[试题资料] 三角形的分割（1）
立新小学有块植物园地，生物小组的同学们在上面种植花草. 一次他们想把这块三角形的园地分成 面积相等的两部分，以便种植两种不同的花籽进行试验. 怎么分呢？他们请数学小组的同学们帮忙， 呵，数学小组的同学们马上就给他们提出了下面的3种方案，见图1，其中D 、E 、F 分别是AB 、
BC 、AC 边的中点. 同学们，你们明白这样分的道理吗？下面我们就一起来研究一下这个问题.
在图1（a ）中，线段CD 把三角形 ABC 分成了两个部分，即三角形ADC 和三角形BCD.
因为D 是AB 的中点，所以AD=DB.过C 点作CM 垂直AB （如图2），则CM 是三角形ADC 的高， 也是三角形DBC 的高. 根据三角形的面积公式，有：
三角形ADC 的面积=AD×CM÷2
三角形DBC 的面积 =DB×CM÷2
因为AD=DB，所以有：
三角形ADC 的面积=三角形DBC 的面积，也就是说，线段CD 把三角形ABC 分成了面积相等的两部分. 同样的道理，在图1（b ）、（c ）中，线段AE 和线段BF 也把三角形ABC 分别分成了
面积相等的两个部分.
上面的分法实际上是依据了这样一条结论：等底等高的三角形面积相等. 这是一个非常重要的结论， 在解决多边形面积的许多问题中都要用到它.
例1 将任一三角形分成面积相等的六个三角形，应怎么分？
分析与解 根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成六个等底等高的小三角形， 它们的面积就必然相等. 而要找这六个等底等高的小三角形，只需把三角形的某一边六等分
，再将各分点与这边相对的顶点连结起来即可.
根据上面的分析，便可得到如图3所示的一种分法。
又因为6=1×6=3×2=2×3，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看成1，
那么1×6就可以看成是把三角形的面积直接等分成六份，即分成六个面积为1的小三角形，
如解法1. 而3×2可以看成是先把原三角形等分成两份，再把每一份分别等分成三份. 同理，
2×3可以看成是先把原三角形等分成三份，然后再把每一份等分成两份. 根据前面的分法，
在每次等分时，都要设法找等底等高的三角形.
根据上面的分析，又可以得如图4和图5所示的另一种分法.
图4是把原三角形先二等分，再把每一份分别三等分. 图5是把原三角形先三等分，
再把每一份分别二等分. 类似于这样的分法，我们还可以画出许多，这里就不一一列举了.
另外，因为6=1+5=2+4=3+3，所以可以先把原三角形的面积分出一个1/6，再把余下的5/6等分成5份； 或先把原三角形的面积分出两个1/6，再把余下的4/6等分成4份；或先把原三角形的面积分出三个1/6， 再把余下的3/6等分成3份
.
根据上面的分析，又可以得到如图6所示的又一种分法.
例1 介绍的几种六等分三角形的方法，有一个共同的特点，就是想办法找等底等高的三角形， 而找这种三角形的办法，又都是几等分某一条线段得到的. 掌握了这一特点，几等分三角形的问题 就不难解决了. 当然，几等分三角形的面积，除了上面介绍的几种方法以外，还有其它方法，
这里就不一一介绍了.
现在我们已经知道了，等底等高的三角形面积一定相等. 同学们进一步想一想，如果两个三角形 的底相等，高不相等，它们的面积有什么关系呢？例如，两个底边长度都为10的三角形甲和乙， 三角形甲的高为9，三角形乙的高为27，根据三角形面积公式，可知：三角形乙的面积是三角形 甲的面积的3倍，也就是说三角形甲和乙的面积之比为1∶3. 又如，两个底边长度都为10的三角形 甲和乙，三角形甲的高为8，三角形乙的高为18，则三角形甲和乙的面积之比为4∶9. 类似地， 我们还可以举出许多例子. 由此可以看出，如果两个三角形底的长度相等，高的长度不相等，
那么它们的面积之比正好等于这两个三角形高的长度比.
