===============================================================
文章编号：（）1002-5634200201-0068-04
第23卷第1期2002年3月
华北水利水电学院学报
JournalofNorthChinaInstituteofWaterConservancandHdroelectricPoweryy
Vol.23No.1①
Mar.2001
确定隶属函数的统计分析法
王石青1，邱
林1，王志良2，韩晓军1
（河南郑州4；四川成都6）1华北水利水电学院信息系，500452四川大学水电学院，10064
摘要：梯形隶属函数形式简单，对数据信息要求低，因此被广泛使用，但是它的缺点是不能较好地反映客观
在含有数据信息的基础上，用统计方法给出一种隶属函数，弥补了梯形隶属函数的不足，并致梯形隶属实际.
算例表明，此隶属函数较好地反映了客观实际.函数为此隶属函数的特例.
关键词：梯形隶属函数；样本均值；样本方差；极差中图分类号：O159.2
文献标识码：A
模糊集理论应用的核心是如何合理的确定隶属函数.由于工程实际问题往往资料缺乏或收集困难，确定隶属函数很困难，因此广泛使用梯形或三角形
隶属函数.这种隶属函数具有形式简单，对数据信息要求低的优点.但同时也存在问题，即没有利用实际问题中的信息.而任何1个工程实际问题，或多或少都含有数据信息，应该加以充分利用.不问工程问题的客观实际，一味使用梯形隶属函数，会造成客观信息的流失，其结果必然导致与客观实际相差甚远.
10≤x≤60
（）3
（x）60
170
1梯形隶属函数的合理性分析
为讨论问题方便起见，采用文献［］的实例，用1
优、良、差3个等级来评价学生成绩，取论域UE［，］，优、良、差分别表示为U上的3个模糊集：0100
它们的隶属函数规定如下A，B，C，
0≤x≤80
（）1
（x）80
190
0≤x≤600
60
10
（x）70
80
10090
①
（）2
6
收稿日期：；修订日期：2001-09-082001-11-03
基金项目：河南省杰出青年科学基金资助项目（）9923
作者简介：王石青（，男，河北武安人，华北水利水电学院信息系副教授，主要从事风险分析与决策研究.1955-）
第23卷第1期
王石青等：确定隶属函数的统计分析法
69
，，86-60E2686-80E690-86E4就是说乙的成绩到模糊集B的距离最短，丙的成绩到A的距离最短，这一点很直观，隶属函数（1）~（）式将简单问题复杂化了.3
在（）（）式中，结点6，，，2.1~30708090是前定的，它没有反映客观实际.显然，如果学生成绩都在那么9反之，成绩都在790分以上，0分就是差的；0
分以下，那么7因此符合客观实际的0分就是优的.标准模式应采用后定结点.
等个数划分两区间，设有
x（）≤x（）≤x（）≤x（）1234
则结点aEx］（）（）+x3
22
设有x（）≤x（）≤x（）≤x（）≤x（）12345则结点aEx］（）（）+x23
2
］（）（）+xaEx342
-或
3.在结点确定后，（60，65）中数据较少而（65，0）中数据较多时，交点65应右移，否则应左移，如图2所示，（80，85）和（85，90）也如此.这就是说，类应随着数据分布作调整，才符合实际
.
n
n∑xi（5）iE
1n
样本方差σ2E∑（x-
2ni-x）（6）iE1
极差
REx（n）-x（1）（7）得到两个区间
［x（1
），x（n）］（8
）［x--3σ，x-
+3σ］（9
）显然论域U包含区间（8
），但当论域U为有限区间时未必包含区间（9），此时可采用区间［aa［x--3σ，x-
1，2］
E+3σ］⋂U（10）确定结点的方法很多，仅给出下列几种方法.
1.用距离划分区间（8）或（10）.
例如用等距划分成5个区间的距离间隔为5或5
.
2.用观察值个数划分区间（8）或（10）.
例如采用3.用样本均值划分区间（8）或（10）.由x得到区间［x--
-］
，其余区间再由方法划分xE
1或2.
4.主客观综合划分区间（8）或（10）.由于区间（8）或（10）较好地反映了总体数据的分布范围，故方法1~4总比（1）~（3）式的前定结点好.上述方法各有利弊，可根据实际情况综合使用.
