第一讲 集合
集合基础知识简单回顾
1. 摩根定律
2. 子集个数的证明
3. 数形结合思想的运用
一、 集合中的常规题
1 ．（2013山东）已知集合A 、B 均为全集U ={1, 2, 3, 4}的子集, 且
（ ）
D ．∅
（ ） ðU (A B ) ={4}, B ={1, 2}, 则A ðU B = A ．{3} 【答案】A 2．（2013江西）若集合A ={x∈R|ax+ax+1=0}其中只有一个元素, 则a= 2B ．{4} C ．{3,4}
A ．4 B ．2 C ．0 D ．0或4
3 ．（2012辽宁）已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合
B={2,4,5,6,8},则(C U A ) (C U B ) 为
A ．{5,8} B ．{7,9} （ ） C ．{0,1,3} D ．{2,4,6} 4 ．（2013山东）已知集合A ={0,1,2},则集合B =x -y x ∈A , y ∈A 中元素的个数是 {}
(A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9
【答案】C
5 ．（2013大纲版）设集合A ={1,2,3}, B ={4,5}, M ={x |x =a +b , a ∈A , b ∈B }, 则M 中的元素个数为 (A)3 (B )4 (C)5 (D)6
【答案】B
6．（2010安徽）若集合A =⎨x log 1x ≥⎧⎪
⎪⎩21⎫⎪⎬，则ðR A = 2⎭⎪
⎫⎫+∞+∞
+∞) +∞) A
、(-∞,0] B 、 C 、(-∞,0] D 、⎪
⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
二、集合中的临时定义问题
6. （2013年高考福建卷（文））设S , T 是R 的两个非空子集, 如果存在一个从S 到T 的函数
y =f (x ) 满足(i)T ={f (x ) |x ∈S };(ii)对任意x 1, x 2∈S , 当x 1
①A =N , B =N *;②A ={x |-1≤x ≤3},B ={x |-8≤x ≤10};
③A ={x |0
其中,“保序同构”的集合对的序号是____________(写出所有满足的序号)
【解析】本题考查的函数的性质．由题意可知S 为函数的一个定义域，T 为其所对应的值域，且函数y =f (x ) 为单调递增函数．对于集合对①，可取函数f(x)=x+1，是“保序同构”；对于集合对②，可取函数y =
数y =tan(πx -97，可取函x -(-1≤x ≤3) ，是“保序同构”；对于集合对③22π
2②③． )(0
7．（2013广东）设整数n ≥4, 集合X ={1,2,3, , n }. 令集合
，S ={(x , y , z )|x , y , z ∈X , 且三条件x
(x , y , z )和(z , w , x )都在S 中, 则下列选项正确的是( )
A . (y , z , w )∈S , (x , y , w )∉S B ．(y , z , w )∈S , (x , y , w )∈S C ．(y , z , w )∉S , (x , y , w )∈S D ．(y , z , w )∉S , (x , y , w )∈S
【解析】B ；特殊值法, 不妨令x =2, y =3, z =4, w =1, 则(y , z , w )=(3, 4,1)∈S , (x , y , w )=(2,3,1)∈S , 故选B ．
如果利用直接法:因为(x , y , z )∈S ，(z , w , x )∈S ，所以x
(x , y , w )∈S ；第三种：②④成立，此时y
8．（2013重庆解答题压轴）对正整数n ，记I n =
{1,2,3, ⎫, n }，P n =I n , k ∈I n ⎬。 ⎭求集合P 7中元素的个数；（7×7-3=46,m有7个数，k 有7个数，其中k 取4时有3个数重
复）
9．（2010四川）设S 为复数集C 的非空子集. 若对任意x, y ∈S ，都有x +y,x -y,xy ∈S ，则称S 为封闭集。下列命题：
①集合S ＝{a ＋bi |（a,b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0∈S ；
③封闭集一定是无限集；
④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
解析：直接验证可知①正确.
