特殊的平行四边形知识概括 知识点一：矩形的定义
要点诠释：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
知识点二：矩形的性质
要点诠释：矩形具有平行四边形所有的性质。此外，它还具有如下特殊性质： 1.矩形的四个角都是直角；
2.矩形的对角线相等；推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3.矩形是轴对称图形也是中心对称图形。
知识点三：矩形的判定方法
要点诠释：1. 用矩形的定义： 一个角是直角的平行四边形是矩形； 2.有三个角是直角的四边形是矩形； 3.对角线相等的平行四边形是矩形；
4.对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
知识点四：菱形的定义
要点诠释：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
知识点五：菱形的性质
要点诠释：菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质： 1.菱形的四条边相等。
2.菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。
3.菱形是轴对称图形也是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴。
知识点六：菱形的判定办法
要点诠释：1.用菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2.四条边都相等的四边形是菱形； 3.对角线垂直的平行四边形是菱形；
4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
知识点七：正方形的定义
要点诠释：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
知识点八：正方形的性质
要点诠释：1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
2.正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； 3.正方形既是轴对称图形也是中心对称图形。
知识点九：正方形的判定方法
要点诠释：1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2.有一组邻边相等的矩形是正方形； 3.有一个角是直角的菱形是正方形.
归纳整理，形成认知体系 1． 复习概念，理清关系
2．集合表示，突出关系
类型一：矩形
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AC=6 cm，∠BOC=120°． 求：（1）∠ACB的度数；（2）求AB、BC的长度．
思路点拨：本题是对矩形性质的考查（1）要求∠ACB的度数，而已知∠BOC＝120°，在△BOC中，由矩形的性质，知OB＝OC，从而∠OBC=∠ACB．由此可求出∠ACB．（2）在Rt△ACB中，对角线AC=6cm，第（1）问已求出∠ACB=30°，因此AB即可求出．然后利用勾股定理求出BC的长．
总结升华：矩形问题通常通过对角线将其转化为等腰三角形或直角三角形来解决．
举一反三： 【变式1】已知□ABCD的对角线AC，BD相交于O，△ABO是等边三角形，AB＝4cm，求这个平行四边形的面积。
思路点拨：（1）先判定□ABCD为矩形。（2）求出Rt△ABC的直角边BC的长度。（3）计算矩形ABCD的面积为AB·BC
解析：∵四边形ABCD是平行四边形。 ∴△ABO≌△DCO
又∵△ABO是等边三角形
∴△DCO也是等边三角形，即AO＝BO＝CO＝DO ∴AC＝BD
∴ □ABCD为矩形。
∵AB＝4cm，AC＝AO+CO ∴AC＝8cm
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
BC＝
∴矩形ABCD的面积为：AB·BC＝16
cm cm2
【变式2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，则： （1）图中与∠BAE相等的角有__________；
（2）若∠AOB=60°，则AB：BD＝_________。图中△DOC是___________三角形（按边分）．
类型二：菱形
2．如图，BD是△ABC中∠ABC的平分线，DE//BC交AB于E，DF//AB交BC于F.试判断四边形BFDE的形状并说明理由.
思路点拨: 此题条件中有角分线有平行线，一般会有等腰三角形存在. 解析：∵DE//BC，DF//AB
∴DE//BF，DF//EB，∠2=∠3. ∴四边形EBFD是平行四边形 又∵BD平分∠ABC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴ BE=ED
∴四边形BFDE是菱形.
总结升华：菱形的四条边都相等，对角线互相垂直且平分一组对角。在解决菱形的有关问题时，经常要用到菱形的这些特殊性质。
举一反三：
【变式1】已知如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F。试判断四边形AFCE的形状并说明理由. 【答案】：∵ EF是AC的垂直平分线 ∴ AE=EC，∠1=∠2
∵ 平行四边形ABCD可得AE//FC ∴ ∠1=∠3 ∴ ∠3=∠2
在直角三角形EOC和FOC中，∠OEC=∠OFC ∴ CE=CF ∴ AE=CF
∵ AE=FC且AE//FC ∴ 四边形AFCE是菱形
【变式2】(贵州贵阳)如图，在平行四边形ABCD中，点，连接 （1）求证： （2）若
，则四边形．
．
是什么特殊四边形？
分别为边的中
请证明你的结论． 解：（1）在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．
∵E，F分别为AB，CD的中点 AE=CF ∴
．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形． 证明：
是
是
， ，且
是斜边（或
）
的中点，
由题意可知
四边形四边形
． 且是平行四边形， 是菱形．
，
【变式3】已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE、BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE，求证：AM=BE。
【答案】设∠BAE为x度，∠EAD为2x度，
由菱形ABCD可知AD//BC且BD平分∠ABC， 则∠AEB=∠EAD=（2x）°，∠ABD=∠DBC=x° 在三角形ABE中，x+2x+2x=180° x=36°
△ABM中，∠ABM=∠BAM=36° ，∴ AM=BM △EBM中，∠BME=∠BEM=72° ，∴ BM=BE ∴ AM=BE
类型三：正方形
作
3.（黄冈中考）已知：如图，点
交
的延长线于点
是正方形的边．
上任意一点，过点
。求证：
思路点拨：证明两条线段相等的方法有很多种，而本题中DE, DF分别在△DAE与△DCF中，结合正方形的性质，我们可以证明△DAE与△DCF全等，利用全等三角形的对应边相等来说明。 举一反三： 【变式1】（青岛市中考）已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F． （1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？并说明理由。
【答案】（1）证明：∵四边形为正方形
∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90° ∵CG＝CE，
∴△BCG≌△DCE
（2）答：四边形E′BGD是平行四边形 理由：
∵△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′ ∴CE＝AE′ ∵CG＝CE ∴CG＝AE′
∵AB＝CD，AB∥CD， ∴BE′＝DG，BE′∥DG，
∴四边形E′BGD是平行四边形
【变式2】如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连接BG、DE.
