第四章：模糊数学理论基础。主要是对本文所需要的模糊数学的知识进行了介绍。首先对模糊集的诞生和发展的历史背景、目的和意义进行了论述；接着给模糊集的定义及其表示方法；紧接着介绍了模糊集的隶属函数的定义及确定隶属函数的方法；最后引入了目前比较热门的概念模糊熵及其性质。对这些知识的了解，将有助于我们自觉地或不自觉地应用到图像处理中去。
第四章 模糊数学理论基础
传统的信息处理方法建立在概率假设和二态假设(Probality Assumption＆Binary —State Assumption)的基础上。概率假设使传统的数学应用范围从确定性现象扩展到随机现象，二态假设对应了人类的精确思维方式。但自然界客观存在的事物除了可以精确表示之外，还存在着大量的模糊现象，如“年轻人”、“高个子”等，究竟多大年龄之间算“年轻”，多高个子为“高个子”，这是人们观念中的模糊的概念，模糊(Fuzzy)概念由此产生。模糊性也就是生活中的不确定性。实际上客观事物的不确定性除了随机性外，模糊性也是一种不确定性。所谓模糊性是指事物的性质或类属的不分明性，其根源是事物之间存在过渡性的事物或状态，使它们之间没有明确的分界线。
在自然科学中，人们长久以来习惯于追求精确性，总希望把事物以数学方式描述出来，然而，面对模糊现象，传统的数学方法遇到了实质性的困难。但对于人的大脑而言，它具有很高的模糊划分、模糊判断和模糊推理的能力，而且人们为了表达和传递知识所采用的自然语言中已巧妙地渗透了模糊性，并能用最少的词汇表达尽可能多的信息。但是，对于计算机来说，无论它怎样发展，总无法达到人脑的境界，所以，用计算机来处理模糊信息，就需要一种能够将模糊语言形式化的工具，用数学的方式处理这种模糊性。
L．A ．Zade 提出的模糊集概念将一般的集合以隶属函数的概念推广到模糊集。为模糊数学的发展与成熟奠定了深厚的基础。模糊集理论的出现引起了数学
界和科技工程界的极大兴趣并对其进行了广泛深入的研究，理论成果和应用成果不断出现，从而创建了一门新的科学——模糊数学。模糊集理论是对一类客观事物和性质更合理的抽象和描述，是传统集合理论的必然推广。模糊数学的一个重要特点，就是让数学反过来吸收人脑的模糊识别和判决特点，并将之运用于计算机，使部分自然浯言能够作为算法语言直接进入程序，使人们能够以简易的程序来调动机器完成复杂的任务，从而大大提高机器的灵活性。
4.1 模糊集的诞生及其发展情况
十九世纪晚期，德国数学家Cantor 系统地研究了集合理论，创立了崭新的集合论，此后，许多数学家对集合论进行了深入研究，从而产生了许多新的理论基础分支体系，如微积分、概率论、抽象代数、拓扑学等等。Cantor 对集合的定义是描述性的，他认为一个性质决定一个集合，所有满足该性质的个体称为该集合的元素。但是，在现实生活中，并不是所有的个体都可以用属于或不属于某个集合来划分，有很多个体，它们的性质可能具有不确定因素，正是为了解决这些不确定的、模糊的问题，1965年，美国加利福尼亚大学柏克莱分校的控制论专家查德教授(Zadeh)在《信息与控制》(Information and Contro1) 杂志上发表了关于模糊集的开创性论文“模糊集合”(Fuzzy Sets) ，他在研究人类思维、判断过程的建模中，提出了用模糊集作为定量化的手段。从此，模糊数学宣告诞生。 模糊集合是客观存在的模糊概念的必然反映。模糊概念就是边界不清晰，外延不确定的概念。以模糊集合代替原来的经典集合，把经典数学模糊化，便产生了以模糊集合为基础的模糊数学。模糊数学的出现，使人们对现象的非确定性的理解有了拓广与深化。模糊数学是研究模糊现象及其概念的新的数学分支学科。“模糊性”应理解为一种被定义了的概念，即客观事物处于共维条件下的差异在中介过渡阶段所呈现的亦此亦彼性。我国的学者陈守煌教授在创建模糊水文学过程中指出：“事物或现象从差异的一方到差异的另一方，中间经历了一个从量变到质变的连续过程，这是差异的中介过渡性，由中介过渡性而产生划分上的非确定性就是模糊性”。
