函数的单调性
数学082 潘先韵 08170228
要点
1．熟练掌握单调性的定义，理解单调区间的意义。
2．掌握好证明函数单调性的方法：取值；作差；定号；判断。
3．熟悉几种基本函数的单调性。
4．理解函数单调性的几何特征，根据图像判断函数的单调性。
5. 掌握好利用函数的单调性来比较数的大小的方法。
重点
函数单调性的概念以及函数单调性的判定、函数单调性的应用。
难点
利用函数单调性的概念来证明或判断函数的单调性。
详解
1．函数单调性的定义与单调区间
一般地，设函数f(x)的定义域为I 。
x , x x x 2 如果对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量12，当1（）
f (x 1) f (x 2) 时，都有（），那么就说f(x)在这个区间上是增函数（减函数）。
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，若是增函数，则该区间为增区间，若是减函数，则该区间为减函数。
2．判断函数单调性的方法
最基本的方法是依据函数单调性的定义来证明，其步骤如下：
x , x x
f (x 1) -f (x 2) 第二步：变形，变形有两种途径。一般采用作差法，即，并通过
因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变化；如果是指数型一般采用作商比较法；
f (x 1) -f (x 2) 第三步：定号，即确定差的符号，当符号不确定时，可进行分区
间讨论；
第四步：判断，即根据定义确定是增函数还是减函数．
也可根据函数简单的运算性质和复合函数的性质来确定函数的单调性．
3．函数单调性的应用
单调性是函数的重要性质，它在研究函数时具有重要的作用．具体表现在：
(1)利用函数的单调性，可以把比较函数值的大小问题，转化为比较自变量的大小问题，也是我们解不等式的依据．
(2)确定函数的值域或求函数的最值．
对于函数f(x)，如果它在区间[a，b]上是增函数，那么它的值域是[f(a)，f(b)]，如果它在区间[a，b]上是减函数，那么它的值域是[f(b)，f(a)]，如果它在区间[a，c]上是增(减) 函数，在[c，b]上是减(增) 函数，那么它的最大(小) 值是f(c)．
函数的单调性
数学082 潘先韵 08170228
要点
1．熟练掌握单调性的定义，理解单调区间的意义。
2．掌握好证明函数单调性的方法：取值；作差；定号；判断。
3．熟悉几种基本函数的单调性。
4．理解函数单调性的几何特征，根据图像判断函数的单调性。
5. 掌握好利用函数的单调性来比较数的大小的方法。
重点
函数单调性的概念以及函数单调性的判定、函数单调性的应用。
难点
利用函数单调性的概念来证明或判断函数的单调性。
详解
1．函数单调性的定义与单调区间
一般地，设函数f(x)的定义域为I 。
x , x x x 2 如果对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量12，当1（）
f (x 1) f (x 2) 时，都有（），那么就说f(x)在这个区间上是增函数（减函数）。
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，若是增函数，则该区间为增区间，若是减函数，则该区间为减函数。
2．判断函数单调性的方法
最基本的方法是依据函数单调性的定义来证明，其步骤如下：
x , x x
f (x 1) -f (x 2) 第二步：变形，变形有两种途径。一般采用作差法，即，并通过
因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变化；如果是指数型一般采用作商比较法；
f (x 1) -f (x 2) 第三步：定号，即确定差的符号，当符号不确定时，可进行分区
间讨论；
第四步：判断，即根据定义确定是增函数还是减函数．
也可根据函数简单的运算性质和复合函数的性质来确定函数的单调性．
3．函数单调性的应用
单调性是函数的重要性质，它在研究函数时具有重要的作用．具体表现在：
(1)利用函数的单调性，可以把比较函数值的大小问题，转化为比较自变量的大小问题，也是我们解不等式的依据．
(2)确定函数的值域或求函数的最值．
对于函数f(x)，如果它在区间[a，b]上是增函数，那么它的值域是[f(a)，f(b)]，如果它在区间[a，b]上是减函数，那么它的值域是[f(b)，f(a)]，如果它在区间[a，c]上是增(减) 函数，在[c，b]上是减(增) 函数，那么它的最大(小) 值是f(c)．