第十五章 分 式
15.1.1 从分数到分式
教学目标: 1．了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系．2．能确定分式有意义的条件．
教学重、难点: 分式的概念 教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣 章引言:
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？ 问题1 顺流航行的速度、逆流航行的速度与轮船
在静水中的速度、水流速度之间有什么关系？ 问题2 这个问题的等量关系是什么？
顺流航行90 km所用时间=逆流航行60 km所用时间． 问题3 应怎样设未知数？如何根据等量关系列出方程？
解：设江水的流速为v km/h.
依题意得：
追问
式子与分数有什么相同点和不同点？它们与你学过的整式有什么不
同？
问题4 填空：
2
（1）长方形的面积为10 cm，长为7 cm，宽应为 cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为 cm.
32
（2）把体积为200 cm的水倒入底面积为33 cm的圆柱形容器中，水面高度为 cm；把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为 .
追问1 上面问题中得到的式子
，，，
哪些不是我们学过的整式？
追问2 式子
的特征？
二、知识应用，巩固提高 分式的定义：
，，
与以前学过的整式不同，这些代数式有什么共同
一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式（fraction）.
分式中，A 叫做分子，B 叫做分母.
识别分式
例题：下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？
1x42a-5m-nx2+2x+1x，，，，2，， 2，c÷(a-b) 2x33b2+53m+nx-2x+1x-y
练习：下列式子：3a-2b，
x+1a+b7
，，，6÷(a+b)中，分式的个数是（ ）
3xx2+1
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
分式有意义的条件
2
有意义； 3xx
②当x 时，分式有意义；
x-11
③当x 时，分式有意义；
5-3x
①当x 时，分式
④当x、y满足关系 时，分式
x+y
有意义. x-y
练习：下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？ ①
2x+12m21 ② ③ ④ ⑤2 ax-13m+2x-1x-y
一．选择题：
1．下列各式中，是分式的是（ ） A．3x+x-1 B．
2
x-22x-31
C． D．(2x-1) 3x-14
2．把a+b÷c写成分式的形式，正确的是（ ） A．
a+bbaba
B．a+ C．+ D． ccccb+c80808080
B． C． D．m-
nm-nm+nn-m
3．原计划m天制造80件产品，现需要提前1天完成，则实际每天生产的件数为（ ） A．
14x5xx2-y21
4．下列各式：(1-x)，，，，，其中分式的个数为（ ）
5π-3xx+12
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
x
有意义，则x的取值范围为（ ） 2
x+1
A．x≠1 B．x≠-1 C．x≠1或x≠-1 D．全体实数 二．填空题：
6．请你写出一个含有字母a和b得分式： .
5．分式
7．甲、乙两地相距150千米，某人骑车从甲地到乙地需a小时，现需提前1小时到达，则骑车的速度每小时应为 千米.
x
有意义，则x的取值范围为 .
x2-16
三．题型拓展：分式的值
8．若分式
1．分式的值为0：对于
A
来说，A=0且B≠0 B
x-12x-4x2-4
⑴若分式的值为0， ⑵若分式的值为0， ⑶若分式的
x+1x+2x+1
值为0，
求x的值. 求x的值. 求x的值.
2．分式的值为正数：⎨练习⑴若分式
⎧A>0⎧A0⎧A
或⎨ ；分式的值为负数：⎨或⎨
⎩B>0⎩B0
2a+2x+1的值为正数， ⑵若分式的值为非正数，
3a-92x-5
求a的取值范围. 求x的取值范围
15.1.2 分式的基本性质
教学目标
1．了解分式的基本性质，体会类比的思想方法． 2．掌握分式的约分，了解最简分式的概念．
教学重、难点
分式的基本性质和分式的约分 教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣 问题1 下列分数是否相等？
分数的基本性质：
一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变． 分式的基本性质：
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的 整式，分式的值不变．
二、知识应用，巩固提高
（1）分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算； （2）所乘（或除以）的必须是同一个整式；（3）所乘（或除以）的整式应该不等于零. 例1 填空：
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．
例3 约分
:
(x+y)yx2+xyx2-y22bc
练习：约分：⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 222
acxyx+yx-y
四．专题练习：
1．确定分式的符号：⑴
-5y-x-a4m
⑵ ⑶ ⑷ -
-25x22b2．相反数的互换：⑴a-2=(____)(2-a) 2-a9-a2练习：约分：⑴a2-4 ⑵-a2-3a
⑷9-a2
a2-6a+9
-3n
⑵-a-2=(____)(a+2)
⑶m2-7m
49-m2
2y
15.1.2 分式的基本性质
教学目标 1．了解最简公分母的概念，会确定最简公分母. 2．通过类比分数的通分来探索分式的通分，能进行分式的通分，体会数式通性和类比的思想.
教学重、难点 准确确定分式的最简公分母 教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣 问题1 填空：
像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
最简公分母的确定方法：取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的乘积．
分母是多项式时，最简公分母的确定方法是：先因式分解，再将每一个因式看成一个整体，最后确定最简公分母． 二、知识应用，巩固提高
例 通分：
15.2.1 分式的乘除
教学目标:1．理解分式的乘除法法则，体会类比的思想. 2．会根据分式的乘除法法则进行简单的运算，并理解其算理
教学重、难点: 分式的乘除法法则的运用 教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣 计算：
二、知识应用，巩固提高
式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积为积的分母. 除法法则： 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 例1 计算：
分子与分母都是单项式的两个分式如何乘除？ 二、知识应用，巩固提高 例1 计算：
分子或分母是多项式的两个分式如何乘除呢？
解题策略： 对于分子与分母都是单项式的两个分式乘除，可直接利用分式的乘除法法则，再根据分式的基本性质进行约分，将最后的结果化成最简分式．而对于分子或分母中含有多项式的两个分式相乘，为了使算式简洁，也便于找出分子与分母中的公因式，需要先将多项式因式分解，把多项式化成整式的积的形式，然后利用分式的乘除法法则进行运算，利用分式的基本性质进行约分，并把最后的结果化成最简分式．
总结步骤：⑴确定符号；⑵除法转化为乘法；⑶因式分解；⑷运用乘法法则计算；⑸约分为最简分式
练习：计算：⑴
⎛2y2
3xy÷ -3x
⎝
3a16b-2ab-4xy12xy2
⋅2 ⑵⋅ ⑶÷8xy ⑷4b9a5a3x2y5ab2
⎫⎪ ⎪⎭
11a2-4a+4a-1
÷⋅22：计算：⑴2 ⑵ 22
49-mm-7ma-2a+1a-4
3a-3b25a2b3x2-4x+41
⋅2÷ 练习：1．计算：⑴ ⑵22
10aba-bxx-2x
x2-2x+1x-1x2-4y2x+2y
÷⑶ ⑷ ÷
x2-1x2+xx2+2xy+y22x2+2xy
x2-11x2+2xy+y211
⋅2．化简求值：⑴2其中x=- ⑵÷其中x=2，
x2x+2x+12x-2x2+xyy=-1
15.2.1 分式的乘方
教学目标 1.理解分式乘方的运算法则，能根据法则进行乘方运算，体会数式通性.2.能根据混合运算法则进行分式乘除、乘方混合运算.