目前研究模糊集理论的四支国际劲旅是中国、日本、欧洲和美国。我国在理论方面的研究水平已处于国际领先地位，如刘应明及王国俊在模糊拓扑学方面的研究，汪培庄及王光远的模糊集理论应用方面的研究，吴从忻在模糊线性拓扑
空间方面的研究，张文修在模糊测度方面的研究等，都居于世界领先水平，同时模糊数学的应用也已遍及自然科学与社会科学的几乎所有的领域。
4.2 模糊子集的定义及表示
设给定论域U ，U 到[0, 1]闭区间的任一映射μA
μA ： U →[0, 1] u →μA (u )
都确定U 的一个模糊子集A ，μA 称为模糊子集的隶属函数，μA (u )称为u 对于A 的隶属度。隶属度也可记为A (u )。在不混淆的情况下，模糊子集也称为模糊集合。 上述定义表明。论域U 上的模糊子集A 由隶属函数μA (u )来表征，μA (u )取值范围为区间[0, 1]，μA (u )大小反映了u 对于模糊子集的从属程度。μA (u )的值越接近于1，表示u 从属于A 的程度越高；μA (u )的值接近于0，表示u 从属于A 的程度越低。可见，模糊子集完全由隶属函数来描述。
当μA (u )的值域等于{0, 1}时，μA (u )退化成一个经典子集的特征函数。模糊子集A 便退化成一个经典子集。由此不难看出，经典集合是模糊集合的特殊状态，模糊集合是经典集合概念推广。
模糊集合的表达方式有一下几种：
(一) 当U 为有限集{u 1, u 2, , u n }时，通常有如下三种方式：
（1）Zadeh 表示法
A =A (u n )A (u 1)A (u 2)++ + u 1u 2u n
其中A (u i )并不表示“分数”，而是表示论域中的元素u i 与其隶属度A (u i )之间的u i
对应关系。“+”也不表示“求和”，而是表示模糊集合在论域U 上的整体。且当某元素的隶属度为零时，可忽略不写。
（2）序偶表示法
A ={(A (u 1), u 1), (A (u 2), u 2), , (A (u n ), u n )} ~
这种表示法是由普通集合的列举法演变过来的，它由元素和它的隶属度组成有序
对（前者是隶属度，后者是元素）一一列出。
（3）向量表示法
A =A (u 1), A (u 2), A (u n ) ~~~~()
这种表示方法是借助于n 的维数组来实现的，即当论域U 中的元素先后次序排定时，按此顺序记载各元素的隶属度（此时隶属度为0的项不能舍弃），这时A 也~称为模糊向量。
（4）Zadeh 与向量式的结合表示法
A (u n )⎫⎛A (u 1)A (u 2)~~⎪ A = , , , ~
~ u 1u 2u n ⎪⎝⎭
（二）当U 是有限连续域时，Zadeh 给出如下记法
A =⎰
同样，μA (u )u u μA (u )
u 并不表示“分数”，而表示论域上的元素μ与隶属度μA (u )之间的对应关系：“⎰”既不表示“积分”，也不是“求和”记号，而是表示论域U 上的元素u 与隶属度μA (u )对应关系的一个总括。
4.3 模糊集的隶属函数
隶属函数是模糊集合赖以建立的基石，隶属函数的确定无论理论上或应用上都非常重要，由于造成模糊不确定性的原因是多种多样的，要确定恰当的隶属函数并不容易。在大多数场合下，隶属度无法直接给出，它的建立需要对所描述的概念的足够的了解，一定的数学技巧，而且还包括心理测量的进行与结果的运用等各种因素。正如某一事件的发生与否有一定的确定性(随机性) 一样，某一对象是否符合某一概念也有一定的不确定性。
隶属函数的确定过程，本质上说应该是客观的，但每一个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异，因此，隶属函数的确定又带有主观性。一般是根据经验或统计进行确定，也可由专家、权威给出。例如体操裁判的评分，尽管带有一定的主观性，但却是反映裁判员们大量丰富实际经验的综合结果。对于同样一个模糊概念，不同的人会建立不完全相同的隶属函数，尽管形式不完全相同，只要能反映同一模糊概念，在解决和处理实际模糊信息的问题中仍然殊途同归。事实
