函数的单调性
陶维林
一.内容和内容解析
函数的单调性是研究当自变量x 不断增大时,它的函数y 增大还是减小的性质.如函数
单调增表现为“随着x 增大,y 也增大”这一特征.与函数的奇偶性不同,函数的奇偶性是
研究x 成为相反数时,y 是否也成为相反数,即函数的对称性质.
函数的单调性与函数的极值类似,是函数的局部性质,在整个定义域上不一定具有.这
与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同,它们是函数在整个定义域上的性质.
函数单调性的研究方法也具有典型意义,体现了对函数研究的一般方法.这就是,加强
“数”与“形”的结合,由直观到抽象;由特殊到一般.首先借助对函数图象的观察、分析、
归纳,发现函数的增、减变化的直观特征,进一步量化,发现增、减变化数字特征,从而进
一步用数学符号刻画.
函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据,在研究函数的值域、定义域、最大值、
最小值等性质中有重要应用(内部);在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他
内容的研究中也有重要的应用(外部).可见,不论在函数内部还是在外部,函数的单调性
都有重要应用,因而在数学中具有核心地位.
教学的重点是,引导学生对函数在区间(a ,b )上“随着x 增大,y 也增大(或减小)”
这一特征进行抽象的符号描述:在区间(a ,b )上任意取x 1,x 2,当x 1<x 2时,有 f(x 2)
>f (x 1)(或f (x 2)<f (x 1)),则称函数f (x )在区间(a ,b )上单调增(或单调减).
二.目标和目标解析
本节课要求学生理解函数在某区间上单调的意义,掌握用函数单调性的定义证明简单函
数在某区间上具有某种单调性的方法(步骤).
1.能够以具体的例子说明某函数在某区间上是增函数还是减函数;
2.能够举例,并通过绘制图形说明函数在定义域的子集(区间)上具有单调性,而在
整个定义域上未必具有单调性,说明函数的单调性是函数的局部性质;
3.对于一个具体的函数,能够用单调性的定义,证明它是增函数还是减函数:在区间
上任意取x 1,x 2,设x 1<x 2,作差f (x 2)-f (x 1),然后判断这个差的正、负,从而证明
函数在该区间上是增函数还是减函数.
三.教学问题诊断分析
学生已有的认知基础是,初中学习过函数的概念,初步认识到函数是一个刻画某些运动
变化数量关系的数学概念;进入高中以后,又进一步学习了函数的概念,认识到函数是两个
数集之间的一种对应.学生还了解函数有三种表示方法,特别是可以借助图象对函数特征加
以直观考察.此外,还学习过一次函数、二次函数、反比例函数等几个简单而具体的函数,
了解它们的图象及性质.尤其值得注意的是,学生有利用函数性质进行两个数大小比较的经
验.
“图象是上升的,函数是单调增的;图象是下降的,函数是单调减的”仅就图象角度直
观描述函数单调性的特征学生并不感到困难.困难在于,把具体的、直观形象的函数单调性
的特征抽象出来,用数学的符号语言描述.即把某区间上“随着x 的增大,y 也增大”(单
调增)这一特征用该区间上“任意的x 1<x 2,有f (x 1)<f (x 2)”(单调增)进行刻画.其
中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的x 1,x 2.
教学中,通过一次函数、二次函数等具体函数的图象及数值变化特征的研究,得到“图
象是上升的”,相应地,即“随着x 的增大,y 也增大”,初步提出单调增的说法.通过讨
论、交流,让学生尝试,就一般情况进行刻画,提出“在某区间上,如果对于任意的x 1<x 2
有f (x 1)<f (x 2)”则函数在该区间上具有“图象是上升的”、“随着x 的增大,y 也增
大”的特征.进一步给出函数单调性的定义.然后通过辨析、练习等帮助学生理解这一概念.
企图在一节课中完成学生对函数单调性的真正理解可能是不现实的.在今后,学生通过
判断函数的单调性,寻找函数的单调区间,运用函数的单调性解决具体问题,等一系列学习
活动可以逐步理解这个概念.
