例1 求下列函数的定义域： ①
f (x ) =
1x -2
；②
f (x ) =3x +2
；③
f (x ) =x +1+
12-x
.
解析式y =
f (x ) ，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指
能使这个式子有意义的实数x
解：①∵x-2=0，即x=2时，分式而x
≠2时，分式
1x -2
1x -2
无意义，
有意义，∴这个函数的定义域是{x |x ≠2}.
23
②∵3x+2
-23
3x +23x +2
无意义， 才有意义，
时，根式
-23
∴这个函数的定义域是{x |x ≥
}.
时，根式
x +1
③∵当x +1≥0且2-x ≠0，即x ≥
12-x
-1且x ≠2和分式
同时有意义，
∴这个函数的定义域是{x |x ≥
-1且x ≠2
}
⇒
⎧x ≥-1
⎨x ≠2⎩
另解：要使函数有意义，必须：
⎧x +1≥0
⎨
⎩2-x ≠0
∴这个函数的定义域是： {x |x ≥-1且x ≠2}
强调：解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义. 由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域.
例2 已知函数f (x ) =3x 2-5x+2，求f(3), f(-2
), f(a+1).
解：f(3)=3×32-5×3+2=14； f(-2
)=3×(-
2
) 2-5×(-
2
)+2=8+5
2
；
f(a+1)=3(a+1) 2-5(a+1)+2=3a2+a.
例3下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数？
⑴y =(
x
)；⑵y =
2
3
x
3
；⑶y =
x
2
解：⑴y =是；
⑵y =3
数；
⑶y =
x
2
x
)＝x （x ≥0）, y ≥0，定义域不同且值域不同，不
2
x
3
＝x （x ∈R ）, y ∈R ，定义域值域都相同，是同一个函
＝|x |=⎨
⎧x , x ≥0⎩-x x
, y ≥0例4 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
①y ②y ③f
1
==
(x +3)(x -5)
x +3x +1
x -1
2
y 2=x -
（定义域不同）
（定义域不同）
1
y 2=
(x +1)(x -1)
1
(x ) =(2x -5)
f 2(x ) =2x -5 (x
（定义域、值域都不同）
f (1) =2; f (-1) =0; f (0) =πf {f [f (-1)]}=π+1
例1已知
⎧0
⎪
f (x ) =⎨π
⎪x +1⎩
(x =0) ⇒(x >0)
例2已知f (x )=x 2-1 g (x )= 解：f [g (x )]=（
x +1求f [g (x )]
x +1）2-1=x +2
x
例3 求下列函数的定义域： ①f (x ) =
4-x
2
-1 ②f (x ) =
x -3x -4x +1-2
2
③
f (x ) =
11+
11+
1x
④f (x ) =
(x +1)
x -x
⑤y =
x -2+3+
1
3x +7
≥1
解：①要使函数有意义，必须：4-x 2 ∴函数f (x ) =
4-x
2
即： [-
,
3
-≤x ≤3
-1的定义域为： ]
⎧x 2-3x -4≥0⎧x ≥-4或x ≤-1
②要使函数有意义，必须：⎨ ⇒⎨
⎩x ≠-3且x ≠1⎩x +1-2≠0
⇒x >-3或-3
∴定义域为：{ x|x >-3或-3
⎧x ≠0
⎪⎪
1
③要使函数有意义，必须： ⎪1+≠0 ⇒ ⎨
x ⎪
⎪1+1≠0
1⎪
1+⎩
x
1
∴函数的定义域为：{x |x ∈R 且x ≠0, -1, -
2
⎧x ≠0⎪
⎨x ≠-1
1⎪x ≠-⎩
2
④要使函数有意义，必须：
⎧x +1≠0
⎨
x -x ≠0⎩
⎧x ≠-1
⇒⎨ ⎩x
∴定义域为：{x |x
7
7
⎧x -2+3≥0⎨
⎩3x +7≠0
x ∈R ⎧⎪
7⇒⎨
x ≠-⎪3⎩
3
即 x- ∴定义域为：{x |x ≠-7
3
3
例4 若函数y =ax
2
-ax +
1a
的定义域是R ，求实数a 的取值范
解：∵定义域是R, ∴ax
2
-ax +
1a
≥0恒成立，
a >0⎧⎪
∴等价于⎨∆=a 2-4a ⋅1≤0⇒0
⎪a ⎩
例5 若函数
y =f (x +
14
) ⋅f (x -
14
y =f (x )
的定义域为[-1，1]，求函数
) 解：要使函数有意义，必须：
1⎧-1≤x +≤1⎪4⇒⎨
1
⎪-1≤x -≤1
4⎩
⎧
⎪-⎨⎪-⎩
543
4⇒-3≤x ≤3544≤x ≤44
1
≤x ≤
3
∴函数y
=f (x +
14
) ⋅f (x -
33⎫⎧
) 的定义域为：⎨x |-≤x ≤⎬444⎭⎩
求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；
②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；
④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；
⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.
例6 已知f(x)满足2f (x ) +∵已知2f (x ) +
1
f () =3x x
1
f () =3x x
，求f (x ) ；
①，
x
f (x ) =
3x
将①中x 换成得2f (1) +
x
x
1
②，
x
①×2-②得3f (x ) =6x -3 ∴f (x ) =2x -1. 例7 设二次函数f (x ) 满足f (x +2) =
f (2-x ) 且f (x ) =0的两实根平方
和为10，图象过点(0,3)，求f (x ) 的解析式.
解：设f (x ) =ax
2
+bx +c (a ≠0)
,
∵图象过点(0,3),∴有f(0)=c=3,故c=3； 又∵f(x)满足f (x +2) =∴得对称轴x=2且x 即-
b 2a
=2
21
f (2-x ) 且f (x ) =0的两实根平方和为10，
+x 2
2
=(x 1+x 2) -2x 1x 2=10，
2
且
b a
22
-
6a
=10
，∴a=1，b=-4，∴f (x ) =x
2
-4x +3
四、练习：
1．设f (x ) 的定义域是[-3，
2
]，求函数f (
x -2≤2
2
x -2) -3≤解：要使函数有意义，必须： 得： -1≤
x ≤2+2
∵
x
≥0 ∴
0≤x ≤2+
0≤x ≤6+42
∴ 函数f (x -2) 的定域义为：x |0≤x ≤6+42
{}
2．已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x-1, 求f(x)解：设f(x)=kx+b则 k(kx+b)+b=4x-1
2
⎧k =4
⇒则⎨
⎩(k +1) b =-1
k =2⎧⎪
⎨b =-1⎪3⎩
或
⎧k =-2
⎨
⎩b =1
∴f (x ) =2x -或f (x ) =-2x +1
3
1
3．若f (
x +1）=x +2x
, 求 解法一（换元法）：令t=
2
x +1则
2
x=t2-1, t≥1代入原式有
f (t ) =(t -1) +2(t -1) =t -1
x -1
2
∴f (x ) =
（x ≥1）
x =(x +1) -1
2
2
解法二（定义法）：x +2
∴f (
x +1) =(x +1) -1 x +1≥1
∴f (x ) =
x -1
2
(x≥1)
例1 判断下列对应是否映射？有没有对应法则？
a e b f c g d d (是) （不是） （是） 例2下列各组映射是否同一映射？
e d b f b b f
c g c c g
例3判断下列两个对应是否是集合A 到集合B 的映射？
（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，
对应法则f
（2）设A =
*
:x →2x +1
N , B ={0, 1}，对应法则f :x →x 除以2得的余数
（3）A =
N
，B ={0, 1, 2}，f
:x →x 被3除所得的余数
（4）设X
={1, 2, 3, 4},Y ={1,
111
, , f :x →x 取倒数234
（5）A ={x |x >2, x ∈N },B =
N
，f
:x →小于x 的最大质数
例1某种笔记本每个5元，买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y （元），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为 y=5x，x ∈{1,2,3,4}.
它的图象由4个孤立点A (1， 5) B (2， 10) (4， 20) C (3， 15) D
例2 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g 付邮资80分，超过20g 而不超过40g 付邮资160分，依次类推，每封x g(0
⎧80, x ∈(0, 20],
⎪
160, x ∈(20, 40],⎪⎪
y =⎨240, x ∈(40, 60], ⎪320, x ∈(60, 80],⎪⎪⎩400, x ∈(80, 100].
x ≤100
，函数的解析式为
这个函数的图象是5条线段（不包括左端点），都平行于x 轴，如图所示.
例3 画出函数y=|x|=⎨
⎧x ⎩-x
x ≥0, x
的图象.
解：这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角平分线，如图所示.
说明：①再次说明函数图象的多样性；
②从例4和例5看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为
分段函数. 注意分段函数是一个函数，而不是几个函数.
③注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷（Dirichlet ）函数D(x)=⎨
⎧1，x 是有理数，⎩0，x 是无理数.
, 我们就作不出它的图象.