教学重、难点 分式的乘方及分式乘除、乘方混合运算 教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
思考 你能结合有理数乘方的概念和分式乘法的法则写出结果吗？
（
a2a3a10）=？ （）=？ （）=？bbb
n
⎛a⎫
猜想：n 为正整数时 ⎪=? 你能写出推导过程吗？试试看．
⎝b⎭
你能用文字语言叙述得到的结论吗？分式的乘方法则：一般地，当n 是正整数时，
这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方． 二、知识应用，巩固提高 例2 计算：
例3 计算：
2
2
⎫2a⎛c⎫⎪÷⋅ ⎪ 3⎪d⎝2a⎭⎭3
⎛-2a2b⎫⎛a2b
⎪ 计算：（1） 3c⎪ （2） -cd3
⎝⎭⎝
⎛-2x4y2
（3） 3z
⎝
3
⎫⎛2ab3⎫6a4⎛-3c⎫⎪ （4） ⎪⎪ 2 -c2d⎪÷b3⋅ ⎪b⎝⎭⎝⎭⎭
32
15.2.2分式的加减
教学目标1．理解分式的加减法法则，体会类比思想． 2．会运用法则进行分式的加减运算，体会化归思想．
教学重、难点 分式的加减法法则 教学过程设计
分式的加减法与分数的加减法类似，它们实质相同．观察下列分数加减运算的式子，你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？
分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
二、知识应用，巩固提高 例 计算：
11
（2+．
2p+3q2p-3q
练习：⑴
⑶
x+11a2a3a
- ⑵ +-xxb+1b+1b+1
1132m+n
+ ⑷ -222
2cd3cd2m-n2m-n ⑸
⑺若a>b，请你探究
a111
+- ⑹
nn+1a2-b2a+b
11
与的大小关系 ab
15.2.2分式的混合运算
教学目标 1．理解分式混合运算的顺序．2．会正确进行分式的混合运算．
3．体会类比方法在研究分式混合运算过程中的重要价值．
教学重、难点 分式的混合运算． 教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
问题 数的混合运算的顺序是什么． 例1 计算：
对于不带括号的分式混合运算：（1）运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减； （2）计算结果要化为最简分式． 二、知识应用，巩固提高
例2 计算：
⎛5⎫2m-4（） 1 m+2+⎪⋅3-m；2-m⎝⎭⎛x+2x-1⎫x-4（2- x2-2xx2-4x+4⎪÷x．
⎝⎭
对于带括号的分式混合运算：（1）将各分式的分子、分母分解因式后，再进行计算； （2）注意处理好每一步运算中遇到的符号；（3）计算结果要化为最简分式． 三、应用提高、拓展创新 练习1 计算：
1⎫⎛1⎫2a-2a2-2a⎛
-÷练习：1． 1+ ⎪÷ 1-⎪ 2．
22⎝
x+1⎭⎝x+1⎭
．x23-2xx2-1÷⎛ ⎝x-1-2x-1⎫
x+1⎪⎭
⎛22
5. a⎫
1ab⎝b⎪⎭⋅
a-b-b÷4
2
练习：1．⎛ x⎫⎝2y⎪⎪yx2y2⎭
⋅2x-y2
÷x
a+1a-1a-2a+1 4．1x2
-9-1x-3÷6+2xx-1 2
2．x+1x⋅⎛ 2x⎫⎝x+1⎪⎭-⎛ 1
⎝x-1-1⎫x+1⎪⎭
15.2.3 整数指数幂
教学目标 1．了解负整数指数幂的意义．2．了解整数指数幂的性质并能运用它进行计算．
3．会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1 的正数．
教学重、难点 幂的性质（指数为全体整数），并会用于计算，以及用科学记数法表示一些小于1的正数． 教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
m m
问题1 a中指数m 可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂a表示什么？
（1）根据分式的约分，当 a≠0 时，如何计算a（2）如果把正整数指数幂的运算性质中的条件m >n 去掉，即假设这个性质对于像a
数学中规定： 当n 是正整数时，a
-n
3
3
÷a5？
（a≠0，m，n 是正整数，m >n）
÷a5情形也能使用， 如何计算？
=
1
a
(a≠0) 这就是说，a-n(a≠0)是an 的倒数．
归纳：
n
（am）（1）am⋅an=am+n （m，n 是整数）； （2）
n
nn
=amn （m，n 是整数）；
mnm-n
（ab）=ab （n 是整数）（3）；（4）a÷a=a（m，n 是整数）；
⎛a⎫（5） b⎪⎪
⎝⎭
n
an
=n（n 是整数）． b
二、知识应用，巩固提高 例1 计算：
填空：⑴ 3=；3=；3
2
2
-2
=-2
⑵ (-3)(-3)(-3)⑶b=；b=b2．计算：
⑴x2y-3x-1y ⑵2ab2c-3
⑶3a-2b⋅2ab-2
2
-2
=(b≠0)
()
3
()÷(ab)
-2
-2
3
-2
-1
()
-2
⑷4xyz÷-2xyz
2
()
探索：
1
=10-1101
0.01==10-2
100 1
0.001==10-3
1000
1
0.0001==10-4
100000.1=
归纳：
如何用科学记数法表示0.003 5和0.000 098 2呢？规律：
对于一个小于1的正小数，从小数点前的第一个0算起至小数点后第一个非0数字前有几个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数就是负几．
例2 用科学记数法表示下列各数：
（1）0.3；（2）-0.000 78；（3）0.000 020 09.
