等分三角形面积的一个推广
由三角形面积的定义可知，三角形一边上的中线能将三角形分割成面积相等的两部分。
如图1，AD 为△ABC 的中线，则S ∆ABD =S ∆ADC ；由梯形的性质可知，连接梯形的两条对角线，图中能找到三组面积相等的三角形。
图1 如图2，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 交于O ，则 S ∆ABO =S ∆ODC ，S ∆ABD =S ∆ADC ，
S ∆ABC =S ∆BDC
图2 应用这两个简单的性质，可以解决下列问题：
问题1：如图3，点D 是△ABC 边BC 上的任意一点（不与B 、C 重合），能否过点D 画一条直线，使直线两侧的面积相等？
图3
分析：在三角形中，一边上的中线能将三角形分成面积相等的两部分，因此我们想到，先作出三角形的一条中线，将三角形面积分成相等的两部分，然后再利用上面两个性质，使直线符合要求。
解：取AB 的中点E ，连结DE ，过点C 作CF ∥DE 交AB 于F ，作直线DF 即是符合要求的直线。理由：连结CE ，交DF 于O ，则
在梯形DEFC 中，有S ∆EFO =S ∆ODC
因为S ∆AEC =11S ∆ABC ，所以S 四边形ACDF =S ∆ABC 22
问题2：如图4，若点D 、E 是△ABC 边BC 上的任意两点，能否分别过点D 、E 画两条直线，将△ABC 的面积分割成相等的三个部分？
图4
分析：经过BC 边上任意两点画直线，使三角形的面积被分割成相等的三部分，可以转化成上述问题1的一般情况。
解：取AB 边的三等分点F ，连结DF ，过点C 作CM ∥DF ，连结DM ，则 S 四边形ACDM =1S ∆ABC 3
接下来只要过点E 画直线将△MBD 的面积二等分：取DM 的中点为G ，连结EG ，过点B 作BN ∥EG 交DM 于N ，连结EN ，则EN 分△MBD 面积为相等的两部分。直线DM 、EN 即为所求作的两条直线。
由上问题的解决，我们可以推广到更一般的情形中，过三角形某一条边上若干个点（或是分布在不同一边上的若干个点）画直线都可以将三角形分割成面积相等的若干部分。 在学习过程中，充分利用我们已有知识，只要我们善于思考、分析、归纳、总结、拓广，然后再加以论证，可以得到许多我们没有发现的结论，在知识的海洋中捕捉到一朵朵美丽的浪花。
等分三角形面积的一个推广
由三角形面积的定义可知，三角形一边上的中线能将三角形分割成面积相等的两部分。
如图1，AD 为△ABC 的中线，则S ∆ABD =S ∆ADC ；由梯形的性质可知，连接梯形的两条对角线，图中能找到三组面积相等的三角形。
图1 如图2，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 交于O ，则 S ∆ABO =S ∆ODC ，S ∆ABD =S ∆ADC ，
S ∆ABC =S ∆BDC
图2 应用这两个简单的性质，可以解决下列问题：
问题1：如图3，点D 是△ABC 边BC 上的任意一点（不与B 、C 重合），能否过点D 画一条直线，使直线两侧的面积相等？
图3
分析：在三角形中，一边上的中线能将三角形分成面积相等的两部分，因此我们想到，先作出三角形的一条中线，将三角形面积分成相等的两部分，然后再利用上面两个性质，使直线符合要求。
解：取AB 的中点E ，连结DE ，过点C 作CF ∥DE 交AB 于F ，作直线DF 即是符合要求的直线。理由：连结CE ，交DF 于O ，则
在梯形DEFC 中，有S ∆EFO =S ∆ODC
因为S ∆AEC =11S ∆ABC ，所以S 四边形ACDF =S ∆ABC 22
问题2：如图4，若点D 、E 是△ABC 边BC 上的任意两点，能否分别过点D 、E 画两条直线，将△ABC 的面积分割成相等的三个部分？
图4
分析：经过BC 边上任意两点画直线，使三角形的面积被分割成相等的三部分，可以转化成上述问题1的一般情况。
解：取AB 边的三等分点F ，连结DF ，过点C 作CM ∥DF ，连结DM ，则 S 四边形ACDM =1S ∆ABC 3
接下来只要过点E 画直线将△MBD 的面积二等分：取DM 的中点为G ，连结EG ，过点B 作BN ∥EG 交DM 于N ，连结EN ，则EN 分△MBD 面积为相等的两部分。直线DM 、EN 即为所求作的两条直线。
由上问题的解决，我们可以推广到更一般的情形中，过三角形某一条边上若干个点（或是分布在不同一边上的若干个点）画直线都可以将三角形分割成面积相等的若干部分。 在学习过程中，充分利用我们已有知识，只要我们善于思考、分析、归纳、总结、拓广，然后再加以论证，可以得到许多我们没有发现的结论，在知识的海洋中捕捉到一朵朵美丽的浪花。