例4作出分段函数y =
x -1+x +2
的图像
解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：
⎧-(2x +1) ⎪
3y =x -1+x +2=⎨
⎪2x +1⎩
x ≤-2
-21
y
作出图像如下 例5作出函数y 列表描点：
=x +
1x
的图象
x
1．直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a≠0) 的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数y =
k x
2
(k ≠0) 的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}；
二次函数f (x ) =ax
+bx +c (a ≠0)
的定义域为R ，
2
2
当a>0时，值域为{y |y ≥(4ac -b ) }；当a
4a
4a
例1．求下列函数的值域
① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②f (x ) =2+③y =
x x +1
4-x
④y
=x +
解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，
∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵
4-x ∈[0, +∞)
∴f (x ) ∈[2, +∞) 即函数f (x ) =2+
4-x
的值域是 { y| y≥
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③y = ∵
1x +1
x x +1
=
x +1-1x +1
=1-
1x +1
≠0
∴y ≠1
即函数的值域是 { y| y∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法④当x>0，∴y
=x +
1x
=(
1-x
x -
1x
) +2≥2，
2
当x
=-(-x +
) =－(-x -
1-x
) -2≤-2
2
∴值域是(-∞, -2] [2，+∞). （此法也称为配方法） 函数y
=x +
1x
的图像为：
2．二次函数比区间上的值
(最值) ：
例2 求下列函数的最大最小值与值域：
①y =x ②y =③y =x
2
域
值、
-4x +1
；
x -4x +1, x ∈[3, 4]；
22
-4x +1, x ∈[0, 1]； ④y =
2
x -4x +1, x ∈[0, 5]；
2
解：∵y =x
2
-4x +1=(x -2) -3
，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R ， ∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y≥-3 }.
②∵顶点横坐标2∈[3,4]，
当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上，y min =-2，y max =1；值域为[-2，1].
③∵顶点横坐标2∈[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，y min =-2，y max =1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2∈ [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,
∴在[0,1]上，y min =-3，y max =6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数f (x ) =ax ⑴若定义域为R 时， ①当a>0时，则当x =-②当a
b 2a b 2a
2
+bx +c (a ≠0)
,
时，其最小值y 时，其最大值y
min
=
(4ac -b )
4a (4ac -b )
4a
2
2
； .
max
=
⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若x 0∈[a,b],则f (x 0) 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a
②若x 0∉[a,b],则[a,b]是在f (x ) 的单调区间内，只需比较f (a ), f (b )
的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
3．判别式法（△法）：
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0例3．求函数y =
x -5x +6x +x -6
2
2
的值域
方法一：去分母得 (y-1) x 2+(y+5)x-6y -6=0 ① 当 y ≠1时 ∵x ∈R ∴△=(y+5)2+4(y-1) ×6(y+1)≥0 由此得 (5y+1)2≥检验
y =-
15
时
-x =-
15
+565
=2)
（代入①求根）
15
2⋅(-
∵2 ∉ 定义域 { x| x≠2且 x ≠3} ∴y ≠再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y ≠1 综上所述，函数y =
x -5x +6x +x -6
22
-
的值域为 { y| y≠1且 y ≠-}
5
(x -2)(x -3) (x -2)(x +3)
=x -3x +3
=1-
6x -3
1
方法二：把已知函数化为函数y = 由此可得 y ≠1
(x≠2)
∵ x=2时 ∴函数y =
y =-
2
15
即
y ≠-
15
1
x -5x +6x +x -6
2
的值域为 { y| y≠1且 y ≠-5
说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式. 解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.
4．换元法
例4．求函数y =2x +4解：设 代入得
t =
-x
-x
的值域
则 t ≥0 x=1-t 2
2
2
2
y =f (t ) =2⋅(1-t ) +4t =-2t +4t +2=-2(t -1) +4
∵t ≥0 ∴y ≤4 5．分段函数
例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式：
⎧-2x +1(x
y =⎨3(-1≤x
象可知，函数的值域是{y|y≥3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1，2的距离之和，∴易见y 的最小值是3，∴函数的值域是[3，+∞]. 如图
两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.
说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等. 有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌
握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.
例1 如图6是定义在闭区间5]上的函数y =说出y =
f (x ) 的图象，根据
[-5，图象
以及在f (x ) 的单调区间，
f (x ) 是增函
每一数还
单调区间上，函数y =是减函数.
解：函数y =5]，其中y =
f (x ) 的单调区间有[-5，-2) ，[-2，1) ，[1，3) ，[3，
f (x ) 在区间[-5，-2) ，[1，3) 上是减函数，在区间[-2，1) ，
[3，5]上是增函数.
说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.
例2 证明函数f (x ) =3x +2在R 上是增函数. 证明：设x 1, x 2是R 上的任意两个实数，且x 1
f (x 1) －f (x 2) =(3x 1+2)-(3x 2
+2)=3(x 1－x 2),
f (x 1)
由x 1
例3 证明函数f (x ) =
1x
在(0,+∞) 上是减函数.
证明：设x 1, x 2是(0,+∞) 上的任意两个实数，且x 1
1x 1
－
1x 2
=
x 2-x 1x 1x 2
,
∞) ，得x 1x 2
>0,
f (x 2)
又由x 10 ,于是f (x 1) －f (x 2) >0,即f (x 1) > ∴f (x ) =
1x
在(0,+ ∞) 上是减函数.
x -2ax +3在(-2,2)内的单调性.
2
2
2
例4．讨论函数f(x)=解：∵f(x)=x
2
-2ax +3=(x-a)
2
+3-a
，对称轴x =a
∴若a ≤-2, 则f(x)=若-2
若a ≥2, 则f(x)=
x -2ax +3在(-2,2)内是增函数；
2
x -2ax +3
在(-2,a)内是减函数, 在[a,2]内是增函
x -2ax +3在(-2,2)内是减函数.
2
1．函数单调性的证明 例1．判断并证明函数f (x ) =证明：设x 1
f(x1) -f(x2) =x 1-x 2=(x1-x 2)(x1+x 1x 2+x 2)
3
2
2
2
x
3
的单调性
∵x 1
1
-x 2
，x
21
+x 1x 2+x 2=(x 1+
2
x 22
) +
2
3x 24
2
>0,
1
) -f(x2)
x
3
即f(x
1
)
（注：关键f(x
1
) -f(x2)
∴f (x ) =
在R 上是增函数.
2．复合函数单调性的判断 对于函数y =
f (u ) 和u =g (x )
，如果u =
g (x )
在区间(a , b ) 上是具有单
上也具有单调
调性，当x ∈(a , b ) 时，u ∈(m , n ) ，且y =性，则复合函数y =
f (u ) 在区间(m , n )
f (g (x )) 在区间(a , b ) 具有单调性的规律见下表：
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 证明：①设x 1, x 2∈(a , b ) ，且x 1
g (x ) 在(a , b ) 上是增函数，
x 2
∴g (x 1)
g (x 2) ，且g (x 1), g (x 2) ∈(m , n )
f (u ) 在(m , n ) 上是增函数，∴f (g (x 1))
f (g (x )) 在区间(a , b ) .
所以复合函数y =
②设x 1, x 2∈(a , b ) ，且x 1
x 2，∵u =g (x )
在(a , b ) 上是增函数，
g (x 2) ，且g (x 1), g (x 2) ∈(m , n )
f (u ) 在(m , n ) 上是减函数，∴f (g (x 1)) >g ((x 2))
f (g (x )) 在区间(a , b ) .
所以复合函数y =
③设x 1, x 2∈(a , b ) ，且x 1
x 2，∵u =g (x )
在(a , b ) 上是减函数，
∴g (x 1) >∵y =
g (x 2) ，且g (x 1), g (x 2) ∈(m , n )
f (u ) 在(m , n ) 上是增函数，∴f (g (x 1)) >g ((x 2))
f (g (x )) 在区间(a , b ) .
所以复合函数y =
④设x 1, x 2∈(a , b ) ，且x 1∵y =
x 2，∵u =g (x )
在(a , b ) 上是减函数，
g (x 2) ，且g (x 1), g (x 2) ∈(m , n )
f (u ) 在(m , n ) 上是减函数，∴f (g (x 1))
f (g (x )) 在区间(a , b ) .
所以复合函数y =
例2．求函数y =8+2(2-x 2) -(2-x 2) 2的值域，并写出其单调区间
解：题设函数由y =8+2u -u 2和u =2-x 2复合而成的复合函数， 函数u =2-x 2的值域是(-∞, 2]， 在
y =8+2u -u =9-(u -1)
2
2
(-∞, 2]上的值域是(-∞, 9].
故函数y =8+2(2-x 2) -(2-x 2) 2的值域是(-∞, 9].
对于函数的单调性，不难知二次函数y =8+2u -u 2在区间(-∞, 1) 上是减函数，在区间[1, +∞) 上是增函数；
二次函数u =2-x 区间(-∞, 0) 上是减函数，在区间[0, +∞) 上是增函2
当u ∈(-∞, 1) 时，2-x 2∈(-∞, 1) ，即2-x 2当u ∈[1, +∞) 时，2-x 2∈[1, +∞) ，即2-x 2
1. ≥1，-1≤x ≤1.