（1）观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论.
（2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不
存在，请说明理由.
【答案】（1）BG=DE
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形， ∴GC=CE，BC=CD，∠BCG=∠DCE=90° ∴△BCG≌△DCE ∴BG=DE
（2）存在. △BCG和△DCE
△BCG绕点C顺时针方向旋转90°与△DCE重合
【变式3】如图2，在梯形纸片ABCD中，AD//BC，AD>CD。将纸片沿过点D的直线
处，折痕DE交BC于点E，连接
。
折叠，使点C落在AD上的点
（1）求证：四边形
是菱形
（2）若BC=CD+AD，试判断四边形ABED的形状，并加以证明。 解析：（1）根据题意可知CD= 因为AD//BC，所以∠理
=
，
=
， 是菱形。 ，∠
=∠CDE，∠
=∠CED。
=∠CED，所以∠CDE=∠CED, 所以CD=CE 同
故CD=CE= 所以四边形
（2）当BC=CD+AD时，四边形ABED为平行四边形。
证明：由（1）知CE=CD，而BC=CD+AD，则BE=AD，又因AD//BE。 所以四边形ABED为平行四边形。
【变式4】如图3所示，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O。若不添加辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是_________。
【答案】此题为开放性题目，答案不唯一。由“AB=BC=CD=DA”可以判断出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可得出需增加的条件为：AC=BD或∠BAD=90°或∠ABC=90°或∠BCD=90°或∠CDA=90°等。
总结升华：特殊四边形主要根据其特有性质来判定，做题时，一定要找准边、角、对角线三个要素的特殊关系。
类型四：添加辅助线构造特殊图形
4．证明：（1）等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于腰上的高。 （2）等腰三角形底边延长线上任一点到两腰的距离差等于腰上的高。 思路点拨: 本题是一道文字题，要先画图，并由图形写出已知、求证、要证一条线段是另两条线段的和或差经常使用的是“截长补短”的方法。 解析：（1）命题等价于：如图，已知ΔABC中,AB=AC,P是BC上任一点，PE⊥AB于E, PF⊥AC于F,
BD⊥AC于D,求证：PE+PF=BD.
证明：过B作BG⊥FP交FP的延长线于G, ∵∠BDF=∠DFG=∠BGF=90°, ∴四边形BGFD为矩形。 ∴BD=FG=PF+PG.且BG∥DF.
∴∠C=∠PBG,又因为AB=AC,所以∠ACB=∠ABC,
∴∠PBG=∠ABC,又因为∠PEB=90°=∠BGP,PB为公共边, ∴PG=PE
∴PE+PF=PG+PF=GF=BD
即PE+PF=BD
（2）命题等价于：如图，已知ΔABC中,AB=AC,P为BC延长线上一点,PE⊥AB于E, PF⊥AC交AC的延长线于F,CD⊥AB于D, 求证PE-PF=CD
证明：连接AP,由PF⊥AC,PE⊥AB,CD⊥AB
知 又因为
,
所以，
所以CD+PF=PE,即PE-PF=CD
总结升华：根据题意适当作出辅助线是解决问题的关键。
举一反三：
【变式1】如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点,PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（ ）.
A. B.
C.
D.
【答案】A.
解：如图，过点C作CH⊥BD,则PQ+PR=CH（等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高）。
因为CB=CD，CH⊥BD,∠BCD=90°.
所以CH= 因为
BD（在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）。
,
所以.
所以PQ+PR=.故选A.