四.教学支持条件分析
为了有效实现教学目标,条件许可,可以借助计算机或者计算器绘制函数图象,同时辅
以坐标计算、跟踪点以及等手段观察函数的数字变化特征.
五.教学过程设计
1.认识研究函数单调性的必要性
前面已经学习过函数的概念、函数表示法,紧接着对函数要研究些什么?那就是函数的
性质(特征).研究函数的性质,是为了更好地把握变化规律.
对于运动变化问题,最基本的就是描述变化的快或慢、增或减„„相应的,函数的特征
就包含:函数的增与减(单调性),函数的最大值、最小值,等.使学生感受到,紧接研究
函数的性质是必然的学习任务.也可以由教师引导,借助对一些函数图象的观察、对所观察
到的特征进行归类,引入函数的某个性质的研究.比如,观察图1中各个函数的图象,你能
说说它们分别反映了相应函数的哪些变化特征?有图象上升的特征,图象有时上升有时下降
的特征,图象关于y 轴对称的特征,等.我们将逐一研究这些特征.
2.函数单调性的认识
问题串的设计大体从两个层次上展开,目的是经历从直观到抽象,从特殊到一般的过程.
首先利用图象描述变化规律,如上升、下降,从几何直观角度认识函数单调性;然后从
数值变化角度描述变化规律,图象上升(下降),也就是随着x 的增大y 也增大(或减小);
最后用数学符号语言描述.
问题1 如图2,观察一次函数f (x )=x 和二次函数f (x )=x 2的图象,说说随着x
的增大,图象的升降情况.
函数f (x )=x 的图象由左到右是上升的;函数f (x )=x 2的图象在y 轴左侧是下降的,
在y 轴右侧是上升的.
意图:通过几何直观,引导学生关注图象所反映出的特征,体验自变量从小到大变化时,
函数值大小变化在图象上的表现.
初步提出函数单调性的意义:函数图象的升降反映了函数的一个基本性质——单调
性.我们把二次函数f (x )=x 在y 轴左侧下降称为f (x )=x 在区间
在y 轴右侧上升称为函数f (x )=x 在区间222上“单调减”;上“单调增”.
下面以二次函数f (x )=x 2为例,通过列出x ,y 的对应值来研究它的上升与下降情况.
问题2 观察下列表格,描述二次函数f (x )=x 随x 增大函数值的变化特征:
2
意图:从一个特殊例子,结合前面的图象特征,从数值变化角度认识函数的单调性.
图象在y 轴左侧“下降”,也就是说,在区间上,随着x 的增大,相应的f (x )
上,随着x 的增大,值反而随着减小;图象在y 轴右侧“上升”,也就是说,在区间
相应的f (x )值也随着增大.
问题3 对于一般函数f (x ),如果在区间上有“图象上升”、“随着x 的增
大,相应的f (x )值也增大”的特点,那么应该怎样刻画呢?
意图:从形象到抽象,从具体到一般.先让学生尝试描述一般函数f (x )在
“图象上升”、“随着x 的增大,相应的f (x )值也增大”的特征.
这个问题具有较高的思维要求,需要“跳一跳才能摘到果子”.教学上,可以让学生开
展讨论、交流.通过学生的活动,逐渐认识函数单调性的刻画方法.在这个过程中,二次函
数的特征是一个具体的载体,可以起到验证、支持作用.
如果学生主动提出函数单调增的一般定义,则可以议论“为什么?”,让学生以二次函
数f (x )=x 为例解释定义的合理性.
给出函数单调性的一般定义.
2上
一般地,设函数f (x )的定义域为I :
如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有
f (x 1)<f (x 2),那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数;对于定义域I 内的某个区间
D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2),那么就说函数f
(x )在区间D 上是减函数.
练习
下列说法是否正确?请画图说明理由:
(1)如果对于区间上的任意x 有f (x )>f (0),则函数f (x )在区间
上单调增;
(2)对于区间上(a ,b )的某3个自变量的值x 1,x 2,x 3,当a <x 1<x 2<x 3<b 时,有
f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (x 3)<f (b ),则函数f (x )在区间(a ,b )单调增.