因此，本题应在四个区间(-∞, -1) ，[-1, 0) ，[0, 1) ，[1, +∞) ① 当x ∈(-∞, -1) 时，u
=2-x ∈(-∞, 1)
2
，
而u =2-x 2在(-∞, -1) 上是增函数，y =8+2u -u 2在(-∞, 1) 上是增函数，所以，函数y =8+2(2-x 2) -(2-x 2) 2在区间(-∞, -1) ②当x ∈[-1, 0) 时，u =2-x ∈[1, +∞) ，
2
2
而u =2-x 2在[-1, 0) 上是增函数， y =8+2u -u 在[1, +∞) 上是减函数，
所以，函数y =8+2(2-x 2) -(2-x 2) 2在区间[-1, 0) ③当x ∈[0, 1) 时，u
=2-x ∈(1, +∞)
2
，
而u =2-x 2在[0, 1) 上是减函数，y =8+2u -u 2在(1, +∞) 上是减函数， 所以，函数y =8+2(2-x 2) -(2-x 2) 2在区间[0, 1) ④当x ∈[1, +∞) 时，u =2-x ∈(-∞, 1]，
2
而u =2-x 2在[1, +∞) 上是增函数，y =8+2u -u 2在(-∞, 1]上是减函数，所以，函数y =8+2(2-x 2) -(2-x 2) 2在区间[1, +∞) 综上所述，函数y =8+2(2-x 2) -(2-x 2) 2在区间(-∞, -1) 、[0, 1) 上是增函数；在区间[-1, 0) 、(-∞, 1]另外，本题给出的复合函数是偶函数，在讨论具有奇偶性的函数的单调性时，应注意应用其奇函数或偶函数的性质，以使解题过程简
例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效分析：通过恰当假设，将剩留量y 表示成经过年数x 的函数，并解：设这种物质量初的质量是1，经过x 年，剩留量是经过1年，剩留量y=1×84%=0.841;
经过2年，剩留量y=1×84%=0.842;
„„
一般地，经过x 年，剩留量 y=0.84x
根据这个函数关系式可以列表如下：
用描点法画出指数函数y=0.84xy=0.5只需x ≈4.
答：约经过4
例2 （课本第81页）比较下列各题中两个值的大小： ①1. 72. 5，1. 73； ②0. 8-0. 1，0. 8-0. 2； ③1. 70. 3，0. 93. 1 解：利用函数单调性
①1. 72. 5与1. 73的底数是1.7，它们看成函数 y=1. 7x ，当x=2.5和3时的值；因为1.7>1，所以函数y=1. 7x 在R
可以函数是增
函数，而2.5
②0. 8
-0. 1
与0. 8
-0. 2
的底数是0.8，它
x
们
可以看成函数 y=0. 8，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0
以
函数y=
0. 8
x
在R 是减函数，而
-0.1>-0.2，所以，0. 8-0. 1
③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号：1. 70. 3>1；
0. 9
3. 1
0. 93. 1
小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较
.
例1求下列函数的定义域、值域： ⑴y =0. 4x -1 ⑵y =3
1
5x -1
⑶y
=2+x
分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的量x 解（1）由x-1≠0得x ≠1
1 所以，所求函数定义域为{x|x≠1} x -1
≠0
由 ，得y ≠
所以，所求函数值域为{y|y>0且y ≠说明：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令
1x -1
≠t
，考察
指数函数y=0. 4t , （2）由5x-1≥0得x ≥
1
1
所以，所求函数定义域为{x|x ≥5
由 5x -1≥0得y ≥1
所以，所求函数值域为{y|y≥（3）所求函数定义域为由2x >0可得2x 所以，所求函数值域为通过此例题的训练，学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范
1⎫
例2求函数y =⎛ ⎪
⎝2⎭
x -2x
2
解：设x 1
y 2y 1
⎛1⎫
⎪⎝2⎭⎛1⎫ ⎪⎝2⎭
x 2-2x 2
2
=
x 1-2x 1
2
⎛1⎫= ⎪⎝2⎭
x 2-x 1-2x 2+2x 1
12
⎛1⎫= ⎪⎝2⎭
(x 2-x 1)(x 2+x 1-2)
∵x 10
当x 1, x 2∈(-∞, 1]时，x 1+x 2-2
y 2y 1
>1 ∴y 2>y 1 当x 1, x 2∈[1, +∞)时，x 1+x 2-2>0 这时(x 2-x 1)(x 2+x 1-2) >0 即
y 2y 1
1⎫设：u =x 2-2x 则：y =⎛ ⎪
⎝2⎭
u
u
1⎫
对任意的1
⎝2⎭
是减函数
∴y 1
⎛1⎫
y 2 ∴y = ⎪
⎝2⎭
x -2x
2
在[1, +∞) 1⎫
对任意的x 1u 2，又∵y =⎛ ⎪
⎝2⎭
u
是减函数
∴
⎛1⎫
y 1
⎝2⎭
x -2x
2
在[1, +∞) 引申：求函数y =⎛
1⎫
⎪2⎝⎭
x -2x
2
的值域 （0
小结：复合函数单调性的判断(见第8课时) 例3设a 是实数，f (x ) =a -
22+1
x
(x ∈R )
试证明对于任意a, f (x ) 为增函数；
分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定（1）证明：设x 1, x 2∈R, 且x 1
f (x 1) -f (x 2) =(a -
22
x 1x 1
则
=2
x
+1
) -(a -
x 2
22
x 2
+1)
2
2
+1
-
22
x 1
=
2(2(2
x 1
-2
x
)
+1)(2
2
+1)
由于指数函数 y=2x 在R 上是增函数, 且x 1
2x 1
即
1
2x 1-2x
2
又由2x >0得2x +1>0, 2x +1>0 所以f (x 1) -
f (x 2)
即f (x 1)
因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，f (x ) 为增函评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数例1（课本第82页 例2）用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y=2x 的图象的关系，
⑴y=2x +1与y=2x +2. ⑵y=2x -1与y=2x -2. 解：⑴作出图像，显示出函数数据表
y=2x 向左函数
比较函数y=2x +1、y=2x +2与的关系：将指数函数y=2的图象
x
平行移动1个单位长度，就得到y=2的图象，将指数函数y=2
x +1
x
的图
象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y=2x +2⑵作出图像，显示出函数数据表
的
关
比较函数y=2x -1、y=2x -2与y=2x 系：将指数函数y=2的图象向
x
右平行
数
移动1个单位长度，就得到函y=2的图象，将指数函数y=2
x -1
x
的图象
向右平行移动2个单位长度，就得到函数y=2x -2小结：⑴ y=2x -m 与y=2x 的关系：当m>0时，将指数函数y=2x 的图象向右平行移动m
个单位长度，就得到函数y=2x -m 的图象；当m
数y=2x -m 例2 ⑴已知函数
⎛1⎫y = ⎪
⎝2⎭
x
用计算器或计算机
作出函数图像，求定义域、值域，并探讨
⎛1⎫y = ⎪
⎝2⎭
x
⎛1⎫y = ⎪
⎝2⎭
x
与
⎧⎛1⎫x
⎪, x ≥0
解：y =⎪ 定义域：x ∈R 值域：0
⎪2x , x
关系：将
⎛1⎫y = ⎪
⎝2⎭
x
⎛1⎫y = ⎪
⎝2⎭
x
的图像y 轴右侧的部分翻折到y 轴左侧的到
的图像，关于y 轴对称.
x -1
1⎫
⑵已知函数 y =⎛ ⎪
⎝2⎭
用计算器或计算机作出函数图像，求定义
x -1
x -1
1⎫⎛1⎫
域、值域，并探讨y =⎛ ⎪与y = ⎪
⎝2⎭
⎝2⎭
x -1
解：
⎧⎛1⎫
⎪ ⎪, x ≥1y =⎨⎝2⎭
⎪2x -1, x
y ≤1
定义域：x ∈值域：0
1⎫
关系：将y =⎛ ⎪
⎝2⎭
x -1
（x>1）的图像在直线x=1右侧的部分翻折到
直线x=1
1⎫
左侧得到y =⎛ ⎪
⎝2⎭
x -1
的图像，是关于直线x=1对称
⑵推广：对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出：
基本函数图象+变换：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，如上例，这种方法我们遇到的有以下几种形式：
以上是在高一阶段我们看到的几种函数图象的变换，但随着知识的增加，还会有许多较复杂的变换，以后再作研究.
例3探讨函数y =a x 和y =a -x (a >0且a ≠1) 的图象的关系，并证明关
于y 证：设P(x 1, y 1) 是函数y =a x (a >0且a ≠1) 的图象上任意一点 则y 1=a x 而P(x 1, y 1) 关于y 轴的对称点Q 是(-x 1, y 11
∴ y 1
=a
x 1
=a
-(-x 1)
即Q 在函数y =a -x 由于P 是任意取的, 所以y =a x 上任一点关于y 轴的对称点都在
y =a
-x
同理可证：y =a -x 图象上任意一点也一定在函数y =a x 的图象上
∴ 函数y =a x 和y =a -x 的图象关于y 例4 已知函数 y =2+2
2
x -x
求函数
解：作出函数图像，观察分析讨论，教师引导、整理
定义域为由y =
2+2
2
x -x
得 22x
-2y ⋅2+1=0
x
≥1
∵x ∈R, ∴△≥0, 即 4y 2-4≥0, ∴y 2
y ≥1
, 又∵y >0，∴
例1已知函数f (x ) 的定义域是［0，1］，则函数f (x 2) 的定义域是________.
解：由0≤x 2≤1, 解得-1≤x ≤1 ∴f (x 2) 的定义域为［－1，1］. 评述：针对题目中函数关系抽象的特点，可将f (x ) 具体化，能有助于对问题的理解与判断. 设f (x ) =这时，f (x 2) =
x (1-x )
2
2
x (1-x )
, 它的定义域是［0，1］，
的定义域是［-1，1］，由此可见，列举实
例是处理抽象函数有关问题的有效方法.
