反比例函数的概念及图像和性质
★反比例函数的概念
1. 反比例函数：如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y=称y 是x 的反比例函数．
2. 反比例函数解析式的变形：反比例函数y=
k
（k•为常数，k ≠0）的形式，那么x
k
（k ≠0）还可以写成y =kx -1（k ≠0）或xy =k （k x
≠0）. 注意：（1）k 为常数，k ≠0；
k
（2）中分母x 的指数为1；
x
(3)自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数；（4）因变量y 的取值范围是y ≠0的一切实数． 例1. 若函数y =(m 2-m ) x m
【变式训练】1. 函数y =
2. 已知函数y =(m +m ) x
2
m 2-m -1
2
-3m +1
是反比例函数，则m 的值是？
m +2x
m 2+m -1
是反比例函数，求解析式.
. （1）若y 是x 的正比例函数，求m 的值；
（2）若y 是x 的反比例函数，求m 的值，并写出此时y 与x 的函数关系式.
例2. 已知y =y 1+y 2, y 1与x 2成正比例，y 2与x 成反比例，且x =1时，y =3; x =-1时，y =1，求当
1
x =-时y 的值。
2
【变式训练】已知y =y 1-y 2，y 1与x 成反比例，y 2与x -2成正比例，并且当x =3时，y =5；当x =1时，y =-1，求y 与x 之间的函数关系式。
例3. 在平行四边形ABCD 中，AB =8, AD =6, E 为AB 上一动点（不与A 、B 重合），设AE =x , DE 的延长线交CB 的延长线于点F , 设CF =y , 求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量x 的取值范围。
【变式训练】如图，平行四边形ABCD 中，AB =4cm , BC =1cm , E 是CD 边上一动点，AE 、BC 的延长线交于F 点，设DE =xcm ，BF =ycm . 求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。
D
E
B C F
★反比例函数图像和性质
利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，
①当k >0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y 随x 的增加而减小；
②当k
4．画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法；
（2）画反比例函数的图象要注意自变量的取值范围是x ≠0，因此，不能把两个分支连接起来； （3）由于在反比例函数中，x 和y 的值都不能为0，所以，画出的双曲线的两个分支要分别体现出
无限的接近坐标轴，但永远不能达到x 轴和y 轴的变化趋势． 例1. 已知反比例y =
m 2+m -3x
m 2+2m -2
的图像的两个分支分布在第二、四象限，求m 的值
【变式训练】
1. 已知反比例函数y =(m -2) x x
2. 若y =(k 2+k ) x k
2
2
-m -7
的图像位于第一、三象限，求m 的值。
-k -3
是反比例函数，则图像经过第_______象限
例2. 在反比例函数y =
k
(k x 2>0，则y 1-y 2的值为x
（ ）
A. 正数 B.负数 C.非正数 D.非负数
1
例3. 若点（x 1, y 1）（x 2, y 2）（x 3, y 3）都在反比例函数y =-的图象上，并且x 1＜0＜x 1＜x 3，
x
则下列各式正确的是（ ） A. y 1＜y 2＜y 3 B. y 2＜y 3＜y 1 C. y 3＜y 2＜y 1 D. y 1＜y 3＜y 2 【变式训练】
k ⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫
1. 若M -, y 1⎪、N -, y 2⎪、P , y 3⎪三点都在函数y =（ｋ＜0）的图象上，则y 1、y 2、y 3的
x ⎝2⎭⎝4⎭⎝2⎭大小关系为（ ）
A. y 2＞y 3＞y 1 B. y 2＞y 1＞y 3 C. y 3＞y 1＞y 2 D. y 3＞y 2＞y 1 2、若反比例函数y =(2m -1) x m
A. －1或1 B.小于
2
-2
的图像在第二、四象限，则m 的值是（ ）
1
的任意实数 C.－1 Ｄ. 不能确定 2k +1
3、 设有反比例函数y =，(x 1, y 1) 、(x 2, y 2) 为其图象上的两点，若x 0y 2，则
x
k 的取值范围是_____。 ★课后练习：
1．如果y 是x 的反比例函数，那么当x 增大时，y 就减小 （ ） 2．当x 与y 乘积一定时，y 就是x 的反比例函数，x 也是y 的反比例函数（ ） 3．如果一个函数不是正比例函数，就是反比例函数（ ） 4．y 与x 2成反比例时，y 与x 并不成反比例 （ ） 5．y 与2x 成反比例时，y 与x 也成反比例 （ ）
k
(k ≠0) 叫__________函数，x 的取值范围是__________； x
7．若y =(5+m ) x 2+n 是反比例函数，则m 、n 的取值是________________. 6．y =
8．如果函数y =kx 2k
2
+k -2
是反比例函数，那么k =________，此函数的解析式是 ；
9．已知函数y =2x m -1，当m =_____时，y 是x 的正比例函数；当m =____时，y 是x 的反比例函数。 10．函数y =(m +2) x m
2
-2m -9
是反比例函数，则m 的值是__________.