-9 3
例3 纳米（nm）是非常小的长度单位，1 nm =10m．把1 nm的物体放到乒乓球上，就
3 3
如同把乒乓球放到地球上．1 mm的空间可以放多少个1 nm的物体（物体之间的间隙忽略不计）？
练习
1：用科学记数法表示下列各数
⑴0.000001= ；⑵0.0012= ； ⑶0.000000345= ；⑷-0.000108= 计算
⑴2⨯10-6
(
)⋅(3⨯10) ⑵(3⨯10)÷(10)
2
-4
-53
-3-2
15.3 分式方程
教学目标 1．了解分式方程的概念．2．会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想．3．了解解分式方程根需要进行检验的原因．
教学重、难点 利用去分母的方法解分式方程 教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
问题1 为了解决引言中的问题，我们得到了方程那么如何解这个方程
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 二、知识应用，巩固提高 问题4 解分式方程：
9060
． =
30+v30-v
110
=2.x-5x-25
追问1 你得到的解x=5是分式方程
110
的解吗？该如何验证呢？x=5是原分式=2
x-5x-25
方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解．
追问2 上面两个分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为什么
（30-v）=60（30+v）整式方程90的解v=6是分式方程
方程x+5=10的解x=5却不是分式方程
9060
的解，而整式=
30+v30-v
110
的解？ =2
x-5x-25
原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0． 检验的方法主要有两种：（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．显然，第2种方法比较简便！
问题5你能概括出解分式方程的基本思 路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？ 基本思路 解分式方程的一般步骤: （1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验．
注意： 由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验． 三、应用提高、拓展创新 例1 解下列方程：
例2 解方程
x3-1=.
（x+2） x-1（x-1）
解分式方程的步骤： （1）去分母，将分式方程转化为整式方程；（2）解这个整式方程；
（3）检验．
用框图的方式总结为
：
二、知识应用，巩固提高
a
+b=1（b1）.
例3 解关于x 的方程 x-a,b≠1。
例4 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
一．分式方程的识别：
例题：下列方程中，是关于x的分式方程的有 . ①
13x-1143-xx1
= ③ ⑤2 =5 ② ==x-1 ④=
x+3x-9xx-13ab-13
3x2+x3+xx-1xmx
=4 B．-3==3-x C．-= D．2
x+1567+a2nm
练习：下列关于x的方程，是分式方程的是（ ） A．
二．分式方程的解
例题：若关于x的分式方程
4mx+3
=3的解是x=1，求m的值.
3+2x
6
=2的解为（ ） 2
x-1
A．x=2 B．x=-2 C．x=-2或x=2 D．x=0 练习2：请你写出一个解为x=1的分式方程为： .
练习1：分式方程
练习3：若关于x的分式方程
2m-4
=4的解是x=-1，求m的值. 3-x
三．分式方程的解法与增根
例题1．解方程：
练习： 解方程：1
x323
-1= = 例题2．解方程：
x-1x+2x-1x-3x
5262x3x8
+2=2 32 =1 2+1=
x+xx-xx-1x-3x+22x+4
15.3 分式方程实际应用
教学目标: 列分式方程解决实际问题．
教学重、难点: 列分式方程解实际问题． 教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
例1 某进货员发现一种应季衬衫，预计能畅销， 他用8 000元购进一批衬衫，很快销售一空．再进货时， 他发现这种衬衫的单价比上一次贵了4 元/件，他用 17 600元购进2 倍于第一次进货量的这种衬衫．问第一 次购进多少件衬衫？
分析：
二、应用提高、拓展创新
练习1 商场用50 000元从外地采购回一批T恤衫，由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购回比上一次多两倍的T恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元．求第一次购进多少件T恤衫．
工程问题：
1．相关背景：工作量=工作效率⨯时间；工作效率=
工作量工作量
；时间=.