上，也不可能存在对任何问题对任何人都适用的确定隶属函数的统一方法，因为模糊集合实质上是依赖于主观描述客观事物的概念外延的模糊性。可以设想，如果有对每个人都适用的确定隶属函数的方法，那么所谓的“模糊性”也就根本不存在了。
确定隶属函数的方法很多，最基本的一种就是模糊统计法。根据概率统计的规律，当试验次数足够大时，可以用频率来代替概率。所以，建立隶属函数时，可用隶属频率来代替隶属度。
模糊统计实验有四个要素：(1)论域U ，(2)U 中的一个元素，(3)U 中一个边界可变的普通集合A *, A *联系于一个模糊集合A 及相应的模糊概念α；（4）条件S , 它联系着按概念α所进行的划分过程的全部主观因素，它制约着A *边界的改变。
模糊性产生的根本原因是：S 对概念α所作的划分引起的u 0的变异，它可能覆盖了被研究的元素u 0，也可能不覆盖u 0，这就导致u 0对A *的隶属关系不确定。 模糊统计实验的基本要求是在每一次实验下，要对u 0是否属于A *做一个确切的判断，做n 次实验，就可算出u 0对A 的隶属概率。
" u 0属于A *" 的次数 u 0对A 的隶属概率= n
许多实验证明，随着n 的增大，隶属频率呈现稳定性，被称为隶属频率稳定性，频率稳定所在的数值叫 u 0对A 的隶属度。即有
" u 0属于A *" 的次数 u (A )(u 0)=lim n →∞n
确定隶属函数的方法除此外，其它同样比较实用的确定隶属函数的方法有二元对比的排序法、综合加权法、专家确定法、基本概念扩充法及约定俗成的“客观尺度”法等。
4.4 模糊熵
状态熵是随机事件的不确定性的度量。根据香农信息论，对于一个有n 个 状态的系统，每个状态的概率为p 1, p 2, p n ，则把该系统的熵定义为：
H (P 1, P 2, P n )=-∑P i ln P i
i =1n
显然，熵有以下性质：
①如果存在某个r ，使得p r =1，且当i ≠r 时，其余的p i =0，此时最小且H m in =0。
②如果p 1=p 2= =p n =1时，H 最大且H m ax =ln (n )。 n
在定义模糊熵时，也希望具有普通熵的性质。
设A 和B 是X 中的模糊集，则
1n
d (A , B )=∑μA (x i )-μB (x i n i =1
叫做相对Hamming 距离。
设A 和B 是X 中的模糊集，则
1∙ R (A , B )=n 2(()())μx -μx ∑A i B i
i =1n
称为A 和B 欧式距离。
如果用A 0表示与模糊集有最小的欧式距离的普通集合，显然有：
⎧0 μA (x i )
令H (A )=2d (A , A 0), 则H (A )定义为模糊集A 的模糊熵，即， 2n
H (A )=∑μA (x i )-μA 0(x i ) n i =1
模糊熵具有如下性质
①H (A )≥0；
②若对任意x ，均为μA (x )=0或μA (x )=1，则H (A )=0，也就是说A 是普通集时，H (A )=0；
③若对任意x 均有μA (x )=0. 5时，则H (A )达到极大，H (A )m ax =1；
④若对任意x 均有μA (x )≥0. 5，且μB (x )≥μA (x )或μB (x )≤0. 5，则当μB (x )≤μA (x )时，有H (A )≥H (B )。
模糊集作为一种较为成熟的集合，符合集合运算的一切规律，有它自身的子、交、并、补运算，集合代数运算，集合关系运算等等，作为模糊集也有它自身独特的性质和运算。
彩色图像比灰度图像具有更丰富的信息，将一幅灰度图像变换成彩色图像可以提高图像的质量，同一灰度级可以对应上百种颜色，将某一灰度等级映射为何种颜色是一个很难解决的问题。目前最主要的方法有：基于灰度等级的伪彩色变换，基于色彩空间模型的伪彩色变换和频域的伪彩色变换。基于灰度等级的伪彩色变换是建立灰度级，梯度或者其它灰度特征与不同颜色的映射关系，这类方法，没有考虑图像的内容信息。基于颜色空间模型的伪色彩变换不仅仅依赖于灰度级，而且考虑到饱和度，亮度和其它彩色空间的特征，不足之处是很难区别图像的特征。频域的伪色彩变换是将图像经过傅里叶变换，然后建立频率与色彩的映射。然而，采集到的图像的类型各有不同，建立的映射关系也不可能同时适应不同类型的图像，在表现效果上会时好时坏。
