高一数学教学设计
课题：函数的值域与最大（小）值
海南华侨中学 教师：李道才
一、基础知识：（1）函数的定义域、值域、单调性及互为反函数的关系。
（2）由于图象法是认识函数性质的重要方法，也是记忆和掌
握函数性质的有效工具。掌握下表内容，有助于提高研究函数的
能力，特别是有助于数形结合思想与方法融会贯通。
二、目的要求：
（1）使学生熟练掌握二次函数的值域及最大值或最小值的求法。
（2）使学生掌握利用配方法、反函数法、判别式法、化归法、
换元法、单调性法及数形结合法求简单函数的值域。
（3）要求学生学会利用求函数值域的方法配合定义域及题中具
体的已知条件求简单函数的最大值或最小值。
(4) 使学生理解函数的极值与最值是不同的概念。
（5）使学生了解数形结合法（多变量）求函数的最值。
（6）通过运用函数的性质，培养学生的运算能力和逻辑思维能
力；通过最值解决实际问题，使学生认识函数的最值广泛应用于客
观实际，例如要使材料最省，工效最高，成本最低等等，增强学生
对“效率”与“节俭”的意识；培养学生解决有关实际问题的能力
及实践第一等观点。
三、 重点难点：
1． 教学重点
（1）在求函数的值域与最值时，大量的实际问题中的变量关系
多是采用二次函数表示之，使问题得以解决；如是复杂函数多是经
过换元成二次函数，转复杂为简单来解决问题的。因此使学生熟练、
牢固掌握二次函数的定义、性质是本节的重点。
（2）《教学论》中指出了教科书中现有理论知识，要有应用的
技能、技巧教材的内容、要有反映生活、建设上的实际材料。这一
准则对数学教学尤其重要。对于学习的学生，在教学中必须结合实
际的、具体的教材，才能通过理解抽象的理论；才能通过学习获得
应用技能、技巧并能熟悉抽象的理论的用途和用法；特别是才能达
到思想性准则的要求。
函数是中学数学中最重要的基本概念之一。而函数最值问题，
它在工农业生产中有广泛的应用。例如，在制定生产计划的时侯，
要考虑怎样合理安排劳动力，才能使劳动生产率最高；在调运物资
的时候，要考虑怎样制定一个合理的方案，才能使运输的费用最省；
成品的设计要考虑到怎样才能使所用的材料最省等。也就是说函数
最值问题是中学数学中最体现理论与实践相结合的教材之一。所以，
利用二次函数性质、反函数法、判别式法、单调性法求函数的值域
及最值是重点。
2．教学难点
（1）能充分地利用已知条件及题设中的隐条件（定义域及其
变化等）来解题，为本节的难点。
（2）函数最值求法甚多，各种方法都必须具备熟练的函数性质
及其它有关的基础知识，有时还须应用特殊方法才能使问题得以解
决。因而很容易造成学生在解题中解法不当或束手无策。所以求函
数最值为主要难点。
三．解难指导：
为了解决难点，提高教学效果。教学过程中力争做到以下几点：
（1）着重注意从实际出发，从感性认识提高到理性认识。
（2）注重运用对比的方法，反复比较几个解法相近或有从属关
系的方法的异同。
（3）坚持结合直观图形或函数图象来说明、解题的思路及结果。
（4）特别注意从已有知识出发，讲清推理层次，启发学生探索
解题的途径，培养学生分析、解决问题的能力。
四．教学用具：三角板与圆规。
五．教学过程：
教师提问
六．教案：
（一）复习旧知识
1．提问：（1）二次函数图象有哪些性质？
（2）求函数值域有哪些方法？
2．回顾：
例1 求函数y=x–√1–2x 的值域。
（换元法）令√1–2x =t （t ≥0），
222则 [√1–2x ] =t， ∴ x=（1-t ）/2，
22∴ y=f(t)=（1-t ）/2-t=-1/2(t+1)+1。
∵ t≥0， 如左图所示
函数y=f(t)在[0，+∞) 上单调递减，
∴ 在[0，+∞) 上，t=0时，函数y 有最大值，
2又 f(0)=-1/2×(0+1)+1=1/2
∴ 函数值域为 y≤1/2 。
3．小结：
（二）引入新课：
1．在解题中遇到求复合函数（或复杂函数）的值域时，我们