工作效率时间
一般把工作量看成1
2．相关练习：一项工程甲工程队单独做需要a天完成，则甲工程队的工作效率为 ；乙工程队单独做需要b天完成，则乙工程队的工作效率为 ；甲、乙合作的工作效率为 ；
例题：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独做需要3个月完成，当甲队单独施工
1个月后，乙队加入共同施工，又工作了半个月，总工程全部完成，求乙队单独施工需要多少个月能完成全部工程？
练习：1．甲做180个零件与乙做240个零件所用的时间相同，已知两人每小时共做140个
零件，求甲、乙两人每小时各做多少个零件？
2．A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克. A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等，求两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
路程问题：
相关背景：路程=速度⨯时间 速度=
路程路程
时间= 时间速度
例题：从2004年5月起，某列车平均速度提速40千米/小时，用相同的时间，列车提速前
行驶125千米，提速后比提速前多行驶50千米，求提速前列车的平均速度为多少千米/小时？
练习1．从2004年5月起，某列车平均速度提速v千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，求提速前列车的平均速度为多少千米/小时？
3．两个小组同时开始攀登一座450米高的山，第一组的攀登速度是第二组的2倍，他们比第二组早15分钟到达了顶峰，求两个小组的攀登速度各是多少？
分式的复习
复习目标与要求：
（1）了解分式的意义及分式的基本性质； （2）会利用分式的基本性质进行约分和通分；
（3）会进行简单的分式加、减、乘、除乘方及其混合运算； 一 知识梳理
1．分式及其相关概念 （1）分式：形如
A
(B中含有字母)的式子，就叫分式。(B≠0) B
（2）公因式、约分、最简分式：分子、分母中没有公因式的分式。（公因式的找法） (3) 最简公分母、通分。（最简公分母的确定方法）注意：在确定最简公分母之前，必须得把各个分式的分子、分母因式分解，并化简。
2．分式有无意义的条件、分式的值为零的条件、分式的值满足其他条件的解法。 3．分式的基本性质
分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 4．分式的加减法
（1）同分母分式的加减法法则
（2）异分母分式的加减法法则：先通分转化成同分母，再按照同分母分式的加减法法则进行运算。
注意：通分要保证各分式与原分式相等；各分式分母相同． 5．分式的乘除法
乘法的实质是约分，除法转化成乘法计算。 6．分式的乘方
法则是分式的分子、分母分别乘方。 7.整数指数幂的运算与科学计数法
8.分式的混合运算：运算顺序及注意事项。 二 经典例题
例1．下列各式中不是分式的是（ ）
11x32x
A． B．2 C．2 D．
πxx-1x+y
x11211
,a-,0,中，整式有，分式有（巩固练习）在,(x-y),
323bcπx-1
例2．分式有意义，则x应满足条件（ ）
(x-2)(x-3)
A．x≠1 B．x≠2 C．x≠2且x≠3 D．x≠2或x≠3 例3．当x取何值时，下列分式的值为零？
x-3x2-1
（1）
x+1
（2）
x+3
|x|-1
分式中，当X 时分式的值为零？当X 时分式无意义？ x-13x+2
例4．若分式的值为非负数，求x的取值范围
1-2x
-x2
（巩固练习）（1）当X 分式的值为负数。
1+x2
-6
（2）．若整数X使为正整数，则X的值为 。
X-1
（巩固练习）.在
例5．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数．
12x+y
； （2）0.3a+0.5b． （1）120.2a-bx-y23
例6．下列各式不正确的是（ ） A-(a+b)a+b-a+ba+b-a-ba+bb-aa-b
=-=-=-= B C Dcccccc-cc
（巩固练习）不改变分式值,使分式的分子,分母中最高次项系数为正
3a-1
2
2a+1-5a
y
例7．若把分式的x和y都扩大到原来的两倍，则分式的值（ ）
x+y
的.-
A．扩大两倍 B．不变 C．缩小两倍 D．缩小四倍 （巩固练习）.将分式例8．约分：
a+b
中字母a,b分别扩大了3倍,则变形后的分式的值 . 22
ab
3
-32a2b3cx2+4x+32x(x-y)（1）； （2）； （3）； 22224bcdx+x-64yy-x（巩固练习）将下列各式约分：
n2-m2x2+2x+1-16x2y（1）； （2）； （3）；
m-nx2-120xy3
例9．计算：
4a2-b2ab-b2
-a+2 （2）- （3）⑴
a+2abab-a2
例10．化简求值：
1x2-2x⎛2x-1⎫先化简，再求值：2÷ x-1-⎪，其中x=。
2x+1⎭x-1⎝
a-ba2-b222
÷（变式练习）（1）已知a-2a+b+4b+5=0．1-
a+2ba2+4ab+4b2
2x+3xy-2y
= (2)．已知x-y=4xy，则
x-2xy-y
三. 适时训练 (一)细心填一填
x-2x2-7x-8
1．当x 时，分式2有意义；当x 时，分式的值为；
x-4x-1
1+x2x2
当x 时，分式的值为负数； 当x 时，分式的值为－1。
12-6x2-3x
2．计算：
⎛x⎫⎛y⎫yx2-1
⎪-⋅-÷①-＝ 。② ＝ ⎪2 y⎪xx1-x⎭⎝⎭⎝
m2n2a2+1
+-a+1＝ 。 ③＝ 。④m-nn-ma-1
21
2
3
112x+3xy-2y
的值为 。 -=3。则分式
xyx-2xy-y
11
4．若x＜0，则＝ 。 -
3-xx-3x
5．若分式的值是整数，则整数x的值是 。
x-1
2a2-3ab+b2
6．已知3a=4b，则＝ 。
a2-b2
a2+b2
7．若a+b=7，ab=12，则＝ 。
ab
111ba8．若-=，则+＝
baa-bab2x+1AB
=+9．若恒成立，则A＋B＝ 。
x+1x+2x+1x+2
1122
10．若x-5x+1=0，则x+x+2+＝。
xx
3．已知
（二）精心选 一选
x3a-bx2-1ax2+1x2
1.在代数式、-、-y、、、中，分式的个数是（ ）
3x+13a+2x-1π2
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
x2-2x-3-2
2.已知2的值为零，则x的值是（ ）
x-6x+9
11
A、－1或 B、1或 C、－1 D、1
99
32
(x-2)-(x-1)+12
3.已知x-5x-1997=0，则代数式的值是（ ）
x-2
A、1999 B、2000 C、2001 D、2002 4.已知x是整数且
222x+18++2为整数，则所有符合条件的x的值的和为（ ） x+33-xx-9
A、12 B、15 C、18 D、20 5.下列各题正确的个数为（ ）；
xx+1
-=1成立条件为x
x-1x
cc3m21
=-=③； ④
-a+ba+b6m82m4
①当x=-1时，公式
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）0个 (三)认真答一答
1x13-x⎛5⎫
-2+； ÷ x+2-⎪； 2.2
x-4x+4x-42x+4x-2⎝x-2⎭
⎡4a2-8a⎛a-1a+1⎫1m-nmn+n2⎤mn3.⎢2； 4. ÷-⋅-⋅ ⎪22222⎥a-a-2⎝a+1a-1⎭a+a-2m-n⎦n-1⎣m-2mn+n
1.
22
[1**********]-20
（3）(0.5⨯3)⨯(-2⨯)+(2005)+(-)
3113
(四) 先化简，再求值。
2
2
5.
