其中甲、乙、丙的面积分别为各自所在图形的一半，而△EDF 的面积加梯形ACFE 的面积等于△ADC 的面积，即等于△ABC 的面积。所以，乙、丙面积之和等于甲的面积。
2. 平移变换
【平移线段】有些几何问题，通过线段的上、下、左、右平移以后，能使问
题很快地得到正确的解答。
例如，下面的两个图形（图4.17和图4.18）的周长是否相等？
单凭眼睛观察，似乎图4.18的周长比图4.17的要长一些。但把有关线段平移以后，图4.18就变成了图4.19，其中的线段，有的上移，有的左移，有的右移，它可移成一个正方形。于是，不难发现两图周长是相等的。
【平移空白或阴影部分】有些求阴影部分或空白部分面积的几何题，采用平移空白部分或平移阴影部分的办法，往往能化难为易，很快使问题求得解答。例如，计算图4.20中阴影部分的面积。
圆面积”，然后相加，得整个阴影部分的面积。这显然是很费时费力的。但认真观察一下就会发现，图4.20左半左上部的空白部分，与右半左上部的阴影部分大小一样，只需将右半左上部的阴影部分，平移到左半左上部的空白部分，所有的阴影部分便构成一个正方形了（如图4.21）。所以，阴影部分的面积很快就可求得为5×5=25。
又如，一块长30米，宽24米的草地，中间有两条宽2米的走道，把草地分为四块，求草地的面积（如图4.22）。
这只要把丙向甲平移靠拢，把丁向乙平移靠拢，题目也就很快能解答出来了。（具体解法略）
3. 旋转变换
【旋转成定角】例如下面的题目：
“在图4.23中，半径为8厘米的圆的内外各有一个正方形，圆内正方形顶点都在圆周上，圆外正方形四条边与圆都只有一个接触点。问：“大正方形的面积比小正方形的面积大多少？”
按一般方法，先求大、小正方形的面积，再求它们的差，显然是有难度的。若将小正方形围绕圆心旋转45°，使原图变成图4.24，容易发现，小正方形的面积为大正方形面积的一半。所以，大正方形面积比小正方形的面积大
（8×2）×（8×2）÷2
=16×16÷2
=128（平方厘米）
又如，如图4.25，求正方形内阴影部分的面积。（单位：厘米）
表面上看，题目也是很难解答的。但只要将两个卵叶片形的阴影部分绕正方形的中心，分别按顺时针和逆时针方向旋转90°，就得到了一个由阴影部分组成的半圆（如图4.26），于是，阴影部分的面积就很容易解答出来了。（解答略）
【开扇式旋转】有些图形相互交错，增加了解答的难度。若像打开折扇一样，绕着某个定点作“开扇式”旋转，往往会使人顿开茅塞，使问题很快获得解决。例如，求图4.27的阴影部分的面积（单位：厘米）。若采用正方形面积减空白部分面积的求法，
计算量是很大的。由于它是由两个形状相同的扇形交叉重叠而成的，我们不妨把右下部的扇形打开，顺时针方向旋转90°，得到图4.28；再继续旋转，得到图4.29。在图4.29中，阴影部分面积便是半圆面积减三角形面积的差。所以，阴影部分面积是
42×3.14÷2-（4+4）×4×
2
=25.12-16
=9.12（平方厘米）
又如，求图4.30阴影部分的面积（单位：厘米）。
将这个图从中间剪开，以o 为旋转中心，将右半部分按顺时针方向转到左半部下方，便变成了图4.31。于是，阴影部分的面积便是半圆面积减去两直角边均为2厘米的一个空白等腰直角三角形面积的差。即
（4÷2）2×3.14÷2-2×2÷2
=6.28-2
=4.28（平方厘米）
4. 对称变换
【将军饮马】据说古代希腊有一位将军向当时的大学者海伦请教一个问题：从A 地出发到河边饮马，再到B 地（如图4.32所示），走什么样的路最近？如何确定饮马的地点？
海伦的方法是这样的：如图4.33，设L 为河，作AO ⊥L 交L 于O 点，延长AO 至A ＇，使A ＇O=AO。连结A ＇B ，交L 于C ，则C 点就是所要求的饮马地点。再连结AC ，则路程（AC+CB）为最短的路程。
为什么呢？因为A ＇是A 点关于L 的对称点，AC 与A ＇C 是相等的。而A ＇B 是一条线段，所以A ＇B 是连结A ＇、B 这两点间的所有线中，最短的一条，所以AC+CB=A＇C+CB=A＇B 也是最短的一条路了。这就是海伦运用对称变换，找到的一种最巧妙的解题方法。运用这种办法，可以巧妙地解决许多几何问题。