彩色图像增强主要是对其亮度、色彩等信息进行调整，使得增强后的图像更加生动、细节更加明显、色彩更加鲜艳，同时又要保证图像的色彩没有失真和偏移。
目前的色彩图像增强算法主要有三类：基于RGB 颜色空间的增强算法、基于变换空间的色彩图像增强算法和基于颜色恒长理论的色彩图像增强算法。
基于RGB 颜色空间的色彩图像增强算法主要有RGB 单色通道二维直方图均衡、直方图规定以及三维直方图均衡。在RGB 颜色空间进行直方图均衡可以增强图像的亮度，但是容易导致颜色的失真，这主要是因为这类算法是单独地作用于R 、G 、B 各个分量，而没有考虑色彩图像R 、G 、B 各个分量之间的相关性，改变像素的任一分量都会改变R 、G 、B 三个分量的比例，使得图像产生颜色的失真或偏移。
基于颜色恒常理论的色彩图像增强算法研究方面，1977年Edwin Land首次提出了一种被称为Retinex 的色彩理论，Retinex 这个词本身是由视网膜Retina 和大脑皮层Cortex 两个词组构成的。Retinex 理论主要包含了两个方面的内容：
物体的颜色是由物体对长波、中波和短波光线的反射能力决定的，而不是由反射光强度的绝对值决定的；物体的色彩不受光照非均性的影响，具有一致性。20世纪80年代初期美国宇航局下属的一个研究机构将Retinex 理论用于航空器拍摄的外太空图片且获得了非常好的处理效果。近年来Retinex 的应用范围越来越广泛，人们对它的研究也逐渐深入。比如，Z.Rahman ，D.J.Jobson 。G .A.Woodell 将这种理论运用到彩色图像增强领域，取得了非常好的效果。
第四章：模糊数学理论基础。主要是对本文所需要的模糊数学的知识进行了介绍。首先对模糊集的诞生和发展的历史背景、目的和意义进行了论述；接着给模糊集的定义及其表示方法；紧接着介绍了模糊集的隶属函数的定义及确定隶属函数的方法；最后引入了目前比较热门的概念模糊熵及其性质。对这些知识的了解，将有助于我们自觉地或不自觉地应用到图像处理中去。
第四章 模糊数学理论基础
传统的信息处理方法建立在概率假设和二态假设(Probality Assumption＆Binary —State Assumption)的基础上。概率假设使传统的数学应用范围从确定性现象扩展到随机现象，二态假设对应了人类的精确思维方式。但自然界客观存在的事物除了可以精确表示之外，还存在着大量的模糊现象，如“年轻人”、“高个子”等，究竟多大年龄之间算“年轻”，多高个子为“高个子”，这是人们观念中的模糊的概念，模糊(Fuzzy)概念由此产生。模糊性也就是生活中的不确定性。实际上客观事物的不确定性除了随机性外，模糊性也是一种不确定性。所谓模糊性是指事物的性质或类属的不分明性，其根源是事物之间存在过渡性的事物或状态，使它们之间没有明确的分界线。
在自然科学中，人们长久以来习惯于追求精确性，总希望把事物以数学方式描述出来，然而，面对模糊现象，传统的数学方法遇到了实质性的困难。但对于人的大脑而言，它具有很高的模糊划分、模糊判断和模糊推理的能力，而且人们为了表达和传递知识所采用的自然语言中已巧妙地渗透了模糊性，并能用最少的词汇表达尽可能多的信息。但是，对于计算机来说，无论它怎样发展，总无法达到人脑的境界，所以，用计算机来处理模糊信息，就需要一种能够将模糊语言形式化的工具，用数学的方式处理这种模糊性。
L．A ．Zade 提出的模糊集概念将一般的集合以隶属函数的概念推广到模糊集。为模糊数学的发展与成熟奠定了深厚的基础。模糊集理论的出现引起了数学