意图:使学生进一步体验到定义中“任意”二字的必要性.
3.单调性概念的应用
通过具体的函数单调性的证明过程进一步加深对函数单调性的认识.
例1 物理学中的波利尔定律p =(k 是正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当
体积V 减小,压强p 将增大.试用函数的单调性证明之.
分析怎样来证明“体积V 减小,压强p 将增大”呢,根据函数单调性的定义,只要证明
函数p =((k 是正常数)是减函数.怎样证明函数p =((k 是正常数)是减函数呢,
只要在区间(0,+∞)(因为体积V >0)任意取两个大小不相等的值,证明较小的值对应
的函数值较大,即
设V 1<V 2,去证明p 1>p 2.也就是只要证明p 1-p 2>0.
证明 设V 1<V 2,V 1,V 2∈(0,+∞).
p 1-p 2=-=
.
因为k 是正常数,V 1<V 2,所以
>0,p 1>p 2.
所以,体积V 减小,压强p 将增大.
教师把重心放在思路的分析(函数单调性的理解、运用)上,而让学生进行具体证明步
骤的书写.
练习
画出反比例函数y =
(1)指出这个函数的定义域I 是什么;
(2)它在定义域I 上具有怎样的单调性?证明你的结论.
答:(图象略). 的图象.
(1)这个函数的定义域I =(-∞,0)∪(0,+∞).
(2)在区间(-∞,0)上函数单调减,在区间(0,+∞)上函数也单调减.(证明
略)
六.目标检测设计
1.举一个与实际生活联系的例子,并说明这个函数在定义域上是减函数.
2.画图说明:函数f (x )在它的定义域I 内的两个区间D 1,D 2上都单调增,而在定义
域I 上并不单调增.
3.证明函数f (x )=x 2-2x 在区间(1,+∞)上是增函数.
4.研究函数f (x )=
的单调性.
本文为“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题教学设计案例
函数的单调性
湖北省黄石实验高中 杨瑞强
教学目标
知识目标:初步理解增函数、减函数、函数的单调性、单调区间的概念,并掌握判断
一些简单函数单调性的方法。
能力目标:启发学生能够发现问题和提出问题,学会分析问题和创造地解决问题;通过观察——猜想——推理——证明这一重要的思想方法,进一步培养学生的逻辑推理能力
和创新意识。
德育目标:在揭示函数单调性实质的同时进行辩证唯物主义思想教育。:
教学重点:函数单调性的有关概念的理解
教学难点:利用函数单调性的概念判断或证明函数单调性
教 具: 多媒体课件、实物投影仪
教学过程:
一、创设情境,导入课题
[引例1]如图为2006年黄石市元旦24小时内的气温变化图.观察这张气温变化图:
问题1:气温随时间的增大如何变化?
问题2:怎样用数学语言来描述“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征?
[引例2]观察二次函数的图象,从左向右函数图象如何变化?并总结归纳出函数
图象中自变量x 和 y值之间的变化规律。
结论:(1)y 轴左侧:逐渐下降; y轴右侧:逐渐上升;
(2)左侧 y随x 的增大而减小;右侧y 随x 的增大而增大。
上面的结论是直观地由图象得到的。还有很多函数具有这种性质,因此,我们有必要
对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究。
二、给出定义,剖析概念
①定义:对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值
⑴若当
⑵若当f(), 则f(x) 在这个区间上是减函数(如图4)。
②单调性与单调区间
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间. 此时也说函数是这一区间上的单调函数. 由此可
知单调区间分为单调增区间和单调减区间。
注意:
(1)函数单调性的几何特征:在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象
是下降的。
当x1 f(x2)
y 随x 增大而减小。
几何解释:递增
函数图象从左到右逐渐上升;递减
(2)函数单调性是针对某一个区间而言的,是一个局部性质。
有些函数在整个定义域内是单调的;有些函数在定义域内的部分区间上是增函数,在
部分区间上是减函数;有些函数是非单调函数,如常数函数。
判断2:定义在R 上的函数 f (x ) 满足 f (2)> f (1),则函数 f (x ) 在R 上是增函数。
(×)
函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质,
