平行四边形的性质与判定
一、总结平行四边形的性质与判定原理：
【问题1】我们学习平行四边形的性质是从哪几个方面来研究的？
从“边、角、线”三个方面，其中“线”指的是对角线。
【问题2】判定一个四边形是平行四边形必须有几个条件？
必须具备两个条件；注意判定原理5“对角线互相平分”也是两个等量。
二、总结与平行四边形相关的性质：（注意，以下性质只可用来指导解证题，在填空、选择题中可直接使用，但在解答题中不可直接当作原理使用）
【平行四边形对角线相关性质】
①
平行四边形每一条对角线将其分成两个全等的
三角形；平行四边形的对角线将其分成四个面积 图P-01 ；
邻两个三角形的周长之差就等于边长之差。
如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，则ABO、ADO、CDO、
CBO的面积相等。依据是每相邻两个三角形都是“等底同高”。
〖练习〗⒈如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，若S⊿ABO=2，则
S⊿ABD；SABCD⒉如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，则图中共有 对全等三角形。 ⒊如图P-01，已知，ABCD的周长为28，点O是对角线AC、BD交点，ABO
的周长比CBO的周长多4，则AB= ，BC=
⒋如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，已知AB=8，BC=6，⊿ABO
的周长为17，则CBO的周长=
② 在平行四边形内，过对角线交点且两端点在
平行四边形边上的线段一定被对角线交点平分如图P-02，点O是对角线AC、BD交点，线段 EF过点O，则OE=OF；证AEO≌CFO〖练习〗⒈如图P-02，ABCD中，EF过对角线交点若AB=5，BC=4，EO=3，则四边形CDEF
⒉如图P-03，ABCD中有圆O
，请你画一条直线，
将此平行四边形及圆O的面积分成相等的
两部分。
③
a
2b(a>b)x
的取值范围为ab
〖练习〗⒈如图P-01，若AC=8，BD=12，则 图P-03 AB的取值范围是⒉三角形一边上的中线的取值范围为：大于另两边之差，小于另两边之和。 如图P-04，已知D为ABC中BC边上的中点，
AB=5，AC=7，求AD的取值范围。
〖提示〗延长AD至E，使DE=AD，连结BE、EC，
易证得ABEC；记住此法：倍长中线法，是常
用的辅助线作法
图P-04
【四边形四边中点连线性质】
④
⑤
⑥
【中位线相关性质】
⑦ 三角形中位线原理： 三角形的中位线平行且等于第三边的一半；
如图P-10，D、E分别为AB、AC中点，则有：
1 DE∥BC，DE=BC；若已知D为AB中点， 2
DE∥BC，则有：AE=CE
〖练习〗证明三角形中位线原理推论
已知： 图P-10
求证：
证明：
⑧ 三角形的三条中位线将原三角形分成的四个小三角形的全等，周长都等于原三角形周长的一半，面积都等于原三角形面积的1/4。
如图P-11，D、E、F
周长都等于ABC周长的图中共有3个平行四边形〖练习〗如图P-11，D、E、 AB=6，AC=7，BC=10，则
三、典型题例与解题思路
【例1】如图P-12， 且AE=CF〖思路分析〗
行四边形的判定原理得到所要求证的四边形是平行四边形。
在证本类题型时，首先要想清楚自己要选用哪种方法（原理）来证。几何证明题的方法往往有多种，不一定要是最简单的，但在找条件时不能乱，不要所有能用的不用的都写上去。以本题为例，我们要证BFDE，可以选用的方法有“两组对边分别相等”、 “两组对边分别平行”、 “一组对边平行且相等”、“对角线互相平分”等方法，选定一种后，就找对应的条件。
我们先看第一种方法：两组对边分别相等。要证DE=BF，BE=DF，我们可以用全等来证，先用AEB≌CFD得BE=DF，再同理得DE=BF。
〖解题格式〗
证： ∵有ABCD （已知）
∴AB=CD，AB∥CD（平行四边形性质）
∴∠1=∠2 （两直线平行，内错角相等）
又∵AE=CF （已知）
在AEB和CFD中：
AB=CD ∠1=∠2 AE=CF
∴AEB≌CFD （SAS）
∴BE=DF （全等性质）
同理：DE=BF
∴ 有DEBF （两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 〖同题练习〗
⒈ 用“一组对边平行且相等”来证：
⒉ 用“对角线互相平分”来证：
〖同类练习〗
⒈ 如图P-13，ABCD中，E、F分别为AB、CD中点，AF、DE相交于G，CE、BF相交于H。求证：四边形EHFG是平行四边形
〖思路分析〗可以先用 来证DEBF，从而得DE∥BF； 再同理证得 ∥ ；最终用 的原理来证得。 〖解题过程〗
图P-
13
⒉ 如图P-14，ABCD中，E、F分别为AB、CD上的点，且DF=BE， 求证：AF=CE
〖思路分析〗可以用全等的方法证，也可以
直接证AECF，从而得对边相等。
〖解题过程〗
方法一：用全等的方法
图P-14
方法二：先证AECF
⒊ 求证：平行四边形一条对角线的两个个端点到另一条对角线的距离相等。 （要求画图，写出已知、求证并证明）