界和科技工程界的极大兴趣并对其进行了广泛深入的研究，理论成果和应用成果不断出现，从而创建了一门新的科学——模糊数学。模糊集理论是对一类客观事物和性质更合理的抽象和描述，是传统集合理论的必然推广。模糊数学的一个重要特点，就是让数学反过来吸收人脑的模糊识别和判决特点，并将之运用于计算机，使部分自然浯言能够作为算法语言直接进入程序，使人们能够以简易的程序来调动机器完成复杂的任务，从而大大提高机器的灵活性。
4.1 模糊集的诞生及其发展情况
十九世纪晚期，德国数学家Cantor 系统地研究了集合理论，创立了崭新的集合论，此后，许多数学家对集合论进行了深入研究，从而产生了许多新的理论基础分支体系，如微积分、概率论、抽象代数、拓扑学等等。Cantor 对集合的定义是描述性的，他认为一个性质决定一个集合，所有满足该性质的个体称为该集合的元素。但是，在现实生活中，并不是所有的个体都可以用属于或不属于某个集合来划分，有很多个体，它们的性质可能具有不确定因素，正是为了解决这些不确定的、模糊的问题，1965年，美国加利福尼亚大学柏克莱分校的控制论专家查德教授(Zadeh)在《信息与控制》(Information and Contro1) 杂志上发表了关于模糊集的开创性论文“模糊集合”(Fuzzy Sets) ，他在研究人类思维、判断过程的建模中，提出了用模糊集作为定量化的手段。从此，模糊数学宣告诞生。 模糊集合是客观存在的模糊概念的必然反映。模糊概念就是边界不清晰，外延不确定的概念。以模糊集合代替原来的经典集合，把经典数学模糊化，便产生了以模糊集合为基础的模糊数学。模糊数学的出现，使人们对现象的非确定性的理解有了拓广与深化。模糊数学是研究模糊现象及其概念的新的数学分支学科。“模糊性”应理解为一种被定义了的概念，即客观事物处于共维条件下的差异在中介过渡阶段所呈现的亦此亦彼性。我国的学者陈守煌教授在创建模糊水文学过程中指出：“事物或现象从差异的一方到差异的另一方，中间经历了一个从量变到质变的连续过程，这是差异的中介过渡性，由中介过渡性而产生划分上的非确定性就是模糊性”。
目前研究模糊集理论的四支国际劲旅是中国、日本、欧洲和美国。我国在理论方面的研究水平已处于国际领先地位，如刘应明及王国俊在模糊拓扑学方面的研究，汪培庄及王光远的模糊集理论应用方面的研究，吴从忻在模糊线性拓扑
空间方面的研究，张文修在模糊测度方面的研究等，都居于世界领先水平，同时模糊数学的应用也已遍及自然科学与社会科学的几乎所有的领域。
4.2 模糊子集的定义及表示
设给定论域U ，U 到[0, 1]闭区间的任一映射μA
μA ： U →[0, 1] u →μA (u )
都确定U 的一个模糊子集A ，μA 称为模糊子集的隶属函数，μA (u )称为u 对于A 的隶属度。隶属度也可记为A (u )。在不混淆的情况下，模糊子集也称为模糊集合。 上述定义表明。论域U 上的模糊子集A 由隶属函数μA (u )来表征，μA (u )取值范围为区间[0, 1]，μA (u )大小反映了u 对于模糊子集的从属程度。μA (u )的值越接近于1，表示u 从属于A 的程度越高；μA (u )的值接近于0，表示u 从属于A 的程度越低。可见，模糊子集完全由隶属函数来描述。
当μA (u )的值域等于{0, 1}时，μA (u )退化成一个经典子集的特征函数。模糊子集A 便退化成一个经典子集。由此不难看出，经典集合是模糊集合的特殊状态，模糊集合是经典集合概念推广。
模糊集合的表达方式有一下几种：
(一) 当U 为有限集{u 1, u 2, , u n }时，通常有如下三种方式：
（1）Zadeh 表示法
A =A (u n )A (u 1)A (u 2)++ + u 1u 2u n
其中A (u i )并不表示“分数”，而是表示论域中的元素u i 与其隶属度A (u i )之间的u i
对应关系。“+”也不表示“求和”，而是表示模糊集合在论域U 上的整体。且当某元素的隶属度为零时，可忽略不写。
（2）序偶表示法
A ={(A (u 1), u 1), (A (u 2), u 2), , (A (u n ), u n )} ~