⎛aa2
1.当a+4b-4a+4b+5=0时，求 a-b-a2-2ab+b2
⎝
的值。
⎫⎛aa2⎪⎪÷ a+b-a2-b2⎭⎝⎫⎪⎪ ⎭
x3-x21-x2
-2.请你先化简，再选一个使原式有意义，而你又喜爱的数值代入求2 的值。 x+1x-x
23
第十五章 分 式
15.1.1 从分数到分式
教学目标: 1．了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系．2．能确定分式有意义的条件．
教学重、难点: 分式的概念 教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣 章引言:
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？ 问题1 顺流航行的速度、逆流航行的速度与轮船
在静水中的速度、水流速度之间有什么关系？ 问题2 这个问题的等量关系是什么？
顺流航行90 km所用时间=逆流航行60 km所用时间． 问题3 应怎样设未知数？如何根据等量关系列出方程？
解：设江水的流速为v km/h.
依题意得：
追问
式子与分数有什么相同点和不同点？它们与你学过的整式有什么不
同？
问题4 填空：
2
（1）长方形的面积为10 cm，长为7 cm，宽应为 cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为 cm.
32
（2）把体积为200 cm的水倒入底面积为33 cm的圆柱形容器中，水面高度为 cm；把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为 .
追问1 上面问题中得到的式子
，，，
哪些不是我们学过的整式？
追问2 式子
的特征？
二、知识应用，巩固提高 分式的定义：
，，
与以前学过的整式不同，这些代数式有什么共同
一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式（fraction）.
分式中，A 叫做分子，B 叫做分母.
识别分式
例题：下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？
1x42a-5m-nx2+2x+1x，，，，2，， 2，c÷(a-b) 2x33b2+53m+nx-2x+1x-y
练习：下列式子：3a-2b，
x+1a+b7
，，，6÷(a+b)中，分式的个数是（ ）
3xx2+1
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
分式有意义的条件
2
有意义； 3xx
②当x 时，分式有意义；
x-11
③当x 时，分式有意义；
5-3x
①当x 时，分式
④当x、y满足关系 时，分式
x+y
有意义. x-y
练习：下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？ ①
2x+12m21 ② ③ ④ ⑤2 ax-13m+2x-1x-y
一．选择题：
1．下列各式中，是分式的是（ ） A．3x+x-1 B．
2
x-22x-31
C． D．(2x-1) 3x-14
2．把a+b÷c写成分式的形式，正确的是（ ） A．
a+bbaba
B．a+ C．+ D． ccccb+c80808080
B． C． D．m-
nm-nm+nn-m
3．原计划m天制造80件产品，现需要提前1天完成，则实际每天生产的件数为（ ） A．
14x5xx2-y21
4．下列各式：(1-x)，，，，，其中分式的个数为（ ）
5π-3xx+12
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
x
有意义，则x的取值范围为（ ） 2
x+1
A．x≠1 B．x≠-1 C．x≠1或x≠-1 D．全体实数 二．填空题：
6．请你写出一个含有字母a和b得分式： .
5．分式
7．甲、乙两地相距150千米，某人骑车从甲地到乙地需a小时，现需提前1小时到达，则骑车的速度每小时应为 千米.
x
有意义，则x的取值范围为 .
x2-16
三．题型拓展：分式的值
8．若分式
1．分式的值为0：对于
A
来说，A=0且B≠0 B
x-12x-4x2-4
⑴若分式的值为0， ⑵若分式的值为0， ⑶若分式的
x+1x+2x+1
值为0，
求x的值. 求x的值. 求x的值.
2．分式的值为正数：⎨练习⑴若分式
⎧A>0⎧A0⎧A
或⎨ ；分式的值为负数：⎨或⎨
⎩B>0⎩B0
2a+2x+1的值为正数， ⑵若分式的值为非正数，
3a-92x-5
求a的取值范围. 求x的取值范围
15.1.2 分式的基本性质
教学目标
1．了解分式的基本性质，体会类比的思想方法． 2．掌握分式的约分，了解最简分式的概念．
教学重、难点
分式的基本性质和分式的约分 教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣 问题1 下列分数是否相等？
分数的基本性质：
一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变． 分式的基本性质：
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的 整式，分式的值不变．
二、知识应用，巩固提高
（1）分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算； （2）所乘（或除以）的必须是同一个整式；（3）所乘（或除以）的整式应该不等于零. 例1 填空：
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．
例3 约分
:
(x+y)yx2+xyx2-y22bc
练习：约分：⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 222
acxyx+yx-y
四．专题练习：
1．确定分式的符号：⑴
-5y-x-a4m
⑵ ⑶ ⑷ -
-25x22b2．相反数的互换：⑴a-2=(____)(2-a) 2-a9-a2练习：约分：⑴a2-4 ⑵-a2-3a
⑷9-a2
a2-6a+9
-3n
⑵-a-2=(____)(a+2)
⑶m2-7m
49-m2
2y
15.1.2 分式的基本性质
教学目标 1．了解最简公分母的概念，会确定最简公分母. 2．通过类比分数的通分来探索分式的通分，能进行分式的通分，体会数式通性和类比的思想.
教学重、难点 准确确定分式的最简公分母 教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣 问题1 填空：
像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
最简公分母的确定方法：取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的乘积．
分母是多项式时，最简公分母的确定方法是：先因式分解，再将每一个因式看成一个整体，最后确定最简公分母． 二、知识应用，巩固提高
例 通分：
15.2.1 分式的乘除
教学目标:1．理解分式的乘除法法则，体会类比的思想. 2．会根据分式的乘除法法则进行简单的运算，并理解其算理
教学重、难点: 分式的乘除法法则的运用 教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣 计算：
二、知识应用，巩固提高
式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积为积的分母. 除法法则： 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 例1 计算：
分子与分母都是单项式的两个分式如何乘除？ 二、知识应用，巩固提高 例1 计算：
分子或分母是多项式的两个分式如何乘除呢？
解题策略： 对于分子与分母都是单项式的两个分式乘除，可直接利用分式的乘除法法则，再根据分式的基本性质进行约分，将最后的结果化成最简分式．而对于分子或分母中含有多项式的两个分式相乘，为了使算式简洁，也便于找出分子与分母中的公因式，需要先将多项式因式分解，把多项式化成整式的积的形式，然后利用分式的乘除法法则进行运算，利用分式的基本性质进行约分，并把最后的结果化成最简分式．
总结步骤：⑴确定符号；⑵除法转化为乘法；⑶因式分解；⑷运用乘法法则计算；⑸约分为最简分式
练习：计算：⑴
⎛2y2
3xy÷ -3x
⎝
3a16b-2ab-4xy12xy2
⋅2 ⑵⋅ ⑶÷8xy ⑷4b9a5a3x2y5ab2
⎫⎪ ⎪⎭
11a2-4a+4a-1
÷⋅22：计算：⑴2 ⑵ 22
49-mm-7ma-2a+1a-4
3a-3b25a2b3x2-4x+41
⋅2÷ 练习：1．计算：⑴ ⑵22
10aba-bxx-2x
x2-2x+1x-1x2-4y2x+2y
÷⑶ ⑷ ÷
x2-1x2+xx2+2xy+y22x2+2xy
x2-11x2+2xy+y211
⋅2．化简求值：⑴2其中x=- ⑵÷其中x=2，
x2x+2x+12x-2x2+xyy=-1
15.2.1 分式的乘方
教学目标 1.理解分式乘方的运算法则，能根据法则进行乘方运算，体会数式通性.2.能根据混合运算法则进行分式乘除、乘方混合运算.