【例2】如图P-15，O是ABC内一点，D
、
E、F、G分别是AB、AC、OB、OC的中点
求证：四边形DEFG是平行四边形
〖思路分析〗
此类题型是利用中位线原理来证题，要
证DEFG，只要证一组对边平行且相等就 可以了；我们可以选定DE与FG 图P-15 〖解题过程〗
证：∵ 在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点
∴ DE∥BC，DE=1/2BC （三角形中位线性质）
同理：FG∥BC，FG=1/2BC
∴ FG=DE （等量代换）FG∥DE
∴ 有DEFG（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
〖练习〗求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
（写出已知、求证并证明）
菱形的性质与判定
三、观察上表，你能发现什么特点？除了上表中的四种判定法之外，你还能找出哪些判定菱形的方法？所有这些方法，你能发现它们的共同点吗？你能不能用一句话说明，到底怎样判定菱形的？
上表的特点是：判定菱形，只用到了边与线，而且用边来判定时只用到了“四边相等”的性质；用“线”来判定时只用到了“互相垂直平分”的性质。另外，
四边形，那么就只要再有一个条件就可以了。
除了表中的四种方法，还可以这样判定菱形：例如，先用“两组对边分别平行”来证一个四边形是平行四边形，再证它的一组邻边相等，或证它的对角线互相垂直„„这样就有很多的方法了。如果用一句话来总结，那就是：只要能先证
四、菱形中的重要解题性质
【菱形的面积与对角线关系原理】 如图L-01，菱形ABCD对角线相交于O，则
1 S菱形ABCD=ACBD 2
【含60o或120o内角的菱形相关性质】菱形中若有一
oo 等边三角形；较长的对角线等于边长的倍。
如图L-01，∠BAD=60o，则有：等边
图L-01 ABD，等边BDC ，AC=3BD=AB
【菱形的一些基本性质】
⒈菱形的四条边都相等，周长=边长4；
⒉如图L-01，菱形被两条对角线分成的四个小直角三角形都全等； ⒊如图L-02
证明：连结AC、BD，交点为O，AC交HE于P，
BD交HG于Q
由中位线原理可得HG和EF都平行且等于1/2AC，
∴HG与EF平行且相等，∴有EFGH
又∵AC⊥BD，AC∥HG，∴HG⊥BD
（垂直于平行线中的一条，必垂直另一条）
∴ ∠HQO=90o，同理∠HPO=90o，
又∵∠POQ=90o，∴∠QHE=90o，
图L-02 ∴ 有矩形EFGH
⒋四边形ABCD对角线AC、BD相交于O，从以下条件中选取3条，可以判
定四边形ABCD是菱形的方法共有8种：①AB=BC，②AB=CD，③BC=AD，④AO=CO，⑤BO=DO，⑥AC⊥BD，⑦AB∥CD，⑧AD∥BC
①②③“四条边相等的四边形”或“一组邻边相等的平行四边形”
①④⑤、①⑦⑧、①②⑦、①③⑧：“一组邻边相等的平行四边形”
②③⑥、⑥⑦⑧：“对角线互相垂直的平行四边形”
④⑤⑥：“对角线互相垂直且平分的四边形”
五、典型题例与思路分析
证一个四边形是菱形，有两种思路：可以先由两个条件证得平行四边形，再加一个条件证得菱形；或者直接由三个条件证得菱形。
【例1】如图L-03，AD是ABC的一条角角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AFDE是菱形。
〖思路分析〗本例明显可先证得AFDE，再加上
一个条件“邻边相等”即可得菱形。
证：∵DE∥AC，DF∥AB ∴DE∥AF，DF∥AE
∴有AFDE ∵AD是角平分线 ∴∠1=∠2
∵DE∥AC ∴∠3=∠2
∴∠1=∠3 ∴AE=DE 图L-03 ∴有菱形AFDE（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
〖同类练习〗
⒈如图L-04，ABC中，∠C=90o，AD是角平分线，ED⊥BC，DF∥BC 求证：四边形AEDF是菱形
图L-04
⒉如图L-05，ABC中，AB=AC，O是BC中点，OG⊥AB于G，OD⊥AC于D，DE⊥AB于
E，GF⊥AC于F，GF、DE相交于P
求证：四边形ODPG是菱形
图L-05 【例1】如图L-06
，ABCD的对角线BD的垂直平分
线EF分别交AB、CD、BD于F、E、O
求证：四边形DFBE是菱形。
〖思路分析〗
本例很显然可以利用对角线互相垂直平分来证菱形，
我们可以用全等来证得对角线互相平分。
证：∵ 有ABCD ∴ AB∥DC ∴∠1=∠2，∠3=∠4 图L-06 ∵ EF垂直平分BD ∴ DO=BO
∴DOE≌BOF ∴ OE=OF
∵ EF⊥BD ∴有菱形DFBE（对角线互相垂直平分的四边形是菱形） 〖同类练习〗
⒈如图L-07，过ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线分别交
ABCD四条边于E、F、G、H四点
求证：四边形EFGH是菱形
图L-07
〖综合练习〗
⒈☆☆☆如图L-08，ABC中，∠ACB=90o，AD是角平分线，DF⊥AB于F，CD⊥AB于E，求证：四边形CDFG是菱形