这种表示法是由普通集合的列举法演变过来的，它由元素和它的隶属度组成有序
对（前者是隶属度，后者是元素）一一列出。
（3）向量表示法
A =A (u 1), A (u 2), A (u n ) ~~~~()
这种表示方法是借助于n 的维数组来实现的，即当论域U 中的元素先后次序排定时，按此顺序记载各元素的隶属度（此时隶属度为0的项不能舍弃），这时A 也~称为模糊向量。
（4）Zadeh 与向量式的结合表示法
A (u n )⎫⎛A (u 1)A (u 2)~~⎪ A = , , , ~
~ u 1u 2u n ⎪⎝⎭
（二）当U 是有限连续域时，Zadeh 给出如下记法
A =⎰
同样，μA (u )u u μA (u )
u 并不表示“分数”，而表示论域上的元素μ与隶属度μA (u )之间的对应关系：“⎰”既不表示“积分”，也不是“求和”记号，而是表示论域U 上的元素u 与隶属度μA (u )对应关系的一个总括。
4.3 模糊集的隶属函数
隶属函数是模糊集合赖以建立的基石，隶属函数的确定无论理论上或应用上都非常重要，由于造成模糊不确定性的原因是多种多样的，要确定恰当的隶属函数并不容易。在大多数场合下，隶属度无法直接给出，它的建立需要对所描述的概念的足够的了解，一定的数学技巧，而且还包括心理测量的进行与结果的运用等各种因素。正如某一事件的发生与否有一定的确定性(随机性) 一样，某一对象是否符合某一概念也有一定的不确定性。
隶属函数的确定过程，本质上说应该是客观的，但每一个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异，因此，隶属函数的确定又带有主观性。一般是根据经验或统计进行确定，也可由专家、权威给出。例如体操裁判的评分，尽管带有一定的主观性，但却是反映裁判员们大量丰富实际经验的综合结果。对于同样一个模糊概念，不同的人会建立不完全相同的隶属函数，尽管形式不完全相同，只要能反映同一模糊概念，在解决和处理实际模糊信息的问题中仍然殊途同归。事实
上，也不可能存在对任何问题对任何人都适用的确定隶属函数的统一方法，因为模糊集合实质上是依赖于主观描述客观事物的概念外延的模糊性。可以设想，如果有对每个人都适用的确定隶属函数的方法，那么所谓的“模糊性”也就根本不存在了。
确定隶属函数的方法很多，最基本的一种就是模糊统计法。根据概率统计的规律，当试验次数足够大时，可以用频率来代替概率。所以，建立隶属函数时，可用隶属频率来代替隶属度。
模糊统计实验有四个要素：(1)论域U ，(2)U 中的一个元素，(3)U 中一个边界可变的普通集合A *, A *联系于一个模糊集合A 及相应的模糊概念α；（4）条件S , 它联系着按概念α所进行的划分过程的全部主观因素，它制约着A *边界的改变。
模糊性产生的根本原因是：S 对概念α所作的划分引起的u 0的变异，它可能覆盖了被研究的元素u 0，也可能不覆盖u 0，这就导致u 0对A *的隶属关系不确定。 模糊统计实验的基本要求是在每一次实验下，要对u 0是否属于A *做一个确切的判断，做n 次实验，就可算出u 0对A 的隶属概率。
" u 0属于A *" 的次数 u 0对A 的隶属概率= n
许多实验证明，随着n 的增大，隶属频率呈现稳定性，被称为隶属频率稳定性，频率稳定所在的数值叫 u 0对A 的隶属度。即有
" u 0属于A *" 的次数 u (A )(u 0)=lim n →∞n
确定隶属函数的方法除此外，其它同样比较实用的确定隶属函数的方法有二元对比的排序法、综合加权法、专家确定法、基本概念扩充法及约定俗成的“客观尺度”法等。
4.4 模糊熵
状态熵是随机事件的不确定性的度量。根据香农信息论，对于一个有n 个 状态的系统，每个状态的概率为p 1, p 2, p n ，则把该系统的熵定义为：
H (P 1, P 2, P n )=-∑P i ln P i
i =1n
显然，熵有以下性质：