例2若函数f(x)=x2+bx+c对任意实数x 都有f(2+x)=f(2-x)，那么（ ）
A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4) C.f(2)＜f(4)＜f(1) D.f(4)＜f(2)＜f(1)分析：此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程. 解：由f(2+x)=f(2-x)可知：函数f(x)的对称轴为x=2,由二次函数f(x)开口方向向，可得f(2)最小，又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0) 在x ＜2时，y=f(x)为减函数
∵0＜1＜2，∴f(0)＞f(1)＞f(2) 即f(2)＜f(1)＜通过此题可将对称语言推广如下：
（1）若对任意实数x, 都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a是函数f(x)的对称轴
（2）若对任意实数x, 都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=的对称轴.
例3求f(x)=x2-2ax+2在［2，4］上的最大值和最小值. 解：先求最小值.
因为f(x)的对称轴是x=a，可分以下三种情况：
（1）当a ＜2时，f(x)在［2，4］上为增函数，所以f(x)min=f(2)=6-4a;
(2)当2≤a ＜4时，f(a)为最小值，f(x)min=2-a2;
(3)当a ＞4时，f(x)在［2，4］上为减函数，所以f(x)min=f(4)=18-8a
⎧6-4a , (a
2
综上所述：f(x)min=⎪⎨2-a , (2≤a
⎪18-8a , (a >2) ⎩
a +b 2
是f(x)
中
较
大
者
：
最大值为f(2)与f(4)
f(2)-f(4)=(6-4a)-(18-8a)=12+4a
(1)当a ≥3时，f(2)≥f(4),则f(x)max=f(2)=6-4a;
(2)当a ＜3时，f(2)＜f(4),则f(x)max=f(4)=18-8a. 故f(x)max=⎨
⎧6-4a , (a ≥3) ⎩8-8a , (a
评述：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x=a与区间［2，4］的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较f(2)与f(4)的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.
例4函数f(x)=x2-bx+c，满足对于任何x ∈R 都有f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3,则f(bx ) 与f(cx ) 的大小关系是（ ） A.f(bx ) ≤f(cx ) B.f(bx ) ≥f(cx ) C.f(bx ) ＜f(cx ) D.f(bx ) ＞f(cx )
分析：由对称语言f(1+x)=f(1-x)可以确定函数对称轴，从而确定b 值，再由f(0)=3,可确定c 值，然后结合b x ,c x 的大小关系及二次函数的单调区间使问题得以解决. 解：∵f(1+x)=f(1-x)∴f(x)的对称轴x=-∴b=2,又f(0)=3,∴c=3,
-b 2
=1
∴f(x)=x2(1)当x ＞0时，1＜2x ＜3x , 且f(x)在［1，+∞) 上是增函数 所以f(2x ) ＜f(3x ), 即f(bx ) ＜f(cx (2)当x ＜0时，1＞2x ＞3x , 且f(x)在（-∞,1）上是减函数，所以f(2x ) ＜f(3x ) ，即f(bx ) ＜f(cx (3)当x=0时，2x =3x =1
则f(2x )=f(3x ), 即f(bx )=f(cx ) 综上所述，f(bx ) ≤f(cx ). 答案：A 一、选择题
1、设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射f 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n 象是
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2、已知不等式为（A ）-
12
≤x
1
:A →B
把集合A
+n ，则在映射f 下，象20的原
13
≤3
12
x
，则x 的取值范围 （C ）R （D ）
12≤x
13
（B ）
≤x
3、函数y =2x -1在定义域上的单调性为 （A ）在(-∞, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是增函数 （B ）减函数
（C ）在(-∞, 1)上是减增函数，在(1, +∞)上是减函数 （D ）增函数
4、函数f (x ) =则
（A ）A B =B （B ）A ⊆B （C ）A B =B （D ）A =B 5、（不做）若函数f (x ) 的图象经过(0, -1) ，那么f (x +4) 的反函数图象经过点
(A)(4, -1) (B)(-1, -4) (C)(-4, -1) (D)(1, -4) 6、下列式子或表格 ①y =
-a
x
1+x 1-x
的定义域为A ，函数y =f [f (x )]的定义域为B ，
+log a (x -1)(a >1)
②y =2x ，其中x ∈{0, 1, 2, 3}, y ∈{0, 2, 4} ③x 2
+y
2
=1 ④x 2+y
2
=1(y ≥0)
其中表示
y
是x 的函数的是
（A ）①②③④⑤ （B ）②③⑤ （C ）③④ （D ）④⑤ 7、（不做）已知函数y =函数y =
f (x ) 的反函数f
-1
那么(x ) 的定义域为[0, 1]，
f (x +m )(m ∈R ) 的值域是
（A ）[-m , 1-m ] （B ）[-1, 0] （C ）[0, 1] （D ）R 8、已知函数f (x ) =ax 2
围是 （A ）a ≤
3
+(a -a ) x +1在(-∞, -1]上递增，则a
3
的取值范
（B ）-
3≤a ≤
2
3
（C ）0
2
3
（D ）-3≤a
9、已知二次函数
f (x ) =ax +(a +b ) x +c
的图像开口向上，且
f (0) =1，f (1) =0，则实数b
取值范围是
, 0)
(A) (-∞, -
34
] (B) [-
34
(C) [0, +∞) (D) (-∞, -1)
≠1) 的图象必经过点
10、函数y =a x -2+1(a >0，且a
(A)(0，1) (B)(1，1) (C) (2， 0) (D) (2，2) 11、下列函数中值域为(0，+∞)的是
1
(A) (C)
y =52-x
(B)
x
⎛1⎫
y = ⎪
⎝3⎭
1-x
x
y =
⎛1⎫
⎪-1 ⎝2⎭
(D)
y =-2
12、甲乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步到中点改为骑自行车，最后两人同时到达B 地，
又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且二人骑车速度均比跑步A 地的距离S 与所用时间t 的函数关系可用图象
表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙各人的图象只可能是 (A)甲是图①，乙是图② (B)甲是图①，乙是图④ (C)甲是图③，乙是图② (D)甲是图③，乙是图④ 二、填空题： 13、0. 064
-13
⎛4⎫3
- -⎪+(-2)⎝5⎭
[]
-
43
1
+16
-0. 75
+0. 012=________
14、设f (x )=4x
-2
x +1
，则f -1(0)=________（不做）
15、函数y =mx ___________ 16、若点(2,
14
) 既在函数y =2
ax +b
+1(x ∈R ), 与y =
x 2
-n (n ∈R ) 互为反函数的充要条件是
的图象上，又在它的反函数的图象
上，则a =__________________，b 1
17、若-1
a
，则3，a ，a 3由大到小的顺序是a
3
三、解答题：
⎛1⎫
y = ⎪18、求函数
⎝2⎭
1+2x -x
2
19、曙光公司为了打开某种新产品的销路，决定进行广告促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系式是Q=
3x +1x +1
(x ≥0)
3万元，每生产1
万件此产品仍需投入32万元，若每件售价是“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”将年利润y （万元）表示为年广告费x 万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，该公司是亏损还是盈利？
函数复习小结-基本训练题参考答案：
1.C 2.A 3.C 4.B 5.B 6.D 7.C 8.D 9.D 10.D 11.B 12.B
13. 1.7875 14. 1 15. m=2,n=-
21
97
4
16 a =-，b =7
解：由已知(2,
14
) 在反函数的图象上，则(
14
, 2) ⎧12a +b
=2⎪11
以原函数经过点(2, ) 和(, 2) ⎨4
144a +b ⎪4
⎩2=2
⎧2a +b =-2
，所以⎪⎨1
⎪a +b =1⎩4
，
9⎧a =-⎪7
解得⎪⎨
⎪b =4⎪7⎩
1
17.
3
a
>a
3
>a 3
1
1
3
解：因为3a
1
>0，a 3
1
3
，且由-1
，既
-a
3
a
，所以a
1
3
>a 3
因此318.
>a >a 3
t
2
1⎫解：(1)令t =1+2x -x ，则y =⎛ ⎪
⎝2⎭⎛1⎫⎛1⎫
y = ⎪≥ ⎪=
⎝2⎭⎝2⎭
t
2
，而t
=-(x -1) +2≤2
2
所以
1，+∞既所求的函数的值域是⎡⎢ (2) 函数y =⎛
1⎫
⎪⎝2⎭
1+2x -x
2
⎣4
在(-∞，1]上是减函数；在(1，+∞)19. 解：设每年投入x 万元，年销量为Q 每件产品的年平均成本为32
x +3Q
=
3x +1x +1
万件，
，
年平均每件所占广告费为，
Q
销售价为 32+
⎝⎛
3⎫31x x +9
⎪⋅+⋅=48+⎪
Q ⎭22Q 2Q
⎡⎛⎣⎝
年利润为y =Q ⎢
48+ =50-⎛
32
x +9⎫⎛3⎫⎤x +3
⎪ ⎪-32+-x =16Q +-x ⎪ ⎪⎥2Q ⎭⎝Q ⎭⎦2
⎝x +1
+
x +1⎫
⎪2⎭
当x=100时，明显故该公司投入100
例1 求下列函数的定义域： ①
f (x ) =
1x -2
；②
f (x ) =3x +2
；③
f (x ) =x +1+
12-x
.