〖提示〗用全等可证CD=DF，CG=GF，再证∠3=∠4得CD=CG，即四条边相等
图L-08
⒉☆☆☆如图L-09，E为四边形ABCD边AB上一点，且AED和EBC都是等边三角形，F、G、H、I分别是四边中点
求证：四边形FGHI是菱形
〖提示〗连结AC和BD，先证AEC≌DEB，得AC=BD；再由中位线原理可得HI=FG=1/2AC，EI=HG=1/2BD，即四条边都相等
图L-09
⒊如图L-
10，AB∥EF，∠1=∠2，DC=DF，求证：四边形DCEF是菱形
图L-10
⒋如图L-11，ABCD中，EF∥BD，BE=BG，
求证：①∠E=∠F ②ABCD是菱形
图L-11
矩形的性质与判定
四、菱形、矩形的比较
⒈二者都是特殊的的平行四边形，菱形是将平行四边形的一组邻边相等，矩形是将其一组邻角相等；所以菱形的角方面没有变化，而矩形的边方面没有变化； ⒉菱形四边相等，矩形四角相等；菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线相等； ⒊二者都既是中心对称图形，又是轴对称图形；对称中心都是对角线交点，对称轴都有2条，菱形的2条是对角线所在直线，矩形2条是对边的中垂线； ⒋菱形四边中点连线所得是矩形，矩形四边中点连线所得是菱形；
⒌菱形对角线交点到四边距离相等，矩形对角线交点到四个顶点距离相等； ⒍二者的判定都可以先判定平行四边形再加一个条件就可以了。
五、练习
⒈如图J-01，四边形EFGH是由ABCD四个内角的角平分线围成的
求证：四边形EFGH是矩形
〖提示〗证∠1+∠2=90o，则∠AED=90o，同理 得出另三个角都等于90
o 图J-01
⒉求证：顺次连结矩形四边中点所得四边形是菱形。 〖提示〗证四条边都等于对角线长 图J-02
⒊如图J-03，O为菱形ABCD对角线交点，过O点作AD、AB的垂线，与四边分别相交于E、F、G、H 求证：四边形EFGH是矩形
〖提示〗由菱形性质可知∠1=∠2，并由角平分 线原理知OH=OE；同理可得OE=OF，OF=OG， 所以HF与EG相等且互相平分，得矩形 图J-03
⒋求证：①菱形对角线交点到四边的距离都相等；②矩形对角线交点到四个顶点的距离都相等。
⒌如图J-04，矩形ABCD中，AC与BD相交于O
，BE
⊥AC于E，CF⊥
BD于F 求证：BE=CF
图J-04
⒍如图J-05，过矩形ABCD顶点A作AE∥BD，交CD延长线于E，猜想AEC的形状并证明
图J-05
⒎如图J-06，点E是矩形ABCD中CD边上一点，F是AD边上一点，EF⊥BE且 EF=BE，已知矩形周长为22cm，CE=3cm，求DE长 图J-06
正方形的性质与判定
一、正方形的性质与判定比较
二、正方形判定方法
① 简单地说，要判定一个四边形是正方形，就要判定它既是菱形，又是矩形； 如上表中的判定原理1—4，都是这种方法；
② 判定正方形需要四个条件，比较平行四边形、菱形和矩形的判定，判定平行四边形只要两个条件，判定菱形和矩形都要三个条件； ③ 也可以先判定一个四边形是平行四边形，再加一个条件判定成菱形（或矩形），最后再加一个条件判定成矩形（或菱形），就成了正方形。
三、平行四边形、菱形、矩形与正方形性质比较
四、例题与练习
【例】如图Z-01，RtABC中，∠ACB=90o，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E， DF⊥AC于F，求证：四边形CFDE是正方形。
〖思路分析〗如前所述，要判定一个四边形是正方形，就要判定它既是菱形，又是矩形；或反之亦然。本例我们可以先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；或先证它是菱形，再证它有一个直角。
证法一：先证矩形，再证一组邻边相等 证： ∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB=90o，
∴∠ACB=∠CFD= ∠CED= 90o， ∴有矩形CFDE
（三个角是直角的四边形是矩形） 又∵CD平分∠ACB，
图Z-01 DE⊥BC，DF⊥AC
∴DE=DF（角平分线上的点到两边的距离相等）
∴有正方形CFDE（一组邻边相等的矩形是正方形）
证法二：先证菱形，再证一个内角为90o 证：∵DE⊥BC
∴∠DEB=90o，
又∵∠ACB=90o， ∴∠ACB=∠DEB ∴DE∥CF 同理DF∥CE ∴有CFDE
又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC
∴DE=DF（角平分线上的点到两边的距离相等） ∴有菱形CFDE 又∵∠DEB=90o
∴有正方形CFDE（一个角是直角的菱形是正方形）
〖练习〗
⒈如图Z-02，矩形ABCD中，AE平分∠DAB，交CD于E，EF⊥AB于F 求证：四边形AFED是正方形
〖提示〗用“一组邻边相等的矩形是正方形”
图Z-02
⒉如图Z-03，在正方形ABCD中，AE=BF，AF、ED相交于G ①求证：AF=DE ②求证：AF⊥DE 〖提示〗①证ABF≌DAE（SAS）
②证∠2+∠3=90o：由①得∠1=∠3；∠1+∠2=90o 图Z-03
