一 定义新运算
1．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a ，b ），若规定以下三种变换： ①f （a ，b ）=（﹣a ，b ）．如：f （1，3）=（﹣1，3）；
②g （a ，b ）=（b ，a ）．如：g （1，3）=（3，1）；
③h （a ，b ）=（﹣a ，﹣b ）．如，h （1，3）=（﹣1，﹣3）．
按照以上变换有：f （g （h （2，﹣3）））=f（g （﹣2，3））=f（3，﹣2）=（﹣3，﹣2）， 那么f （g （h （﹣3，5）））等于（ ）
A ．（﹣5，﹣3） B．（5，3） C．（5，﹣3） D ．（﹣5，3）
2．对于点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），定义一种运算：A ⊕B=（x 1+x2）+（y 1+y2）．例如，A （﹣5，4），B （2，﹣3），A ⊕B=（﹣5+2）+（4﹣3）=﹣2．若互不重合的四点C ，D ，E ，F ，满足C ⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D ，则C ，D ，E ，F 四点（ ）
A ．在同一条直线上 B ．在同一条抛物线上
D ．是同一个正方形的四个顶点 C ．在同一反比例函数图象上
二找规律问题
1．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l ：y=﹣x ﹣1，双曲线y=．在直线l 上取点A 1，过点A 1作x 轴的垂线交双曲线于点B 1，过点B 1作y 轴的垂线交直线l 于点A 2，继续操作：过点A 2作x 轴的垂线交双曲线于点B 2，过点B 2作y 轴的垂线交直线l 于点A 3，…，依次这样得到双曲线上的点B 1，B 2，B 3，B 4，…，B n ．记点A 1的纵坐标为2，则B 2016的坐标为
．
2如图，已知A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n +1是x 轴上的点，且OA 1=A1A 2=A2A 3=…=An A n +1=1，分别过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n +1作x 轴的垂线交直线y=x 于点B 1，B 2，B 3，…，B n ，B n +1，连接A 1B 2，B 1A 2，A 2B 3，B 2A 3，…，A n B n +1，B n A n +1，依次相交于点P 1，P 2，P 3，…，P n ，△A 1B 1P 1，△A 2B 2P 2，…，△A n B n P n 的面积依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S n = （请用含n 的代数式表示）．
3如图所示，⊙O 的面积为1，点P 为⊙O 上一点，令记号[n，m ]表示半径OP 从如图所示的位置开始以点O 为中心连续旋转n 次后，半径OP 扫过的面积．旋转的规则为：第1次旋转m 度；第2次从第1次停止的位置向相同的方向再次旋转m/2度；第3次从第2次停止的位置向相同的方向再次旋转m/4度；第4次从第3次停止的位置向相同的方向再次旋转m/8度；…依此类推．例如[2，90]=3/8，则[2016，180]=
4．对点（x ，y ）的一次操作变换记为P 1（x ，y ），定义其变换法则如下：P 1（x ，y ）=（x +y ，x ﹣y ）；且规定P n （x ，y ）=P1（P n ﹣1（x ，y ））（n 为大于1的整数）．如P 1（1，2）=（3，﹣1），P 2（1，2）=P1（P 1（1，2））=P1（3，﹣1）=（2，4），P 3（1，2）=P1（P 2（1，2））=P1（2，4）=（6，﹣2）．则P 2011（1，﹣1）=（ ）
A ．（0，21005） B ．（0，﹣21005） C．（0，﹣21006） D．（0，21006）
5下面是一个某种规律排列的数阵：
根据数阵的规律，第n 行倒数第二个数是 ．（用含n 的代数式表示）
一1【点评】本题考查了点的坐标，利用f （a ，b ）=（﹣a ，b ）．g （a ，b ）=（b ，a ）．h （a ，b ）=（﹣a ，﹣b ）是解题关键．新定义．：B ．
2【分析】如果设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），E （x 5，y 5），F （x 6，y 6），先根据新定义
+=+=+=+运算得出（x 3+x4）（y 3+y4）（x 4+x5）（y 4+y5）（x 5+x6）（y 5+y6）（x 4+x6）（y 4+y6），
则x 3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令x 3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），E （x 5，y 5），F （x 6，y 6）都在直线y=﹣x+k上．