殊值代替。
训练:画出下列函数图像,并写出单调区间:
函数图象从左到右逐渐下降。 。 具有任意性,不能用特
三、范例讲解,运用概念
例1 、如图,是定义在闭区间[-5,5]上的函数单调区间,以及在每一单调区间上,函数
的图象,根据图象说出是增函数还减函数。 的
注意:
(1)函数的单调性是对某一个区间而言的,对于单独的一点,由于它的函数值是唯一
确定的常数,因而没有增减变化,所以不存在单调性问题。
(2)在区间的端点处若有定义,可开可闭,但在整个定义域内要完整。
例2 判断函数 f (x) =3x+2 在R 上是增函数还是减函数?并证明你的结论。
引导学生进行分析证明思路,同时展示证明过程:
由
于是
即
所以,
分析证明中体现函数单调性的定义。
利用定义证明函数单调性的步骤:
①任意取值:即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且x1
②作差变形:作差f(x1)-f(x2),并因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于
判断差的符号的方向变形
③判断定号:确定f(x1)-f(x2)的符号
④得出结论:根据定义作出结论(若差0,则为增函数;若差0,则为减函数)
,且,则 ,得 。 在R 上是增函数。
即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”
例3、 证明函数在(0,+) 上是减函数.
证明:设,且,则
(*)
由,得
又由,得,
于是即。
即。
所以,函数在区间上是单调减函数。
问题1 :在上是什么函数?(减函数)
问题2 :能否说函数在定义域上是减函数?
四、课堂练习,知识巩固
(学生讨论得出)
课本59页 练习:第1、3、4题。
五、课堂小结,知识梳理
1、增、减函数的定义。
函数单调性是对定义域的某个区间而言的,反映的是在这一区间上函数值随自变量变
化的性质。
2、函数单调性的判断方法:(1)利用图象观察;(2)利用定义证明:
证明的步骤:任意取值——作差变形——判断符号——得出结论。
六、布置作业,教学延伸
课本60页 习题2.3 :第4、5、6题。
函数的单调性
陶维林
一.内容和内容解析
函数的单调性是研究当自变量x 不断增大时,它的函数y 增大还是减小的性质.如函数
单调增表现为“随着x 增大,y 也增大”这一特征.与函数的奇偶性不同,函数的奇偶性是
研究x 成为相反数时,y 是否也成为相反数,即函数的对称性质.
函数的单调性与函数的极值类似,是函数的局部性质,在整个定义域上不一定具有.这
与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同,它们是函数在整个定义域上的性质.
函数单调性的研究方法也具有典型意义,体现了对函数研究的一般方法.这就是,加强
“数”与“形”的结合,由直观到抽象;由特殊到一般.首先借助对函数图象的观察、分析、
归纳,发现函数的增、减变化的直观特征,进一步量化,发现增、减变化数字特征,从而进
一步用数学符号刻画.
函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据,在研究函数的值域、定义域、最大值、
最小值等性质中有重要应用(内部);在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他
内容的研究中也有重要的应用(外部).可见,不论在函数内部还是在外部,函数的单调性
都有重要应用,因而在数学中具有核心地位.
教学的重点是,引导学生对函数在区间(a ,b )上“随着x 增大,y 也增大(或减小)”
这一特征进行抽象的符号描述:在区间(a ,b )上任意取x 1,x 2,当x 1<x 2时,有 f(x 2)
>f (x 1)(或f (x 2)<f (x 1)),则称函数f (x )在区间(a ,b )上单调增(或单调减).
二.目标和目标解析
本节课要求学生理解函数在某区间上单调的意义,掌握用函数单调性的定义证明简单函
数在某区间上具有某种单调性的方法(步骤).
1.能够以具体的例子说明某函数在某区间上是增函数还是减函数;
2.能够举例,并通过绘制图形说明函数在定义域的子集(区间)上具有单调性,而在
整个定义域上未必具有单调性,说明函数的单调性是函数的局部性质;
3.对于一个具体的函数,能够用单调性的定义,证明它是增函数还是减函数:在区间
上任意取x 1,x 2,设x 1<x 2,作差f (x 2)-f (x 1),然后判断这个差的正、负,从而证明
函数在该区间上是增函数还是减函数.