⒊① 如图Z-04，正方形ABCD对角线相交于O，E
为AC上一点，过A作于G，
AG交BD于F，求证：OE=OF
〖提示〗证AOF≌BOE（AAS）
图Z-04
② 如图Z-05，若点E在AC的延长线上，AG⊥BE交EB延长线于G，AG交DB延长线于F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？请证明你的结论
图Z-05 Z-0
【实践题】只给你测量长度的工具，怎样测出一个矩形的物件是否合格？
图J-11
【实践题】不用任何工具，怎样检验一张纸片是正方形？
图Z-04
【专题一】纸片折叠题型
此类题型的关键在折叠前后的等量关系，要能找到哪些线段和角是不变的，它们是题中的隐含条件，要注意应用。 ⒈☆☆☆如图ZD-01，将ABCD纸片沿EF折叠，使C点正好落在A点，D点落在G点，①求证：ABE≌AGF
②判断四边形AECF是什么形，并证明 〖提示〗①折叠之后的等量关系要清楚：
∠D=∠G，∠BAD=∠BCD，AG=CD，AE=EC 再由ABCD得∠D=∠B，AB=CD；最后证 ∠1=∠2，三个条件就具备了 ②AE=EC，AE∥EC，可证AECF，由①可知 AE=AF，所以可得它是„„ 图ZD-01
⒉☆☆☆如图ZD-02，将一矩形纸片沿GF折叠，使点C与A重合，点D落在E处，找出并证明图中的全等三角形
图ZD-02
⒊☆☆如图ZD-03，两张宽度相同的小纸条叠放在一起，围成一个四边形ABCD，判断这个四边形的形状并证明 〖提示〗宽度相同，即高相等，利用面积法可证得AB=AD；而ABCD的证明就„„
图ZD-03
⒋☆☆如图ZD-04，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，C点落在F处，BF交AD于E。已知AB=4，BC=8，求DE长
〖提示〗设DE=x，则AE=8-x；易证∠1=∠3得BE=DE=x，在RtABE中，用勾股定理列出方程即可解得x
图ZD-04
⒌如图ZD-05，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠后，点B到达B的位置，BC与AD交于点E，求证：BD∥AC
〖提示〗易证等腰ACE与等腰BDE，则∠1=∠2
，∠4=
∠5，又由于∠AEC=∠BED，则∠1=∠2=∠4=∠5，得证平行。
图ZD-05
⒍如图ZD-06，将矩形纸片沿AE、EF折叠，使C点落在G处，B点落在H处；
已知∠2=30o，BC长
图ZD-06
⒎如图ZD-07，在矩形纸片ABCD中，
BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的P处，点D落在G处，AD与PG交于H，∠1=30o ①求BE、DF的长 ②求四边形PEFH的面积
〖提示〗设BE=x，则EC=6-x=EP，由∠1=30o得BE=1/2PE求出x及PB、PA、PH、 HG，再证∠1=∠3=∠4=30o可求出GF，而DF=GF；各条线段求出后，四边形PEFH的面积就等于矩形总面积减去两个三角形及一个梯形面积，或者用梯形面积减去FGH的面积 图ZD-07
⒏ ☆☆☆☆☆如图ZD-08，已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将其沿FG折叠，使A点落在CD边上E点处，连结AE，交FG于M，过M作MN∥AB交BC于N，若MN=ME，求MN的长
〖提示〗由折叠含义可知：FG垂直平分AE，所以MN=ME=1/2AE，连结并延长EN，交AB延长线于P，由中位线原理推论可得N为PE中点，且可证得EC=BP，MN=1/2AP，所以AP=AE；设EC=x，则DE=2-x，AE=AP=2+x，在RtADE中，用勾股定理 可得方程：12+（2-x）2=（2+x）2
，最后答案为MN=17/16
图ZD-08
【专题二】动点问题题型
⒈如图D-01，四边形ABCD中，AD∥CB，且AD>BD，BC=6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由
C向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？
图D-01
⒉如图D-02，在
ABC中，点O是AC边上一动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB
的平分线于E，交∠ACB的外角平分线于F， ①求证：OE=OF
②当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论 〖提示〗易证∠1=∠2=∠3，得OE=OC 同理OF=OC，得证OE=OF 图D-02
⒊如图D-03，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D向A以1cm/s的速度移动；如果P、Q同时出发，t(s)表示移动时间（0
① 当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？
② 求四边形QAPC的面积，并提出一个与计算结果有关的结论
图D-03