可用换元法使之化为简单、熟悉的函数后再求之。一般地说，多
是化为二次函数。
复合函数的值域：
可先由函数y=f[η(x)]的定义域H 求出内函数t=η(x)的值
域C ，再由t ∈C 和外函数y=f(t)的解析式可求出函数y=f(t)的
值域D ，即为求复合函数的值域。
2 例2 求函数y=lg(x+4)值域。
2 [分析] 本题可看出函数y=lg(x+4)是由函数y=lgt和函数
22 t= x+4复合而成的。首先，由函数y=lg(x+4)定义域和函数
2 t= x+4的值域求出它们的交集确定为t 的取值范围；再由t 的
取值范围和函数y=lgt的单调性即可。
[注意] 考虑函数y=lgt的单调性是学生的薄弱环节。（强调）
解：要使式子lg(x+4)有意义，2 必须 x+4＞0
∵ 当x 为任意实数时
22 x≥0； x+4＞2 ∴ 函数y=lg(x+4)的
定义域为 x∈R ，
2 ∵ 二次函数t= x+4的图象 为(0，4) （如右图）
2 ∴ 函数t= x+4的值域为 t≥4，
2 ∵ 函数y=lg(x+4)的定义域为 x∈R ，
∴ t的取值范围为 t≥4，
又 在[4，+∞) 上函数y=lgt是单调递增，
∴ y≥lg4 (应说明理由)
2 即 函数y=lg(x+4)的值域是 {y∣y ≥lg4}。
注： 应使学生理解利用换元法变换的原理，并熟悉基本函数（二次
函数为主）的图象，才能借助它们去研究某些复杂函数的有关问题；
才能得心应手地解决复杂函数的有关问题。
在上题解题过程中出现过这样的一个命题（因果关系）：
又 在[4，+∞) 上函数y=lgt
∴ y≥lg4
此命题成立的理由（已讲）中内含着一个新内容，它就是函数的最大
值和最小值
2．函数的的最大值和最小值，简称为最值。
（1）函数的极值与最值是不同的概念。函数的极值是局部概念。
对于函数定义域而言，极大值或极小值都可能不止一个。而最大值或
最小值是整体概念，在整个定义域内，最大值或最小值都至多有一个。
有的函数存在极值却不存在最值。
（2）函数的最值广泛应用于客观实际，例如要使材料最省，工效最
高，成本最低等等。所以它是中学数学中，最理论结合实际教材之一。
故要求学生学会利用求函数值域的方法配合定义域及题中具体的已知
条件求简单函数的最大值或最小值。以培养学生解决有关实际问题的
能力及实践第一等观点。
例3 AB是半径为R 的半圆的直径，ABCD 是半圆的内接梯形。试
问其中周长最大的梯形是怎样的？ 2
[分析] 本题首要问题是利用已知条件，先建立周长S 与某一变
量x(定义域的确定) 之间的关系式；再由其函数的性质以求解决问题。
由于圆内接梯形必是等腰梯形，因为AB 是直径，只要连DB 就可
得Rt △ABD ；再作高线DE ，即可由射影定理（或相似三角形）求得腰
AD与AE 的关系，便可假设两变量之一为x ，最后利用等腰梯形的性质
不难得到用x 和半径R 来表示周长S 的函数式。
解： 连BD ，作DE ⊥АБ交АБ于E
∵ АБ是直径， ∴ ∠АDB=Rt∠
在Rt △ABD 中， ∵ DE⊥АБ
22 由射影定理可得： AD=AE·AB ， 即AE=AD∕AB ，
∵ ABCD是圆内接梯形，
∴ ABCD是等腰梯形
设： 梯形腰AD=BC=x，(0＜x 应说明理由)
2 则： AE=x∕2R ，
由等腰梯形性质易得：
2 DC=2(R-AE)=2(R-x∕2R) ，
22 ∴ 梯形周长S=2R+2x+2(R-x∕2R)=-1/R·x +2x+4R
2 =-1/R·(x-R)+5R (0＜x ＜√2 R)
∵ -1/R＜0， 图象开口向下，
∴ 在定义域内取x=R时，S 有最大值，
2 ∴ AD=BC=R DC=2(R-x∕2R)=R
答：周长最大的梯形是下底等于直径，腰长与上底均等于半径的半圆内接梯形。
3．学生练习 （练习题：第四大题）