解析式y =
f (x ) ，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指
能使这个式子有意义的实数x
解：①∵x-2=0，即x=2时，分式而x
≠2时，分式
1x -2
1x -2
无意义，
有意义，∴这个函数的定义域是{x |x ≠2}.
23
②∵3x+2
-23
3x +23x +2
无意义， 才有意义，
时，根式
-23
∴这个函数的定义域是{x |x ≥
}.
时，根式
x +1
③∵当x +1≥0且2-x ≠0，即x ≥
12-x
-1且x ≠2和分式
同时有意义，
∴这个函数的定义域是{x |x ≥
-1且x ≠2
}
⇒
⎧x ≥-1
⎨x ≠2⎩
另解：要使函数有意义，必须：
⎧x +1≥0
⎨
⎩2-x ≠0
∴这个函数的定义域是： {x |x ≥-1且x ≠2}
强调：解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义. 由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域.
例2 已知函数f (x ) =3x 2-5x+2，求f(3), f(-2
), f(a+1).
解：f(3)=3×32-5×3+2=14； f(-2
)=3×(-
2
) 2-5×(-
2
)+2=8+5
2
；
f(a+1)=3(a+1) 2-5(a+1)+2=3a2+a.
例3下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数？
⑴y =(
x
)；⑵y =
2
3
x
3
；⑶y =
x
2
解：⑴y =是；
⑵y =3
数；
⑶y =
x
2
x
)＝x （x ≥0）, y ≥0，定义域不同且值域不同，不
2
x
3
＝x （x ∈R ）, y ∈R ，定义域值域都相同，是同一个函
＝|x |=⎨
⎧x , x ≥0⎩-x x
, y ≥0例4 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
①y ②y ③f
1
==
(x +3)(x -5)
x +3x +1
x -1
2
y 2=x -
（定义域不同）
（定义域不同）
1
y 2=
(x +1)(x -1)
1
(x ) =(2x -5)
f 2(x ) =2x -5 (x
（定义域、值域都不同）
f (1) =2; f (-1) =0; f (0) =πf {f [f (-1)]}=π+1
例1已知
⎧0
⎪
f (x ) =⎨π
⎪x +1⎩
(x =0) ⇒(x >0)
例2已知f (x )=x 2-1 g (x )= 解：f [g (x )]=（
x +1求f [g (x )]
x +1）2-1=x +2
x
例3 求下列函数的定义域： ①f (x ) =
4-x
2
-1 ②f (x ) =
x -3x -4x +1-2
2
③
f (x ) =
11+
11+
1x
④f (x ) =
(x +1)
x -x
⑤y =
x -2+3+
1
3x +7
≥1
解：①要使函数有意义，必须：4-x 2 ∴函数f (x ) =
4-x
2
即： [-
,
3
-≤x ≤3
-1的定义域为： ]
⎧x 2-3x -4≥0⎧x ≥-4或x ≤-1
②要使函数有意义，必须：⎨ ⇒⎨
⎩x ≠-3且x ≠1⎩x +1-2≠0
⇒x >-3或-3
∴定义域为：{ x|x >-3或-3
⎧x ≠0
⎪⎪
1
③要使函数有意义，必须： ⎪1+≠0 ⇒ ⎨
x ⎪
⎪1+1≠0
1⎪
1+⎩
x
1
∴函数的定义域为：{x |x ∈R 且x ≠0, -1, -
2
⎧x ≠0⎪
⎨x ≠-1
1⎪x ≠-⎩
2
④要使函数有意义，必须：
⎧x +1≠0
⎨
x -x ≠0⎩
⎧x ≠-1
⇒⎨ ⎩x
∴定义域为：{x |x
7
7
⎧x -2+3≥0⎨
⎩3x +7≠0
x ∈R ⎧⎪
7⇒⎨
x ≠-⎪3⎩
3
即 x- ∴定义域为：{x |x ≠-7
3
3
例4 若函数y =ax
2
-ax +
1a
的定义域是R ，求实数a 的取值范
解：∵定义域是R, ∴ax
2
-ax +
1a
≥0恒成立，
a >0⎧⎪
∴等价于⎨∆=a 2-4a ⋅1≤0⇒0
⎪a ⎩
例5 若函数
y =f (x +
14
) ⋅f (x -
14
y =f (x )
的定义域为[-1，1]，求函数
) 解：要使函数有意义，必须：
1⎧-1≤x +≤1⎪4⇒⎨
1
⎪-1≤x -≤1
4⎩
⎧
⎪-⎨⎪-⎩
543
4⇒-3≤x ≤3544≤x ≤44
1
≤x ≤
3
∴函数y
=f (x +
14
) ⋅f (x -
33⎫⎧
) 的定义域为：⎨x |-≤x ≤⎬444⎭⎩
求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；
②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；
④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；
⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.
例6 已知f(x)满足2f (x ) +∵已知2f (x ) +
1
f () =3x x
1
f () =3x x
，求f (x ) ；
①，
x
f (x ) =
3x
将①中x 换成得2f (1) +
x
x
1
②，
x
①×2-②得3f (x ) =6x -3 ∴f (x ) =2x -1. 例7 设二次函数f (x ) 满足f (x +2) =
f (2-x ) 且f (x ) =0的两实根平方
和为10，图象过点(0,3)，求f (x ) 的解析式.
解：设f (x ) =ax
2
+bx +c (a ≠0)
,
∵图象过点(0,3),∴有f(0)=c=3,故c=3； 又∵f(x)满足f (x +2) =∴得对称轴x=2且x 即-
b 2a
=2
21
f (2-x ) 且f (x ) =0的两实根平方和为10，
+x 2
2
=(x 1+x 2) -2x 1x 2=10，
2
且
b a
22
-
6a
=10
，∴a=1，b=-4，∴f (x ) =x
2
-4x +3
四、练习：
1．设f (x ) 的定义域是[-3，
2
]，求函数f (
x -2≤2
2
x -2) -3≤解：要使函数有意义，必须： 得： -1≤
x ≤2+2
∵
x
≥0 ∴
0≤x ≤2+
0≤x ≤6+42
∴ 函数f (x -2) 的定域义为：x |0≤x ≤6+42
{}
2．已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x-1, 求f(x)解：设f(x)=kx+b则 k(kx+b)+b=4x-1
2
⎧k =4
⇒则⎨
⎩(k +1) b =-1
k =2⎧⎪
⎨b =-1⎪3⎩
或
⎧k =-2
⎨
⎩b =1
∴f (x ) =2x -或f (x ) =-2x +1
3
1
3．若f (
x +1）=x +2x
, 求 解法一（换元法）：令t=
2
x +1则
2
x=t2-1, t≥1代入原式有
f (t ) =(t -1) +2(t -1) =t -1
x -1
2
∴f (x ) =
（x ≥1）
x =(x +1) -1
2
2
解法二（定义法）：x +2
∴f (
x +1) =(x +1) -1 x +1≥1
∴f (x ) =
x -1
2
(x≥1)
例1 判断下列对应是否映射？有没有对应法则？
a e b f c g d d (是) （不是） （是） 例2下列各组映射是否同一映射？
e d b f b b f
c g c c g
例3判断下列两个对应是否是集合A 到集合B 的映射？
（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，
对应法则f
（2）设A =
*
:x →2x +1
N , B ={0, 1}，对应法则f :x →x 除以2得的余数
（3）A =
N
，B ={0, 1, 2}，f
:x →x 被3除所得的余数
（4）设X
={1, 2, 3, 4},Y ={1,
111
, , f :x →x 取倒数234
（5）A ={x |x >2, x ∈N },B =
N
，f
:x →小于x 的最大质数
例1某种笔记本每个5元，买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y （元），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为 y=5x，x ∈{1,2,3,4}.
它的图象由4个孤立点A (1， 5) B (2， 10) (4， 20) C (3， 15) D
例2 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g 付邮资80分，超过20g 而不超过40g 付邮资160分，依次类推，每封x g(0
⎧80, x ∈(0, 20],
⎪
160, x ∈(20, 40],⎪⎪
y =⎨240, x ∈(40, 60], ⎪320, x ∈(60, 80],⎪⎪⎩400, x ∈(80, 100].
x ≤100
，函数的解析式为
这个函数的图象是5条线段（不包括左端点），都平行于x 轴，如图所示.
例3 画出函数y=|x|=⎨
⎧x ⎩-x
x ≥0, x
的图象.
解：这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角平分线，如图所示.
说明：①再次说明函数图象的多样性；
②从例4和例5看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为
分段函数. 注意分段函数是一个函数，而不是几个函数.
③注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷（Dirichlet ）函数D(x)=⎨
⎧1，x 是有理数，⎩0，x 是无理数.
, 我们就作不出它的图象.