平行四边形的性质与判定
一、总结平行四边形的性质与判定原理：
【问题1】我们学习平行四边形的性质是从哪几个方面来研究的？
从“边、角、线”三个方面，其中“线”指的是对角线。
【问题2】判定一个四边形是平行四边形必须有几个条件？
必须具备两个条件；注意判定原理5“对角线互相平分”也是两个等量。
二、总结与平行四边形相关的性质：（注意，以下性质只可用来指导解证题，在填空、选择题中可直接使用，但在解答题中不可直接当作原理使用）
【平行四边形对角线相关性质】
①
平行四边形每一条对角线将其分成两个全等的
三角形；平行四边形的对角线将其分成四个面积 图P-01 ；
邻两个三角形的周长之差就等于边长之差。
如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，则ABO、ADO、CDO、
CBO的面积相等。依据是每相邻两个三角形都是“等底同高”。
〖练习〗⒈如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，若S⊿ABO=2，则
S⊿ABD；SABCD⒉如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，则图中共有 对全等三角形。 ⒊如图P-01，已知，ABCD的周长为28，点O是对角线AC、BD交点，ABO
的周长比CBO的周长多4，则AB= ，BC=
⒋如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，已知AB=8，BC=6，⊿ABO
的周长为17，则CBO的周长=
② 在平行四边形内，过对角线交点且两端点在
平行四边形边上的线段一定被对角线交点平分如图P-02，点O是对角线AC、BD交点，线段 EF过点O，则OE=OF；证AEO≌CFO〖练习〗⒈如图P-02，ABCD中，EF过对角线交点若AB=5，BC=4，EO=3，则四边形CDEF
⒉如图P-03，ABCD中有圆O
，请你画一条直线，
将此平行四边形及圆O的面积分成相等的
两部分。
③
a
2b(a>b)x
的取值范围为ab
〖练习〗⒈如图P-01，若AC=8，BD=12，则 图P-03 AB的取值范围是⒉三角形一边上的中线的取值范围为：大于另两边之差，小于另两边之和。 如图P-04，已知D为ABC中BC边上的中点，
AB=5，AC=7，求AD的取值范围。
〖提示〗延长AD至E，使DE=AD，连结BE、EC，
易证得ABEC；记住此法：倍长中线法，是常
用的辅助线作法
图P-04
【四边形四边中点连线性质】
④
⑤
⑥
【中位线相关性质】
⑦ 三角形中位线原理： 三角形的中位线平行且等于第三边的一半；
如图P-10，D、E分别为AB、AC中点，则有：
1 DE∥BC，DE=BC；若已知D为AB中点， 2
DE∥BC，则有：AE=CE
〖练习〗证明三角形中位线原理推论
已知： 图P-10
求证：
证明：
⑧ 三角形的三条中位线将原三角形分成的四个小三角形的全等，周长都等于原三角形周长的一半，面积都等于原三角形面积的1/4。
如图P-11，D、E、F
周长都等于ABC周长的图中共有3个平行四边形〖练习〗如图P-11，D、E、 AB=6，AC=7，BC=10，则
三、典型题例与解题思路
【例1】如图P-12， 且AE=CF〖思路分析〗
行四边形的判定原理得到所要求证的四边形是平行四边形。
在证本类题型时，首先要想清楚自己要选用哪种方法（原理）来证。几何证明题的方法往往有多种，不一定要是最简单的，但在找条件时不能乱，不要所有能用的不用的都写上去。以本题为例，我们要证BFDE，可以选用的方法有“两组对边分别相等”、 “两组对边分别平行”、 “一组对边平行且相等”、“对角线互相平分”等方法，选定一种后，就找对应的条件。
我们先看第一种方法：两组对边分别相等。要证DE=BF，BE=DF，我们可以用全等来证，先用AEB≌CFD得BE=DF，再同理得DE=BF。
〖解题格式〗
证： ∵有ABCD （已知）
∴AB=CD，AB∥CD（平行四边形性质）
∴∠1=∠2 （两直线平行，内错角相等）
又∵AE=CF （已知）
在AEB和CFD中：
AB=CD ∠1=∠2 AE=CF
∴AEB≌CFD （SAS）
∴BE=DF （全等性质）
同理：DE=BF
∴ 有DEBF （两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 〖同题练习〗
⒈ 用“一组对边平行且相等”来证：
⒉ 用“对角线互相平分”来证：
〖同类练习〗
⒈ 如图P-13，ABCD中，E、F分别为AB、CD中点，AF、DE相交于G，CE、BF相交于H。求证：四边形EHFG是平行四边形
〖思路分析〗可以先用 来证DEBF，从而得DE∥BF； 再同理证得 ∥ ；最终用 的原理来证得。 〖解题过程〗
图P-
13
⒉ 如图P-14，ABCD中，E、F分别为AB、CD上的点，且DF=BE， 求证：AF=CE
〖思路分析〗可以用全等的方法证，也可以
直接证AECF，从而得对边相等。
〖解题过程〗
方法一：用全等的方法
图P-14
方法二：先证AECF
⒊ 求证：平行四边形一条对角线的两个个端点到另一条对角线的距离相等。 （要求画图，写出已知、求证并证明）
