分式的运算
15bc 3(a -b ) 2
例1、下列分式a 2+b 2a 2-b 212a ，b -a ，2(a +b )
，a +b 中最简分式的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
例2. 计算：(1) 4x 3y ∙y a +216y 2
2x 3 (2) a -2⋅a +2a (3) 3xy 2
2÷x
a -1a 2(4) a -4a +4÷-1x y z xy +yz +zx 2a 2-4 例3、 若2=3=4, 求x 2+y 2+z 2
的值.
例4、计算
（1）（2a 2b -c 3
）3 （2）(-x 22y 23y 4y ) ⋅(-x ) ÷(-x
)
3a 3（3）(-2a 2
bc ) 3
÷(-b c ) 2 （4）(x 2-y 2y ) 2÷(x 2+xy ) 3⋅(xy y -x
) 2
例5计算：1x -1-1x +1-248x 2+1-x 4+1-x 8+1
练习：1. 计算：11a -x a +x -2x a 2+x 2-4x 3a 4+x 4-8x 7
-a 8-x 8
例6. 计算：11111⨯3+2⨯4+3⨯5+ +17⨯19+118⨯20
练习1、1
x +1x +2+
1
x +2x +3+
1
x +3x +4+ +
1
x +100x +101
例7、已知
2x +1A B
(x -1)(x +2) =x -1+x +2
, 求A. B的值。
计算下列各题:
（1）x +3y x +2y a 2+3a +1x 2-y 2-2x -3y
x 2-y 2-y 2-x
2
（2）a 2
-1-a -1+1.
(3)16a +39-a 2 (4) x 2
-x -1
－x －1 (5)a a +63a -3-a 2-3a +a ，
(6)2xy x y
2b 2313x 2-y 2+x +y -y -x
⑺a -b +a +b ⑻2x +6-6-2x +9-x 2
⎛ 11⎫x 2-y 2x +2x -1a a a 2⑼-4x -y -x +y ⎪⎪⋅xy ⑽ x 2-2x -x 2-4x +4（11）(a -2-a +2) ⋅a ． ⎝⎭
2．已知x 为整数，且2x +3+23-x +2x +18x 2-9
为整数，求所有的符合条件的x 的值的和．
3、混合运算：
⑴(2x -3x -1) ÷x 2-9x ⑵⎛ 3x
⎝x +2-x ⎫2x x -2⎪⎭
÷x 2-4 ⑶ a +1a -1-a a 2
-2a +1÷1a
a 2-5a +2a 2-4x 2⑷ (a +2+1) ÷-2x +1x -3
a 2+4a +4 ⑸ x 2
-1
÷(1+x +1)
⑹ x -3x -2÷(x +2-5
1x -2) ⑺ x +1-1x +1x 2-1÷x 2-2x +1
⑻x 2-4x +4x 2-4÷x 2-2x x +2-1x +1 ⑼xy ⎛11⎫
x 2-y 2
÷ ⎝x -y -x +y ⎪ ⎭
a 2+b 2a 22
⑽ (ab -b 2
a -b ⑾x x -1-x +3x +2x +1x 2-1⨯x +3
⑿ (x +2x 2-2x -x -1x -4x +4÷x 2-16x 22y 23y 4
2) x 2+4x (13)、(-y ) ⋅(-x ) ÷(-x
)
（14）、3-m 52x 2m -4÷(m +2-m -2) （15）、-6x 2+x -6
4-4x +x
2
÷(x +3) ⋅3-x
⎛-2
1-1⎝2a b 2⎫⎪(-2⎭b c )
-1
（16）、 （17）、⎛ 2x 2⎫3
2a -2b
-3
-18
4-4x +x 2
⎪⎪÷⎛ ⎝
-3-x ⎫⎝2-x ⎪
⎭⎭
4．计算：(x +2x 2-2x -x -1x 2-4x +4
) ÷4-x
x ，并求当x =-3时原式的值．
5、先化简，⎛ 3x
x ⎫x 2-1⎝x -1-x +1⎪⎭
⋅
x 再取一个你喜欢的数代入求值：
、有这样一道题：“计算x 26-2x +1
x -1x 2-1
÷x 2+x -x 的值，其中x=2 004”
甲同学把“x=2 004”错抄成“x=2 040”，但他的计算结果也正确，你说这是怎么回事？
7、计算、1a (a +1) ＋1
(a +1)(a +2) ＋1(a +2)(a +3) ＋„＋1(a +2005)(a +2006)
。
8、已知4x +1
(x -2)(x -5) =A x -5＋B x -2
，求A 、B 的值.