三.教学问题诊断分析
学生已有的认知基础是,初中学习过函数的概念,初步认识到函数是一个刻画某些运动
变化数量关系的数学概念;进入高中以后,又进一步学习了函数的概念,认识到函数是两个
数集之间的一种对应.学生还了解函数有三种表示方法,特别是可以借助图象对函数特征加
以直观考察.此外,还学习过一次函数、二次函数、反比例函数等几个简单而具体的函数,
了解它们的图象及性质.尤其值得注意的是,学生有利用函数性质进行两个数大小比较的经
验.
“图象是上升的,函数是单调增的;图象是下降的,函数是单调减的”仅就图象角度直
观描述函数单调性的特征学生并不感到困难.困难在于,把具体的、直观形象的函数单调性
的特征抽象出来,用数学的符号语言描述.即把某区间上“随着x 的增大,y 也增大”(单
调增)这一特征用该区间上“任意的x 1<x 2,有f (x 1)<f (x 2)”(单调增)进行刻画.其
中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的x 1,x 2.
教学中,通过一次函数、二次函数等具体函数的图象及数值变化特征的研究,得到“图
象是上升的”,相应地,即“随着x 的增大,y 也增大”,初步提出单调增的说法.通过讨
论、交流,让学生尝试,就一般情况进行刻画,提出“在某区间上,如果对于任意的x 1<x 2
有f (x 1)<f (x 2)”则函数在该区间上具有“图象是上升的”、“随着x 的增大,y 也增
大”的特征.进一步给出函数单调性的定义.然后通过辨析、练习等帮助学生理解这一概念.
企图在一节课中完成学生对函数单调性的真正理解可能是不现实的.在今后,学生通过
判断函数的单调性,寻找函数的单调区间,运用函数的单调性解决具体问题,等一系列学习
活动可以逐步理解这个概念.
四.教学支持条件分析
为了有效实现教学目标,条件许可,可以借助计算机或者计算器绘制函数图象,同时辅
以坐标计算、跟踪点以及等手段观察函数的数字变化特征.
五.教学过程设计
1.认识研究函数单调性的必要性
前面已经学习过函数的概念、函数表示法,紧接着对函数要研究些什么?那就是函数的
性质(特征).研究函数的性质,是为了更好地把握变化规律.
对于运动变化问题,最基本的就是描述变化的快或慢、增或减„„相应的,函数的特征
就包含:函数的增与减(单调性),函数的最大值、最小值,等.使学生感受到,紧接研究
函数的性质是必然的学习任务.也可以由教师引导,借助对一些函数图象的观察、对所观察
到的特征进行归类,引入函数的某个性质的研究.比如,观察图1中各个函数的图象,你能
说说它们分别反映了相应函数的哪些变化特征?有图象上升的特征,图象有时上升有时下降
的特征,图象关于y 轴对称的特征,等.我们将逐一研究这些特征.
2.函数单调性的认识
问题串的设计大体从两个层次上展开,目的是经历从直观到抽象,从特殊到一般的过程.
首先利用图象描述变化规律,如上升、下降,从几何直观角度认识函数单调性;然后从
数值变化角度描述变化规律,图象上升(下降),也就是随着x 的增大y 也增大(或减小);
最后用数学符号语言描述.
问题1 如图2,观察一次函数f (x )=x 和二次函数f (x )=x 2的图象,说说随着x
的增大,图象的升降情况.
函数f (x )=x 的图象由左到右是上升的;函数f (x )=x 2的图象在y 轴左侧是下降的,
在y 轴右侧是上升的.
意图:通过几何直观,引导学生关注图象所反映出的特征,体验自变量从小到大变化时,
函数值大小变化在图象上的表现.
初步提出函数单调性的意义:函数图象的升降反映了函数的一个基本性质——单调
性.我们把二次函数f (x )=x 在y 轴左侧下降称为f (x )=x 在区间
在y 轴右侧上升称为函数f (x )=x 在区间222上“单调减”;上“单调增”.