【例2】如图P-15，O是ABC内一点，D
、
E、F、G分别是AB、AC、OB、OC的中点
求证：四边形DEFG是平行四边形
〖思路分析〗
此类题型是利用中位线原理来证题，要
证DEFG，只要证一组对边平行且相等就 可以了；我们可以选定DE与FG 图P-15 〖解题过程〗
证：∵ 在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点
∴ DE∥BC，DE=1/2BC （三角形中位线性质）
同理：FG∥BC，FG=1/2BC
∴ FG=DE （等量代换）FG∥DE
∴ 有DEFG（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
〖练习〗求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
（写出已知、求证并证明）
菱形的性质与判定
三、观察上表，你能发现什么特点？除了上表中的四种判定法之外，你还能找出哪些判定菱形的方法？所有这些方法，你能发现它们的共同点吗？你能不能用一句话说明，到底怎样判定菱形的？
上表的特点是：判定菱形，只用到了边与线，而且用边来判定时只用到了“四边相等”的性质；用“线”来判定时只用到了“互相垂直平分”的性质。另外，
四边形，那么就只要再有一个条件就可以了。
除了表中的四种方法，还可以这样判定菱形：例如，先用“两组对边分别平行”来证一个四边形是平行四边形，再证它的一组邻边相等，或证它的对角线互相垂直„„这样就有很多的方法了。如果用一句话来总结，那就是：只要能先证
四、菱形中的重要解题性质
【菱形的面积与对角线关系原理】 如图L-01，菱形ABCD对角线相交于O，则
1 S菱形ABCD=ACBD 2
【含60o或120o内角的菱形相关性质】菱形中若有一
oo 等边三角形；较长的对角线等于边长的倍。
如图L-01，∠BAD=60o，则有：等边
图L-01 ABD，等边BDC ，AC=3BD=AB
【菱形的一些基本性质】
⒈菱形的四条边都相等，周长=边长4；
⒉如图L-01，菱形被两条对角线分成的四个小直角三角形都全等； ⒊如图L-02
证明：连结AC、BD，交点为O，AC交HE于P，
BD交HG于Q
由中位线原理可得HG和EF都平行且等于1/2AC，
∴HG与EF平行且相等，∴有EFGH
又∵AC⊥BD，AC∥HG，∴HG⊥BD
（垂直于平行线中的一条，必垂直另一条）
∴ ∠HQO=90o，同理∠HPO=90o，
又∵∠POQ=90o，∴∠QHE=90o，
图L-02 ∴ 有矩形EFGH
⒋四边形ABCD对角线AC、BD相交于O，从以下条件中选取3条，可以判
定四边形ABCD是菱形的方法共有8种：①AB=BC，②AB=CD，③BC=AD，④AO=CO，⑤BO=DO，⑥AC⊥BD，⑦AB∥CD，⑧AD∥BC
①②③“四条边相等的四边形”或“一组邻边相等的平行四边形”
①④⑤、①⑦⑧、①②⑦、①③⑧：“一组邻边相等的平行四边形”
②③⑥、⑥⑦⑧：“对角线互相垂直的平行四边形”
④⑤⑥：“对角线互相垂直且平分的四边形”
五、典型题例与思路分析
证一个四边形是菱形，有两种思路：可以先由两个条件证得平行四边形，再加一个条件证得菱形；或者直接由三个条件证得菱形。
【例1】如图L-03，AD是ABC的一条角角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AFDE是菱形。
〖思路分析〗本例明显可先证得AFDE，再加上
一个条件“邻边相等”即可得菱形。
证：∵DE∥AC，DF∥AB ∴DE∥AF，DF∥AE
∴有AFDE ∵AD是角平分线 ∴∠1=∠2
∵DE∥AC ∴∠3=∠2
∴∠1=∠3 ∴AE=DE 图L-03 ∴有菱形AFDE（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
〖同类练习〗
⒈如图L-04，ABC中，∠C=90o，AD是角平分线，ED⊥BC，DF∥BC 求证：四边形AEDF是菱形
图L-04
⒉如图L-05，ABC中，AB=AC，O是BC中点，OG⊥AB于G，OD⊥AC于D，DE⊥AB于
E，GF⊥AC于F，GF、DE相交于P
求证：四边形ODPG是菱形
图L-05 【例1】如图L-06
，ABCD的对角线BD的垂直平分
线EF分别交AB、CD、BD于F、E、O
求证：四边形DFBE是菱形。
〖思路分析〗
本例很显然可以利用对角线互相垂直平分来证菱形，
我们可以用全等来证得对角线互相平分。
证：∵ 有ABCD ∴ AB∥DC ∴∠1=∠2，∠3=∠4 图L-06 ∵ EF垂直平分BD ∴ DO=BO
∴DOE≌BOF ∴ OE=OF
∵ EF⊥BD ∴有菱形DFBE（对角线互相垂直平分的四边形是菱形） 〖同类练习〗
⒈如图L-07，过ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线分别交
ABCD四条边于E、F、G、H四点
求证：四边形EFGH是菱形
图L-07
〖综合练习〗
⒈☆☆☆如图L-08，ABC中，∠ACB=90o，AD是角平分线，DF⊥AB于F，CD⊥AB于E，求证：四边形CDFG是菱形
