第十九讲定义新运算
一、 定义新运算
（1） 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运
算。
（2） 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，
然后按照基本运算过程、规律进行运算。
（3） 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
（4） 注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.
如：2＋3＝5 2×3＝6
都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.
可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.
当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们
对应. 只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算. 在这一讲中，我们定义了一些新
的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.
二、 定义新运算分类
（1） 直接运算型
（2） 反解未知数型
（3） 观察规律型
（4） 其他类型综合
（1） 正确理解新运算的规律。
（2） 把不熟悉的新运算变化成我们熟悉的运算。
（3） 新运算也要遵守运算规律。
例1. 规定a*b=(b＋a) ×b ，求(2*3)*5。
答案：100。
解析：(2*3)*5= [(3＋2) ×3]*5=15*5=(5＋15) ×5=100
例2. 对于数 a， b， c， d，规定〈a ， b， c，d 〉=2ab-c＋d 。已知〈1，
3，5，x 〉=7，求x 的值。
答案：6。
解析：＜1，3， 5，x ＞＝2×1×3-5＋x ＝1＋x 。
例3. 如果a △b 表示(a-2)×b ，例如 3△4=(3-2)×4=4， 那么当( a
△2) △3=12时， a等于几？
答案：5。
解析：（a △2）△3=［（a －2）×2］△3＝（2a －4）△3
＝（2a-4-2）×3＝6a-18，
由6a-18=12，解得a=5。
例4
.
答案：6。
解析：x 。5－5。x ＝（3x-2×5）-（3×5-2x ）＝5x-25，由5x-25＝5，解
得x ＝6。
例5. 对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算“*”：a*b＝a(a＋1)(a
＋2) „(a＋b-1) 。如果(x*3)*2＝3660，那么x 等于几？
答案：3。
解析：a*b的含意为，从a 开始的b 个连续自然数相乘。由3660＝60×61
知，x*3=60。三个连续自然数的乘积等于60。只有3×4×5，得到x ＝3。
例6. 有A ，B ，C ，D 四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。
装置A ∶将输入的数加上5；装置B ∶将输入的数除以2；装置C ∶将输入的数
减去4；装置D ∶将输入的数乘以3。这些装置可以连接，如装置A 后面连接
装置B 就写成A ·B ，输入1后，经过A ·B ，输出3。
(1)输入9，经过A ·B ·C ·D ，输出几？
(2)经过B ·D ·A ·C ，输出的是100，输入的是几？
(3)输入7，输出的还是7，用尽量少的装置该怎样连接？
答案：（1）9；（2）66；（3）C ·D ·A ·B 。
解析：（2）{［（100＋4）－5］÷3}×2=66。
A
1. 定义运算“⊙”如下: 对于两个自然数a 和b , 它们的最大公约数与最小公倍数的差记为
a ⊙b .
比如:10和14, 最小公倍数为70, 最大公约数为2, 则10⊙14=70-2=68.求12⊙21,5⊙15;
答案：81,10。
2. 两个不等的自然数a 和b , 较大的数除以较小的数, 余数记为a ☉b , 比如
5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2. 求1991☉2000,(5☉19) ☉19,(19☉5) ☉5;
答案：9,3,1。
3. 如果a 、b 、c 是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即 ⑴a +b =b +a ；⑵(a +b ) +c =a +(b +c ) 。 现在规定一种运算"*"，它对于整数 a 、 b 、c 、d 满足： (a , b )*(c , d ) =(a ⨯c +b ⨯d , a ⨯c -b ⨯d )
例：。 (=4⨯, +请你举例说明，"*"运算是否满足交换律、结合律。
答案：不满足。
4. “华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取
为[1**********]8，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9
的补码，例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是________.
答案：[1**********]1。
5. 对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算*： a *b =a +(a +1) +(a +2) + +(a +b -1) ，其中a 、b 表示自然数. ⑴求1*100的值；⑵已
知x *10=75，求x 为多少？
答案：5050；3。
B
6. 已知：10△3=14， 8△7=2， 31△=1，根据这几个算式找规律，如果 44
5△x =1，那么x =. 8
答案：1 /8。
7. 国际统一书号ISBN 由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、出版社和书名，最后一个数字则作为核检之用。核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得。如：某书的书号是ISBN 7-107-17543-2，它的核检码的计算顺序是： ①7×10＋1×9＋0×8＋7×7＋1×6＋7×5＋5×4＋4×3＋3×2＝207； ②207÷11＝
218……9； ③11－9＝2。这里的就是该书号的核检码。
依照上面的顺序，求书号ISBN -7-303-07618-□的核检码。
答案：2。
8. 对于任意两个数x 和y ，定义新运算◆和⊗，规则如下：x ◆y =x ⨯y 2x +y ，x ⊗y =. x +y ÷3x +2y
. . 1⎫2⨯1+21⨯2⎛如：1◆2=，1⊗2=. 由此计算：0.36◆ 4⊗1⎪=__________. 2⎭1+2⨯21+2÷3⎝
答案：17/25。
9. 对于任意两个数x , y ，定义新运算，运算规则如下：x ◆y =x ⨯y -x ÷2，x ⊕y =x +y ÷2. 按此规则计算：3.6◆2=__________,0.12◆(7.5⊕4.8)=_______.