教学重、难点 分式的乘方及分式乘除、乘方混合运算 教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
思考 你能结合有理数乘方的概念和分式乘法的法则写出结果吗？
（
a2a3a10）=？ （）=？ （）=？bbb
n
⎛a⎫
猜想：n 为正整数时 ⎪=? 你能写出推导过程吗？试试看．
⎝b⎭
你能用文字语言叙述得到的结论吗？分式的乘方法则：一般地，当n 是正整数时，
这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方． 二、知识应用，巩固提高 例2 计算：
例3 计算：
2
2
⎫2a⎛c⎫⎪÷⋅ ⎪ 3⎪d⎝2a⎭⎭3
⎛-2a2b⎫⎛a2b
⎪ 计算：（1） 3c⎪ （2） -cd3
⎝⎭⎝
⎛-2x4y2
（3） 3z
⎝
3
⎫⎛2ab3⎫6a4⎛-3c⎫⎪ （4） ⎪⎪ 2 -c2d⎪÷b3⋅ ⎪b⎝⎭⎝⎭⎭
32
15.2.2分式的加减
教学目标1．理解分式的加减法法则，体会类比思想． 2．会运用法则进行分式的加减运算，体会化归思想．
教学重、难点 分式的加减法法则 教学过程设计
分式的加减法与分数的加减法类似，它们实质相同．观察下列分数加减运算的式子，你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？
分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
二、知识应用，巩固提高 例 计算：
11
（2+．
2p+3q2p-3q
练习：⑴
⑶
x+11a2a3a
- ⑵ +-xxb+1b+1b+1
1132m+n
+ ⑷ -222
2cd3cd2m-n2m-n ⑸
⑺若a>b，请你探究
a111
+- ⑹
nn+1a2-b2a+b
11
与的大小关系 ab
15.2.2分式的混合运算
教学目标 1．理解分式混合运算的顺序．2．会正确进行分式的混合运算．
3．体会类比方法在研究分式混合运算过程中的重要价值．
教学重、难点 分式的混合运算． 教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
问题 数的混合运算的顺序是什么． 例1 计算：
对于不带括号的分式混合运算：（1）运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减； （2）计算结果要化为最简分式． 二、知识应用，巩固提高
例2 计算：
⎛5⎫2m-4（） 1 m+2+⎪⋅3-m；2-m⎝⎭⎛x+2x-1⎫x-4（2- x2-2xx2-4x+4⎪÷x．
⎝⎭
对于带括号的分式混合运算：（1）将各分式的分子、分母分解因式后，再进行计算； （2）注意处理好每一步运算中遇到的符号；（3）计算结果要化为最简分式． 三、应用提高、拓展创新 练习1 计算：
1⎫⎛1⎫2a-2a2-2a⎛
-÷练习：1． 1+ ⎪÷ 1-⎪ 2．
22⎝
x+1⎭⎝x+1⎭
．x23-2xx2-1÷⎛ ⎝x-1-2x-1⎫
x+1⎪⎭
⎛22
5. a⎫
1ab⎝b⎪⎭⋅
a-b-b÷4
2
练习：1．⎛ x⎫⎝2y⎪⎪yx2y2⎭
⋅2x-y2
÷x
a+1a-1a-2a+1 4．1x2
-9-1x-3÷6+2xx-1 2
2．x+1x⋅⎛ 2x⎫⎝x+1⎪⎭-⎛ 1
⎝x-1-1⎫x+1⎪⎭
15.2.3 整数指数幂
教学目标 1．了解负整数指数幂的意义．2．了解整数指数幂的性质并能运用它进行计算．
3．会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1 的正数．
教学重、难点 幂的性质（指数为全体整数），并会用于计算，以及用科学记数法表示一些小于1的正数． 教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
m m
问题1 a中指数m 可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂a表示什么？
（1）根据分式的约分，当 a≠0 时，如何计算a（2）如果把正整数指数幂的运算性质中的条件m >n 去掉，即假设这个性质对于像a
数学中规定： 当n 是正整数时，a
-n
3
3
÷a5？
（a≠0，m，n 是正整数，m >n）
÷a5情形也能使用， 如何计算？
=
1
a
(a≠0) 这就是说，a-n(a≠0)是an 的倒数．
归纳：
n
（am）（1）am⋅an=am+n （m，n 是整数）； （2）
n
nn
=amn （m，n 是整数）；
mnm-n
（ab）=ab （n 是整数）（3）；（4）a÷a=a（m，n 是整数）；
⎛a⎫（5） b⎪⎪
⎝⎭
n
an
=n（n 是整数）． b
二、知识应用，巩固提高 例1 计算：
填空：⑴ 3=；3=；3
2
2
-2
=-2
⑵ (-3)(-3)(-3)⑶b=；b=b2．计算：
⑴x2y-3x-1y ⑵2ab2c-3
⑶3a-2b⋅2ab-2
2
-2
=(b≠0)
()
3
()÷(ab)
-2
-2
3
-2
-1
()
-2
⑷4xyz÷-2xyz
2
()
探索：
1
=10-1101
0.01==10-2
100 1
0.001==10-3
1000
1
0.0001==10-4
100000.1=
归纳：
如何用科学记数法表示0.003 5和0.000 098 2呢？规律：
对于一个小于1的正小数，从小数点前的第一个0算起至小数点后第一个非0数字前有几个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数就是负几．
例2 用科学记数法表示下列各数：
（1）0.3；（2）-0.000 78；（3）0.000 020 09.