〖提示〗用全等可证CD=DF，CG=GF，再证∠3=∠4得CD=CG，即四条边相等
图L-08
⒉☆☆☆如图L-09，E为四边形ABCD边AB上一点，且AED和EBC都是等边三角形，F、G、H、I分别是四边中点
求证：四边形FGHI是菱形
〖提示〗连结AC和BD，先证AEC≌DEB，得AC=BD；再由中位线原理可得HI=FG=1/2AC，EI=HG=1/2BD，即四条边都相等
图L-09
⒊如图L-
10，AB∥EF，∠1=∠2，DC=DF，求证：四边形DCEF是菱形
图L-10
⒋如图L-11，ABCD中，EF∥BD，BE=BG，
求证：①∠E=∠F ②ABCD是菱形
图L-11
矩形的性质与判定
四、菱形、矩形的比较
⒈二者都是特殊的的平行四边形，菱形是将平行四边形的一组邻边相等，矩形是将其一组邻角相等；所以菱形的角方面没有变化，而矩形的边方面没有变化； ⒉菱形四边相等，矩形四角相等；菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线相等； ⒊二者都既是中心对称图形，又是轴对称图形；对称中心都是对角线交点，对称轴都有2条，菱形的2条是对角线所在直线，矩形2条是对边的中垂线； ⒋菱形四边中点连线所得是矩形，矩形四边中点连线所得是菱形；
⒌菱形对角线交点到四边距离相等，矩形对角线交点到四个顶点距离相等； ⒍二者的判定都可以先判定平行四边形再加一个条件就可以了。
五、练习
⒈如图J-01，四边形EFGH是由ABCD四个内角的角平分线围成的
求证：四边形EFGH是矩形
〖提示〗证∠1+∠2=90o，则∠AED=90o，同理 得出另三个角都等于90
o 图J-01
⒉求证：顺次连结矩形四边中点所得四边形是菱形。 〖提示〗证四条边都等于对角线长 图J-02
⒊如图J-03，O为菱形ABCD对角线交点，过O点作AD、AB的垂线，与四边分别相交于E、F、G、H 求证：四边形EFGH是矩形
〖提示〗由菱形性质可知∠1=∠2，并由角平分 线原理知OH=OE；同理可得OE=OF，OF=OG， 所以HF与EG相等且互相平分，得矩形 图J-03
⒋求证：①菱形对角线交点到四边的距离都相等；②矩形对角线交点到四个顶点的距离都相等。
⒌如图J-04，矩形ABCD中，AC与BD相交于O
，BE
⊥AC于E，CF⊥
BD于F 求证：BE=CF
图J-04
⒍如图J-05，过矩形ABCD顶点A作AE∥BD，交CD延长线于E，猜想AEC的形状并证明
图J-05
⒎如图J-06，点E是矩形ABCD中CD边上一点，F是AD边上一点，EF⊥BE且 EF=BE，已知矩形周长为22cm，CE=3cm，求DE长 图J-06
正方形的性质与判定
一、正方形的性质与判定比较
二、正方形判定方法
① 简单地说，要判定一个四边形是正方形，就要判定它既是菱形，又是矩形； 如上表中的判定原理1—4，都是这种方法；
② 判定正方形需要四个条件，比较平行四边形、菱形和矩形的判定，判定平行四边形只要两个条件，判定菱形和矩形都要三个条件； ③ 也可以先判定一个四边形是平行四边形，再加一个条件判定成菱形（或矩形），最后再加一个条件判定成矩形（或菱形），就成了正方形。
三、平行四边形、菱形、矩形与正方形性质比较
四、例题与练习
【例】如图Z-01，RtABC中，∠ACB=90o，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E， DF⊥AC于F，求证：四边形CFDE是正方形。
〖思路分析〗如前所述，要判定一个四边形是正方形，就要判定它既是菱形，又是矩形；或反之亦然。本例我们可以先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；或先证它是菱形，再证它有一个直角。
证法一：先证矩形，再证一组邻边相等 证： ∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB=90o，
∴∠ACB=∠CFD= ∠CED= 90o， ∴有矩形CFDE
（三个角是直角的四边形是矩形） 又∵CD平分∠ACB，
图Z-01 DE⊥BC，DF⊥AC
∴DE=DF（角平分线上的点到两边的距离相等）
∴有正方形CFDE（一组邻边相等的矩形是正方形）
证法二：先证菱形，再证一个内角为90o 证：∵DE⊥BC
∴∠DEB=90o，
又∵∠ACB=90o， ∴∠ACB=∠DEB ∴DE∥CF 同理DF∥CE ∴有CFDE
又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC
∴DE=DF（角平分线上的点到两边的距离相等） ∴有菱形CFDE 又∵∠DEB=90o
∴有正方形CFDE（一个角是直角的菱形是正方形）
〖练习〗
⒈如图Z-02，矩形ABCD中，AE平分∠DAB，交CD于E，EF⊥AB于F 求证：四边形AFED是正方形
〖提示〗用“一组邻边相等的矩形是正方形”
图Z-02
⒉如图Z-03，在正方形ABCD中，AE=BF，AF、ED相交于G ①求证：AF=DE ②求证：AF⊥DE 〖提示〗①证ABF≌DAE（SAS）
②证∠2+∠3=90o：由①得∠1=∠3；∠1+∠2=90o 图Z-03