同样的道理，我们还可以推出，如果两个三角形高的长度相等，底的长度不相等，
那么这两个三角形的面积之比正好等于它们的底的长度比. 因此我们有下面的结论：
如果甲、乙两个三角形的底（高）的长度相等，那么甲、乙两个三角形的面积之比等于
它们的高（底）的长度之比.
例2 把三角形ABC 分成甲、乙、丙三部分，使甲的面积是乙的面积的3倍，丙的面积是乙的面积的4倍. 分析与解 要想使三角形甲的面积是三角形乙的面积的3倍，可以使这两个三角形的高相同，
而三角形甲的底是三角形乙的底的3倍. 同样使三角形丙的高和三角形乙的高相同，
而三角形丙的底是三角形乙的底的4倍，这样一来，我们将三角形ABC 的一条边8等分，
使乙占其中的一份，甲占其中的3份，丙占其中的4份，即可达到目的.
具体分法见图7.
例3 在图8的三角形ABC 中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，
求三角形ABC 的面积.
分析与解 根据已知条件DC=2BD可以看出，先将三角形ABC 分成三角形ABD 和三角形ADC 两部分， 这两个三角形有相同的高，而底不相等. 又根据CE=3AE，再将三角形ADC 分成三角形ADE 和 三角形DCE 两部分，这两个三角形也有相同的高，而底不相等. 根据如果两个三角形的高相等， 那么这两个三角形的面积比等于它们底的比的结论，即可求出三角形ABC 的面积.
另外在三角形ADE 和三角形DCE 中，因为CE=3AE，所以三角形DCE 的底是三角形ADE
的底的3倍. 又因为这两个三角形的高相同，所以三角形DCE 的面积是三角形ADE 的面积的 3倍， 即三角形DCE 面积=三角形ADE 面积
×3=20×
3=60（平方厘米）
所以 三角形ABC 面积
=三角形ABD 面积+三角形ADC 面积
=40+80=120（平方厘米）
练习一
1. 将任意一个三角形的面积四等分、五等分，你能找到三种以上的方法吗？
3. 见图10，在三角形ABC 中，如果D 、E 、F 分别为边BC 、AB 、AC 的中点，
那么线段AD 、DE 、DF 将三角形ABC 分成面积相等的四个小三角形，你能说明理由吗？
4. 见图11，ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，平行四边形ABCD 的面积比三角形ABE
的面积多多少倍？
5. 如图
12，把大三角形分成了甲、乙两部分，乙由A 、B 两部分组成，求甲与乙两部分面积的比值.
练习一
1. 四等分如图
.
五等分如图.
2. 见图
.
第2题图
故只需将三角形ABD 的面积五等分即可.
3. 能.
因为D 是BC 边的中点，AD 将三角形ABC 分成面积相等的两部分
，E 、F 分别是AB 边和AC 边的中点，DE 和DF 又分别将面积相等的两个三角形的面积二等分， 所以线段AD 、DE 、DF 将三角形ABC 分成面积相等的四个小三角形.
4.3倍.
连结线段AC ，因为E 是BC 的中点，所以AE 将三角形ABC 的面积二等分.
又因为AC 将平行四边形ABCD 的面积二等分，所以四边形ABCD 的面积是三角形ABE 的面积的4倍， 故四边形ABCD 的面积比三角形ABE 的面积多3倍.
5. 1/7
如图，在三角形ADC 中，CE=9，AE=3，所以
三角形DCE 面积
=三角形ADE 面积×3；
三角形ADC 面积 =三角形ADE 面积×4.
因为AD=DB，所以
三角形DBC 面积=三角形ADC 面积=三角形ADE 面积×4，
则 四边形乙面积=三角形DCE 面积+
三角形BCD 面积=三角形ADE×7.