例4作出分段函数y =
x -1+x +2
的图像
解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：
⎧-(2x +1) ⎪
3y =x -1+x +2=⎨
⎪2x +1⎩
x ≤-2
-21
y
作出图像如下 例5作出函数y 列表描点：
=x +
1x
的图象
x
1．直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a≠0) 的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数y =
k x
2
(k ≠0) 的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}；
二次函数f (x ) =ax
+bx +c (a ≠0)
的定义域为R ，
2
2
当a>0时，值域为{y |y ≥(4ac -b ) }；当a
4a
4a
例1．求下列函数的值域
① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②f (x ) =2+③y =
x x +1
4-x
④y
=x +
解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，
∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵
4-x ∈[0, +∞)
∴f (x ) ∈[2, +∞) 即函数f (x ) =2+
4-x
的值域是 { y| y≥
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③y = ∵
1x +1
x x +1
=
x +1-1x +1
=1-
1x +1
≠0
∴y ≠1
即函数的值域是 { y| y∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法④当x>0，∴y
=x +
1x
=(
1-x
x -
1x
) +2≥2，
2
当x
=-(-x +
) =－(-x -
1-x
) -2≤-2
2
∴值域是(-∞, -2] [2，+∞). （此法也称为配方法） 函数y
=x +
1x
的图像为：
2．二次函数比区间上的值
(最值) ：
例2 求下列函数的最大最小值与值域：
①y =x ②y =③y =x
2
域
值、
-4x +1
；
x -4x +1, x ∈[3, 4]；
22
-4x +1, x ∈[0, 1]； ④y =
2
x -4x +1, x ∈[0, 5]；
2
解：∵y =x
2
-4x +1=(x -2) -3
，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R ， ∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y≥-3 }.
②∵顶点横坐标2∈[3,4]，
当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上，y min =-2，y max =1；值域为[-2，1].
③∵顶点横坐标2∈[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，y min =-2，y max =1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2∈ [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,
∴在[0,1]上，y min =-3，y max =6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数f (x ) =ax ⑴若定义域为R 时， ①当a>0时，则当x =-②当a
b 2a b 2a
2
+bx +c (a ≠0)
,
时，其最小值y 时，其最大值y
min
=
(4ac -b )
4a (4ac -b )
4a
2
2
； .
max
=
⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若x 0∈[a,b],则f (x 0) 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a
②若x 0∉[a,b],则[a,b]是在f (x ) 的单调区间内，只需比较f (a ), f (b )
的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
3．判别式法（△法）：
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0例3．求函数y =
x -5x +6x +x -6
2
2
的值域
方法一：去分母得 (y-1) x 2+(y+5)x-6y -6=0 ① 当 y ≠1时 ∵x ∈R ∴△=(y+5)2+4(y-1) ×6(y+1)≥0 由此得 (5y+1)2≥检验
y =-
15
时
-x =-
15
+565
=2)
（代入①求根）
15
2⋅(-
∵2 ∉ 定义域 { x| x≠2且 x ≠3} ∴y ≠再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y ≠1 综上所述，函数y =
x -5x +6x +x -6
22
-
的值域为 { y| y≠1且 y ≠-}
5
(x -2)(x -3) (x -2)(x +3)
=x -3x +3
=1-
6x -3
1
方法二：把已知函数化为函数y = 由此可得 y ≠1
(x≠2)
∵ x=2时 ∴函数y =
y =-
2
15
即
y ≠-
15
1
x -5x +6x +x -6
2
的值域为 { y| y≠1且 y ≠-5
说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式. 解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.
4．换元法
例4．求函数y =2x +4解：设 代入得
t =
-x
-x
的值域
则 t ≥0 x=1-t 2
2
2
2
y =f (t ) =2⋅(1-t ) +4t =-2t +4t +2=-2(t -1) +4
∵t ≥0 ∴y ≤4 5．分段函数
例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式：
⎧-2x +1(x
y =⎨3(-1≤x
象可知，函数的值域是{y|y≥3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1，2的距离之和，∴易见y 的最小值是3，∴函数的值域是[3，+∞]. 如图
两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.
说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等. 有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌
握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.
例1 如图6是定义在闭区间5]上的函数y =说出y =
f (x ) 的图象，根据
[-5，图象
以及在f (x ) 的单调区间，
f (x ) 是增函
每一数还
单调区间上，函数y =是减函数.
解：函数y =5]，其中y =
f (x ) 的单调区间有[-5，-2) ，[-2，1) ，[1，3) ，[3，
f (x ) 在区间[-5，-2) ，[1，3) 上是减函数，在区间[-2，1) ，
[3，5]上是增函数.
说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.
例2 证明函数f (x ) =3x +2在R 上是增函数. 证明：设x 1, x 2是R 上的任意两个实数，且x 1
f (x 1) －f (x 2) =(3x 1+2)-(3x 2
+2)=3(x 1－x 2),
f (x 1)
由x 1
例3 证明函数f (x ) =
1x
在(0,+∞) 上是减函数.
证明：设x 1, x 2是(0,+∞) 上的任意两个实数，且x 1
1x 1
－
1x 2
=
x 2-x 1x 1x 2
,
∞) ，得x 1x 2
>0,
f (x 2)
又由x 10 ,于是f (x 1) －f (x 2) >0,即f (x 1) > ∴f (x ) =
1x
在(0,+ ∞) 上是减函数.
x -2ax +3在(-2,2)内的单调性.
2
2
2
例4．讨论函数f(x)=解：∵f(x)=x
2
-2ax +3=(x-a)
2
+3-a
，对称轴x =a
∴若a ≤-2, 则f(x)=若-2
若a ≥2, 则f(x)=
x -2ax +3在(-2,2)内是增函数；
2
x -2ax +3
在(-2,a)内是减函数, 在[a,2]内是增函
x -2ax +3在(-2,2)内是减函数.
2
1．函数单调性的证明 例1．判断并证明函数f (x ) =证明：设x 1
f(x1) -f(x2) =x 1-x 2=(x1-x 2)(x1+x 1x 2+x 2)
3
2
2
2
x
3
的单调性
∵x 1
1
-x 2
，x
21
+x 1x 2+x 2=(x 1+
2
x 22
) +
2
3x 24
2
>0,
1
) -f(x2)
x
3
即f(x
1
)
（注：关键f(x
1
) -f(x2)
∴f (x ) =
在R 上是增函数.
2．复合函数单调性的判断 对于函数y =
f (u ) 和u =g (x )
，如果u =
g (x )
在区间(a , b ) 上是具有单
上也具有单调
调性，当x ∈(a , b ) 时，u ∈(m , n ) ，且y =性，则复合函数y =
f (u ) 在区间(m , n )
f (g (x )) 在区间(a , b ) 具有单调性的规律见下表：
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 证明：①设x 1, x 2∈(a , b ) ，且x 1
g (x ) 在(a , b ) 上是增函数，
x 2
∴g (x 1)
g (x 2) ，且g (x 1), g (x 2) ∈(m , n )
f (u ) 在(m , n ) 上是增函数，∴f (g (x 1))
f (g (x )) 在区间(a , b ) .
所以复合函数y =
②设x 1, x 2∈(a , b ) ，且x 1
x 2，∵u =g (x )
在(a , b ) 上是增函数，
g (x 2) ，且g (x 1), g (x 2) ∈(m , n )
f (u ) 在(m , n ) 上是减函数，∴f (g (x 1)) >g ((x 2))
f (g (x )) 在区间(a , b ) .
所以复合函数y =
③设x 1, x 2∈(a , b ) ，且x 1
x 2，∵u =g (x )
在(a , b ) 上是减函数，
∴g (x 1) >∵y =
g (x 2) ，且g (x 1), g (x 2) ∈(m , n )
f (u ) 在(m , n ) 上是增函数，∴f (g (x 1)) >g ((x 2))
f (g (x )) 在区间(a , b ) .
所以复合函数y =
④设x 1, x 2∈(a , b ) ，且x 1∵y =
x 2，∵u =g (x )
在(a , b ) 上是减函数，
g (x 2) ，且g (x 1), g (x 2) ∈(m , n )
f (u ) 在(m , n ) 上是减函数，∴f (g (x 1))
f (g (x )) 在区间(a , b ) .
所以复合函数y =
例2．求函数y =8+2(2-x 2) -(2-x 2) 2的值域，并写出其单调区间
解：题设函数由y =8+2u -u 2和u =2-x 2复合而成的复合函数， 函数u =2-x 2的值域是(-∞, 2]， 在
y =8+2u -u =9-(u -1)
2
2
(-∞, 2]上的值域是(-∞, 9].
故函数y =8+2(2-x 2) -(2-x 2) 2的值域是(-∞, 9].
对于函数的单调性，不难知二次函数y =8+2u -u 2在区间(-∞, 1) 上是减函数，在区间[1, +∞) 上是增函数；
二次函数u =2-x 区间(-∞, 0) 上是减函数，在区间[0, +∞) 上是增函2
当u ∈(-∞, 1) 时，2-x 2∈(-∞, 1) ，即2-x 2当u ∈[1, +∞) 时，2-x 2∈[1, +∞) ，即2-x 2
1. ≥1，-1≤x ≤1.