⒊① 如图Z-04，正方形ABCD对角线相交于O，E
为AC上一点，过A作于G，
AG交BD于F，求证：OE=OF
〖提示〗证AOF≌BOE（AAS）
图Z-04
② 如图Z-05，若点E在AC的延长线上，AG⊥BE交EB延长线于G，AG交DB延长线于F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？请证明你的结论
图Z-05 Z-0
【实践题】只给你测量长度的工具，怎样测出一个矩形的物件是否合格？
图J-11
【实践题】不用任何工具，怎样检验一张纸片是正方形？
图Z-04
【专题一】纸片折叠题型
此类题型的关键在折叠前后的等量关系，要能找到哪些线段和角是不变的，它们是题中的隐含条件，要注意应用。 ⒈☆☆☆如图ZD-01，将ABCD纸片沿EF折叠，使C点正好落在A点，D点落在G点，①求证：ABE≌AGF
②判断四边形AECF是什么形，并证明 〖提示〗①折叠之后的等量关系要清楚：
∠D=∠G，∠BAD=∠BCD，AG=CD，AE=EC 再由ABCD得∠D=∠B，AB=CD；最后证 ∠1=∠2，三个条件就具备了 ②AE=EC，AE∥EC，可证AECF，由①可知 AE=AF，所以可得它是„„ 图ZD-01
⒉☆☆☆如图ZD-02，将一矩形纸片沿GF折叠，使点C与A重合，点D落在E处，找出并证明图中的全等三角形
图ZD-02
⒊☆☆如图ZD-03，两张宽度相同的小纸条叠放在一起，围成一个四边形ABCD，判断这个四边形的形状并证明 〖提示〗宽度相同，即高相等，利用面积法可证得AB=AD；而ABCD的证明就„„
图ZD-03
⒋☆☆如图ZD-04，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，C点落在F处，BF交AD于E。已知AB=4，BC=8，求DE长
〖提示〗设DE=x，则AE=8-x；易证∠1=∠3得BE=DE=x，在RtABE中，用勾股定理列出方程即可解得x
图ZD-04
⒌如图ZD-05，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠后，点B到达B的位置，BC与AD交于点E，求证：BD∥AC
〖提示〗易证等腰ACE与等腰BDE，则∠1=∠2
，∠4=
∠5，又由于∠AEC=∠BED，则∠1=∠2=∠4=∠5，得证平行。
图ZD-05
⒍如图ZD-06，将矩形纸片沿AE、EF折叠，使C点落在G处，B点落在H处；
已知∠2=30o，BC长
图ZD-06
⒎如图ZD-07，在矩形纸片ABCD中，
BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的P处，点D落在G处，AD与PG交于H，∠1=30o ①求BE、DF的长 ②求四边形PEFH的面积
〖提示〗设BE=x，则EC=6-x=EP，由∠1=30o得BE=1/2PE求出x及PB、PA、PH、 HG，再证∠1=∠3=∠4=30o可求出GF，而DF=GF；各条线段求出后，四边形PEFH的面积就等于矩形总面积减去两个三角形及一个梯形面积，或者用梯形面积减去FGH的面积 图ZD-07
⒏ ☆☆☆☆☆如图ZD-08，已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将其沿FG折叠，使A点落在CD边上E点处，连结AE，交FG于M，过M作MN∥AB交BC于N，若MN=ME，求MN的长
〖提示〗由折叠含义可知：FG垂直平分AE，所以MN=ME=1/2AE，连结并延长EN，交AB延长线于P，由中位线原理推论可得N为PE中点，且可证得EC=BP，MN=1/2AP，所以AP=AE；设EC=x，则DE=2-x，AE=AP=2+x，在RtADE中，用勾股定理 可得方程：12+（2-x）2=（2+x）2
，最后答案为MN=17/16
图ZD-08
【专题二】动点问题题型
⒈如图D-01，四边形ABCD中，AD∥CB，且AD>BD，BC=6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由
C向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？
图D-01
⒉如图D-02，在
ABC中，点O是AC边上一动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB
的平分线于E，交∠ACB的外角平分线于F， ①求证：OE=OF
②当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论 〖提示〗易证∠1=∠2=∠3，得OE=OC 同理OF=OC，得证OE=OF 图D-02
⒊如图D-03，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D向A以1cm/s的速度移动；如果P、Q同时出发，t(s)表示移动时间（0
① 当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？
② 求四边形QAPC的面积，并提出一个与计算结果有关的结论
图D-03