下面以二次函数f (x )=x 2为例,通过列出x ,y 的对应值来研究它的上升与下降情况.
问题2 观察下列表格,描述二次函数f (x )=x 随x 增大函数值的变化特征:
2
意图:从一个特殊例子,结合前面的图象特征,从数值变化角度认识函数的单调性.
图象在y 轴左侧“下降”,也就是说,在区间上,随着x 的增大,相应的f (x )
上,随着x 的增大,值反而随着减小;图象在y 轴右侧“上升”,也就是说,在区间
相应的f (x )值也随着增大.
问题3 对于一般函数f (x ),如果在区间上有“图象上升”、“随着x 的增
大,相应的f (x )值也增大”的特点,那么应该怎样刻画呢?
意图:从形象到抽象,从具体到一般.先让学生尝试描述一般函数f (x )在
“图象上升”、“随着x 的增大,相应的f (x )值也增大”的特征.
这个问题具有较高的思维要求,需要“跳一跳才能摘到果子”.教学上,可以让学生开
展讨论、交流.通过学生的活动,逐渐认识函数单调性的刻画方法.在这个过程中,二次函
数的特征是一个具体的载体,可以起到验证、支持作用.
如果学生主动提出函数单调增的一般定义,则可以议论“为什么?”,让学生以二次函
数f (x )=x 为例解释定义的合理性.
给出函数单调性的一般定义.
2上
一般地,设函数f (x )的定义域为I :
如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有
f (x 1)<f (x 2),那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数;对于定义域I 内的某个区间
D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2),那么就说函数f
(x )在区间D 上是减函数.
练习
下列说法是否正确?请画图说明理由:
(1)如果对于区间上的任意x 有f (x )>f (0),则函数f (x )在区间
上单调增;
(2)对于区间上(a ,b )的某3个自变量的值x 1,x 2,x 3,当a <x 1<x 2<x 3<b 时,有
f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (x 3)<f (b ),则函数f (x )在区间(a ,b )单调增.
意图:使学生进一步体验到定义中“任意”二字的必要性.
3.单调性概念的应用
通过具体的函数单调性的证明过程进一步加深对函数单调性的认识.
例1 物理学中的波利尔定律p =(k 是正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当
体积V 减小,压强p 将增大.试用函数的单调性证明之.
分析怎样来证明“体积V 减小,压强p 将增大”呢,根据函数单调性的定义,只要证明
函数p =((k 是正常数)是减函数.怎样证明函数p =((k 是正常数)是减函数呢,
只要在区间(0,+∞)(因为体积V >0)任意取两个大小不相等的值,证明较小的值对应
的函数值较大,即
设V 1<V 2,去证明p 1>p 2.也就是只要证明p 1-p 2>0.
证明 设V 1<V 2,V 1,V 2∈(0,+∞).
p 1-p 2=-=
.
因为k 是正常数,V 1<V 2,所以
>0,p 1>p 2.
所以,体积V 减小,压强p 将增大.
教师把重心放在思路的分析(函数单调性的理解、运用)上,而让学生进行具体证明步
骤的书写.
练习
画出反比例函数y =
(1)指出这个函数的定义域I 是什么;
(2)它在定义域I 上具有怎样的单调性?证明你的结论.
答:(图象略). 的图象.
(1)这个函数的定义域I =(-∞,0)∪(0,+∞).
(2)在区间(-∞,0)上函数单调减,在区间(0,+∞)上函数也单调减.(证明
略)
六.目标检测设计
1.举一个与实际生活联系的例子,并说明这个函数在定义域上是减函数.
2.画图说明:函数f (x )在它的定义域I 内的两个区间D 1,D 2上都单调增,而在定义
域I 上并不单调增.
3.证明函数f (x )=x 2-2x 在区间(1,+∞)上是增函数.
4.研究函数f (x )=
的单调性.