某生产队要办一个养鸡场，准备用篱笆围成一个矩形的场地。现
在有可以围60米长篱笆的材料，场地的长和宽应当各是多少米，才
能使场地的面积为最大？
[简解] 设：场地的长为x 米， 则：场地的宽为(30-x)米。
22 ∴场地的面积S=x(30-x)=-x+30x=-(x-15)+225
∵ a=-1＜0， ∴抛物线开口向下
∴ 当x=15时，S 有最大值，S 最大值=225。
且这时，场地的宽=(30-15)=15。
答：场地应当是边长等于15米的正方形，才能使场地的面积为最大。
4．备用例题（以时间而定）
2 例4． 当1≤x ≤1000时，求 y=(lgx)-2lgx+3的最大值与最小值。
[分析] 本题明显可看出，函数y 可视为以lgx 为变量的二次函
数形式，只要通过换元，再利用二次函数性质可求得。但是，在解题
的过程中必须考虑到对数函数的单调性及新函数的值域和定义域的变
化，这也是此类题型的要点与难点。
22 解：设t=lgx 则 y=t-2t+3=(t-1)+2， ∵ t=lgx在[1，1000] 且 lg1=0； lg1000=3
∴ 0≤t ≤ 如右图所示，在区间0≤t ≤3上， 图象中A 点最高，B 点最低。
2 ∵ 当t=3时，y=(3-1)+2=6
当t=1时，y=2
∴ 当t=3时，y 最大值为6；当t=1时，y 最小值为2。 又 当t=3时，lgx=3 ∴ x=1000
当t=1时，lgx=1 ∴ x=10
即当x=1000时，y 最大值=6； 当x=10时，y 最小值=2。
5．课堂小结
本节课主要介绍了，求函数的值域与最值的各种方法，讲述
了最值与极值的不同概念及求复合函数值域的祥细的步骤。教学
宗旨希望学生通过学习，能熟练掌握及综合运用二次函数的性质，
进一步掌握函数的值域与最值的求法。以培养学生实践第一等观点。
6．布置作业：练习题 五（1）（2）（3）（4）六（1）（2）
高一数学教学设计
课题：函数的值域与最大（小）值
海南华侨中学 教师：李道才
一、基础知识：（1）函数的定义域、值域、单调性及互为反函数的关系。
（2）由于图象法是认识函数性质的重要方法，也是记忆和掌
握函数性质的有效工具。掌握下表内容，有助于提高研究函数的
能力，特别是有助于数形结合思想与方法融会贯通。
二、目的要求：
（1）使学生熟练掌握二次函数的值域及最大值或最小值的求法。
（2）使学生掌握利用配方法、反函数法、判别式法、化归法、
换元法、单调性法及数形结合法求简单函数的值域。
（3）要求学生学会利用求函数值域的方法配合定义域及题中具
体的已知条件求简单函数的最大值或最小值。
(4) 使学生理解函数的极值与最值是不同的概念。
（5）使学生了解数形结合法（多变量）求函数的最值。
（6）通过运用函数的性质，培养学生的运算能力和逻辑思维能
力；通过最值解决实际问题，使学生认识函数的最值广泛应用于客
观实际，例如要使材料最省，工效最高，成本最低等等，增强学生
对“效率”与“节俭”的意识；培养学生解决有关实际问题的能力
及实践第一等观点。
三、 重点难点：
1． 教学重点
（1）在求函数的值域与最值时，大量的实际问题中的变量关系
多是采用二次函数表示之，使问题得以解决；如是复杂函数多是经
过换元成二次函数，转复杂为简单来解决问题的。因此使学生熟练、
牢固掌握二次函数的定义、性质是本节的重点。
（2）《教学论》中指出了教科书中现有理论知识，要有应用的
技能、技巧教材的内容、要有反映生活、建设上的实际材料。这一
准则对数学教学尤其重要。对于学习的学生，在教学中必须结合实
际的、具体的教材，才能通过理解抽象的理论；才能通过学习获得
应用技能、技巧并能熟悉抽象的理论的用途和用法；特别是才能达
到思想性准则的要求。
函数是中学数学中最重要的基本概念之一。而函数最值问题，
它在工农业生产中有广泛的应用。例如，在制定生产计划的时侯，