∴互不重合的四点C ，D ，E ，F 在同一条直线上．故选A ．
二．1a 1=2时，a 2=﹣，a 3=﹣，a 4=2，a 5=﹣，
b 1=，b 2=﹣，b 3=﹣3，b 4=，b 5=﹣，
∵=671，∴a 2016=a3=﹣．
【点评】本题考查了反比例函数的综合，涉及了点的规律变化，解答此类题目一定要先计算出前面几个点的坐标，由特殊到一般进行规律的总结，难度较大．
2解：∵A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n +1是x 轴上的点，且OA 1=A1A 2=A2A 3=…=An A n +1=1，分别过点A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n +1作x 轴的垂线交直线y=2x于点B 1、B 2、B 3、…、B n 、B n +1，
∴依题意得：B 1（1，），B 2（2，1），B 3（3，），…，B n （n ，）
∵A 1B 1∥A 2B 2，∴△A 1B 1P 1∽△A 2B 2P 1，
∴==，∴△A 1B 1P 1与△A 2B 2P 1对应高的比为：1：2，
∵A 1A 2=1，∴A 1B 1边上的高为：，
∴S A1B1P1=××==，同理可得：S A2B2P2==，∴S n =
旋转，【分析】主要是读懂[2，90]=，它反应的是开始第一次以90°旋转，第二次以
3
旋转两次．
【解答】解：由题意可得：[2016，180]=．故答案为．
【点评】本题是扇形面积的计算，解决本题的关键是读懂这个新定义．
4解：P 1（1，﹣1）=（0，2），P 2（1，﹣1）=（2，﹣2）
P 3（1，﹣1）=（0，4），P 4（1，﹣1）=（4，﹣4） P 5（1，﹣1）=（0，8），P 6（1，﹣1）=（8，﹣8）… 当n 为奇数时，P n （1，﹣1）=（0，）， ∴P 2011（1，﹣1）应该等于（0，21006）．故选D ． 5解：第1行的最后一个被开方数2=1×2 第2行的最后一个被开方数6=2×3 第3行的最后一个被开方数12=3×4 第4行的最后一个被开方数20=4×5， …
第n 行的最后一个被开方数n （n +1）， ∴第n 行的最后一数为
∴第n 行倒数第二个数为
， ．
一 定义新运算
1．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a ，b ），若规定以下三种变换： ①f （a ，b ）=（﹣a ，b ）．如：f （1，3）=（﹣1，3）；
②g （a ，b ）=（b ，a ）．如：g （1，3）=（3，1）；
③h （a ，b ）=（﹣a ，﹣b ）．如，h （1，3）=（﹣1，﹣3）．
按照以上变换有：f （g （h （2，﹣3）））=f（g （﹣2，3））=f（3，﹣2）=（﹣3，﹣2）， 那么f （g （h （﹣3，5）））等于（ ）
A ．（﹣5，﹣3） B．（5，3） C．（5，﹣3） D ．（﹣5，3）
2．对于点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），定义一种运算：A ⊕B=（x 1+x2）+（y 1+y2）．例如，A （﹣5，4），B （2，﹣3），A ⊕B=（﹣5+2）+（4﹣3）=﹣2．若互不重合的四点C ，D ，E ，F ，满足C ⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D ，则C ，D ，E ，F 四点（ ）
A ．在同一条直线上 B ．在同一条抛物线上
D ．是同一个正方形的四个顶点 C ．在同一反比例函数图象上
二找规律问题
1．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l ：y=﹣x ﹣1，双曲线y=．在直线l 上取点A 1，过点A 1作x 轴的垂线交双曲线于点B 1，过点B 1作y 轴的垂线交直线l 于点A 2，继续操作：过点A 2作x 轴的垂线交双曲线于点B 2，过点B 2作y 轴的垂线交直线l 于点A 3，…，依次这样得到双曲线上的点B 1，B 2，B 3，B 4，…，B n ．记点A 1的纵坐标为2，则B 2016的坐标为
．
2如图，已知A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n +1是x 轴上的点，且OA 1=A1A 2=A2A 3=…=An A n +1=1，分别过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n +1作x 轴的垂线交直线y=x 于点B 1，B 2，B 3，…，B n ，B n +1，连接A 1B 2，B 1A 2，A 2B 3，B 2A 3，…，A n B n +1，B n A n +1，依次相交于点P 1，P 2，P 3，…，P n ，△A 1B 1P 1，△A 2B 2P 2，…，△A n B n P n 的面积依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S n = （请用含n 的代数式表示）．