【划线均分】通过中心对称图形的对称中心，任意画一条直线，都可以把原图形均分成两个大小、形状完全相同的图形。利用这一性质，可以使某些较复杂的问题迅速地解答出来。例如
（1）把图形（图4.34）的面积，用一条直线分成相等的两个部分。
解题时，只要把这个图形看成是由两个矩形（长方形）组成的组合图形，而矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形， 所以只要找出两个对称中心（对角线交点），利用中心对称图形的上述性质，通过两个对称中心作一条直线，就能把它的面积分成相等的两个部分了。如前页的三种分法都行（如图4.35所示）。
（2）如图4.36，长方形ABCD 内有一个以O
点为圆心的圆，请画一条直
线，同时将长方形和圆分为面积相等的两个部分。
大家知道，长方形和圆都既是轴对称图形，又是中心对称图形。长方形的对称中心是对角线的交点，圆的对称中心是它的圆心。
根据中心对称图形的上述性质，先找出这两个对称中心O 点和P 点（如图
4.37），再过O 、P 作直线L ，此直线L 即是所画的那根直线。
5. 割补、拼接、截割
【割补】在数学中，把图形的某个部分割下，补到某一个新的位置，往往可以使新的图形，更便于发现数量关系，从而较快地解答出数学题目。
例如，在图4.38中，三个圆的面积都是12.56平方厘米，且三个圆两两相交，三个交点都是圆心，求三块阴影部分的面积。
从表面上看，题目是无法解答的。但只要仔细观察就能发现，根据轴对称性及割补方法，题目可作如下的解答：
如图4.39，将图形1翻折到图形2的位置；再将图形3和4
割下来，合并
在一起，补到图形5的位置上。于是，原来的阴影部分就正好拼成了一个半圆。所以，三块阴影部分的面积是12.56÷2=6.28（平方厘米）
【拼接，截割】
（1）平面图形的拼接、截割。
拼接和截割，是两个相反的过程。平面图形的拼接是把两个或两个以上的图形拼接在一起；平面图形的截割，是把一个图形截割成两个或两个以上的图形。 平面几何图形拼接或截割以后，面积和周长的变化有以下规律：
①两个或两个以上的图形拼接成一个新的几何图形，它的面积等于原来若干个几何图形的面积之和；而周长却会比原图形周长之和要短。如果拼接部分的总长度为a ，那么拼接后减少的周长就是2a 。
②把一个平面几何图形截割以后，各小块图形的面积之和，等于原图形的面积；但截割后各小块几何图形的周长之和，要比原图形的周长要长。若所有截割部分长度为a ，那么截割后增加的长度就是2a 。
依据这一规律，可快速地解答一些几何问题。例如，如图4.40，正方形被均分为大小、形状完全相同的三个长方形，每个长方形周长都是48厘米，求正方形的周长。
解题时，可以把大正方形看成是三个小长方形拼接而成的，三个小长方形的拼接部分，都是小长方形的长，长度等于大正方形的“边长”。拼接以后的图形（大正方形）的周长，比原来的三个小长方形的周长之和，要减少4个“边长”，而这4个“边长”正好相当于大正方形的周长。这就是说，三个小长方形的周长之和里，刚好包含有两个大正方形的周长。所以，正方形的周长是
48×3÷2
=144÷2
=72（厘米）
（2）立体图形的拼接、截割。立体几何图形拼接或截割以后，它的体积和表面积的变化，有以下规律：
①两个或两个以上的几何体，拼接成一个新几何体以后，它的体积等于原来若干个几何体体积之和；但是它的表面积却比原来若干个几何体的表面积之和要小。如果重叠部分为S ，那么减少的面积就是2S 。
②把一个几何体截割以后，各部分的体积之和等于原几何体体积；但截割后的表面积之和，却大于原几何体的表面积。如果其中的截割面积为S ，那么，增加的表而积就是2S 。
依据这一规律，可以较快地解答出某些题目。例如，如图4.41，把一个棱长为5厘米的正方体木块锯成两个形状大小完全相同的长方体（不计损耗），表面积会增加多少平方厘米？
因为正方体木块的截割面积为5×5=25（平方厘米），依据上面的规律可知，表面积会增加