因此，本题应在四个区间(-∞, -1) ，[-1, 0) ，[0, 1) ，[1, +∞) ① 当x ∈(-∞, -1) 时，u
=2-x ∈(-∞, 1)
2
，
而u =2-x 2在(-∞, -1) 上是增函数，y =8+2u -u 2在(-∞, 1) 上是增函数，所以，函数y =8+2(2-x 2) -(2-x 2) 2在区间(-∞, -1) ②当x ∈[-1, 0) 时，u =2-x ∈[1, +∞) ，
2
2
而u =2-x 2在[-1, 0) 上是增函数， y =8+2u -u 在[1, +∞) 上是减函数，
所以，函数y =8+2(2-x 2) -(2-x 2) 2在区间[-1, 0) ③当x ∈[0, 1) 时，u
=2-x ∈(1, +∞)
2
，
而u =2-x 2在[0, 1) 上是减函数，y =8+2u -u 2在(1, +∞) 上是减函数， 所以，函数y =8+2(2-x 2) -(2-x 2) 2在区间[0, 1) ④当x ∈[1, +∞) 时，u =2-x ∈(-∞, 1]，
2
而u =2-x 2在[1, +∞) 上是增函数，y =8+2u -u 2在(-∞, 1]上是减函数，所以，函数y =8+2(2-x 2) -(2-x 2) 2在区间[1, +∞) 综上所述，函数y =8+2(2-x 2) -(2-x 2) 2在区间(-∞, -1) 、[0, 1) 上是增函数；在区间[-1, 0) 、(-∞, 1]另外，本题给出的复合函数是偶函数，在讨论具有奇偶性的函数的单调性时，应注意应用其奇函数或偶函数的性质，以使解题过程简
例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效分析：通过恰当假设，将剩留量y 表示成经过年数x 的函数，并解：设这种物质量初的质量是1，经过x 年，剩留量是经过1年，剩留量y=1×84%=0.841;
经过2年，剩留量y=1×84%=0.842;
„„
一般地，经过x 年，剩留量 y=0.84x
根据这个函数关系式可以列表如下：
用描点法画出指数函数y=0.84xy=0.5只需x ≈4.
答：约经过4
例2 （课本第81页）比较下列各题中两个值的大小： ①1. 72. 5，1. 73； ②0. 8-0. 1，0. 8-0. 2； ③1. 70. 3，0. 93. 1 解：利用函数单调性
①1. 72. 5与1. 73的底数是1.7，它们看成函数 y=1. 7x ，当x=2.5和3时的值；因为1.7>1，所以函数y=1. 7x 在R
可以函数是增
函数，而2.5
②0. 8
-0. 1
与0. 8
-0. 2
的底数是0.8，它
x
们
可以看成函数 y=0. 8，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0
以
函数y=
0. 8
x
在R 是减函数，而
-0.1>-0.2，所以，0. 8-0. 1
③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号：1. 70. 3>1；
0. 9
3. 1
0. 93. 1
小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较
.
例1求下列函数的定义域、值域： ⑴y =0. 4x -1 ⑵y =3
1
5x -1
⑶y
=2+x
分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的量x 解（1）由x-1≠0得x ≠1
1 所以，所求函数定义域为{x|x≠1} x -1
≠0
由 ，得y ≠
所以，所求函数值域为{y|y>0且y ≠说明：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令
1x -1
≠t
，考察
指数函数y=0. 4t , （2）由5x-1≥0得x ≥
1
1
所以，所求函数定义域为{x|x ≥5
由 5x -1≥0得y ≥1
所以，所求函数值域为{y|y≥（3）所求函数定义域为由2x >0可得2x 所以，所求函数值域为通过此例题的训练，学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范
1⎫
例2求函数y =⎛ ⎪
⎝2⎭
x -2x
2
解：设x 1
y 2y 1
⎛1⎫
⎪⎝2⎭⎛1⎫ ⎪⎝2⎭
x 2-2x 2
2
=
x 1-2x 1
2
⎛1⎫= ⎪⎝2⎭
x 2-x 1-2x 2+2x 1
12
⎛1⎫= ⎪⎝2⎭
(x 2-x 1)(x 2+x 1-2)
∵x 10
当x 1, x 2∈(-∞, 1]时，x 1+x 2-2
y 2y 1
>1 ∴y 2>y 1 当x 1, x 2∈[1, +∞)时，x 1+x 2-2>0 这时(x 2-x 1)(x 2+x 1-2) >0 即
y 2y 1
1⎫设：u =x 2-2x 则：y =⎛ ⎪
⎝2⎭
u
u
1⎫
对任意的1
⎝2⎭
是减函数
∴y 1
⎛1⎫
y 2 ∴y = ⎪
⎝2⎭
x -2x
2
在[1, +∞) 1⎫
对任意的x 1u 2，又∵y =⎛ ⎪
⎝2⎭
u
是减函数
∴
⎛1⎫
y 1
⎝2⎭
x -2x
2
在[1, +∞) 引申：求函数y =⎛
1⎫
⎪2⎝⎭
x -2x
2
的值域 （0
小结：复合函数单调性的判断(见第8课时) 例3设a 是实数，f (x ) =a -
22+1
x
(x ∈R )
试证明对于任意a, f (x ) 为增函数；
分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定（1）证明：设x 1, x 2∈R, 且x 1
f (x 1) -f (x 2) =(a -
22
x 1x 1
则
=2
x
+1
) -(a -
x 2
22
x 2
+1)
2
2
+1
-
22
x 1
=
2(2(2
x 1
-2
x
)
+1)(2
2
+1)
由于指数函数 y=2x 在R 上是增函数, 且x 1
2x 1
即
1
2x 1-2x
2
又由2x >0得2x +1>0, 2x +1>0 所以f (x 1) -
f (x 2)
即f (x 1)
因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，f (x ) 为增函评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数例1（课本第82页 例2）用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y=2x 的图象的关系，
⑴y=2x +1与y=2x +2. ⑵y=2x -1与y=2x -2. 解：⑴作出图像，显示出函数数据表
y=2x 向左函数
比较函数y=2x +1、y=2x +2与的关系：将指数函数y=2的图象
x
平行移动1个单位长度，就得到y=2的图象，将指数函数y=2
x +1
x
的图
象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y=2x +2⑵作出图像，显示出函数数据表
的
关
比较函数y=2x -1、y=2x -2与y=2x 系：将指数函数y=2的图象向
x
右平行
数
移动1个单位长度，就得到函y=2的图象，将指数函数y=2
x -1
x
的图象
向右平行移动2个单位长度，就得到函数y=2x -2小结：⑴ y=2x -m 与y=2x 的关系：当m>0时，将指数函数y=2x 的图象向右平行移动m
个单位长度，就得到函数y=2x -m 的图象；当m
数y=2x -m 例2 ⑴已知函数
⎛1⎫y = ⎪
⎝2⎭
x
用计算器或计算机
作出函数图像，求定义域、值域，并探讨
⎛1⎫y = ⎪
⎝2⎭
x
⎛1⎫y = ⎪
⎝2⎭
x
与
⎧⎛1⎫x
⎪, x ≥0
解：y =⎪ 定义域：x ∈R 值域：0
⎪2x , x
关系：将
⎛1⎫y = ⎪
⎝2⎭
x
⎛1⎫y = ⎪
⎝2⎭
x
的图像y 轴右侧的部分翻折到y 轴左侧的到
的图像，关于y 轴对称.
x -1
1⎫
⑵已知函数 y =⎛ ⎪
⎝2⎭
用计算器或计算机作出函数图像，求定义
x -1
x -1
1⎫⎛1⎫
域、值域，并探讨y =⎛ ⎪与y = ⎪
⎝2⎭
⎝2⎭
x -1
解：
⎧⎛1⎫
⎪ ⎪, x ≥1y =⎨⎝2⎭
⎪2x -1, x
y ≤1
定义域：x ∈值域：0
1⎫
关系：将y =⎛ ⎪
⎝2⎭
x -1
（x>1）的图像在直线x=1右侧的部分翻折到
直线x=1
1⎫
左侧得到y =⎛ ⎪
⎝2⎭
x -1
的图像，是关于直线x=1对称
⑵推广：对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出：
基本函数图象+变换：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，如上例，这种方法我们遇到的有以下几种形式：
以上是在高一阶段我们看到的几种函数图象的变换，但随着知识的增加，还会有许多较复杂的变换，以后再作研究.
例3探讨函数y =a x 和y =a -x (a >0且a ≠1) 的图象的关系，并证明关
于y 证：设P(x 1, y 1) 是函数y =a x (a >0且a ≠1) 的图象上任意一点 则y 1=a x 而P(x 1, y 1) 关于y 轴的对称点Q 是(-x 1, y 11
∴ y 1
=a
x 1
=a
-(-x 1)
即Q 在函数y =a -x 由于P 是任意取的, 所以y =a x 上任一点关于y 轴的对称点都在
y =a
-x
同理可证：y =a -x 图象上任意一点也一定在函数y =a x 的图象上
∴ 函数y =a x 和y =a -x 的图象关于y 例4 已知函数 y =2+2
2
x -x
求函数
解：作出函数图像，观察分析讨论，教师引导、整理
定义域为由y =
2+2
2
x -x
得 22x
-2y ⋅2+1=0
x
≥1
∵x ∈R, ∴△≥0, 即 4y 2-4≥0, ∴y 2
y ≥1
, 又∵y >0，∴
例1已知函数f (x ) 的定义域是［0，1］，则函数f (x 2) 的定义域是________.
解：由0≤x 2≤1, 解得-1≤x ≤1 ∴f (x 2) 的定义域为［－1，1］. 评述：针对题目中函数关系抽象的特点，可将f (x ) 具体化，能有助于对问题的理解与判断. 设f (x ) =这时，f (x 2) =
x (1-x )
2
2
x (1-x )
, 它的定义域是［0，1］，
的定义域是［-1，1］，由此可见，列举实
例是处理抽象函数有关问题的有效方法.