9、已知y 21=2x，y 2=
y ，y 22
3=，„，y 2006=，求y 1·y 2006的值1
y y
22005
、. 已知y x =34，求x x +y ＋y x -y －y 2
10x 2-y
2
的值.
＋y=4，xy=3，求y x +x y 的值. 12、若x ＋1x 2
11. 若x x =3,求x 4+x 2+1
的值.
13、⑴已知：
1a +1b =1a +b 则b a +a b
= ⑵已知：a 2－3a+1=0则a 2+14
1a 2 a +a
414、已知x 2
+4y2
-4x+4y+5=0，求x 4-y 42x -x 2+y 222x 2+xy -y 2·y
xy -y 2
÷(y ) 的值.
a 2
+10a+25=－│b －3│，求代数式b 4
a 3+ab 2-2a 2b b 2-a 216. 已知(a -b ) 2
·b 3÷ab +b 2的值．
17、若1x -1y
=3，则5x +3xy -5y 3x -xy -3y =。
18、若x 2
-4xy +4y 2
=0；则x -y
x +y
=
19、若
12x 2+3y +7=18，则1
4x 2
+6y -9
= 20、若m -n =mn ，则1m -1
n
=。 21、若1+a 与1-b 互为倒数，且ab ≠0, 则11
a -b
=。
22、若x 2-5x +1=0, 则x 2+1
x 2
=。 23、已知x =
y -1
y +1
, 则用含x 的代数式表示y 24、若x =2005, y =2006; 则(x +y ) ∙x 2+y 2
x 4-y
4
= 25、若
y 9y x =10, 则（1-x ）2005∙(x y -x
) 2006= 26、若a b =2, 则a 2-ab +b 2
a 2+b
2
= 27、已知：112a +3ab -2a -b =3，求分式b a -ab -b
的值：
28. 甲、乙两人从两地同时出发, 若相向而行, 则a 小时相遇; 若同向而行, 则b 小时甲追上乙, 那么
甲的速度是乙的速度的( ) A.
a +b b b +b 倍 B. a +b C.a b -a 倍 D. b -a
b +a
倍
29. 观察如图1的图形(每个正方形的边长均为1) 和相应的等式, 探究其中的规律:
① 1×
112=1－2 ② 2×22
3=2－3
„„
③ 3×
34=3－3
4 ④4×445=4－5
„„
(1) 写出第五个等式, 并在图2给出的五个正方形上画出与之对应的图形; (2) 猜想并写出与第n 个图形相对应的等式.
(数形结合, 根据规律画图, 由特殊到一般找出分式的表达式)
30. 观察下面一列有规律的数:
13，28，315，424，535，648
„根据其规律可知第n 个数应是 _______________ (n为整数)
31、一水池有甲乙两个进水管, 若单独开甲、乙管各需要a 小时、b 小时可注满空池；现两管同时打开，那么注满空池的时间是（ ）
（A ）
1a +1b （B ）1ab （C ）1a +b （D ）ab a +b
32、汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v 1km ，t 小时可以到达，如果每小时多行驶v 2km ，那么可以
提前到达的小时数为 （ ）
（A ）
v 2t v （B ） v 1t （C ）v 1v 2 （D ）v 1t -v 2t
1+v 2v 1+v 2v 1+v 2v 2v 1
33、在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为V 1(km/h)下坡时的速度为V 2，（km/h),则他在这段
路上、下坡的平均速度为（ ） A.
v 1+v 22 B. v 1+v 2v C. 2v 1v 2
D. 无法确定 1+v 2v 1+v 2
34、一件工作, 甲独做a 小时完成, 乙独做b 小时完成, 则甲、乙两人合作完成需要( )小时.
A. 1a +11ab 1
b B.ab C. D.a +b a +b
35、若已知分式|x -2|-1－2
x 2-6x +9
的值为0，则x 的值为（ ）
A.19或－1 B. 1
9
或1 C.－1 D.1
1．计算：
（1）
（2）（﹣2m 2n ﹣2）2•（3m ﹣1n 3）
﹣3
2．计算：
3．化简：．
4．化简：
5．计算：
．6化简
•（x 2
﹣9）
7．计算：． 8. 计算：
+
． 9．计算：（1）
；
． 10．
．11．计算：
（2）
12．计算：﹣a
14．计算：a ﹣2+
15．计算：．
16．化简：，并指出x 的取值范围．
17．已知ab=1，试求分式：的值． 18．计算：﹣
19计算：
20．化简：
21．计算：
． 22．化简：
23．计算：（1）； （2）
．
24化简：
25．化简：
分式的运算
15bc 3(a -b ) 2
例1、下列分式a 2+b 2a 2-b 212a ，b -a ，2(a +b )
，a +b 中最简分式的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
例2. 计算：(1) 4x 3y ∙y a +216y 2
2x 3 (2) a -2⋅a +2a (3) 3xy 2
2÷x
a -1a 2(4) a -4a +4÷-1x y z xy +yz +zx 2a 2-4 例3、 若2=3=4, 求x 2+y 2+z 2
的值.