25×2=50（平方厘米）
又如，把长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块截成形状、大小相同的两个长方体，表面会增加多少平方厘米？
由于此题未交代从何处下手截割，所以要分三种情况来解答题目。
①如图4.42左图的截法，表面积会增加。 5×6×2=30×2=60（平方厘米）
②如图4.42中图的截法，表面积会增加。 10×6×2=60×2=12（平方厘米） ③如图4.42右图的截法，表面积会增加 10×5×2=50×2=100（平方厘米） 6．扩缩图形
【扩图】 解题时，将几何图形扩大，有时候能使一时难以解决的问题变得非常简单。
例如，图4.43是一个圆心角为45°的扇形，其中的直角三角形BOC 的直角边为6厘米，求阴影部分的面积。
本来，求阴影部分的面积，只要用扇形面积减去直角三角形面积就行了。但是同学们暂时还未学求扇形半径R 的方法，怎么办呢？
由扇形的圆心角为45°，我们不妨将其扩大一倍，如图4.44所示。由此图可以求出三角形DOB 的面积为 可知
扩大后的阴影部分面积为 56.52-72÷25=6.52-36 =20.52（平方厘米）
所以，原图所求的阴影部分的面积为 20.52÷2=10.26（平方厘米）
这是个将图形整体扩大的例子。可否只将图形的某一个局部扩大，来求得问题的解答呢？回答是肯定的。例如：
如图4.45，图中的扇形半径为8厘米，圆心角为45°，求阴影部分的面积。
当然，这道题也可以将整个图形扩大一倍，去寻找答案。不过，解题的关键是求出空白部分（三角形）的面积，我们不妨以8厘米为边长，作一个正方形，这正方形面积便是空白三角形面积的4倍（即只将局部三角形面积扩大4倍）。于是空白的三角形面积便是 8×8÷4=16（平方厘米） 所要求的阴影部分的面积便是
【缩小研究对象】 有些图形从整体上研究，由于图形较为复杂，难以一下子解决问题，若根据图形特点，缩小研究范围，往往能较快地找到答案。
例如，图4.46是一块黑白格子布，白色大正方形边长10厘米，白色小正方形边长4厘米。这块布的白色部分的面积占总面积的百分之几？
图形令人眼花缭乱，增大了解题时的难度。不过，仔细一看，就可发现它由9块形状大小相同的图形组成，我们只要研究其中一个小图形（如图4.47）的白色图形占整个图形的百分之几，就足以解决问题了，所以，题目的解答可以是 （10×10＋4×4）÷［（10＋4）×（10＋4）］ =116÷196 ≈0.592=59.2％。
又如，图4.48是一个对称图形。
问：图中的黑色部分与阴影部分比较，是黑色部分的面积大，还是阴影部分的面积大？
因它是个对称图形，可如图中虚线那样画两条直线，将它平分为四个部分。解题时，我们不必研究整个图形，只要研究它的四分之一就行了。
角扇形的面积。再由对称关系可知，图形中两个空白部分的大小是相等的，故用图中的上半部分减黑色部分所得的空白部分，等于下面半圆面积减“卵叶形”阴影部分所得的空白部分。在这一等式中，既然被减数和差都相等，那么减数（黑色部分和叶形阴影部分）也必定是相等的。于是可推出，整个图形的黑色部分和阴影部分的面积，也必定是相等的。
7．附录：等积变换
【用等积变换作图】 根据等积关系，可以使某些作图题较快地得到解答。例如
用三种方法把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。
形，不论其形状是否相同，只要它们的底、高分别相等，则面积也一定是相等的。所以，将任意三角形平均分成四个面积相等的三角形，作图方法如下： （1）把三角形底边平均分为四份，再把每个分点与顶点连结（如图4.50甲所示），所得的四个三角形——△ABD 、
△ADE 、△AEF 和△AFC ，是等底同高的，所以面积一定是相等的。（证明略） （2）如图4.50乙所示，先找出一条边BC 的中点D ，连结AD ，再找出AD 的中心E ，连结BE 和CE ，所得到的四个三角形——△ABE 、△BDE 、△ACE 和△CDE ，面积也一定是相等的。（证明略）