答案：5.4;188/165。
. .
10. 用{a }表示a 的小数部分，[a ]表示不超过a 的最大整数。例如：
{0.3}=0.3, [0.3]=0; {4.5}=0.5, [4.5]=4记f (x ) =2x +1，请计算
⎧⎨f ⎩
答案：0.4；0。
C
11. 64=2⨯2⨯2⨯2⨯2⨯2表示成f (64)=6; 243=3⨯3⨯3⨯3⨯3表示成g (243)=5. 试求下列的值:
(1)
(2)
(3)f () +g (27)=6; x +2⎛1⎫⎫⎡ ⎪⎬, ⎢f ⎝3⎭⎭⎣⎛1⎫⎤ ⎪⎥; {f (1)}, ⎡⎣f (1)⎤⎦的值。 3⎝⎭⎦f (128)= f (16)=g ()
(4)如果x , y 分别表示若干个2的数的乘积, 试证明:f (x ⋅y ) =f (x ) +f (y ) .
答案：7;81;8; 略。
12. 对于任意有理数x , y , 定义一种运算“※”，规定:x ※y =ax +by -cxy , 其中的a , b , c 表示已知数, 等式右边是通常的加、减、乘运算. 又知道1※2=3,2※3=4,x ※m =x (m ≠0),则m 的数值是 _________。
答案：-4。
13. 两个不等的自然数a 和b , 较大的数除以较小的数, 余数记为a ☉b , 比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2. (1)已知11☉x =2,而x 小于20, 求x ; (2)已知(19☉x ) ☉19=5,而x 小于50, 求x .
答案：3,9,13;12，26，33，45。
14. 设a , b 是两个非零的数, 定义a ※b =a b +. (1)计算(2※3) ※4与2※(3※4).(2)如果已知a b a
是一个自然数, 且a ※3=2,试求出a 的值.
答案：407/312,49/600;3。
15. 定义运算“⊙”如下: 对于两个自然数a 和b , 它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a ⊙b . 比如:10和14, 最小公倍数为70, 最大公约数为2, 则10⊙14=70-2=68.已知6⊙x =27,求x 的值.
答案：15。
1. 定义运算“△”如下：对于两个自然数a 和b ，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b 。例如： 4△ 6=(4，6) ＋[4，6]=2＋12=14。 根据上面定义的运算， 18△12等于几？
答案：42。
2. 两个整数a 和b ，a 除以b 的余数记为a7
定义的运算，(26答案：0。
3. 规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“ ”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3 5=3。请计算下式： [(70 3)△5]×[ 5 (3△7)]。
答案：25。
4. 规定： 6* 2=6＋66=72， 2*3=2＋22＋222=246， 1*4=1＋11＋111＋1111=1234。求7*5。
答案：86415。
5. 如果用φ(a)表示 a的所有约数的个数，例如φ(4)=3，那么φ(φ(18))等于几？
答案：4。 9) 4等于几？ b 。例如，135=3。根据这样
1. 如果 1※2＝1＋11，2※3＝2＋22＋222 ，3※4＝3＋33＋333＋3333
计算 （3※2）×5。
答案：180。
2. 规定新运算※，a ※b =3a -2b . 若x ※(4※1)=7,则x =.
答案：9。
3. 规定a △b =a ⨯(a +2) -(a +1) -b , 计算：（2△1）+ +（11△10）=______.
答案：505。
4. 规定:6※2=6+66=72，2※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234. 7※5=
答案：86415。
5. 如图2一只甲虫从画有方格的木板上的A 点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到B ，
1-2+1+2+2-1+2+1=6. 请在图2中用粗线画出对应于算图1中的路线对应下面的算式：
式：-2-1+2+2+2+1+1+1的路线．
答案：如上右图所示。
6. “⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3=2+3+4；7⊙2=7+8；3⊙5=3+4+5+6+7，……按此规则，如果n ⊙8=68，那么，n =____.
答案：5。
7. 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊. 所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼. 所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算. 运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊) ☆羊△(狼△狼)
答案：狼。
8. 一个数n 的数字中为奇数的那些数字的和记为S (n )，为偶数的那些数字的和记为E (n )，例如S (134)=1+3=4，E (134)=4．
S (1)+S (2)+ +S (100)= ；E (1)+E (2)+ +E (100)＝．
答案：501；400。
第十九讲定义新运算
一、 定义新运算
（1） 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运
算。
（2） 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，
然后按照基本运算过程、规律进行运算。
（3） 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
（4） 注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.
