复合函数的值域
内函数的值域是外函数的定义域，求复合函数的值域时，由内到外依次计算函数的值域。
例1、求函数y =log 0.3(x +4x +5) 的值域。
解：设u =x 2+4x +5=(x +2) 2+1≥1，所以y =log 0.3u ≤0，即y ≤0，∴y ∈(-∞,0]。
练习1：求函数f (x ) =log 2(-x 2+2x +3) 的值域。
2点评：通过令u =-x +2x +3，将原函数转化为复合函数log 2u 的值域问题，但要注意u >0这一条件不要忽视。 2
解析：设u =-x 2+2x +3=-(x -1) 2+4, 则0
例2、求函数y =() 1
3x 2-4x , x ∈[0, 5) 的值域。
x+1练习2：（1）求函数y ＝4+2+1.的值域.
x x+1x x x+1x 2x x 2 解：y ＝4+2+1的定义域为R. ∵2>0,∴y ＝4+2+1＝(2) +2·2+1＝(2+1)>1.
x x+1∴y ＝4+2+1的值域为｛y ｜y>1｝.
（2）求函数y =() -() +1在x ∈[-3,2]上的值域。 x x x 1
412
1的值域。 x 2-1
11122y =y =y =x ≠±1分析：令u =x -1，，函数的定义域为，分别作出函数u =x -1，的图象： u u x 2-1例3. 求函数y =
由x ≠±1→u ≥-1，且u ≠0→y >0，或y ≤-1。 故函数y =1-1] (0，+∞) 。 的值域为(-∞，x 2-1
1-x
1+x 练习3：求函数y =2
的值域。
练习:4：函数y =4x +2x +
巩固练习： 218的值域为 。 2x 2+x +1
1、若函数f (x -1) 定义域为(3,4]
，则函数f 的定义域为
2、已知f (x -) =x +
23、已知f (x +1) =x +3x +4，则f (x
) 1x 21，则f (x +1) = x 2
4
、
f (x ) =R, 则求m 的取值范围
5
、求函数y =
解：由题意可得1-6x -2≥0，即6x -2≤1，
2]．令t =
6x -2，则y ∴x -2≤0，故x ≤2． ∴函数f (x ) 的定义域是(-∞，
又∵x ≤2，∴x -2≤0． ∴0
， ∴函数的值域是[01)．
评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．
评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．
6、解方程3x +2-32-x =80．
x t >0) 解：原方程可化为9⨯(3x ) 2-80⨯3x -9=0，令t =3(1，上述方程可化为9t 2-80t -9=0，解得t =9或t =-9
去），∴3x =9，∴x =2，经检验原方程的解是x =2．
评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．
x+1x 7、已知-1≤x ≤2, 求函数f(x)=3+2·3-9的最大值和最小值
1解：设t=3x , 因为-1≤x ≤2，所以≤t ≤9，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大3
值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
8、已知函数
（1）求
．解：（1）
（2）
当
当 时， 时， ；
． （ 的最小值； （2）若 且 ） ，求 的取值范围． ， 当 即 时， 有最小值为 ，解得
，上有最大值14，则a 的值是_______． 9、函数y =a 2x +2a x -1(a >0且a ≠1) 在区间[-11]
分析：令t =a x 可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围．
解：令t =a x ，则t >0，函数y =a 2x +2a x -1可化为y =(t +1) 2-2，其对称轴为t =-1．
， ∴当a >1时，∵x ∈[-11]，∴1≤a x ≤a ，即1≤t ≤a ．∴当t =a 时，y max =(a +1) 2-2=14． a a
解得a =3或a =-5（舍去）；
1⎫， 当0
111 解得a =或a =-（舍去），∴a 的值是3或． 353
复合函数的值域
内函数的值域是外函数的定义域，求复合函数的值域时，由内到外依次计算函数的值域。
例1、求函数y =log 0.3(x +4x +5) 的值域。
解：设u =x 2+4x +5=(x +2) 2+1≥1，所以y =log 0.3u ≤0，即y ≤0，∴y ∈(-∞,0]。
练习1：求函数f (x ) =log 2(-x 2+2x +3) 的值域。
2点评：通过令u =-x +2x +3，将原函数转化为复合函数log 2u 的值域问题，但要注意u >0这一条件不要忽视。 2
解析：设u =-x 2+2x +3=-(x -1) 2+4, 则0
例2、求函数y =() 1
3x 2-4x , x ∈[0, 5) 的值域。
x+1练习2：（1）求函数y ＝4+2+1.的值域.
x x+1x x x+1x 2x x 2 解：y ＝4+2+1的定义域为R. ∵2>0,∴y ＝4+2+1＝(2) +2·2+1＝(2+1)>1.
x x+1∴y ＝4+2+1的值域为｛y ｜y>1｝.
（2）求函数y =() -() +1在x ∈[-3,2]上的值域。 x x x 1
412
1的值域。 x 2-1
11122y =y =y =x ≠±1分析：令u =x -1，，函数的定义域为，分别作出函数u =x -1，的图象： u u x 2-1例3. 求函数y =
由x ≠±1→u ≥-1，且u ≠0→y >0，或y ≤-1。 故函数y =1-1] (0，+∞) 。 的值域为(-∞，x 2-1
1-x
1+x 练习3：求函数y =2
的值域。
练习:4：函数y =4x +2x +
巩固练习： 218的值域为 。 2x 2+x +1
1、若函数f (x -1) 定义域为(3,4]
，则函数f 的定义域为
2、已知f (x -) =x +
23、已知f (x +1) =x +3x +4，则f (x
) 1x 21，则f (x +1) = x 2
4
、
f (x ) =R, 则求m 的取值范围
5
、求函数y =
解：由题意可得1-6x -2≥0，即6x -2≤1，
2]．令t =
6x -2，则y ∴x -2≤0，故x ≤2． ∴函数f (x ) 的定义域是(-∞，
又∵x ≤2，∴x -2≤0． ∴0
， ∴函数的值域是[01)．
评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．
评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．
6、解方程3x +2-32-x =80．
x t >0) 解：原方程可化为9⨯(3x ) 2-80⨯3x -9=0，令t =3(1，上述方程可化为9t 2-80t -9=0，解得t =9或t =-9
去），∴3x =9，∴x =2，经检验原方程的解是x =2．
评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．
x+1x 7、已知-1≤x ≤2, 求函数f(x)=3+2·3-9的最大值和最小值
1解：设t=3x , 因为-1≤x ≤2，所以≤t ≤9，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大3
值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
8、已知函数
（1）求
．解：（1）
（2）
当
当 时， 时， ；
． （ 的最小值； （2）若 且 ） ，求 的取值范围． ， 当 即 时， 有最小值为 ，解得
，上有最大值14，则a 的值是_______． 9、函数y =a 2x +2a x -1(a >0且a ≠1) 在区间[-11]
分析：令t =a x 可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围．
解：令t =a x ，则t >0，函数y =a 2x +2a x -1可化为y =(t +1) 2-2，其对称轴为t =-1．
， ∴当a >1时，∵x ∈[-11]，∴1≤a x ≤a ，即1≤t ≤a ．∴当t =a 时，y max =(a +1) 2-2=14． a a
解得a =3或a =-5（舍去）；
1⎫， 当0
111 解得a =或a =-（舍去），∴a 的值是3或． 353