3如图所示，⊙O 的面积为1，点P 为⊙O 上一点，令记号[n，m ]表示半径OP 从如图所示的位置开始以点O 为中心连续旋转n 次后，半径OP 扫过的面积．旋转的规则为：第1次旋转m 度；第2次从第1次停止的位置向相同的方向再次旋转m/2度；第3次从第2次停止的位置向相同的方向再次旋转m/4度；第4次从第3次停止的位置向相同的方向再次旋转m/8度；…依此类推．例如[2，90]=3/8，则[2016，180]=
4．对点（x ，y ）的一次操作变换记为P 1（x ，y ），定义其变换法则如下：P 1（x ，y ）=（x +y ，x ﹣y ）；且规定P n （x ，y ）=P1（P n ﹣1（x ，y ））（n 为大于1的整数）．如P 1（1，2）=（3，﹣1），P 2（1，2）=P1（P 1（1，2））=P1（3，﹣1）=（2，4），P 3（1，2）=P1（P 2（1，2））=P1（2，4）=（6，﹣2）．则P 2011（1，﹣1）=（ ）
A ．（0，21005） B ．（0，﹣21005） C．（0，﹣21006） D．（0，21006）
5下面是一个某种规律排列的数阵：
根据数阵的规律，第n 行倒数第二个数是 ．（用含n 的代数式表示）
一1【点评】本题考查了点的坐标，利用f （a ，b ）=（﹣a ，b ）．g （a ，b ）=（b ，a ）．h （a ，b ）=（﹣a ，﹣b ）是解题关键．新定义．：B ．
2【分析】如果设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），E （x 5，y 5），F （x 6，y 6），先根据新定义
+=+=+=+运算得出（x 3+x4）（y 3+y4）（x 4+x5）（y 4+y5）（x 5+x6）（y 5+y6）（x 4+x6）（y 4+y6），
则x 3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令x 3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），E （x 5，y 5），F （x 6，y 6）都在直线y=﹣x+k上．
∴互不重合的四点C ，D ，E ，F 在同一条直线上．故选A ．
二．1a 1=2时，a 2=﹣，a 3=﹣，a 4=2，a 5=﹣，
b 1=，b 2=﹣，b 3=﹣3，b 4=，b 5=﹣，
∵=671，∴a 2016=a3=﹣．
【点评】本题考查了反比例函数的综合，涉及了点的规律变化，解答此类题目一定要先计算出前面几个点的坐标，由特殊到一般进行规律的总结，难度较大．
2解：∵A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n +1是x 轴上的点，且OA 1=A1A 2=A2A 3=…=An A n +1=1，分别过点A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n +1作x 轴的垂线交直线y=2x于点B 1、B 2、B 3、…、B n 、B n +1，
∴依题意得：B 1（1，），B 2（2，1），B 3（3，），…，B n （n ，）
∵A 1B 1∥A 2B 2，∴△A 1B 1P 1∽△A 2B 2P 1，
∴==，∴△A 1B 1P 1与△A 2B 2P 1对应高的比为：1：2，
∵A 1A 2=1，∴A 1B 1边上的高为：，
∴S A1B1P1=××==，同理可得：S A2B2P2==，∴S n =
旋转，【分析】主要是读懂[2，90]=，它反应的是开始第一次以90°旋转，第二次以
3
旋转两次．
【解答】解：由题意可得：[2016，180]=．故答案为．
【点评】本题是扇形面积的计算，解决本题的关键是读懂这个新定义．
4解：P 1（1，﹣1）=（0，2），P 2（1，﹣1）=（2，﹣2）
P 3（1，﹣1）=（0，4），P 4（1，﹣1）=（4，﹣4） P 5（1，﹣1）=（0，8），P 6（1，﹣1）=（8，﹣8）… 当n 为奇数时，P n （1，﹣1）=（0，）， ∴P 2011（1，﹣1）应该等于（0，21006）．故选D ． 5解：第1行的最后一个被开方数2=1×2 第2行的最后一个被开方数6=2×3 第3行的最后一个被开方数12=3×4 第4行的最后一个被开方数20=4×5， …
第n 行的最后一个被开方数n （n +1）， ∴第n 行的最后一数为
∴第n 行倒数第二个数为
， ．