-9 3
例3 纳米（nm）是非常小的长度单位，1 nm =10m．把1 nm的物体放到乒乓球上，就
3 3
如同把乒乓球放到地球上．1 mm的空间可以放多少个1 nm的物体（物体之间的间隙忽略不计）？
练习
1：用科学记数法表示下列各数
⑴0.000001= ；⑵0.0012= ； ⑶0.000000345= ；⑷-0.000108= 计算
⑴2⨯10-6
(
)⋅(3⨯10) ⑵(3⨯10)÷(10)
2
-4
-53
-3-2
15.3 分式方程
教学目标 1．了解分式方程的概念．2．会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想．3．了解解分式方程根需要进行检验的原因．
教学重、难点 利用去分母的方法解分式方程 教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
问题1 为了解决引言中的问题，我们得到了方程那么如何解这个方程
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 二、知识应用，巩固提高 问题4 解分式方程：
9060
． =
30+v30-v
110
=2.x-5x-25
追问1 你得到的解x=5是分式方程
110
的解吗？该如何验证呢？x=5是原分式=2
x-5x-25
方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解．
追问2 上面两个分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为什么
（30-v）=60（30+v）整式方程90的解v=6是分式方程
方程x+5=10的解x=5却不是分式方程
9060
的解，而整式=
30+v30-v
110
的解？ =2
x-5x-25
原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0． 检验的方法主要有两种：（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．显然，第2种方法比较简便！
问题5你能概括出解分式方程的基本思 路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？ 基本思路 解分式方程的一般步骤: （1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验．
注意： 由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验． 三、应用提高、拓展创新 例1 解下列方程：
例2 解方程
x3-1=.
（x+2） x-1（x-1）
解分式方程的步骤： （1）去分母，将分式方程转化为整式方程；（2）解这个整式方程；
（3）检验．
用框图的方式总结为
：
二、知识应用，巩固提高
a
+b=1（b1）.
例3 解关于x 的方程 x-a,b≠1。
例4 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
一．分式方程的识别：
例题：下列方程中，是关于x的分式方程的有 . ①
13x-1143-xx1
= ③ ⑤2 =5 ② ==x-1 ④=
x+3x-9xx-13ab-13
3x2+x3+xx-1xmx
=4 B．-3==3-x C．-= D．2
x+1567+a2nm
练习：下列关于x的方程，是分式方程的是（ ） A．
二．分式方程的解
例题：若关于x的分式方程
4mx+3
=3的解是x=1，求m的值.
3+2x
6
=2的解为（ ） 2
x-1
A．x=2 B．x=-2 C．x=-2或x=2 D．x=0 练习2：请你写出一个解为x=1的分式方程为： .
练习1：分式方程
练习3：若关于x的分式方程
2m-4
=4的解是x=-1，求m的值. 3-x
三．分式方程的解法与增根
例题1．解方程：
练习： 解方程：1
x323
-1= = 例题2．解方程：
x-1x+2x-1x-3x
5262x3x8
+2=2 32 =1 2+1=
x+xx-xx-1x-3x+22x+4
15.3 分式方程实际应用
教学目标: 列分式方程解决实际问题．
教学重、难点: 列分式方程解实际问题． 教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
例1 某进货员发现一种应季衬衫，预计能畅销， 他用8 000元购进一批衬衫，很快销售一空．再进货时， 他发现这种衬衫的单价比上一次贵了4 元/件，他用 17 600元购进2 倍于第一次进货量的这种衬衫．问第一 次购进多少件衬衫？
分析：
二、应用提高、拓展创新
练习1 商场用50 000元从外地采购回一批T恤衫，由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购回比上一次多两倍的T恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元．求第一次购进多少件T恤衫．
工程问题：
1．相关背景：工作量=工作效率⨯时间；工作效率=
工作量工作量
；时间=.