当S 为封闭集时，因为x －y ∈S ，取x ＝y ，得0∈S ，②正确
对于集合S ＝{0}，显然满足素有条件，但S 是有限集, ③错误
取S ＝{0}，T ＝{0, 1}，满足S ⊆T ⊆C , 但由于0－1＝－1∉T ，故T 不是封闭集，④错误
答案：①②
10. (2011广东) 设S 是整数集Z 的非空子集，如果对任意的a , b ∈S ，有ab ∈S ，则称S 关于数的乘法是封闭的，若T , V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V =Z ，且对任意的a , b , c ∈T ，有ab , c ∈T ；对任意的x , y , z ∈V ，有xyz ∈V ，则下列结论恒成立的是( )
A ．T , V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B ．T , V 中至多有一个关于乘法是封闭的
C ．T , V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D ．T , V 中每一个关于乘法是封闭的
可用反证法。
第一讲 集合
集合基础知识简单回顾
1. 摩根定律
2. 子集个数的证明
3. 数形结合思想的运用
一、 集合中的常规题
1 ．（2013山东）已知集合A 、B 均为全集U ={1, 2, 3, 4}的子集, 且
（ ）
D ．∅
（ ） ðU (A B ) ={4}, B ={1, 2}, 则A ðU B = A ．{3} 【答案】A 2．（2013江西）若集合A ={x∈R|ax+ax+1=0}其中只有一个元素, 则a= 2B ．{4} C ．{3,4}
A ．4 B ．2 C ．0 D ．0或4
3 ．（2012辽宁）已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合
B={2,4,5,6,8},则(C U A ) (C U B ) 为
A ．{5,8} B ．{7,9} （ ） C ．{0,1,3} D ．{2,4,6} 4 ．（2013山东）已知集合A ={0,1,2},则集合B =x -y x ∈A , y ∈A 中元素的个数是 {}
(A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9
【答案】C
5 ．（2013大纲版）设集合A ={1,2,3}, B ={4,5}, M ={x |x =a +b , a ∈A , b ∈B }, 则M 中的元素个数为 (A)3 (B )4 (C)5 (D)6
【答案】B
6．（2010安徽）若集合A =⎨x log 1x ≥⎧⎪
⎪⎩21⎫⎪⎬，则ðR A = 2⎭⎪
⎫⎫+∞+∞
+∞) +∞) A
、(-∞,0] B 、 C 、(-∞,0] D 、⎪
⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
二、集合中的临时定义问题
6. （2013年高考福建卷（文））设S , T 是R 的两个非空子集, 如果存在一个从S 到T 的函数
y =f (x ) 满足(i)T ={f (x ) |x ∈S };(ii)对任意x 1, x 2∈S , 当x 1
①A =N , B =N *;②A ={x |-1≤x ≤3},B ={x |-8≤x ≤10};
③A ={x |0
其中,“保序同构”的集合对的序号是____________(写出所有满足的序号)
【解析】本题考查的函数的性质．由题意可知S 为函数的一个定义域，T 为其所对应的值域，且函数y =f (x ) 为单调递增函数．对于集合对①，可取函数f(x)=x+1，是“保序同构”；对于集合对②，可取函数y =
数y =tan(πx -97，可取函x -(-1≤x ≤3) ，是“保序同构”；对于集合对③22π
2②③． )(0
7．（2013广东）设整数n ≥4, 集合X ={1,2,3, , n }. 令集合
，S ={(x , y , z )|x , y , z ∈X , 且三条件x
(x , y , z )和(z , w , x )都在S 中, 则下列选项正确的是( )
A . (y , z , w )∈S , (x , y , w )∉S B ．(y , z , w )∈S , (x , y , w )∈S C ．(y , z , w )∉S , (x , y , w )∈S D ．(y , z , w )∉S , (x , y , w )∈S
【解析】B ；特殊值法, 不妨令x =2, y =3, z =4, w =1, 则(y , z , w )=(3, 4,1)∈S , (x , y , w )=(2,3,1)∈S , 故选B ．
如果利用直接法:因为(x , y , z )∈S ，(z , w , x )∈S ，所以x
(x , y , w )∈S ；第三种：②④成立，此时y
8．（2013重庆解答题压轴）对正整数n ，记I n =
{1,2,3, ⎫, n }，P n =I n , k ∈I n ⎬。 ⎭求集合P 7中元素的个数；（7×7-3=46,m有7个数，k 有7个数，其中k 取4时有3个数重
复）
9．（2010四川）设S 为复数集C 的非空子集. 若对任意x, y ∈S ，都有x +y,x -y,xy ∈S ，则称S 为封闭集。下列命题：
①集合S ＝{a ＋bi |（a,b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0∈S ；
③封闭集一定是无限集；
④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
解析：直接验证可知①正确.
当S 为封闭集时，因为x －y ∈S ，取x ＝y ，得0∈S ，②正确
对于集合S ＝{0}，显然满足素有条件，但S 是有限集, ③错误
取S ＝{0}，T ＝{0, 1}，满足S ⊆T ⊆C , 但由于0－1＝－1∉T ，故T 不是封闭集，④错误
答案：①②
10. (2011广东) 设S 是整数集Z 的非空子集，如果对任意的a , b ∈S ，有ab ∈S ，则称S 关于数的乘法是封闭的，若T , V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V =Z ，且对任意的a , b , c ∈T ，有ab , c ∈T ；对任意的x , y , z ∈V ，有xyz ∈V ，则下列结论恒成立的是( )
A ．T , V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B ．T , V 中至多有一个关于乘法是封闭的
C ．T , V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D ．T , V 中每一个关于乘法是封闭的
可用反证法。