如：2＋3＝5 2×3＝6
都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.
可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.
当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们
对应. 只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算. 在这一讲中，我们定义了一些新
的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.
二、 定义新运算分类
（1） 直接运算型
（2） 反解未知数型
（3） 观察规律型
（4） 其他类型综合
（1） 正确理解新运算的规律。
（2） 把不熟悉的新运算变化成我们熟悉的运算。
（3） 新运算也要遵守运算规律。
例1. 规定a*b=(b＋a) ×b ，求(2*3)*5。
答案：100。
解析：(2*3)*5= [(3＋2) ×3]*5=15*5=(5＋15) ×5=100
例2. 对于数 a， b， c， d，规定〈a ， b， c，d 〉=2ab-c＋d 。已知〈1，
3，5，x 〉=7，求x 的值。
答案：6。
解析：＜1，3， 5，x ＞＝2×1×3-5＋x ＝1＋x 。
例3. 如果a △b 表示(a-2)×b ，例如 3△4=(3-2)×4=4， 那么当( a
△2) △3=12时， a等于几？
答案：5。
解析：（a △2）△3=［（a －2）×2］△3＝（2a －4）△3
＝（2a-4-2）×3＝6a-18，
由6a-18=12，解得a=5。
例4
.
答案：6。
解析：x 。5－5。x ＝（3x-2×5）-（3×5-2x ）＝5x-25，由5x-25＝5，解
得x ＝6。
例5. 对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算“*”：a*b＝a(a＋1)(a
＋2) „(a＋b-1) 。如果(x*3)*2＝3660，那么x 等于几？
答案：3。
解析：a*b的含意为，从a 开始的b 个连续自然数相乘。由3660＝60×61
知，x*3=60。三个连续自然数的乘积等于60。只有3×4×5，得到x ＝3。
例6. 有A ，B ，C ，D 四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。
装置A ∶将输入的数加上5；装置B ∶将输入的数除以2；装置C ∶将输入的数
减去4；装置D ∶将输入的数乘以3。这些装置可以连接，如装置A 后面连接
装置B 就写成A ·B ，输入1后，经过A ·B ，输出3。
(1)输入9，经过A ·B ·C ·D ，输出几？
(2)经过B ·D ·A ·C ，输出的是100，输入的是几？
(3)输入7，输出的还是7，用尽量少的装置该怎样连接？
答案：（1）9；（2）66；（3）C ·D ·A ·B 。
解析：（2）{［（100＋4）－5］÷3}×2=66。
A
1. 定义运算“⊙”如下: 对于两个自然数a 和b , 它们的最大公约数与最小公倍数的差记为
a ⊙b .
比如:10和14, 最小公倍数为70, 最大公约数为2, 则10⊙14=70-2=68.求12⊙21,5⊙15;
答案：81,10。
2. 两个不等的自然数a 和b , 较大的数除以较小的数, 余数记为a ☉b , 比如
5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2. 求1991☉2000,(5☉19) ☉19,(19☉5) ☉5;
答案：9,3,1。
3. 如果a 、b 、c 是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即 ⑴a +b =b +a ；⑵(a +b ) +c =a +(b +c ) 。 现在规定一种运算"*"，它对于整数 a 、 b 、c 、d 满足： (a , b )*(c , d ) =(a ⨯c +b ⨯d , a ⨯c -b ⨯d )
例：。 (=4⨯, +请你举例说明，"*"运算是否满足交换律、结合律。
答案：不满足。
4. “华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取
为[1**********]8，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9
的补码，例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是________.
答案：[1**********]1。
5. 对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算*： a *b =a +(a +1) +(a +2) + +(a +b -1) ，其中a 、b 表示自然数. ⑴求1*100的值；⑵已
知x *10=75，求x 为多少？
答案：5050；3。
B
6. 已知：10△3=14， 8△7=2， 31△=1，根据这几个算式找规律，如果 44
5△x =1，那么x =. 8
答案：1 /8。
7. 国际统一书号ISBN 由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、出版社和书名，最后一个数字则作为核检之用。核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得。如：某书的书号是ISBN 7-107-17543-2，它的核检码的计算顺序是： ①7×10＋1×9＋0×8＋7×7＋1×6＋7×5＋5×4＋4×3＋3×2＝207； ②207÷11＝
218……9； ③11－9＝2。这里的就是该书号的核检码。
依照上面的顺序，求书号ISBN -7-303-07618-□的核检码。
答案：2。
8. 对于任意两个数x 和y ，定义新运算◆和⊗，规则如下：x ◆y =x ⨯y 2x +y ，x ⊗y =. x +y ÷3x +2y
. . 1⎫2⨯1+21⨯2⎛如：1◆2=，1⊗2=. 由此计算：0.36◆ 4⊗1⎪=__________. 2⎭1+2⨯21+2÷3⎝
答案：17/25。
9. 对于任意两个数x , y ，定义新运算，运算规则如下：x ◆y =x ⨯y -x ÷2，x ⊕y =x +y ÷2. 按此规则计算：3.6◆2=__________,0.12◆(7.5⊕4.8)=_______.