再三等分AD 得AF=FE=ED；然后，连结BF 和BE 。这样得到的四个三角形——△ACD 、△BAF 、△BFE 和△BED ，面积也一定是相等的。（证明略）
【用等积变换比大小】 比较两个图形的面积大小，常常以求一个图形的面积占另一个图形面积的几分之几的形式出现。
如图4.51，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点。求△AEF 是平行四边形的几分之几？
解题时，可取AD 的中点G 连结G 、E ，则有
△ABE 的面积=平行四边形ABEG 面积的一半=平行四边形ABCD 面积
再取AB 中点H ，连结H 、F ，则有
从而还可以推出
这时，所有空白部分占整个平行四边形面积的分数都已经求出来了，于是，阴影部分△AEF 的面积所占的分数便是
这样，一个本来很难解答的问题，经过等积变换，便较快地找到答案了。 再看下面的一个例子：
形ABCD 的面积=？
解题时，可先连结E 、D 和B 、D ，易知
进而便得
即 四边形EFGH 的面积∶四边形ABCD 的面积 =5∶9
【用等积变换求面积】 用等积变换求图形的面积，是常用的技巧之一。它能使分散的图形集中，使生疏、麻烦的题目转化为熟悉、简单的题目。例如 如图4.53，这是个直角梯形。求阴影部分的面积（单位： 厘米）。
图中的阴影部分由两个同高的三角形组成。它们的面积是：
这道题的解答，也可以把两个阴影部分集中，连结A 、C ，因为AB 平行于DC ，所以△DAE 的面积=△CAE 的面积（同底等高），两个阴影部分的面积就换成一个三角形CAB 的面积了。所以，阴影部分的面积就是8×4÷2=16（平方厘米）。
又如，如图4.54，这是大小两个正方形组成的图形。大正方形边长为8厘米，小正方形边长为5厘米，求阴影部分的面积。
用一般解法解答此题，是比较麻烦的。我们可作如下巧解。
连结B 、E 。经观察，会发现△BEC 与△ABE 等积，因为它们都是以小正方形的边长为底，以大正方形的边长为高。从这两个三角形中，分别减去△BEF 的面积，就得到△ABF 和△FEC 为等积的三角形。因此 △ABC 的面积=AFC的面积+△ABF 的面积 =△AFC 的面积+△FEC 的面积 =△AEC 的面积
=12.5（平方厘米）
【用等积变换证题】 用等积关系证明几何问题，例如
如图4.55，在△ABC 中，AB=AC，D 为BC 的边上任意一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，CG 是AB 边上的高。证明：CG=DE＋DF 。
证明时，可连结A 、D ，使△ABC 分成△ABD 和△ADC 两个三角形。于是，有
因AB=AC，故可用AB 代替AC 。所以，①+②得
即 CG=DE＋DF 8．运用图形间的等量关系
【应用弦图解题】 我国古代有种图形叫做“弦图”（如图4.56所示），有的数学家应用它成功地证明了“勾股定理”。
我国宋代著名数学家杨辉，在他著的《田亩比类乘除捷法》一书中，提出了这样一个问题：
有一块长方形田，面积为864平方步（“步”是古代长度单位，1里=300步，1步=5尺），已知长比宽少12步，问：它的长、宽共是多少步？ 杨辉在该书上出示了一个弦图（如图4.57），他是用四个面积为864
共是60步。显然，这样运用弦图来解答题目，是十分高明和十分巧妙的！ 有些竞赛题也可以用弦图来巧解。第一届“华罗庚金杯赛”中，就两次出现了应用弦图来解答的题目。尤其是那一道决赛题：
平方米。锯下的木条面积是多少平方米？”
仿杨辉的解法，可假定剩下4块长方形木块，并利用它拼成了一个“弦图”，如图4.58。于是可知，大正方形的面积为
【解纵横交错的复杂题】 把同样大小的长方形有规律地纵横交错地放在一起，常常需要根据长、宽关系，找出等量关系来解答题目。例如
如图4.59，这是由同样大小的纸片摆成的图形，小纸片宽12厘米，求阴影部分的总面积。
由图可知，5个纸片的长=3个纸片的长+3个纸片的宽，所以 2个纸片长=3个纸片宽 1个纸片长=12×3÷2 =18（厘米）