【变式2】正方形ABCD的边长是4厘米，长方形DEFG的长DG=5厘米，问长方形的宽DE为多少厘米？
【答案】因为长方形面积=长×宽，现在已知长方形DEFG的长，要求宽，所以先求长方形DEFG的面积.而正方形ABCD面积已知，能找出正方形ABCD面积与长方形EFGD面积之间的关系即可.观察两个图形的重叠部分发现，如果连结AG，如图2，那么在正方形ABCD中，三角形AGD的底和高分别为正方形边长AD和CD，所以它的面积是正方形ABCD面积的一半.同样在长方形EFGD中，三角形AGD的底为长方形的长DG，高为长方形的宽DE，所以它的面积也是长方形DEFG面积的一半.这样就找到了长方形DEFG与正方形ABCD面积之间的关系.连结辅助线AG，因为三角形AGD的面积是正方形ABCD面积的一半，也是长方形DEFG面积的一半.所以长方形DEFG面积=正方形ABCD面积=4×4=16（平方厘米）长方形DEFG的宽DE=16÷5=3.2（厘米）
学习成果测评 基础达标：
一、 填空题
1．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是____________．
2．如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm．
3．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是____________cm2．
4．如图1，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有_______个平行四边形．
5．若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件____________(写一个即可)，使四边形ABCD是菱形．
6．如图2，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△ABO的周长为17，AB＝6，那么对角
线AC＋BD＝ ___________．
7．以正方形ABCD的边BC 为边做等边△BCE，则∠AED的度数为____________．
8．如图3，延长正方形ABCD的边AB到E，使BE＝AC，则∠E＝ ___________°．
9．已知菱形ABCD的边长为6，∠A＝60°，如果点P是菱形内一点，且PB＝PD＝2
那么AP的长为____.
10．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限
内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是____________．
二、选择题
11．如图4在平行四边形ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连结EF，则∠E＋∠F＝( )
A．110° B．30° C．50° D．70°
12．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )
A．对角相等 B．四边相等 C．对角线互相平分 D．四角相等
13．如图5，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3 cm，则AB的长为 ( )
A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm
14．已知：如图6，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝2，AD＝4，则
图中阴影部分的面积为 ( )
A．8 B．6 C．4 D．3
15．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、
正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形 ( ) A．①③⑤ B．②③⑤ C．①②③ D．①③④⑤
16．如图7是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周 长是 ( )
图7
A．88 mm B．96 mm C．80 mm D．84 mm
17．四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的组 合？（ ）
AB∥CD； BC∥AD； AB=CD； BC=AD。
A．2组 B．3组 C．4组 D．6组
18．下列说法错误的是（ ）
A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形。 B．每组邻边都相等的四边形是菱形。
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形。 D．四个角都相等的四边形是矩形。
三、阅读理解题
19．如图8，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，阅读下列材料，
⑴连结AC、BD，由三角形中位线的性质定理可证四边形 EFGH是____________。 ⑵对角线AC、BD满足条件____________时，四边形 EFGH是矩形。 ⑶对角线AC、BD满足条件____________时，四边形 EFGH是菱形。 ⑷对角线AC、BD满足条件____________时，四边形 EFGH是正方形。
图8
四、解答题
20．如图9，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm , BD＝6cm, DH⊥AB于H，求：DH的长
图9
21．已知：如图10，菱形ABCD的周长为16cm，∠ABC＝60°，对角线AC和BD相交于点O，
求AC和BD的长。
五、证明题
22．如图11，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD，垂足为F，
求证：EF＝AP
23．如图12，在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. ⑴试说明:DE=DF
⑵只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无 需证明
24．如图□ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，EF∥AB交AD于F，试问：四边形ABEF是什么图形吗？请说明 理由。
25．以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF,请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？并说明理由
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．
答案与解析： 基础达标：
一、填空题
1、先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等。
2、2
（提示：用面积相等列方程）
3、20 （提示：菱形面积等于对角线乘积的一半）
4、3 （提示：两组对边平行的的四边形是平行四边形） 5、AC⊥BD （提示：根据菱形的判定方法填写一个即可） 6、22 （提示：平行四边形对边相等对角线互相平分）
7、150°或30° （提示：分向正方形内部或外部做等边三角形两种情况） 8、22.5°（提示：连接BD，由等腰三角形性质得出 ）
或2
（提示：由菱形的性质P在AC上）
9、4
10、（2 ，5） （提示：画图，应用平行四边形对边相等的性质即可）
二 、选择题
11、D（提示：用三角形内角和是180度及平行四边形对角相等） 12、B（提示：菱形的边有特性）
13、B（提示：OE是三角形的中位线） 14、C（提示：阴影部分是菱形）
15、A（提示：分短直角边、长直角边及斜边重合；还要考虑翻转后重合） 16、B（提示：分割成若干个矩形）
17、C（提示：根据平行四边形的判定定理） 18、C（提示：菱形）
三、阅读填空
19、⑴ 平行四边形 ⑵ AC⊥BD ⑶ AC＝BD ⑷ AC⊥BD且 AC＝BD
四、解答题
20、4.8 cm
21、AC＝4cm , BD＝4
cm
五、证明题
22、证明：连结PC
∵正方形ABCD
∴AB＝BC ，∠ABD＝∠DBC =45° ∠BCD＝90° ∵BP＝BP
∴△ABP≌△CBP ∴AP = CP
∵PE⊥BC，PF⊥DC ∴四边形PECF为矩形 ∴EF＝PC ∴EF＝AP
23、证明：⑴连结AD
∵AB＝AC，D为BC的中点 ∴AD为∠BAC的平分线 ∵DE⊥AB ， DF⊥AC ∴DE＝DF
⑵∠BAC＝90°, DE⊥DF
24、菱形
∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AD∥BC ，∠2＝∠3 ∵AB∥EF
∴四边形ABEF为平行四边形 ∵∠2＝∠1 ∴∠1＝∠3 ∴AB＝BE
∴四边形ABEF为菱形
25、解析：⑴四边形ADEF是平行四边形； ⑵若四边形ADEF为菱形，AD＝AF，所以AB＝AC．所以当△ABC满足AB＝AC时，四边形ADEF是菱形；
⑶由（1）得∠BAC＝∠BDE＝60°＋∠ADE，当∠ADE＝0°时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存
时，此时，∠BAC＝60°．所以当∠BAC＝60°时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．
能力提升：
一、选择题
1、下列命题中错误的是 （ ）
A．平行四边形的对边相等 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．矩形的对角线相等 D．对角线相等的四边形是矩形
2、顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（ ）
A.菱形 B.正方形 C.矩形 D.等腰梯形
3、如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，
△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是（ ）
A．10 B．16 C．18 D．20
4、如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ） ①
②
③
④
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
5、下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是等腰梯形
6、如图，且
分别为正方形
的边
，
，
，
上的点，
比为（ ）
，则图中阴影部分的面积与正方形的面积之
A． B． C． D．
7、如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周 长为（ ） A．
B．
C．
D．
二、填空题
1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知则AC的长为_______。
，AB=2.5，
2、四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个
“赵爽弦图”（如图）。如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小锐角为θ，
那么长直角边与斜边的比值=____________。
3、将一张等边三角形纸片沿着一边上的高剪开，可以拼成不同形状的四边形，试写出其中一种四边形
的名称____________．
4、如图，在
的矩形方格图中，不包含阴影部分的矩形个数是____________个．
5、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP度数是____________．
6、如图，在三角形沿线段
翻
落在边
上，记为
．若四边形
中，
＞
，
、
分别是
、上的点，
△
折，使点___________
是菱形，则是△的
7、如图，梯形别以
中，
，
，且，分
为边向梯形外作正方形，其面积分别为，则
之间的关系
是____________．
三、解答题
1、宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，
它给我们以协
调、匀称的美感。现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤
（如图所示）：
第一步：作一个任意正方形ABCD；
第二步：分别取AD、BC的中点M、N，连接MN；
第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；
交AD的延长线于F ，
第四步：过E作
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形，（可取AB=2）。
2、如图,已知:在四边形ABFC中，
=90
的垂直平分线EF交BC于点D,交
AB于点E,且CF=AE
(1)试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形; (2)当
的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论.
(特别提醒:表示角最好用数字)
答案与解析：
一、选择题
1、D （应该将四边形改为平行四边形） 2、A （平行四边形再加上一组邻边相等） 3、A （根据特殊点的值求边长）
4、A （根据菱形的判定定理进行判断）
5、C （菱形、矩形、等腰梯形的对角线具有不同的特点） 6、A （可以确定三角形全等后再求面积）
7、B （连接AC得到两个等腰三角形，用三线合一即可）
二、填空题
1、5 （用矩形的性质以及含有30度的直角三角形的特性） 2、0.8 （用勾股定理、正方形的性质求出各边的长） 3、平行四边形（或矩形或菱形）
4、25（分单个、两个、三个、四个考虑）
5、22.5 （用等腰三角形的底减45度）
6、角平分线 (根据菱形的性质进行判断)
7、（利用勾股定理）
三、解答题
1、证明：在正方形ABCD中，取AB=2
∵N为BC的中点，
∴NC=
在 中， 又∵NE=ND，
∴CE=NE-NC=,
, 故矩形DCEF为黄金矩形。 2、（1）四边形BECF是菱形。 证明：EF垂直平分BC， ∴BF=FC,BE=EC,∴∠1＝∠2 ∵∠ACB=90° ∴∠1+∠4=90° ∠3+∠2=90° ∴∠3=∠4 ∴EC=AE ∴BE=AE ∵CF=AE ∴BE=EC=CF=BF ∴四边形BECF是菱形 （2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形 证明：∵∠A=45°, ∠ACB=90。 ∴∠1=45° ∴∠EBF=2∠1=90° ∴菱形BECF是正方形
特殊的平行四边形知识概括 知识点一：矩形的定义
要点诠释：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
知识点二：矩形的性质
要点诠释：矩形具有平行四边形所有的性质。此外，它还具有如下特殊性质： 1.矩形的四个角都是直角；
2.矩形的对角线相等；推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3.矩形是轴对称图形也是中心对称图形。
知识点三：矩形的判定方法
要点诠释：1. 用矩形的定义： 一个角是直角的平行四边形是矩形； 2.有三个角是直角的四边形是矩形； 3.对角线相等的平行四边形是矩形；
4.对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
知识点四：菱形的定义
要点诠释：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
知识点五：菱形的性质
要点诠释：菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质： 1.菱形的四条边相等。
2.菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。
3.菱形是轴对称图形也是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴。
知识点六：菱形的判定办法
要点诠释：1.用菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2.四条边都相等的四边形是菱形； 3.对角线垂直的平行四边形是菱形；
4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
知识点七：正方形的定义
要点诠释：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
知识点八：正方形的性质
要点诠释：1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
2.正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； 3.正方形既是轴对称图形也是中心对称图形。
知识点九：正方形的判定方法
要点诠释：1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2.有一组邻边相等的矩形是正方形； 3.有一个角是直角的菱形是正方形.
