特殊平行四边形的证明
1. 如图，四边形ABCD 中，AB //CD ，AC 平分∠BAD ，CE //AD 交AB 于E ． （1）求证：四边形AECD 是菱形；
（2）若点E 是AB 的中点，试判断∆ABC 的形状，并说明理由．
2. 如图，在∆ABC 中，点O 是AC 边上的一动点， 过点O 作直线MN //BC , 设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）说明OC =
1
EF ； 2
（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．
3．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于
F ，且AF ＝DC ，连结CF ． (1)求证：D 是BC 的中点；
(2)如果AB ＝AC ，试猜测四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．
4．已知：如图，□ABCD中，AC 与BD 交于O 点，∠OAB ＝∠OBA ．
(1)求证：四边形ABCD 为矩形；
(2)作BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，求证：BE ＝CF ．
5. 如图, 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE 垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E. 又点F 在DE 的延长线上，且AF=CE.求证：四边形ACEF 是菱形
.
6．如图，已知O 是矩形ABCD 对角线BD 的中点，过点O 作BD•的垂线交DC 于F ，交AB 于E ，说明四边形DEBF 的形状．
7．如图所示，在边长为2的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，点E 为AB 中点，点F 是AC 上一动点，求EF+BF的最小值．（提示：根据轴对称的性质）
8．在矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB ，•CD的延长线分别交于E ，F ． （1）求证：△BOE ≌△DOF ；
（2）当EF 与AC 满足什么条件时，四边形AECF 是菱形，并证明你的结论．
9．如图所示，M 、N
分别是ABCD 的对边AD 、BC 的中点，且AD=2AB．
求证：四边形PMQN 是矩形．
10. 已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长
线于G .
(1)求证：△ADE ≌△CBF ；
(2)若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论.
11．如图，把一张矩形的纸ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点E 处，BE 与AD 交于点F ．
(1)求证：△ABF ≌△EDF
(2)若将折叠的图形恢复原状，点F 与BC 边上的点M 正好重合，连接DM ，试判断四边形BMDF 的形状，并说明理由．
12．（6分）将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D′ 处，折痕为EF ． （1）求证：△ABE ≌△AD′F；
（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．
13、已知：如图，M 是等腰三角形ABC 底边BC 上的中点，DM ⊥AB ，EF ⊥AB ， ME ⊥AC ，DG ⊥AC ．求证：四边形MEND 是菱形．
B
E
C
A
D ′F
D
A
B
M
G E
14、, 在□ABCD 的纸片中，AC ⊥AB ，AC 与BD 相交于O ，将△ABC 沿对角线AC 翻转180°，将得到△AB ´C
求证：以A 、C 、D 、B ´为顶点的四边形是矩形
B
A
＇
E
图19
15、已知：,BD 是△ABC 的角平分线,EF 是BD 的垂直平分线, 且交AB 于E, 交BC 于点F. 求证：四边形BFDE
是菱形.
A
F
C
B
⑴求证：△ABF ≌△ECF;
⑵若∠AFC =2∠D ，连接AC 、BE ．求证：四边形ABEC 是矩形．
16. (10分) 如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE =DC ，连接AE ，交BC 于点F ．
D E
17．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为( ) ．
(A)1
(B)2 (C)2
(D)
18. 矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB 、AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交于点O 2，同样以AB 、AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2，……
依次类推，则平行四边形ABC n O n 的面积为 【 】
⎛1⎫⎛1⎫（A ） ⎪ （B ）5⨯ ⎪
⎝2⎭⎝2⎭
n n +1
⎛1⎫⎛1⎫
（C ） 5⨯ ⎪ （D ）5⨯ ⎪
⎝2⎭⎝2⎭
n n -1
特殊平行四边形的证明
1. 如图，四边形ABCD 中，AB //CD ，AC 平分∠BAD ，CE //AD 交AB 于E ． （1）求证：四边形AECD 是菱形；
（2）若点E 是AB 的中点，试判断∆ABC 的形状，并说明理由．
2. 如图，在∆ABC 中，点O 是AC 边上的一动点， 过点O 作直线MN //BC , 设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）说明OC =
1
EF ； 2
（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．
3．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于
F ，且AF ＝DC ，连结CF ． (1)求证：D 是BC 的中点；
(2)如果AB ＝AC ，试猜测四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．
4．已知：如图，□ABCD中，AC 与BD 交于O 点，∠OAB ＝∠OBA ．
(1)求证：四边形ABCD 为矩形；
(2)作BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，求证：BE ＝CF ．
5. 如图, 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE 垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E. 又点F 在DE 的延长线上，且AF=CE.求证：四边形ACEF 是菱形
.
6．如图，已知O 是矩形ABCD 对角线BD 的中点，过点O 作BD•的垂线交DC 于F ，交AB 于E ，说明四边形DEBF 的形状．
7．如图所示，在边长为2的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，点E 为AB 中点，点F 是AC 上一动点，求EF+BF的最小值．（提示：根据轴对称的性质）
8．在矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB ，•CD的延长线分别交于E ，F ． （1）求证：△BOE ≌△DOF ；
（2）当EF 与AC 满足什么条件时，四边形AECF 是菱形，并证明你的结论．
9．如图所示，M 、N
分别是ABCD 的对边AD 、BC 的中点，且AD=2AB．
求证：四边形PMQN 是矩形．
10. 已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长
线于G .
(1)求证：△ADE ≌△CBF ；
(2)若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论.
11．如图，把一张矩形的纸ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点E 处，BE 与AD 交于点F ．
(1)求证：△ABF ≌△EDF
(2)若将折叠的图形恢复原状，点F 与BC 边上的点M 正好重合，连接DM ，试判断四边形BMDF 的形状，并说明理由．
12．（6分）将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D′ 处，折痕为EF ． （1）求证：△ABE ≌△AD′F；
（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．
13、已知：如图，M 是等腰三角形ABC 底边BC 上的中点，DM ⊥AB ，EF ⊥AB ， ME ⊥AC ，DG ⊥AC ．求证：四边形MEND 是菱形．
B
E
C
A
D ′F
D
A
B
M
G E
14、, 在□ABCD 的纸片中，AC ⊥AB ，AC 与BD 相交于O ，将△ABC 沿对角线AC 翻转180°，将得到△AB ´C
求证：以A 、C 、D 、B ´为顶点的四边形是矩形
B
A
＇
E
图19
15、已知：,BD 是△ABC 的角平分线,EF 是BD 的垂直平分线, 且交AB 于E, 交BC 于点F. 求证：四边形BFDE
是菱形.
A
F
C
B
⑴求证：△ABF ≌△ECF;
⑵若∠AFC =2∠D ，连接AC 、BE ．求证：四边形ABEC 是矩形．
16. (10分) 如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE =DC ，连接AE ，交BC 于点F ．
D E
17．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为( ) ．
(A)1
(B)2 (C)2
(D)
18. 矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB 、AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交于点O 2，同样以AB 、AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2，……
依次类推，则平行四边形ABC n O n 的面积为 【 】
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⎝2⎭⎝2⎭
n n +1
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（C ） 5⨯ ⎪ （D ）5⨯ ⎪
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