例4、计算
（1）（2a 2b -c 3
）3 （2）(-x 22y 23y 4y ) ⋅(-x ) ÷(-x
)
3a 3（3）(-2a 2
bc ) 3
÷(-b c ) 2 （4）(x 2-y 2y ) 2÷(x 2+xy ) 3⋅(xy y -x
) 2
例5计算：1x -1-1x +1-248x 2+1-x 4+1-x 8+1
练习：1. 计算：11a -x a +x -2x a 2+x 2-4x 3a 4+x 4-8x 7
-a 8-x 8
例6. 计算：11111⨯3+2⨯4+3⨯5+ +17⨯19+118⨯20
练习1、1
x +1x +2+
1
x +2x +3+
1
x +3x +4+ +
1
x +100x +101
例7、已知
2x +1A B
(x -1)(x +2) =x -1+x +2
, 求A. B的值。
计算下列各题:
（1）x +3y x +2y a 2+3a +1x 2-y 2-2x -3y
x 2-y 2-y 2-x
2
（2）a 2
-1-a -1+1.
(3)16a +39-a 2 (4) x 2
-x -1
－x －1 (5)a a +63a -3-a 2-3a +a ，
(6)2xy x y
2b 2313x 2-y 2+x +y -y -x
⑺a -b +a +b ⑻2x +6-6-2x +9-x 2
⎛ 11⎫x 2-y 2x +2x -1a a a 2⑼-4x -y -x +y ⎪⎪⋅xy ⑽ x 2-2x -x 2-4x +4（11）(a -2-a +2) ⋅a ． ⎝⎭
2．已知x 为整数，且2x +3+23-x +2x +18x 2-9
为整数，求所有的符合条件的x 的值的和．
3、混合运算：
⑴(2x -3x -1) ÷x 2-9x ⑵⎛ 3x
⎝x +2-x ⎫2x x -2⎪⎭
÷x 2-4 ⑶ a +1a -1-a a 2
-2a +1÷1a
a 2-5a +2a 2-4x 2⑷ (a +2+1) ÷-2x +1x -3
a 2+4a +4 ⑸ x 2
-1
÷(1+x +1)
⑹ x -3x -2÷(x +2-5
1x -2) ⑺ x +1-1x +1x 2-1÷x 2-2x +1
⑻x 2-4x +4x 2-4÷x 2-2x x +2-1x +1 ⑼xy ⎛11⎫
x 2-y 2
÷ ⎝x -y -x +y ⎪ ⎭
a 2+b 2a 22
⑽ (ab -b 2
a -b ⑾x x -1-x +3x +2x +1x 2-1⨯x +3
⑿ (x +2x 2-2x -x -1x -4x +4÷x 2-16x 22y 23y 4
2) x 2+4x (13)、(-y ) ⋅(-x ) ÷(-x
)
（14）、3-m 52x 2m -4÷(m +2-m -2) （15）、-6x 2+x -6
4-4x +x
2
÷(x +3) ⋅3-x
⎛-2
1-1⎝2a b 2⎫⎪(-2⎭b c )
-1
（16）、 （17）、⎛ 2x 2⎫3
2a -2b
-3
-18
4-4x +x 2
⎪⎪÷⎛ ⎝
-3-x ⎫⎝2-x ⎪
⎭⎭
4．计算：(x +2x 2-2x -x -1x 2-4x +4
) ÷4-x
x ，并求当x =-3时原式的值．
5、先化简，⎛ 3x
x ⎫x 2-1⎝x -1-x +1⎪⎭
⋅
x 再取一个你喜欢的数代入求值：
、有这样一道题：“计算x 26-2x +1
x -1x 2-1
÷x 2+x -x 的值，其中x=2 004”
甲同学把“x=2 004”错抄成“x=2 040”，但他的计算结果也正确，你说这是怎么回事？
7、计算、1a (a +1) ＋1
(a +1)(a +2) ＋1(a +2)(a +3) ＋„＋1(a +2005)(a +2006)
。
8、已知4x +1
(x -2)(x -5) =A x -5＋B x -2
，求A 、B 的值.