归纳整理，形成认知体系 1． 复习概念，理清关系
2．集合表示，突出关系
类型一：矩形
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AC=6 cm，∠BOC=120°． 求：（1）∠ACB的度数；（2）求AB、BC的长度．
思路点拨：本题是对矩形性质的考查（1）要求∠ACB的度数，而已知∠BOC＝120°，在△BOC中，由矩形的性质，知OB＝OC，从而∠OBC=∠ACB．由此可求出∠ACB．（2）在Rt△ACB中，对角线AC=6cm，第（1）问已求出∠ACB=30°，因此AB即可求出．然后利用勾股定理求出BC的长．
总结升华：矩形问题通常通过对角线将其转化为等腰三角形或直角三角形来解决．
举一反三： 【变式1】已知□ABCD的对角线AC，BD相交于O，△ABO是等边三角形，AB＝4cm，求这个平行四边形的面积。
思路点拨：（1）先判定□ABCD为矩形。（2）求出Rt△ABC的直角边BC的长度。（3）计算矩形ABCD的面积为AB·BC
解析：∵四边形ABCD是平行四边形。 ∴△ABO≌△DCO
又∵△ABO是等边三角形
∴△DCO也是等边三角形，即AO＝BO＝CO＝DO ∴AC＝BD
∴ □ABCD为矩形。
∵AB＝4cm，AC＝AO+CO ∴AC＝8cm
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
BC＝
∴矩形ABCD的面积为：AB·BC＝16
cm cm2
【变式2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，则： （1）图中与∠BAE相等的角有__________；
（2）若∠AOB=60°，则AB：BD＝_________。图中△DOC是___________三角形（按边分）．
类型二：菱形
2．如图，BD是△ABC中∠ABC的平分线，DE//BC交AB于E，DF//AB交BC于F.试判断四边形BFDE的形状并说明理由.
思路点拨: 此题条件中有角分线有平行线，一般会有等腰三角形存在. 解析：∵DE//BC，DF//AB
∴DE//BF，DF//EB，∠2=∠3. ∴四边形EBFD是平行四边形 又∵BD平分∠ABC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴ BE=ED
∴四边形BFDE是菱形.
总结升华：菱形的四条边都相等，对角线互相垂直且平分一组对角。在解决菱形的有关问题时，经常要用到菱形的这些特殊性质。
举一反三：
【变式1】已知如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F。试判断四边形AFCE的形状并说明理由. 【答案】：∵ EF是AC的垂直平分线 ∴ AE=EC，∠1=∠2
∵ 平行四边形ABCD可得AE//FC ∴ ∠1=∠3 ∴ ∠3=∠2
在直角三角形EOC和FOC中，∠OEC=∠OFC ∴ CE=CF ∴ AE=CF
∵ AE=FC且AE//FC ∴ 四边形AFCE是菱形
【变式2】(贵州贵阳)如图，在平行四边形ABCD中，点，连接 （1）求证： （2）若
，则四边形．
．
是什么特殊四边形？
分别为边的中
请证明你的结论． 解：（1）在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．
∵E，F分别为AB，CD的中点 AE=CF ∴
．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形． 证明：
是
是
， ，且
是斜边（或
）
的中点，
由题意可知
四边形四边形
． 且是平行四边形， 是菱形．
，
【变式3】已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE、BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE，求证：AM=BE。
【答案】设∠BAE为x度，∠EAD为2x度，
由菱形ABCD可知AD//BC且BD平分∠ABC， 则∠AEB=∠EAD=（2x）°，∠ABD=∠DBC=x° 在三角形ABE中，x+2x+2x=180° x=36°
△ABM中，∠ABM=∠BAM=36° ，∴ AM=BM △EBM中，∠BME=∠BEM=72° ，∴ BM=BE ∴ AM=BE
类型三：正方形
作
3.（黄冈中考）已知：如图，点
交
的延长线于点
是正方形的边．
上任意一点，过点
。求证：
思路点拨：证明两条线段相等的方法有很多种，而本题中DE, DF分别在△DAE与△DCF中，结合正方形的性质，我们可以证明△DAE与△DCF全等，利用全等三角形的对应边相等来说明。 举一反三： 【变式1】（青岛市中考）已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F． （1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？并说明理由。
【答案】（1）证明：∵四边形为正方形
∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90° ∵CG＝CE，
∴△BCG≌△DCE
（2）答：四边形E′BGD是平行四边形 理由：
∵△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′ ∴CE＝AE′ ∵CG＝CE ∴CG＝AE′
∵AB＝CD，AB∥CD， ∴BE′＝DG，BE′∥DG，
∴四边形E′BGD是平行四边形
【变式2】如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连接BG、DE.