答案：5.4;188/165。
. .
10. 用{a }表示a 的小数部分，[a ]表示不超过a 的最大整数。例如：
{0.3}=0.3, [0.3]=0; {4.5}=0.5, [4.5]=4记f (x ) =2x +1，请计算
⎧⎨f ⎩
答案：0.4；0。
C
11. 64=2⨯2⨯2⨯2⨯2⨯2表示成f (64)=6; 243=3⨯3⨯3⨯3⨯3表示成g (243)=5. 试求下列的值:
(1)
(2)
(3)f () +g (27)=6; x +2⎛1⎫⎫⎡ ⎪⎬, ⎢f ⎝3⎭⎭⎣⎛1⎫⎤ ⎪⎥; {f (1)}, ⎡⎣f (1)⎤⎦的值。 3⎝⎭⎦f (128)= f (16)=g ()
(4)如果x , y 分别表示若干个2的数的乘积, 试证明:f (x ⋅y ) =f (x ) +f (y ) .
答案：7;81;8; 略。
12. 对于任意有理数x , y , 定义一种运算“※”，规定:x ※y =ax +by -cxy , 其中的a , b , c 表示已知数, 等式右边是通常的加、减、乘运算. 又知道1※2=3,2※3=4,x ※m =x (m ≠0),则m 的数值是 _________。
答案：-4。
13. 两个不等的自然数a 和b , 较大的数除以较小的数, 余数记为a ☉b , 比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2. (1)已知11☉x =2,而x 小于20, 求x ; (2)已知(19☉x ) ☉19=5,而x 小于50, 求x .
答案：3,9,13;12，26，33，45。
14. 设a , b 是两个非零的数, 定义a ※b =a b +. (1)计算(2※3) ※4与2※(3※4).(2)如果已知a b a
是一个自然数, 且a ※3=2,试求出a 的值.
答案：407/312,49/600;3。
15. 定义运算“⊙”如下: 对于两个自然数a 和b , 它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a ⊙b . 比如:10和14, 最小公倍数为70, 最大公约数为2, 则10⊙14=70-2=68.已知6⊙x =27,求x 的值.
答案：15。
1. 定义运算“△”如下：对于两个自然数a 和b ，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b 。例如： 4△ 6=(4，6) ＋[4，6]=2＋12=14。 根据上面定义的运算， 18△12等于几？
答案：42。
2. 两个整数a 和b ，a 除以b 的余数记为a7
定义的运算，(26答案：0。
3. 规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“ ”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3 5=3。请计算下式： [(70 3)△5]×[ 5 (3△7)]。
答案：25。
4. 规定： 6* 2=6＋66=72， 2*3=2＋22＋222=246， 1*4=1＋11＋111＋1111=1234。求7*5。
答案：86415。
5. 如果用φ(a)表示 a的所有约数的个数，例如φ(4)=3，那么φ(φ(18))等于几？
答案：4。 9) 4等于几？ b 。例如，135=3。根据这样
1. 如果 1※2＝1＋11，2※3＝2＋22＋222 ，3※4＝3＋33＋333＋3333
计算 （3※2）×5。
答案：180。
2. 规定新运算※，a ※b =3a -2b . 若x ※(4※1)=7,则x =.
答案：9。
3. 规定a △b =a ⨯(a +2) -(a +1) -b , 计算：（2△1）+ +（11△10）=______.
答案：505。
4. 规定:6※2=6+66=72，2※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234. 7※5=
答案：86415。
5. 如图2一只甲虫从画有方格的木板上的A 点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到B ，
1-2+1+2+2-1+2+1=6. 请在图2中用粗线画出对应于算图1中的路线对应下面的算式：
式：-2-1+2+2+2+1+1+1的路线．
答案：如上右图所示。
6. “⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3=2+3+4；7⊙2=7+8；3⊙5=3+4+5+6+7，……按此规则，如果n ⊙8=68，那么，n =____.
答案：5。
7. 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊. 所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼. 所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算. 运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊) ☆羊△(狼△狼)
答案：狼。
8. 一个数n 的数字中为奇数的那些数字的和记为S (n )，为偶数的那些数字的和记为E (n )，例如S (134)=1+3=4，E (134)=4．
S (1)+S (2)+ +S (100)= ；E (1)+E (2)+ +E (100)＝．
答案：501；400。