要考虑怎样合理安排劳动力，才能使劳动生产率最高；在调运物资
的时候，要考虑怎样制定一个合理的方案，才能使运输的费用最省；
成品的设计要考虑到怎样才能使所用的材料最省等。也就是说函数
最值问题是中学数学中最体现理论与实践相结合的教材之一。所以，
利用二次函数性质、反函数法、判别式法、单调性法求函数的值域
及最值是重点。
2．教学难点
（1）能充分地利用已知条件及题设中的隐条件（定义域及其
变化等）来解题，为本节的难点。
（2）函数最值求法甚多，各种方法都必须具备熟练的函数性质
及其它有关的基础知识，有时还须应用特殊方法才能使问题得以解
决。因而很容易造成学生在解题中解法不当或束手无策。所以求函
数最值为主要难点。
三．解难指导：
为了解决难点，提高教学效果。教学过程中力争做到以下几点：
（1）着重注意从实际出发，从感性认识提高到理性认识。
（2）注重运用对比的方法，反复比较几个解法相近或有从属关
系的方法的异同。
（3）坚持结合直观图形或函数图象来说明、解题的思路及结果。
（4）特别注意从已有知识出发，讲清推理层次，启发学生探索
解题的途径，培养学生分析、解决问题的能力。
四．教学用具：三角板与圆规。
五．教学过程：
教师提问
六．教案：
（一）复习旧知识
1．提问：（1）二次函数图象有哪些性质？
（2）求函数值域有哪些方法？
2．回顾：
例1 求函数y=x–√1–2x 的值域。
（换元法）令√1–2x =t （t ≥0），
222则 [√1–2x ] =t， ∴ x=（1-t ）/2，
22∴ y=f(t)=（1-t ）/2-t=-1/2(t+1)+1。
∵ t≥0， 如左图所示
函数y=f(t)在[0，+∞) 上单调递减，
∴ 在[0，+∞) 上，t=0时，函数y 有最大值，
2又 f(0)=-1/2×(0+1)+1=1/2
∴ 函数值域为 y≤1/2 。
3．小结：
（二）引入新课：
1．在解题中遇到求复合函数（或复杂函数）的值域时，我们
可用换元法使之化为简单、熟悉的函数后再求之。一般地说，多
是化为二次函数。
复合函数的值域：
可先由函数y=f[η(x)]的定义域H 求出内函数t=η(x)的值
域C ，再由t ∈C 和外函数y=f(t)的解析式可求出函数y=f(t)的
值域D ，即为求复合函数的值域。
2 例2 求函数y=lg(x+4)值域。
2 [分析] 本题可看出函数y=lg(x+4)是由函数y=lgt和函数
22 t= x+4复合而成的。首先，由函数y=lg(x+4)定义域和函数
2 t= x+4的值域求出它们的交集确定为t 的取值范围；再由t 的
取值范围和函数y=lgt的单调性即可。
[注意] 考虑函数y=lgt的单调性是学生的薄弱环节。（强调）
解：要使式子lg(x+4)有意义，2 必须 x+4＞0
∵ 当x 为任意实数时
22 x≥0； x+4＞2 ∴ 函数y=lg(x+4)的
定义域为 x∈R ，
2 ∵ 二次函数t= x+4的图象 为(0，4) （如右图）
2 ∴ 函数t= x+4的值域为 t≥4，
2 ∵ 函数y=lg(x+4)的定义域为 x∈R ，
∴ t的取值范围为 t≥4，
又 在[4，+∞) 上函数y=lgt是单调递增，
∴ y≥lg4 (应说明理由)
2 即 函数y=lg(x+4)的值域是 {y∣y ≥lg4}。
注： 应使学生理解利用换元法变换的原理，并熟悉基本函数（二次
函数为主）的图象，才能借助它们去研究某些复杂函数的有关问题；
才能得心应手地解决复杂函数的有关问题。
在上题解题过程中出现过这样的一个命题（因果关系）：
又 在[4，+∞) 上函数y=lgt
∴ y≥lg4
此命题成立的理由（已讲）中内含着一个新内容，它就是函数的最大
值和最小值
2．函数的的最大值和最小值，简称为最值。
（1）函数的极值与最值是不同的概念。函数的极值是局部概念。
对于函数定义域而言，极大值或极小值都可能不止一个。而最大值或