（1）观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论.
（2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不
存在，请说明理由.
【答案】（1）BG=DE
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形， ∴GC=CE，BC=CD，∠BCG=∠DCE=90° ∴△BCG≌△DCE ∴BG=DE
（2）存在. △BCG和△DCE
△BCG绕点C顺时针方向旋转90°与△DCE重合
【变式3】如图2，在梯形纸片ABCD中，AD//BC，AD>CD。将纸片沿过点D的直线
处，折痕DE交BC于点E，连接
。
折叠，使点C落在AD上的点
（1）求证：四边形
是菱形
（2）若BC=CD+AD，试判断四边形ABED的形状，并加以证明。 解析：（1）根据题意可知CD= 因为AD//BC，所以∠理
=
，
=
， 是菱形。 ，∠
=∠CDE，∠
=∠CED。
=∠CED，所以∠CDE=∠CED, 所以CD=CE 同
故CD=CE= 所以四边形
（2）当BC=CD+AD时，四边形ABED为平行四边形。
证明：由（1）知CE=CD，而BC=CD+AD，则BE=AD，又因AD//BE。 所以四边形ABED为平行四边形。
【变式4】如图3所示，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O。若不添加辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是_________。
【答案】此题为开放性题目，答案不唯一。由“AB=BC=CD=DA”可以判断出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可得出需增加的条件为：AC=BD或∠BAD=90°或∠ABC=90°或∠BCD=90°或∠CDA=90°等。
总结升华：特殊四边形主要根据其特有性质来判定，做题时，一定要找准边、角、对角线三个要素的特殊关系。
类型四：添加辅助线构造特殊图形
4．证明：（1）等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于腰上的高。 （2）等腰三角形底边延长线上任一点到两腰的距离差等于腰上的高。 思路点拨: 本题是一道文字题，要先画图，并由图形写出已知、求证、要证一条线段是另两条线段的和或差经常使用的是“截长补短”的方法。 解析：（1）命题等价于：如图，已知ΔABC中,AB=AC,P是BC上任一点，PE⊥AB于E, PF⊥AC于F,
BD⊥AC于D,求证：PE+PF=BD.
证明：过B作BG⊥FP交FP的延长线于G, ∵∠BDF=∠DFG=∠BGF=90°, ∴四边形BGFD为矩形。 ∴BD=FG=PF+PG.且BG∥DF.
∴∠C=∠PBG,又因为AB=AC,所以∠ACB=∠ABC,
∴∠PBG=∠ABC,又因为∠PEB=90°=∠BGP,PB为公共边, ∴PG=PE
∴PE+PF=PG+PF=GF=BD
即PE+PF=BD
（2）命题等价于：如图，已知ΔABC中,AB=AC,P为BC延长线上一点,PE⊥AB于E, PF⊥AC交AC的延长线于F,CD⊥AB于D, 求证PE-PF=CD
证明：连接AP,由PF⊥AC,PE⊥AB,CD⊥AB
知 又因为
,
所以，
所以CD+PF=PE,即PE-PF=CD
总结升华：根据题意适当作出辅助线是解决问题的关键。
举一反三：
【变式1】如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点,PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（ ）.
A. B.
C.
D.
【答案】A.
解：如图，过点C作CH⊥BD,则PQ+PR=CH（等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高）。
因为CB=CD，CH⊥BD,∠BCD=90°.
所以CH= 因为
BD（在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）。
,
所以.
所以PQ+PR=.故选A.