11．已知点A (-2, a ) 满足函数y =12．反比例函数y =
2
，则a =_______. x
k
的图像经过点P (m , n ) ，其中m , n 是一元二次方程x 2+kx +4=0 的两个根，x
那么点P 的坐标是__________.
13．下列函数中，是反比例函数的是（ ）
111
A. x (y -1) =1 B. y = C. y =2 D. y =
3x x +1x 14. 若y 与x 成反比例，x 与z 成正比例，则y 是z 的（ ） A. 正比例函数 B. 反比例函数 C.一次函数 D. 不能确定 15. 若A. 正
111
与y 成反比例，与z 成正比例，则x 与成( )比例. x z y B.反 C.不成
D.有一次函数关系
4
的图象上，则（ ）． x
16. 已知点A (-3, y 1), B (-2, y 2), C (3, y 3) 都在反比例函数y =
A．y 1
1
17在反比例函数y =-的图像上有三点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3) 。若x 1>x 2>0>x 3则下
x
列各式正确的是（ ）
A ．y 3>y 1>y 2 B．y 3>y 2>y 1 C．y 1>y 2>y 3 D．y 1>y 3>y 2 18. 如果函数y =kx 2k
2
+k -2
的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？
19. 已知：y =y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 2成反比例，当x =2与x =3时，y 的值都等于19，求y 与x 的函数解析式. 并求当x =4时，y 的值。
反比例函数的概念及图像和性质
★反比例函数的概念
1. 反比例函数：如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y=称y 是x 的反比例函数．
2. 反比例函数解析式的变形：反比例函数y=
k
（k•为常数，k ≠0）的形式，那么x
k
（k ≠0）还可以写成y =kx -1（k ≠0）或xy =k （k x
≠0）. 注意：（1）k 为常数，k ≠0；
k
（2）中分母x 的指数为1；
x
(3)自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数；（4）因变量y 的取值范围是y ≠0的一切实数． 例1. 若函数y =(m 2-m ) x m
【变式训练】1. 函数y =
2. 已知函数y =(m +m ) x
2
m 2-m -1
2
-3m +1
是反比例函数，则m 的值是？
m +2x
m 2+m -1
是反比例函数，求解析式.
. （1）若y 是x 的正比例函数，求m 的值；
（2）若y 是x 的反比例函数，求m 的值，并写出此时y 与x 的函数关系式.