①如果存在某个r ，使得p r =1，且当i ≠r 时，其余的p i =0，此时最小且H m in =0。
②如果p 1=p 2= =p n =1时，H 最大且H m ax =ln (n )。 n
在定义模糊熵时，也希望具有普通熵的性质。
设A 和B 是X 中的模糊集，则
1n
d (A , B )=∑μA (x i )-μB (x i n i =1
叫做相对Hamming 距离。
设A 和B 是X 中的模糊集，则
1∙ R (A , B )=n 2(()())μx -μx ∑A i B i
i =1n
称为A 和B 欧式距离。
如果用A 0表示与模糊集有最小的欧式距离的普通集合，显然有：
⎧0 μA (x i )
令H (A )=2d (A , A 0), 则H (A )定义为模糊集A 的模糊熵，即， 2n
H (A )=∑μA (x i )-μA 0(x i ) n i =1
模糊熵具有如下性质
①H (A )≥0；
②若对任意x ，均为μA (x )=0或μA (x )=1，则H (A )=0，也就是说A 是普通集时，H (A )=0；
③若对任意x 均有μA (x )=0. 5时，则H (A )达到极大，H (A )m ax =1；
④若对任意x 均有μA (x )≥0. 5，且μB (x )≥μA (x )或μB (x )≤0. 5，则当μB (x )≤μA (x )时，有H (A )≥H (B )。
模糊集作为一种较为成熟的集合，符合集合运算的一切规律，有它自身的子、交、并、补运算，集合代数运算，集合关系运算等等，作为模糊集也有它自身独特的性质和运算。
彩色图像比灰度图像具有更丰富的信息，将一幅灰度图像变换成彩色图像可以提高图像的质量，同一灰度级可以对应上百种颜色，将某一灰度等级映射为何种颜色是一个很难解决的问题。目前最主要的方法有：基于灰度等级的伪彩色变换，基于色彩空间模型的伪彩色变换和频域的伪彩色变换。基于灰度等级的伪彩色变换是建立灰度级，梯度或者其它灰度特征与不同颜色的映射关系，这类方法，没有考虑图像的内容信息。基于颜色空间模型的伪色彩变换不仅仅依赖于灰度级，而且考虑到饱和度，亮度和其它彩色空间的特征，不足之处是很难区别图像的特征。频域的伪色彩变换是将图像经过傅里叶变换，然后建立频率与色彩的映射。然而，采集到的图像的类型各有不同，建立的映射关系也不可能同时适应不同类型的图像，在表现效果上会时好时坏。
彩色图像增强主要是对其亮度、色彩等信息进行调整，使得增强后的图像更加生动、细节更加明显、色彩更加鲜艳，同时又要保证图像的色彩没有失真和偏移。
目前的色彩图像增强算法主要有三类：基于RGB 颜色空间的增强算法、基于变换空间的色彩图像增强算法和基于颜色恒长理论的色彩图像增强算法。
基于RGB 颜色空间的色彩图像增强算法主要有RGB 单色通道二维直方图均衡、直方图规定以及三维直方图均衡。在RGB 颜色空间进行直方图均衡可以增强图像的亮度，但是容易导致颜色的失真，这主要是因为这类算法是单独地作用于R 、G 、B 各个分量，而没有考虑色彩图像R 、G 、B 各个分量之间的相关性，改变像素的任一分量都会改变R 、G 、B 三个分量的比例，使得图像产生颜色的失真或偏移。
基于颜色恒常理论的色彩图像增强算法研究方面，1977年Edwin Land首次提出了一种被称为Retinex 的色彩理论，Retinex 这个词本身是由视网膜Retina 和大脑皮层Cortex 两个词组构成的。Retinex 理论主要包含了两个方面的内容：
物体的颜色是由物体对长波、中波和短波光线的反射能力决定的，而不是由反射光强度的绝对值决定的；物体的色彩不受光照非均性的影响，具有一致性。20世纪80年代初期美国宇航局下属的一个研究机构将Retinex 理论用于航空器拍摄的外太空图片且获得了非常好的处理效果。近年来Retinex 的应用范围越来越广泛，人们对它的研究也逐渐深入。比如，Z.Rahman ，D.J.Jobson 。G .A.Woodell 将这种理论运用到彩色图像增强领域，取得了非常好的效果。