设隶属函数为降型
1
x≤aμ
A（x）E（1x）a
）0b
中间型
x≤a（μxE2x
）a
）3
d
升型
x≤cμ
C（x）E（4x）c
）1d
这里结点a，b，c，d已确定，F（2x），F（4x）为增函数，F（1x），F（3
x）为减函数.先求F2（x）.考虑（4）式中数据在开区间a，2）（2
，b）中的分布情况设有y（1），y（2
）…，y（s
）∈（a2）（14）z（1），z（2
）…，z（t
）∈（2
，
b）（15
）得到如下比值
s+t，s+t≤n，s，t≥0（16
）经过（a，0），（2s+t
）
，（b，1）3点的抛物
线是唯一的，它满足如下等式
a2
x1+ax2+x3E0
7（
70
华北水利水电学院学报
2002年3月
2x1+2+x3E22s+t（）17╰2
bxx1+b2+x3E1解三元一次方程组（）式17
2得F（）p，（）a
2其中（）（（19hEb-a）s+t）
（）
pE2
（t-s）（20
）qEa（s-3t）+b（3s-t）（21）rEa2（s+t）+a
b（t-3s）（22）s—
——（a2
）
中数据个数（23）t———（2
，b）中数据个数（24
）当sEt时
F（2x）Eb-a
（25
）这是（2
）式对应的线性函数.当s>t时，F（2x）在（a，b］上是凸的.当s
F（1x）E1-F（2x
）E-h
px2
+qx+r-h）a
（26
）同理F（4x）Eh1
p1x2+q1x+r1
）c
（27
）F（3x）E-h1
p1x2+q1x+r1-h1）c
（19）~（22）式计算，只需将a，b，，t换成c，d，s1，t1.其中
s（1———（c29）2
）
中数据个数t1
———（，d）中数据个数（30
）2
如图3所示，随着（a，b）（，c，d）
中数据分布的实际情况，F（1x）~F（4x）的交点左移或右移.仅当F（1x）~F（4x）为线性函数时，交点在正中，这时隶属函数为（1）~（3）式.若无数据信息，只能认为数据均匀分布，相当于sEt，s1Et1
.
名学生成绩表
[***********][***********][***********][***********][***********]43
表246个数据从小到大排列表
[***********][***********][***********][***********]
[***********]97
计算得
-E76，σE12.87，x（1）E43，x（46
）E97，RE54用方法3和1（方法3和2所得结果相近）划分
区间［43，97
］，得到结点为aE56.7，bE70.3，cE81.7，dE89.4
（31）sE1，tE5，s1E2，t1E1
0hE1109.76，pE8（32
）qE-9
34.4，rE27261，3h1E711.48，p1E16，q1E-2645.2，r1E109314.6（33
）2800名学生成绩的隶属函数为
1
x≤a
μA（x）E-h
px2+qx+r-h）a
b
（34
）Fxhs
期王石青等：确定隶属函数的统计分析法
2xx+r）+qph
x≤aa
（x）EBμ
1
2）c
d
（）35
0x≤c2）c
1
d
（）36
（）（）式中各数据由（）（）式确定
.34~3631~33
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文章编号：（）1002-5634200201-0068-04
第23卷第1期2002年3月
华北水利水电学院学报
JournalofNorthChinaInstituteofWaterConservancandHdroelectricPoweryy
Vol.23No.1①
Mar.2001
确定隶属函数的统计分析法
王石青1，邱
林1，王志良2，韩晓军1
（河南郑州4；四川成都6）1华北水利水电学院信息系，500452四川大学水电学院，10064
摘要：梯形隶属函数形式简单，对数据信息要求低，因此被广泛使用，但是它的缺点是不能较好地反映客观
在含有数据信息的基础上，用统计方法给出一种隶属函数，弥补了梯形隶属函数的不足，并致梯形隶属实际.
算例表明，此隶属函数较好地反映了客观实际.函数为此隶属函数的特例.
关键词：梯形隶属函数；样本均值；样本方差；极差中图分类号：O159.2
文献标识码：A
模糊集理论应用的核心是如何合理的确定隶属函数.由于工程实际问题往往资料缺乏或收集困难，确定隶属函数很困难，因此广泛使用梯形或三角形
隶属函数.这种隶属函数具有形式简单，对数据信息要求低的优点.但同时也存在问题，即没有利用实际问题中的信息.而任何1个工程实际问题，或多或少都含有数据信息，应该加以充分利用.不问工程问题的客观实际，一味使用梯形隶属函数，会造成客观信息的流失，其结果必然导致与客观实际相差甚远.
10≤x≤60
（）3
（x）60
170
1梯形隶属函数的合理性分析
为讨论问题方便起见，采用文献［］的实例，用1
优、良、差3个等级来评价学生成绩，取论域UE［，］，优、良、差分别表示为U上的3个模糊集：0100
它们的隶属函数规定如下A，B，C，
0≤x≤80
（）1
（x）80
190
0≤x≤600
60
10
（x）70
80
10090
①
（）2
6
收稿日期：；修订日期：2001-09-082001-11-03
基金项目：河南省杰出青年科学基金资助项目（）9923
作者简介：王石青（，男，河北武安人，华北水利水电学院信息系副教授，主要从事风险分析与决策研究.1955-）
第23卷第1期
王石青等：确定隶属函数的统计分析法
69
，，86-60E2686-80E690-86E4就是说乙的成绩到模糊集B的距离最短，丙的成绩到A的距离最短，这一点很直观，隶属函数（1）~（）式将简单问题复杂化了.3
在（）（）式中，结点6，，，2.1~30708090是前定的，它没有反映客观实际.显然，如果学生成绩都在那么9反之，成绩都在790分以上，0分就是差的；0
分以下，那么7因此符合客观实际的0分就是优的.标准模式应采用后定结点.