例2. 已知y =y 1+y 2, y 1与x 2成正比例，y 2与x 成反比例，且x =1时，y =3; x =-1时，y =1，求当
1
x =-时y 的值。
2
【变式训练】已知y =y 1-y 2，y 1与x 成反比例，y 2与x -2成正比例，并且当x =3时，y =5；当x =1时，y =-1，求y 与x 之间的函数关系式。
例3. 在平行四边形ABCD 中，AB =8, AD =6, E 为AB 上一动点（不与A 、B 重合），设AE =x , DE 的延长线交CB 的延长线于点F , 设CF =y , 求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量x 的取值范围。
【变式训练】如图，平行四边形ABCD 中，AB =4cm , BC =1cm , E 是CD 边上一动点，AE 、BC 的延长线交于F 点，设DE =xcm ，BF =ycm . 求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。
D
E
B C F
★反比例函数图像和性质
利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，
①当k >0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y 随x 的增加而减小；
②当k
4．画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法；
（2）画反比例函数的图象要注意自变量的取值范围是x ≠0，因此，不能把两个分支连接起来； （3）由于在反比例函数中，x 和y 的值都不能为0，所以，画出的双曲线的两个分支要分别体现出
无限的接近坐标轴，但永远不能达到x 轴和y 轴的变化趋势． 例1. 已知反比例y =
m 2+m -3x
m 2+2m -2
的图像的两个分支分布在第二、四象限，求m 的值
【变式训练】
1. 已知反比例函数y =(m -2) x x
2. 若y =(k 2+k ) x k
2
2
-m -7
的图像位于第一、三象限，求m 的值。
-k -3
是反比例函数，则图像经过第_______象限
例2. 在反比例函数y =
k
(k x 2>0，则y 1-y 2的值为x
（ ）
A. 正数 B.负数 C.非正数 D.非负数
1
例3. 若点（x 1, y 1）（x 2, y 2）（x 3, y 3）都在反比例函数y =-的图象上，并且x 1＜0＜x 1＜x 3，
x
则下列各式正确的是（ ） A. y 1＜y 2＜y 3 B. y 2＜y 3＜y 1 C. y 3＜y 2＜y 1 D. y 1＜y 3＜y 2 【变式训练】
k ⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫
1. 若M -, y 1⎪、N -, y 2⎪、P , y 3⎪三点都在函数y =（ｋ＜0）的图象上，则y 1、y 2、y 3的
x ⎝2⎭⎝4⎭⎝2⎭大小关系为（ ）
A. y 2＞y 3＞y 1 B. y 2＞y 1＞y 3 C. y 3＞y 1＞y 2 D. y 3＞y 2＞y 1 2、若反比例函数y =(2m -1) x m
A. －1或1 B.小于
2
-2
的图像在第二、四象限，则m 的值是（ ）
1
的任意实数 C.－1 Ｄ. 不能确定 2k +1
3、 设有反比例函数y =，(x 1, y 1) 、(x 2, y 2) 为其图象上的两点，若x 0y 2，则
x
k 的取值范围是_____。 ★课后练习：
1．如果y 是x 的反比例函数，那么当x 增大时，y 就减小 （ ） 2．当x 与y 乘积一定时，y 就是x 的反比例函数，x 也是y 的反比例函数（ ） 3．如果一个函数不是正比例函数，就是反比例函数（ ） 4．y 与x 2成反比例时，y 与x 并不成反比例 （ ） 5．y 与2x 成反比例时，y 与x 也成反比例 （ ）
k
(k ≠0) 叫__________函数，x 的取值范围是__________； x
7．若y =(5+m ) x 2+n 是反比例函数，则m 、n 的取值是________________. 6．y =
8．如果函数y =kx 2k
2
+k -2
是反比例函数，那么k =________，此函数的解析式是 ；
9．已知函数y =2x m -1，当m =_____时，y 是x 的正比例函数；当m =____时，y 是x 的反比例函数。 10．函数y =(m +2) x m
2
-2m -9
是反比例函数，则m 的值是__________.
11．已知点A (-2, a ) 满足函数y =12．反比例函数y =
2
，则a =_______. x
k
的图像经过点P (m , n ) ，其中m , n 是一元二次方程x 2+kx +4=0 的两个根，x
那么点P 的坐标是__________.
13．下列函数中，是反比例函数的是（ ）
111
A. x (y -1) =1 B. y = C. y =2 D. y =
3x x +1x 14. 若y 与x 成反比例，x 与z 成正比例，则y 是z 的（ ） A. 正比例函数 B. 反比例函数 C.一次函数 D. 不能确定 15. 若A. 正
111
与y 成反比例，与z 成正比例，则x 与成( )比例. x z y B.反 C.不成
D.有一次函数关系
4
的图象上，则（ ）． x
16. 已知点A (-3, y 1), B (-2, y 2), C (3, y 3) 都在反比例函数y =
A．y 1
1
17在反比例函数y =-的图像上有三点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3) 。若x 1>x 2>0>x 3则下
x
列各式正确的是（ ）
A ．y 3>y 1>y 2 B．y 3>y 2>y 1 C．y 1>y 2>y 3 D．y 1>y 3>y 2 18. 如果函数y =kx 2k
2
+k -2
的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？
19. 已知：y =y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 2成反比例，当x =2与x =3时，y 的值都等于19，求y 与x 的函数解析式. 并求当x =4时，y 的值。