有理数混合运算新题型赏析
山西 邵创业
所谓新题型，就是按照给定的新的运算法则，将所定义的新运算，最终转化成有理数的加、减、乘、除、乘方等基本运算，再运用基本运算求出结果的一类试题。解答这类试题的关键是仔细读懂题目，弄清楚新的运算是怎样定义的，它是如何进行运算的，然后按部就班进行解答。下面列举几例进行说明。
例1 在全体实数中引进一种新的运算“*”，其规定如下：
(1)对于任意实数a , b , 有a *b =(a +1)(b -1);
(2)对于任意实数a , 有a *2=a *a .
（x ）]-3*x +5的值。 根据上面的定义计算，当x =2时，[4*
解析：根据定义（1）、（2），把算式分成两部分：一部分是“*”在指数的位置，一部分是作为实数连接的符号。 *2
x =2时，x *2=x *x =(x +1)(x -1) =x 2-1, (此时可将(x +1) 看作一项运用乘法分配律，然后再用乘法分配律) 故4*（x 2-1）=(4+1)(x 2-1-1) =（5x 2-2），3*x =(3+1)(x -1) =（， 4x -1）所以原式=（5x -2）-（4x -1）+5
=5x -10-4x +4+5
=5x -4x -1
例2 如果定义运算符号" D " 为：a D b =a +b -ab +1；定义运算符号" Ñ" 为：222a ? b a 2-ab -b 2，那么4D (2 3) 的值是多少？
解析：按照新的运算法则，先算小括号，再算“D ”运算，注意千万不要无视小括号的存在。
因为2? 322-2? 332=4-6-9=-11,
所以原式=3D (-11) =3+(-11) -3? (11) +1
=3-11+33+1=26
例3 定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，结果为n n （其中k 是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则： 2k 2k
若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是 .
解析：当n ＝449时，根据新定义的“F ”运算规则，按方式①进行第一次运算：3n ＋5=3×
n 1352n =，易知当k=3时2k 2k 2k
512为整数，此时值为169；同理，第三次运算为3×169+5=512；第四次运算为9=1；第五次2
8运算为3×1+5=8；第六次运算为3=1„„由此，不难发现每经过五次运算便是一个循环，2
又因为449¸5=89……4, 从而易知第449次“F 运算”的结果应是8. 449+5=1 352，因为结果为偶数，
例4 若"!" 是一种数学运算符号，并且
1! =1,2! =2? 12,3! =3创21=6,4! =4创32? 124,..., 试计算100! 的值。 98!
解析：由运算规律易知100! =100创9998创... 3创21, 98! =98创... 3创21, 所以9998创... 3创21100! 100创==9900 98创... 3创2198!
评述：通过上述四个例子，我们对有理数定义的新题型有了初步的了解，解决这类问题，只要按照有理数运算的一般法则，既先乘、除，后加、减，有括号先算括号的法则来处理，问题是不难得到解决的。
有理数混合运算新题型赏析
山西 邵创业
所谓新题型，就是按照给定的新的运算法则，将所定义的新运算，最终转化成有理数的加、减、乘、除、乘方等基本运算，再运用基本运算求出结果的一类试题。解答这类试题的关键是仔细读懂题目，弄清楚新的运算是怎样定义的，它是如何进行运算的，然后按部就班进行解答。下面列举几例进行说明。
例1 在全体实数中引进一种新的运算“*”，其规定如下：
(1)对于任意实数a , b , 有a *b =(a +1)(b -1);
(2)对于任意实数a , 有a *2=a *a .
（x ）]-3*x +5的值。 根据上面的定义计算，当x =2时，[4*
解析：根据定义（1）、（2），把算式分成两部分：一部分是“*”在指数的位置，一部分是作为实数连接的符号。 *2
x =2时，x *2=x *x =(x +1)(x -1) =x 2-1, (此时可将(x +1) 看作一项运用乘法分配律，然后再用乘法分配律) 故4*（x 2-1）=(4+1)(x 2-1-1) =（5x 2-2），3*x =(3+1)(x -1) =（， 4x -1）所以原式=（5x -2）-（4x -1）+5
=5x -10-4x +4+5
=5x -4x -1
例2 如果定义运算符号" D " 为：a D b =a +b -ab +1；定义运算符号" Ñ" 为：222a ? b a 2-ab -b 2，那么4D (2 3) 的值是多少？
解析：按照新的运算法则，先算小括号，再算“D ”运算，注意千万不要无视小括号的存在。
因为2? 322-2? 332=4-6-9=-11,
所以原式=3D (-11) =3+(-11) -3? (11) +1
=3-11+33+1=26
例3 定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，结果为n n （其中k 是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则： 2k 2k
若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是 .
解析：当n ＝449时，根据新定义的“F ”运算规则，按方式①进行第一次运算：3n ＋5=3×
n 1352n =，易知当k=3时2k 2k 2k
512为整数，此时值为169；同理，第三次运算为3×169+5=512；第四次运算为9=1；第五次2
8运算为3×1+5=8；第六次运算为3=1„„由此，不难发现每经过五次运算便是一个循环，2
又因为449¸5=89……4, 从而易知第449次“F 运算”的结果应是8. 449+5=1 352，因为结果为偶数，
例4 若"!" 是一种数学运算符号，并且
1! =1,2! =2? 12,3! =3创21=6,4! =4创32? 124,..., 试计算100! 的值。 98!
解析：由运算规律易知100! =100创9998创... 3创21, 98! =98创... 3创21, 所以9998创... 3创21100! 100创==9900 98创... 3创2198!
评述：通过上述四个例子，我们对有理数定义的新题型有了初步的了解，解决这类问题，只要按照有理数运算的一般法则，既先乘、除，后加、减，有括号先算括号的法则来处理，问题是不难得到解决的。