[试题资料] 三角形的分割（1）
立新小学有块植物园地，生物小组的同学们在上面种植花草. 一次他们想把这块三角形的园地分成 面积相等的两部分，以便种植两种不同的花籽进行试验. 怎么分呢？他们请数学小组的同学们帮忙， 呵，数学小组的同学们马上就给他们提出了下面的3种方案，见图1，其中D 、E 、F 分别是AB 、
BC 、AC 边的中点. 同学们，你们明白这样分的道理吗？下面我们就一起来研究一下这个问题.
在图1（a ）中，线段CD 把三角形 ABC 分成了两个部分，即三角形ADC 和三角形BCD.
因为D 是AB 的中点，所以AD=DB.过C 点作CM 垂直AB （如图2），则CM 是三角形ADC 的高， 也是三角形DBC 的高. 根据三角形的面积公式，有：
三角形ADC 的面积=AD×CM÷2
三角形DBC 的面积 =DB×CM÷2
因为AD=DB，所以有：
三角形ADC 的面积=三角形DBC 的面积，也就是说，线段CD 把三角形ABC 分成了面积相等的两部分. 同样的道理，在图1（b ）、（c ）中，线段AE 和线段BF 也把三角形ABC 分别分成了
面积相等的两个部分.
上面的分法实际上是依据了这样一条结论：等底等高的三角形面积相等. 这是一个非常重要的结论， 在解决多边形面积的许多问题中都要用到它.
例1 将任一三角形分成面积相等的六个三角形，应怎么分？
分析与解 根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成六个等底等高的小三角形， 它们的面积就必然相等. 而要找这六个等底等高的小三角形，只需把三角形的某一边六等分
，再将各分点与这边相对的顶点连结起来即可.
根据上面的分析，便可得到如图3所示的一种分法。
又因为6=1×6=3×2=2×3，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看成1，
那么1×6就可以看成是把三角形的面积直接等分成六份，即分成六个面积为1的小三角形，
如解法1. 而3×2可以看成是先把原三角形等分成两份，再把每一份分别等分成三份. 同理，
2×3可以看成是先把原三角形等分成三份，然后再把每一份等分成两份. 根据前面的分法，
在每次等分时，都要设法找等底等高的三角形.
根据上面的分析，又可以得如图4和图5所示的另一种分法.
图4是把原三角形先二等分，再把每一份分别三等分. 图5是把原三角形先三等分，
再把每一份分别二等分. 类似于这样的分法，我们还可以画出许多，这里就不一一列举了.
另外，因为6=1+5=2+4=3+3，所以可以先把原三角形的面积分出一个1/6，再把余下的5/6等分成5份； 或先把原三角形的面积分出两个1/6，再把余下的4/6等分成4份；或先把原三角形的面积分出三个1/6， 再把余下的3/6等分成3份
.
根据上面的分析，又可以得到如图6所示的又一种分法.
例1 介绍的几种六等分三角形的方法，有一个共同的特点，就是想办法找等底等高的三角形， 而找这种三角形的办法，又都是几等分某一条线段得到的. 掌握了这一特点，几等分三角形的问题 就不难解决了. 当然，几等分三角形的面积，除了上面介绍的几种方法以外，还有其它方法，
这里就不一一介绍了.
现在我们已经知道了，等底等高的三角形面积一定相等. 同学们进一步想一想，如果两个三角形 的底相等，高不相等，它们的面积有什么关系呢？例如，两个底边长度都为10的三角形甲和乙， 三角形甲的高为9，三角形乙的高为27，根据三角形面积公式，可知：三角形乙的面积是三角形 甲的面积的3倍，也就是说三角形甲和乙的面积之比为1∶3. 又如，两个底边长度都为10的三角形 甲和乙，三角形甲的高为8，三角形乙的高为18，则三角形甲和乙的面积之比为4∶9. 类似地， 我们还可以举出许多例子. 由此可以看出，如果两个三角形底的长度相等，高的长度不相等，
那么它们的面积之比正好等于这两个三角形高的长度比.