工作效率时间
一般把工作量看成1
2．相关练习：一项工程甲工程队单独做需要a天完成，则甲工程队的工作效率为 ；乙工程队单独做需要b天完成，则乙工程队的工作效率为 ；甲、乙合作的工作效率为 ；
例题：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独做需要3个月完成，当甲队单独施工
1个月后，乙队加入共同施工，又工作了半个月，总工程全部完成，求乙队单独施工需要多少个月能完成全部工程？
练习：1．甲做180个零件与乙做240个零件所用的时间相同，已知两人每小时共做140个
零件，求甲、乙两人每小时各做多少个零件？
2．A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克. A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等，求两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
路程问题：
相关背景：路程=速度⨯时间 速度=
路程路程
时间= 时间速度
例题：从2004年5月起，某列车平均速度提速40千米/小时，用相同的时间，列车提速前
行驶125千米，提速后比提速前多行驶50千米，求提速前列车的平均速度为多少千米/小时？
练习1．从2004年5月起，某列车平均速度提速v千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，求提速前列车的平均速度为多少千米/小时？
3．两个小组同时开始攀登一座450米高的山，第一组的攀登速度是第二组的2倍，他们比第二组早15分钟到达了顶峰，求两个小组的攀登速度各是多少？
分式的复习
复习目标与要求：
（1）了解分式的意义及分式的基本性质； （2）会利用分式的基本性质进行约分和通分；
（3）会进行简单的分式加、减、乘、除乘方及其混合运算； 一 知识梳理
1．分式及其相关概念 （1）分式：形如
A
(B中含有字母)的式子，就叫分式。(B≠0) B
（2）公因式、约分、最简分式：分子、分母中没有公因式的分式。（公因式的找法） (3) 最简公分母、通分。（最简公分母的确定方法）注意：在确定最简公分母之前，必须得把各个分式的分子、分母因式分解，并化简。
2．分式有无意义的条件、分式的值为零的条件、分式的值满足其他条件的解法。 3．分式的基本性质
分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 4．分式的加减法
（1）同分母分式的加减法法则
（2）异分母分式的加减法法则：先通分转化成同分母，再按照同分母分式的加减法法则进行运算。
注意：通分要保证各分式与原分式相等；各分式分母相同． 5．分式的乘除法
乘法的实质是约分，除法转化成乘法计算。 6．分式的乘方
法则是分式的分子、分母分别乘方。 7.整数指数幂的运算与科学计数法
8.分式的混合运算：运算顺序及注意事项。 二 经典例题
例1．下列各式中不是分式的是（ ）
11x32x
A． B．2 C．2 D．
πxx-1x+y
x11211
,a-,0,中，整式有，分式有（巩固练习）在,(x-y),
323bcπx-1
例2．分式有意义，则x应满足条件（ ）
(x-2)(x-3)
A．x≠1 B．x≠2 C．x≠2且x≠3 D．x≠2或x≠3 例3．当x取何值时，下列分式的值为零？
x-3x2-1
（1）
x+1
（2）
x+3
|x|-1
分式中，当X 时分式的值为零？当X 时分式无意义？ x-13x+2
例4．若分式的值为非负数，求x的取值范围
1-2x
-x2
（巩固练习）（1）当X 分式的值为负数。
1+x2
-6
（2）．若整数X使为正整数，则X的值为 。
X-1
（巩固练习）.在
例5．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数．
12x+y
； （2）0.3a+0.5b． （1）120.2a-bx-y23
例6．下列各式不正确的是（ ） A-(a+b)a+b-a+ba+b-a-ba+bb-aa-b
=-=-=-= B C Dcccccc-cc
（巩固练习）不改变分式值,使分式的分子,分母中最高次项系数为正
3a-1
2
2a+1-5a
y
例7．若把分式的x和y都扩大到原来的两倍，则分式的值（ ）
x+y
的.-
A．扩大两倍 B．不变 C．缩小两倍 D．缩小四倍 （巩固练习）.将分式例8．约分：
a+b
中字母a,b分别扩大了3倍,则变形后的分式的值 . 22
ab
3
-32a2b3cx2+4x+32x(x-y)（1）； （2）； （3）； 22224bcdx+x-64yy-x（巩固练习）将下列各式约分：
n2-m2x2+2x+1-16x2y（1）； （2）； （3）；
m-nx2-120xy3
例9．计算：
4a2-b2ab-b2
-a+2 （2）- （3）⑴
a+2abab-a2
例10．化简求值：
1x2-2x⎛2x-1⎫先化简，再求值：2÷ x-1-⎪，其中x=。
2x+1⎭x-1⎝
a-ba2-b222
÷（变式练习）（1）已知a-2a+b+4b+5=0．1-
a+2ba2+4ab+4b2
2x+3xy-2y
= (2)．已知x-y=4xy，则
x-2xy-y
三. 适时训练 (一)细心填一填
x-2x2-7x-8
1．当x 时，分式2有意义；当x 时，分式的值为；
x-4x-1
1+x2x2
当x 时，分式的值为负数； 当x 时，分式的值为－1。
12-6x2-3x
2．计算：
⎛x⎫⎛y⎫yx2-1
⎪-⋅-÷①-＝ 。② ＝ ⎪2 y⎪xx1-x⎭⎝⎭⎝
m2n2a2+1
+-a+1＝ 。 ③＝ 。④m-nn-ma-1
21
2
3
112x+3xy-2y
的值为 。 -=3。则分式
xyx-2xy-y
11
4．若x＜0，则＝ 。 -
3-xx-3x
5．若分式的值是整数，则整数x的值是 。
x-1
2a2-3ab+b2
6．已知3a=4b，则＝ 。
a2-b2
a2+b2
7．若a+b=7，ab=12，则＝ 。
ab
111ba8．若-=，则+＝
baa-bab2x+1AB
=+9．若恒成立，则A＋B＝ 。
x+1x+2x+1x+2
1122
10．若x-5x+1=0，则x+x+2+＝。
xx
3．已知
（二）精心选 一选
x3a-bx2-1ax2+1x2
1.在代数式、-、-y、、、中，分式的个数是（ ）
3x+13a+2x-1π2
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
x2-2x-3-2
2.已知2的值为零，则x的值是（ ）
x-6x+9
11
A、－1或 B、1或 C、－1 D、1
99
32
(x-2)-(x-1)+12
3.已知x-5x-1997=0，则代数式的值是（ ）
x-2
A、1999 B、2000 C、2001 D、2002 4.已知x是整数且
222x+18++2为整数，则所有符合条件的x的值的和为（ ） x+33-xx-9
A、12 B、15 C、18 D、20 5.下列各题正确的个数为（ ）；
xx+1
-=1成立条件为x
x-1x
cc3m21
=-=③； ④
-a+ba+b6m82m4
①当x=-1时，公式
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）0个 (三)认真答一答
1x13-x⎛5⎫
-2+； ÷ x+2-⎪； 2.2
x-4x+4x-42x+4x-2⎝x-2⎭
⎡4a2-8a⎛a-1a+1⎫1m-nmn+n2⎤mn3.⎢2； 4. ÷-⋅-⋅ ⎪22222⎥a-a-2⎝a+1a-1⎭a+a-2m-n⎦n-1⎣m-2mn+n
1.
22
[1**********]-20
（3）(0.5⨯3)⨯(-2⨯)+(2005)+(-)
3113
(四) 先化简，再求值。
2
2
5.
⎛aa2
1.当a+4b-4a+4b+5=0时，求 a-b-a2-2ab+b2
⎝
的值。
⎫⎛aa2⎪⎪÷ a+b-a2-b2⎭⎝⎫⎪⎪ ⎭
x3-x21-x2
-2.请你先化简，再选一个使原式有意义，而你又喜爱的数值代入求2 的值。 x+1x-x
23