本文为“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题教学设计案例
函数的单调性
湖北省黄石实验高中 杨瑞强
教学目标
知识目标:初步理解增函数、减函数、函数的单调性、单调区间的概念,并掌握判断
一些简单函数单调性的方法。
能力目标:启发学生能够发现问题和提出问题,学会分析问题和创造地解决问题;通过观察——猜想——推理——证明这一重要的思想方法,进一步培养学生的逻辑推理能力
和创新意识。
德育目标:在揭示函数单调性实质的同时进行辩证唯物主义思想教育。:
教学重点:函数单调性的有关概念的理解
教学难点:利用函数单调性的概念判断或证明函数单调性
教 具: 多媒体课件、实物投影仪
教学过程:
一、创设情境,导入课题
[引例1]如图为2006年黄石市元旦24小时内的气温变化图.观察这张气温变化图:
问题1:气温随时间的增大如何变化?
问题2:怎样用数学语言来描述“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征?
[引例2]观察二次函数的图象,从左向右函数图象如何变化?并总结归纳出函数
图象中自变量x 和 y值之间的变化规律。
结论:(1)y 轴左侧:逐渐下降; y轴右侧:逐渐上升;
(2)左侧 y随x 的增大而减小;右侧y 随x 的增大而增大。
上面的结论是直观地由图象得到的。还有很多函数具有这种性质,因此,我们有必要
对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究。
二、给出定义,剖析概念
①定义:对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值
⑴若当
⑵若当f(), 则f(x) 在这个区间上是减函数(如图4)。
②单调性与单调区间
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间. 此时也说函数是这一区间上的单调函数. 由此可
知单调区间分为单调增区间和单调减区间。
注意:
(1)函数单调性的几何特征:在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象
是下降的。
当x1 f(x2)
y 随x 增大而减小。
几何解释:递增
函数图象从左到右逐渐上升;递减
(2)函数单调性是针对某一个区间而言的,是一个局部性质。
有些函数在整个定义域内是单调的;有些函数在定义域内的部分区间上是增函数,在
部分区间上是减函数;有些函数是非单调函数,如常数函数。
判断2:定义在R 上的函数 f (x ) 满足 f (2)> f (1),则函数 f (x ) 在R 上是增函数。
(×)
函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质,
殊值代替。
训练:画出下列函数图像,并写出单调区间:
函数图象从左到右逐渐下降。 。 具有任意性,不能用特
三、范例讲解,运用概念
例1 、如图,是定义在闭区间[-5,5]上的函数单调区间,以及在每一单调区间上,函数
的图象,根据图象说出是增函数还减函数。 的
注意:
(1)函数的单调性是对某一个区间而言的,对于单独的一点,由于它的函数值是唯一
确定的常数,因而没有增减变化,所以不存在单调性问题。
(2)在区间的端点处若有定义,可开可闭,但在整个定义域内要完整。
例2 判断函数 f (x) =3x+2 在R 上是增函数还是减函数?并证明你的结论。
引导学生进行分析证明思路,同时展示证明过程:
由
于是
即
所以,
分析证明中体现函数单调性的定义。
利用定义证明函数单调性的步骤:
①任意取值:即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且x1
②作差变形:作差f(x1)-f(x2),并因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于
判断差的符号的方向变形
③判断定号:确定f(x1)-f(x2)的符号
④得出结论:根据定义作出结论(若差0,则为增函数;若差0,则为减函数)
,且,则 ,得 。 在R 上是增函数。
即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”
例3、 证明函数在(0,+) 上是减函数.
证明:设,且,则
(*)
由,得
又由,得,
于是即。
即。
所以,函数在区间上是单调减函数。
问题1 :在上是什么函数?(减函数)
问题2 :能否说函数在定义域上是减函数?
四、课堂练习,知识巩固
(学生讨论得出)
课本59页 练习:第1、3、4题。
五、课堂小结,知识梳理
1、增、减函数的定义。
函数单调性是对定义域的某个区间而言的,反映的是在这一区间上函数值随自变量变
化的性质。
2、函数单调性的判断方法:(1)利用图象观察;(2)利用定义证明:
证明的步骤:任意取值——作差变形——判断符号——得出结论。
六、布置作业,教学延伸
课本60页 习题2.3 :第4、5、6题。