9、已知y 21=2x，y 2=
y ，y 22
3=，„，y 2006=，求y 1·y 2006的值1
y y
22005
、. 已知y x =34，求x x +y ＋y x -y －y 2
10x 2-y
2
的值.
＋y=4，xy=3，求y x +x y 的值. 12、若x ＋1x 2
11. 若x x =3,求x 4+x 2+1
的值.
13、⑴已知：
1a +1b =1a +b 则b a +a b
= ⑵已知：a 2－3a+1=0则a 2+14
1a 2 a +a
414、已知x 2
+4y2
-4x+4y+5=0，求x 4-y 42x -x 2+y 222x 2+xy -y 2·y
xy -y 2
÷(y ) 的值.
a 2
+10a+25=－│b －3│，求代数式b 4
a 3+ab 2-2a 2b b 2-a 216. 已知(a -b ) 2
·b 3÷ab +b 2的值．
17、若1x -1y
=3，则5x +3xy -5y 3x -xy -3y =。
18、若x 2
-4xy +4y 2
=0；则x -y
x +y
=
19、若
12x 2+3y +7=18，则1
4x 2
+6y -9
= 20、若m -n =mn ，则1m -1
n
=。 21、若1+a 与1-b 互为倒数，且ab ≠0, 则11
a -b
=。
22、若x 2-5x +1=0, 则x 2+1
x 2
=。 23、已知x =
y -1
y +1
, 则用含x 的代数式表示y 24、若x =2005, y =2006; 则(x +y ) ∙x 2+y 2
x 4-y
4
= 25、若
y 9y x =10, 则（1-x ）2005∙(x y -x
) 2006= 26、若a b =2, 则a 2-ab +b 2
a 2+b
2
= 27、已知：112a +3ab -2a -b =3，求分式b a -ab -b
的值：
28. 甲、乙两人从两地同时出发, 若相向而行, 则a 小时相遇; 若同向而行, 则b 小时甲追上乙, 那么
甲的速度是乙的速度的( ) A.
a +b b b +b 倍 B. a +b C.a b -a 倍 D. b -a
b +a
倍
29. 观察如图1的图形(每个正方形的边长均为1) 和相应的等式, 探究其中的规律:
① 1×
112=1－2 ② 2×22
3=2－3
„„
③ 3×
34=3－3
4 ④4×445=4－5
„„
(1) 写出第五个等式, 并在图2给出的五个正方形上画出与之对应的图形; (2) 猜想并写出与第n 个图形相对应的等式.
(数形结合, 根据规律画图, 由特殊到一般找出分式的表达式)
30. 观察下面一列有规律的数:
13，28，315，424，535，648
„根据其规律可知第n 个数应是 _______________ (n为整数)
31、一水池有甲乙两个进水管, 若单独开甲、乙管各需要a 小时、b 小时可注满空池；现两管同时打开，那么注满空池的时间是（ ）
（A ）
1a +1b （B ）1ab （C ）1a +b （D ）ab a +b
32、汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v 1km ，t 小时可以到达，如果每小时多行驶v 2km ，那么可以
提前到达的小时数为 （ ）
（A ）
v 2t v （B ） v 1t （C ）v 1v 2 （D ）v 1t -v 2t
1+v 2v 1+v 2v 1+v 2v 2v 1
33、在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为V 1(km/h)下坡时的速度为V 2，（km/h),则他在这段
路上、下坡的平均速度为（ ） A.
v 1+v 22 B. v 1+v 2v C. 2v 1v 2
D. 无法确定 1+v 2v 1+v 2
34、一件工作, 甲独做a 小时完成, 乙独做b 小时完成, 则甲、乙两人合作完成需要( )小时.
A. 1a +11ab 1
b B.ab C. D.a +b a +b
35、若已知分式|x -2|-1－2
x 2-6x +9
的值为0，则x 的值为（ ）
A.19或－1 B. 1
9
或1 C.－1 D.1
1．计算：
（1）
（2）（﹣2m 2n ﹣2）2•（3m ﹣1n 3）
﹣3
2．计算：
3．化简：．
4．化简：
5．计算：
．6化简
•（x 2
﹣9）
7．计算：． 8. 计算：
+
． 9．计算：（1）
；
． 10．
．11．计算：
（2）
12．计算：﹣a
14．计算：a ﹣2+
15．计算：．
16．化简：，并指出x 的取值范围．
17．已知ab=1，试求分式：的值． 18．计算：﹣
19计算：
20．化简：
21．计算：
． 22．化简：
23．计算：（1）； （2）
．
24化简：
25．化简：