同样的道理，我们还可以推出，如果两个三角形高的长度相等，底的长度不相等，
那么这两个三角形的面积之比正好等于它们的底的长度比. 因此我们有下面的结论：
如果甲、乙两个三角形的底（高）的长度相等，那么甲、乙两个三角形的面积之比等于
它们的高（底）的长度之比.
例2 把三角形ABC 分成甲、乙、丙三部分，使甲的面积是乙的面积的3倍，丙的面积是乙的面积的4倍. 分析与解 要想使三角形甲的面积是三角形乙的面积的3倍，可以使这两个三角形的高相同，
而三角形甲的底是三角形乙的底的3倍. 同样使三角形丙的高和三角形乙的高相同，
而三角形丙的底是三角形乙的底的4倍，这样一来，我们将三角形ABC 的一条边8等分，
使乙占其中的一份，甲占其中的3份，丙占其中的4份，即可达到目的.
具体分法见图7.
例3 在图8的三角形ABC 中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，
求三角形ABC 的面积.
分析与解 根据已知条件DC=2BD可以看出，先将三角形ABC 分成三角形ABD 和三角形ADC 两部分， 这两个三角形有相同的高，而底不相等. 又根据CE=3AE，再将三角形ADC 分成三角形ADE 和 三角形DCE 两部分，这两个三角形也有相同的高，而底不相等. 根据如果两个三角形的高相等， 那么这两个三角形的面积比等于它们底的比的结论，即可求出三角形ABC 的面积.
另外在三角形ADE 和三角形DCE 中，因为CE=3AE，所以三角形DCE 的底是三角形ADE
的底的3倍. 又因为这两个三角形的高相同，所以三角形DCE 的面积是三角形ADE 的面积的 3倍， 即三角形DCE 面积=三角形ADE 面积
×3=20×
3=60（平方厘米）
所以 三角形ABC 面积
=三角形ABD 面积+三角形ADC 面积
=40+80=120（平方厘米）
练习一
1. 将任意一个三角形的面积四等分、五等分，你能找到三种以上的方法吗？
3. 见图10，在三角形ABC 中，如果D 、E 、F 分别为边BC 、AB 、AC 的中点，
那么线段AD 、DE 、DF 将三角形ABC 分成面积相等的四个小三角形，你能说明理由吗？
4. 见图11，ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，平行四边形ABCD 的面积比三角形ABE
的面积多多少倍？
5. 如图
12，把大三角形分成了甲、乙两部分，乙由A 、B 两部分组成，求甲与乙两部分面积的比值.
练习一
1. 四等分如图
.
五等分如图.
2. 见图
.
第2题图
故只需将三角形ABD 的面积五等分即可.
3. 能.
因为D 是BC 边的中点，AD 将三角形ABC 分成面积相等的两部分
，E 、F 分别是AB 边和AC 边的中点，DE 和DF 又分别将面积相等的两个三角形的面积二等分， 所以线段AD 、DE 、DF 将三角形ABC 分成面积相等的四个小三角形.
4.3倍.
连结线段AC ，因为E 是BC 的中点，所以AE 将三角形ABC 的面积二等分.
又因为AC 将平行四边形ABCD 的面积二等分，所以四边形ABCD 的面积是三角形ABE 的面积的4倍， 故四边形ABCD 的面积比三角形ABE 的面积多3倍.
5. 1/7
如图，在三角形ADC 中，CE=9，AE=3，所以
三角形DCE 面积
=三角形ADE 面积×3；
三角形ADC 面积 =三角形ADE 面积×4.
因为AD=DB，所以
三角形DBC 面积=三角形ADC 面积=三角形ADE 面积×4，
则 四边形乙面积=三角形DCE 面积+
三角形BCD 面积=三角形ADE×7.