【变式2】正方形ABCD的边长是4厘米，长方形DEFG的长DG=5厘米，问长方形的宽DE为多少厘米？
【答案】因为长方形面积=长×宽，现在已知长方形DEFG的长，要求宽，所以先求长方形DEFG的面积.而正方形ABCD面积已知，能找出正方形ABCD面积与长方形EFGD面积之间的关系即可.观察两个图形的重叠部分发现，如果连结AG，如图2，那么在正方形ABCD中，三角形AGD的底和高分别为正方形边长AD和CD，所以它的面积是正方形ABCD面积的一半.同样在长方形EFGD中，三角形AGD的底为长方形的长DG，高为长方形的宽DE，所以它的面积也是长方形DEFG面积的一半.这样就找到了长方形DEFG与正方形ABCD面积之间的关系.连结辅助线AG，因为三角形AGD的面积是正方形ABCD面积的一半，也是长方形DEFG面积的一半.所以长方形DEFG面积=正方形ABCD面积=4×4=16（平方厘米）长方形DEFG的宽DE=16÷5=3.2（厘米）
学习成果测评 基础达标：
一、 填空题
1．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是____________．
2．如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm．
3．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是____________cm2．
4．如图1，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有_______个平行四边形．
5．若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件____________(写一个即可)，使四边形ABCD是菱形．
6．如图2，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△ABO的周长为17，AB＝6，那么对角
线AC＋BD＝ ___________．
7．以正方形ABCD的边BC 为边做等边△BCE，则∠AED的度数为____________．
8．如图3，延长正方形ABCD的边AB到E，使BE＝AC，则∠E＝ ___________°．
9．已知菱形ABCD的边长为6，∠A＝60°，如果点P是菱形内一点，且PB＝PD＝2
那么AP的长为____.
10．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限
内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是____________．
二、选择题
11．如图4在平行四边形ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连结EF，则∠E＋∠F＝( )
A．110° B．30° C．50° D．70°
12．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )
A．对角相等 B．四边相等 C．对角线互相平分 D．四角相等
13．如图5，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3 cm，则AB的长为 ( )
A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm
14．已知：如图6，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝2，AD＝4，则
图中阴影部分的面积为 ( )
A．8 B．6 C．4 D．3
15．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、
正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形 ( ) A．①③⑤ B．②③⑤ C．①②③ D．①③④⑤
16．如图7是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周 长是 ( )
图7
A．88 mm B．96 mm C．80 mm D．84 mm
17．四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的组 合？（ ）
AB∥CD； BC∥AD； AB=CD； BC=AD。
A．2组 B．3组 C．4组 D．6组
18．下列说法错误的是（ ）
A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形。 B．每组邻边都相等的四边形是菱形。
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形。 D．四个角都相等的四边形是矩形。
三、阅读理解题
19．如图8，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，阅读下列材料，
⑴连结AC、BD，由三角形中位线的性质定理可证四边形 EFGH是____________。 ⑵对角线AC、BD满足条件____________时，四边形 EFGH是矩形。 ⑶对角线AC、BD满足条件____________时，四边形 EFGH是菱形。 ⑷对角线AC、BD满足条件____________时，四边形 EFGH是正方形。
图8
四、解答题
20．如图9，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm , BD＝6cm, DH⊥AB于H，求：DH的长
图9
21．已知：如图10，菱形ABCD的周长为16cm，∠ABC＝60°，对角线AC和BD相交于点O，
求AC和BD的长。
五、证明题
22．如图11，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD，垂足为F，
求证：EF＝AP
23．如图12，在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. ⑴试说明:DE=DF
⑵只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无 需证明
24．如图□ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，EF∥AB交AD于F，试问：四边形ABEF是什么图形吗？请说明 理由。
25．以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF,请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？并说明理由
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．
答案与解析： 基础达标：
一、填空题
1、先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等。
2、2
（提示：用面积相等列方程）
3、20 （提示：菱形面积等于对角线乘积的一半）
4、3 （提示：两组对边平行的的四边形是平行四边形） 5、AC⊥BD （提示：根据菱形的判定方法填写一个即可） 6、22 （提示：平行四边形对边相等对角线互相平分）
7、150°或30° （提示：分向正方形内部或外部做等边三角形两种情况） 8、22.5°（提示：连接BD，由等腰三角形性质得出 ）