例2若函数f(x)=x2+bx+c对任意实数x 都有f(2+x)=f(2-x)，那么（ ）
A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4) C.f(2)＜f(4)＜f(1) D.f(4)＜f(2)＜f(1)分析：此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程. 解：由f(2+x)=f(2-x)可知：函数f(x)的对称轴为x=2,由二次函数f(x)开口方向向，可得f(2)最小，又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0) 在x ＜2时，y=f(x)为减函数
∵0＜1＜2，∴f(0)＞f(1)＞f(2) 即f(2)＜f(1)＜通过此题可将对称语言推广如下：
（1）若对任意实数x, 都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a是函数f(x)的对称轴
（2）若对任意实数x, 都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=的对称轴.
例3求f(x)=x2-2ax+2在［2，4］上的最大值和最小值. 解：先求最小值.
因为f(x)的对称轴是x=a，可分以下三种情况：
（1）当a ＜2时，f(x)在［2，4］上为增函数，所以f(x)min=f(2)=6-4a;
(2)当2≤a ＜4时，f(a)为最小值，f(x)min=2-a2;
(3)当a ＞4时，f(x)在［2，4］上为减函数，所以f(x)min=f(4)=18-8a
⎧6-4a , (a
2
综上所述：f(x)min=⎪⎨2-a , (2≤a
⎪18-8a , (a >2) ⎩
a +b 2
是f(x)
中
较
大
者
：
最大值为f(2)与f(4)
f(2)-f(4)=(6-4a)-(18-8a)=12+4a
(1)当a ≥3时，f(2)≥f(4),则f(x)max=f(2)=6-4a;
(2)当a ＜3时，f(2)＜f(4),则f(x)max=f(4)=18-8a. 故f(x)max=⎨
⎧6-4a , (a ≥3) ⎩8-8a , (a
评述：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x=a与区间［2，4］的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较f(2)与f(4)的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.
例4函数f(x)=x2-bx+c，满足对于任何x ∈R 都有f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3,则f(bx ) 与f(cx ) 的大小关系是（ ） A.f(bx ) ≤f(cx ) B.f(bx ) ≥f(cx ) C.f(bx ) ＜f(cx ) D.f(bx ) ＞f(cx )
分析：由对称语言f(1+x)=f(1-x)可以确定函数对称轴，从而确定b 值，再由f(0)=3,可确定c 值，然后结合b x ,c x 的大小关系及二次函数的单调区间使问题得以解决. 解：∵f(1+x)=f(1-x)∴f(x)的对称轴x=-∴b=2,又f(0)=3,∴c=3,
-b 2
=1
∴f(x)=x2(1)当x ＞0时，1＜2x ＜3x , 且f(x)在［1，+∞) 上是增函数 所以f(2x ) ＜f(3x ), 即f(bx ) ＜f(cx (2)当x ＜0时，1＞2x ＞3x , 且f(x)在（-∞,1）上是减函数，所以f(2x ) ＜f(3x ) ，即f(bx ) ＜f(cx (3)当x=0时，2x =3x =1
则f(2x )=f(3x ), 即f(bx )=f(cx ) 综上所述，f(bx ) ≤f(cx ). 答案：A 一、选择题
1、设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射f 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n 象是
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2、已知不等式为（A ）-
12
≤x
1
:A →B
把集合A
+n ，则在映射f 下，象20的原
13
≤3
12
x
，则x 的取值范围 （C ）R （D ）
12≤x
13
（B ）
≤x
3、函数y =2x -1在定义域上的单调性为 （A ）在(-∞, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是增函数 （B ）减函数
（C ）在(-∞, 1)上是减增函数，在(1, +∞)上是减函数 （D ）增函数
4、函数f (x ) =则
（A ）A B =B （B ）A ⊆B （C ）A B =B （D ）A =B 5、（不做）若函数f (x ) 的图象经过(0, -1) ，那么f (x +4) 的反函数图象经过点
(A)(4, -1) (B)(-1, -4) (C)(-4, -1) (D)(1, -4) 6、下列式子或表格 ①y =
-a
x
1+x 1-x
的定义域为A ，函数y =f [f (x )]的定义域为B ，
+log a (x -1)(a >1)
②y =2x ，其中x ∈{0, 1, 2, 3}, y ∈{0, 2, 4} ③x 2
+y
2
=1 ④x 2+y
2
=1(y ≥0)
其中表示
y
是x 的函数的是
（A ）①②③④⑤ （B ）②③⑤ （C ）③④ （D ）④⑤ 7、（不做）已知函数y =函数y =
f (x ) 的反函数f
-1
那么(x ) 的定义域为[0, 1]，
f (x +m )(m ∈R ) 的值域是
（A ）[-m , 1-m ] （B ）[-1, 0] （C ）[0, 1] （D ）R 8、已知函数f (x ) =ax 2
围是 （A ）a ≤
3
+(a -a ) x +1在(-∞, -1]上递增，则a
3
的取值范
（B ）-
3≤a ≤
2
3
（C ）0
2
3
（D ）-3≤a
9、已知二次函数
f (x ) =ax +(a +b ) x +c
的图像开口向上，且
f (0) =1，f (1) =0，则实数b
取值范围是
, 0)
(A) (-∞, -
34
] (B) [-
34
(C) [0, +∞) (D) (-∞, -1)
≠1) 的图象必经过点
10、函数y =a x -2+1(a >0，且a
(A)(0，1) (B)(1，1) (C) (2， 0) (D) (2，2) 11、下列函数中值域为(0，+∞)的是
1
(A) (C)
y =52-x
(B)
x
⎛1⎫
y = ⎪
⎝3⎭
1-x
x
y =
⎛1⎫
⎪-1 ⎝2⎭
(D)
y =-2
12、甲乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步到中点改为骑自行车，最后两人同时到达B 地，
又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且二人骑车速度均比跑步A 地的距离S 与所用时间t 的函数关系可用图象
表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙各人的图象只可能是 (A)甲是图①，乙是图② (B)甲是图①，乙是图④ (C)甲是图③，乙是图② (D)甲是图③，乙是图④ 二、填空题： 13、0. 064
-13
⎛4⎫3
- -⎪+(-2)⎝5⎭
[]
-
43
1
+16
-0. 75
+0. 012=________
14、设f (x )=4x
-2
x +1
，则f -1(0)=________（不做）
15、函数y =mx ___________ 16、若点(2,
14
) 既在函数y =2
ax +b
+1(x ∈R ), 与y =
x 2
-n (n ∈R ) 互为反函数的充要条件是
的图象上，又在它的反函数的图象
上，则a =__________________，b 1
17、若-1
a
，则3，a ，a 3由大到小的顺序是a
3
三、解答题：
⎛1⎫
y = ⎪18、求函数
⎝2⎭
1+2x -x
2
19、曙光公司为了打开某种新产品的销路，决定进行广告促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系式是Q=
3x +1x +1
(x ≥0)
3万元，每生产1
万件此产品仍需投入32万元，若每件售价是“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”将年利润y （万元）表示为年广告费x 万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，该公司是亏损还是盈利？
函数复习小结-基本训练题参考答案：
1.C 2.A 3.C 4.B 5.B 6.D 7.C 8.D 9.D 10.D 11.B 12.B
13. 1.7875 14. 1 15. m=2,n=-
21
97
4
16 a =-，b =7
解：由已知(2,
14
) 在反函数的图象上，则(
14
, 2) ⎧12a +b
=2⎪11
以原函数经过点(2, ) 和(, 2) ⎨4
144a +b ⎪4
⎩2=2
⎧2a +b =-2
，所以⎪⎨1
⎪a +b =1⎩4
，
9⎧a =-⎪7
解得⎪⎨
⎪b =4⎪7⎩
1
17.
3
a
>a
3
>a 3
1
1
3
解：因为3a
1
>0，a 3
1
3
，且由-1
，既
-a
3
a
，所以a
1
3
>a 3
因此318.
>a >a 3
t
2
1⎫解：(1)令t =1+2x -x ，则y =⎛ ⎪
⎝2⎭⎛1⎫⎛1⎫
y = ⎪≥ ⎪=
⎝2⎭⎝2⎭
t
2
，而t
=-(x -1) +2≤2
2
所以
1，+∞既所求的函数的值域是⎡⎢ (2) 函数y =⎛
1⎫
⎪⎝2⎭
1+2x -x
2
⎣4
在(-∞，1]上是减函数；在(1，+∞)19. 解：设每年投入x 万元，年销量为Q 每件产品的年平均成本为32
x +3Q
=
3x +1x +1
万件，
，
年平均每件所占广告费为，
Q
销售价为 32+
⎝⎛
3⎫31x x +9
⎪⋅+⋅=48+⎪
Q ⎭22Q 2Q
⎡⎛⎣⎝
年利润为y =Q ⎢
48+ =50-⎛
32
x +9⎫⎛3⎫⎤x +3
⎪ ⎪-32+-x =16Q +-x ⎪ ⎪⎥2Q ⎭⎝Q ⎭⎦2
⎝x +1
+
x +1⎫
⎪2⎭
当x=100时，明显故该公司投入100