进而可知，每个阴影部分的小正方形的边长为18-12=6（厘米） 阴影部分的总面积便是 6×6×3=108（平方厘米）
又如，“有9个长方形，它们的长、宽分别相等，用它们拼成的大长方形（如图4.60）的面积是45平方厘米，求大长方形的周长。”
解题的关键，是求出一个小长方形的长和宽。由5个小长方形的宽等于
形重新分割为5个小正方形，小正方形的边长，正好是小长方形的宽（如图4.61）。所以，5个小正方形面积之和，就是四个小正方形的面积之和，即5个小正方形面积为
45÷9×4=20（平方厘米） 每个小正方形的面积为 20÷5=4（平方厘米）
显然，每个小正方形的边长（即小长方形的宽）为2厘米，小长方形的长便是
进而便可求得大长方形的周长为 ［2.5×4＋（2.5＋2）］×2=29（厘米）。 此外，题目还可这样解答：
因为小长方形宽的5倍等于长的4倍，所以，可用（4与5的最小公倍数）20个小长方形拼成一个大的正方形（如图4.62）。大正方形面积是
它的边长便是10厘米，则小正方形的长为 10÷4=2.5（厘米） 小正方形的宽为
10÷5=2（厘米）
于是，原来的大长方形的周长就是 （2.5×4＋2.5＋2）×2=29（厘米）。
【用面积线段比的关系解题】 利用面积比与线段比之间的等量关系，常常能使复杂问题简单化。例如
为什么成立？
由图中可以看出，△PBC 和△ABC 是同底的两个三角形，所以
又如，第一届“华罗庚金杯赛”上有过一道这样的题目：
“如图4.64
，一个长方形地面被两条直线分成四个长方形，其中三个的面
积是20公亩、25公亩和30公亩，另一个（图中阴影部分）长方形的面积是多少公亩？”
图中可见，右边两个长方形是长相同的长方形，它们的面积比等于它们宽的比；同样，左边两个长方形也是长相同的长方形，它们的面积比，也等于它们宽的比。
设阴影部分面积为x 公亩，由于左右两组长方形面积之比，都等于相同的宽之比，所以
即另一个（阴影部分）长方形面积为37.5公亩。 9．利用间接条件
【利用隐含的间接条件】 发现和利用隐含的间接条件来解答题目，往往能克服所学知识不够所造成的困难，大大减少计算的时间。例如
如图4.65，已知正方形面积为18平方厘米，求阴影部分的面积。 一般解法是用正方形面积，减去圆的面积。但在小学阶段，大家还不会求圆的半径或直径怎么办呢？ 因为圆面积公式是
刃而解。至于能否求出r 或d 这样的直接条件，是并不重要的。所以，可以用下面的方法来解答：
便是
18-14.3=3.87（平方厘米）
阴影部分的面积便是 18-14.13=3.87（平方厘米）
（3）若把正方形面积扩大2倍，则面积为36平方厘米，新正方形的边长就是6厘米，即随之也扩大了2倍的新圆的直径为6厘米，半径为3厘米。所以随之而扩大了2倍的阴影部分的面积是
=7.74（平方厘米） 原来的阴影部分的面积便是 7.74÷2=3.87（平方厘米）
又如，如图4.66，ABCD 为矩形，里面有一个最大的半圆，OC=10厘米，求阴影部分的面积。
解题时，可将矩形分割为两个小正方形，并连结O 、D 。因为△DOC 是等腰三角形，OC=OD=10厘米，所以
故阴影部分的面积便是 100-3.14×50÷2＝100-78.5 =21.5（平方厘米）
【利用定比】 利用题目中不变的“定比”来解题，有时也能使题目得到较快地解答。这也是利用间接条件去解答题目。
我们仍以上面的第一个例子（图4.65）为例。按照扩、缩图形的思路，可将它一分为四，得到图4.67。
小正方形的面积和阴影部分的面积也会改变。不过，变化中有个不变的因素，即阴影部分面积和小正方形面积之比是不变的。实际上，这也是题目中的一个间接条件。
设小正方形边长为a ，则阴影部分面积占小正方形面积的
所以，原图阴影部分的面积是 18÷4×21.5％×4=4.5×21.5％×4 =0.9675×4 =3.87（平方厘米）
或者是18×21.5％=3.87（平方厘米）
显然，只要是由这样的基本图形拼合的图形，如以下四图（图4.68），都可用“21.5％”（即21.5∶100）这一定比，去求图中的阴影部分的面积。（解略）