或2
（提示：由菱形的性质P在AC上）
9、4
10、（2 ，5） （提示：画图，应用平行四边形对边相等的性质即可）
二 、选择题
11、D（提示：用三角形内角和是180度及平行四边形对角相等） 12、B（提示：菱形的边有特性）
13、B（提示：OE是三角形的中位线） 14、C（提示：阴影部分是菱形）
15、A（提示：分短直角边、长直角边及斜边重合；还要考虑翻转后重合） 16、B（提示：分割成若干个矩形）
17、C（提示：根据平行四边形的判定定理） 18、C（提示：菱形）
三、阅读填空
19、⑴ 平行四边形 ⑵ AC⊥BD ⑶ AC＝BD ⑷ AC⊥BD且 AC＝BD
四、解答题
20、4.8 cm
21、AC＝4cm , BD＝4
cm
五、证明题
22、证明：连结PC
∵正方形ABCD
∴AB＝BC ，∠ABD＝∠DBC =45° ∠BCD＝90° ∵BP＝BP
∴△ABP≌△CBP ∴AP = CP
∵PE⊥BC，PF⊥DC ∴四边形PECF为矩形 ∴EF＝PC ∴EF＝AP
23、证明：⑴连结AD
∵AB＝AC，D为BC的中点 ∴AD为∠BAC的平分线 ∵DE⊥AB ， DF⊥AC ∴DE＝DF
⑵∠BAC＝90°, DE⊥DF
24、菱形
∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AD∥BC ，∠2＝∠3 ∵AB∥EF
∴四边形ABEF为平行四边形 ∵∠2＝∠1 ∴∠1＝∠3 ∴AB＝BE
∴四边形ABEF为菱形
25、解析：⑴四边形ADEF是平行四边形； ⑵若四边形ADEF为菱形，AD＝AF，所以AB＝AC．所以当△ABC满足AB＝AC时，四边形ADEF是菱形；
⑶由（1）得∠BAC＝∠BDE＝60°＋∠ADE，当∠ADE＝0°时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存
时，此时，∠BAC＝60°．所以当∠BAC＝60°时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．
能力提升：
一、选择题
1、下列命题中错误的是 （ ）
A．平行四边形的对边相等 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．矩形的对角线相等 D．对角线相等的四边形是矩形
2、顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（ ）
A.菱形 B.正方形 C.矩形 D.等腰梯形
3、如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，
△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是（ ）
A．10 B．16 C．18 D．20
4、如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ） ①
②
③
④
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
5、下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是等腰梯形
6、如图，且
分别为正方形
的边
，
，
，
上的点，
比为（ ）
，则图中阴影部分的面积与正方形的面积之
A． B． C． D．
7、如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周 长为（ ） A．
B．
C．
D．
二、填空题
1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知则AC的长为_______。
，AB=2.5，
2、四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个
“赵爽弦图”（如图）。如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小锐角为θ，
那么长直角边与斜边的比值=____________。
3、将一张等边三角形纸片沿着一边上的高剪开，可以拼成不同形状的四边形，试写出其中一种四边形
的名称____________．
4、如图，在
的矩形方格图中，不包含阴影部分的矩形个数是____________个．
5、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP度数是____________．
6、如图，在三角形沿线段
翻
落在边
上，记为
．若四边形
中，
＞
，
、
分别是
、上的点，
△
折，使点___________
是菱形，则是△的
7、如图，梯形别以
中，
，
，且，分
为边向梯形外作正方形，其面积分别为，则
之间的关系
是____________．
三、解答题
1、宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，
它给我们以协
调、匀称的美感。现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤
（如图所示）：
第一步：作一个任意正方形ABCD；
第二步：分别取AD、BC的中点M、N，连接MN；
第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；
交AD的延长线于F ，
第四步：过E作
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形，（可取AB=2）。
2、如图,已知:在四边形ABFC中，
=90
的垂直平分线EF交BC于点D,交
AB于点E,且CF=AE
(1)试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形; (2)当
的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论.
(特别提醒:表示角最好用数字)
答案与解析：
一、选择题
1、D （应该将四边形改为平行四边形） 2、A （平行四边形再加上一组邻边相等） 3、A （根据特殊点的值求边长）
4、A （根据菱形的判定定理进行判断）
5、C （菱形、矩形、等腰梯形的对角线具有不同的特点） 6、A （可以确定三角形全等后再求面积）
7、B （连接AC得到两个等腰三角形，用三线合一即可）
二、填空题
1、5 （用矩形的性质以及含有30度的直角三角形的特性） 2、0.8 （用勾股定理、正方形的性质求出各边的长） 3、平行四边形（或矩形或菱形）
4、25（分单个、两个、三个、四个考虑）
5、22.5 （用等腰三角形的底减45度）
6、角平分线 (根据菱形的性质进行判断)
7、（利用勾股定理）
三、解答题
1、证明：在正方形ABCD中，取AB=2
∵N为BC的中点，
∴NC=
在 中， 又∵NE=ND，
∴CE=NE-NC=,
, 故矩形DCEF为黄金矩形。 2、（1）四边形BECF是菱形。 证明：EF垂直平分BC， ∴BF=FC,BE=EC,∴∠1＝∠2 ∵∠ACB=90° ∴∠1+∠4=90° ∠3+∠2=90° ∴∠3=∠4 ∴EC=AE ∴BE=AE ∵CF=AE ∴BE=EC=CF=BF ∴四边形BECF是菱形 （2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形 证明：∵∠A=45°, ∠ACB=90。 ∴∠1=45° ∴∠EBF=2∠1=90° ∴菱形BECF是正方形