等个数划分两区间，设有
x（）≤x（）≤x（）≤x（）1234
则结点aEx］（）（）+x3
22
设有x（）≤x（）≤x（）≤x（）≤x（）12345则结点aEx］（）（）+x23
2
］（）（）+xaEx342
-或
3.在结点确定后，（60，65）中数据较少而（65，0）中数据较多时，交点65应右移，否则应左移，如图2所示，（80，85）和（85，90）也如此.这就是说，类应随着数据分布作调整，才符合实际
.
n
n∑xi（5）iE
1n
样本方差σ2E∑（x-
2ni-x）（6）iE1
极差
REx（n）-x（1）（7）得到两个区间
［x（1
），x（n）］（8
）［x--3σ，x-
+3σ］（9
）显然论域U包含区间（8
），但当论域U为有限区间时未必包含区间（9），此时可采用区间［aa［x--3σ，x-
1，2］
E+3σ］⋂U（10）确定结点的方法很多，仅给出下列几种方法.
1.用距离划分区间（8）或（10）.
例如用等距划分成5个区间的距离间隔为5或5
.
2.用观察值个数划分区间（8）或（10）.
例如采用3.用样本均值划分区间（8）或（10）.由x得到区间［x--
-］
，其余区间再由方法划分xE
1或2.
4.主客观综合划分区间（8）或（10）.由于区间（8）或（10）较好地反映了总体数据的分布范围，故方法1~4总比（1）~（3）式的前定结点好.上述方法各有利弊，可根据实际情况综合使用.
设隶属函数为降型
1
x≤aμ
A（x）E（1x）a
）0b
中间型
x≤a（μxE2x
）a
）3
d
升型
x≤cμ
C（x）E（4x）c
）1d
这里结点a，b，c，d已确定，F（2x），F（4x）为增函数，F（1x），F（3
x）为减函数.先求F2（x）.考虑（4）式中数据在开区间a，2）（2
，b）中的分布情况设有y（1），y（2
）…，y（s
）∈（a2）（14）z（1），z（2
）…，z（t
）∈（2
，
b）（15
）得到如下比值
s+t，s+t≤n，s，t≥0（16
）经过（a，0），（2s+t
）
，（b，1）3点的抛物
线是唯一的，它满足如下等式
a2
x1+ax2+x3E0
7（
70
华北水利水电学院学报
2002年3月
2x1+2+x3E22s+t（）17╰2
bxx1+b2+x3E1解三元一次方程组（）式17
2得F（）p，（）a
2其中（）（（19hEb-a）s+t）
（）
pE2
（t-s）（20
）qEa（s-3t）+b（3s-t）（21）rEa2（s+t）+a
b（t-3s）（22）s—
——（a2
）
中数据个数（23）t———（2
，b）中数据个数（24
）当sEt时
F（2x）Eb-a
（25
）这是（2
）式对应的线性函数.当s>t时，F（2x）在（a，b］上是凸的.当s
F（1x）E1-F（2x
）E-h
px2
+qx+r-h）a
（26
）同理F（4x）Eh1
p1x2+q1x+r1
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（27
）F（3x）E-h1
p1x2+q1x+r1-h1）c
（19）~（22）式计算，只需将a，b，，t换成c，d，s1，t1.其中
s（1———（c29）2
）
中数据个数t1
———（，d）中数据个数（30
）2
如图3所示，随着（a，b）（，c，d）
中数据分布的实际情况，F（1x）~F（4x）的交点左移或右移.仅当F（1x）~F（4x）为线性函数时，交点在正中，这时隶属函数为（1）~（3）式.若无数据信息，只能认为数据均匀分布，相当于sEt，s1Et1
.
名学生成绩表
[***********][***********][***********][***********][***********]43
表246个数据从小到大排列表
[***********][***********][***********][***********]
[***********]97
计算得
-E76，σE12.87，x（1）E43，x（46
）E97，RE54用方法3和1（方法3和2所得结果相近）划分
区间［43，97
］，得到结点为aE56.7，bE70.3，cE81.7，dE89.4
（31）sE1，tE5，s1E2，t1E1
0hE1109.76，pE8（32
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34.4，rE27261，3h1E711.48，p1E16，q1E-2645.2，r1E109314.6（33
）2800名学生成绩的隶属函数为
1
x≤a
μA（x）E-h
px2+qx+r-h）a
b
（34
）Fxhs
期王石青等：确定隶属函数的统计分析法
2xx+r）+qph
x≤aa
（x）EBμ
1
2）c
d
（）35
0x≤c2）c
1
d
（）36
（）（）式中各数据由（）（）式确定
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