最小值是整体概念，在整个定义域内，最大值或最小值都至多有一个。
有的函数存在极值却不存在最值。
（2）函数的最值广泛应用于客观实际，例如要使材料最省，工效最
高，成本最低等等。所以它是中学数学中，最理论结合实际教材之一。
故要求学生学会利用求函数值域的方法配合定义域及题中具体的已知
条件求简单函数的最大值或最小值。以培养学生解决有关实际问题的
能力及实践第一等观点。
例3 AB是半径为R 的半圆的直径，ABCD 是半圆的内接梯形。试
问其中周长最大的梯形是怎样的？ 2
[分析] 本题首要问题是利用已知条件，先建立周长S 与某一变
量x(定义域的确定) 之间的关系式；再由其函数的性质以求解决问题。
由于圆内接梯形必是等腰梯形，因为AB 是直径，只要连DB 就可
得Rt △ABD ；再作高线DE ，即可由射影定理（或相似三角形）求得腰
AD与AE 的关系，便可假设两变量之一为x ，最后利用等腰梯形的性质
不难得到用x 和半径R 来表示周长S 的函数式。
解： 连BD ，作DE ⊥АБ交АБ于E
∵ АБ是直径， ∴ ∠АDB=Rt∠
在Rt △ABD 中， ∵ DE⊥АБ
22 由射影定理可得： AD=AE·AB ， 即AE=AD∕AB ，
∵ ABCD是圆内接梯形，
∴ ABCD是等腰梯形
设： 梯形腰AD=BC=x，(0＜x 应说明理由)
2 则： AE=x∕2R ，
由等腰梯形性质易得：
2 DC=2(R-AE)=2(R-x∕2R) ，
22 ∴ 梯形周长S=2R+2x+2(R-x∕2R)=-1/R·x +2x+4R
2 =-1/R·(x-R)+5R (0＜x ＜√2 R)
∵ -1/R＜0， 图象开口向下，
∴ 在定义域内取x=R时，S 有最大值，
2 ∴ AD=BC=R DC=2(R-x∕2R)=R
答：周长最大的梯形是下底等于直径，腰长与上底均等于半径的半圆内接梯形。
3．学生练习 （练习题：第四大题）
某生产队要办一个养鸡场，准备用篱笆围成一个矩形的场地。现
在有可以围60米长篱笆的材料，场地的长和宽应当各是多少米，才
能使场地的面积为最大？
[简解] 设：场地的长为x 米， 则：场地的宽为(30-x)米。
22 ∴场地的面积S=x(30-x)=-x+30x=-(x-15)+225
∵ a=-1＜0， ∴抛物线开口向下
∴ 当x=15时，S 有最大值，S 最大值=225。
且这时，场地的宽=(30-15)=15。
答：场地应当是边长等于15米的正方形，才能使场地的面积为最大。
4．备用例题（以时间而定）
2 例4． 当1≤x ≤1000时，求 y=(lgx)-2lgx+3的最大值与最小值。
[分析] 本题明显可看出，函数y 可视为以lgx 为变量的二次函
数形式，只要通过换元，再利用二次函数性质可求得。但是，在解题
的过程中必须考虑到对数函数的单调性及新函数的值域和定义域的变
化，这也是此类题型的要点与难点。
22 解：设t=lgx 则 y=t-2t+3=(t-1)+2， ∵ t=lgx在[1，1000] 且 lg1=0； lg1000=3
∴ 0≤t ≤ 如右图所示，在区间0≤t ≤3上， 图象中A 点最高，B 点最低。
2 ∵ 当t=3时，y=(3-1)+2=6
当t=1时，y=2
∴ 当t=3时，y 最大值为6；当t=1时，y 最小值为2。 又 当t=3时，lgx=3 ∴ x=1000
当t=1时，lgx=1 ∴ x=10
即当x=1000时，y 最大值=6； 当x=10时，y 最小值=2。
5．课堂小结
本节课主要介绍了，求函数的值域与最值的各种方法，讲述
了最值与极值的不同概念及求复合函数值域的祥细的步骤。教学
宗旨希望学生通过学习，能熟练掌握及综合运用二次函数的性质，
进一步掌握函数的值域与最值的求法。以培养学生实践第一等观点。
6．布置作业：练习题 五（1）（2）（3）（4）六（1）（2）