解 析 法
1、 如图：四边形ABCD 的对角线AC ⊥BD ，交点为O ，自O 向各边作垂线，垂足为E 、F 、G 、H ；
连EO 交CD 于E ′，连FO 交DA 于F ′，连GO 交AB 于G ′，连HO 交BC 于H ′。求证：E 、F 、G 、H 、E ′、F ′、G ′、H ′八点共圆。
2、 如图：设H 是锐角三角形ABC 的垂心，由A 向以BC
为直径的圆作切线AP ，AQ ，切点分别为P 、Q 。 求证：P 、H 、Q 三点共线。
3、 如图：过圆中弦AB 的中点M ，任引两弦CD 和EF ，连CF 、ED 分别交弦AB 于Q 、P 。
求证：PM=MQ。
4、 如图：已知ABCD 是正方形，CE ∥BD ，BE=BD，BE 交CD 于点H 。
求证：DE=DH。
5、 用解析法证明圆的切割线定理。
6、 用解析法证明半角的正切公式：
tan
θ
2
=
sin θ1-cos θ
=。
1+cos θsin θ
⎧a cos θ+b sin θ=c ⎛ϕ-θ⎫
7、 已知⎨ ≠k π, k ∈Z ⎪ abc ≠0,
2⎭⎩a cos ϕ+b sin ϕ=c ⎝
求证：
a cos
+2
=sin
b
+2
=cos
c
-2
8、设a>0，b>0，c>0，求证：a 2+b 2-ab +b 2+c 2-bc ≥a 2+c 2+ac 说明等号何时成立。 练习题：
1、已知方程|x|=ax+1有一个负根但没有正根，则a 的取值范围是 2、已知f (x )=+x 2，若a , b ∈R , a ≠b ，则|f (a )-f (b )|与|a -b |的大小关系为（ ） （A ）|f (a )-f (b )||a -b | （D ）不能确定 3、函数f (x )=
cos α-3
的值域为。
sin α-1
4、对一切实数a 有|
a 2+a +1-a 2-a +1|
5、求证三角形的三条高交于一点。
参考答案
1、[证明] 以CA 为x 轴，DB 为y 轴建立坐标系，并记直线AB 与OG 的方程分别为
x y x y +=1, = a b d c
abc ⎫⎛abd
联立可解得G ' , ⎪
⎝ac +bd ac +bd ⎭abc ⎫⎛bcd
同理可得H ' , ⎪，
ac +bd ac +bd ⎝⎭
E '
acd ⎫acd ⎫⎛bcd ⎛abd
，, F ' , ⎪ ⎪
⎝ac +bd ac +bd ⎭⎝ac +bd ac +bd ⎭
由于F ′与G ′，E ′与H ′的横坐标相同，有F ′G ′//E′H ′//y轴；由于G ′与H ′，E ′与F ′的纵坐标相同，有G ′H ′//E′F ′//x轴；所以四边形E ′F ′G ′H ′是矩形，以它的对角线为直径作圆，这圆过E ′，F ′，G ′，H ′. 又由∠G ′EE ′=∠G ′GE ′=∠H ′FF ′=∠H ′HF ′=90°知，这圆也过E ，G ，F ，H ，得证八点共圆．
2、[证明]以BC 为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐
标系，记ΔABC 的顶点坐标为A （a ，b ），B （—R ，0），C （R ，
0）（R>0），则以BC 为直径的圆的方程为x 2+y 2=R 2 ① 而过P ，Q 的切线方程分别为
xx P +yy P =R 2xx Q +yy Q =R
2
因为两切线过点A ，故有
ax P +by P =R 2ax Q +by Q =R
2
2
这表明：P （x P ,y P ），Q （x Q ,y Q ）在直线ax +by =R ②
上，但过P ，Q 的直线是唯一的，故②就是直线PQ 的方程。
又由锐角三角形知，AB ，AC 与圆相交，记交点为E ，F ，则BF ⊥AC ，CE ⊥AB ，且BF 与CE 交于ΔABC 的垂心H 。 由直线AC 的斜率为
b R -a
知，直线BF 的斜率为，得直线BF 的方程为 a -R b
(a -R )x +by =R 2-aR ; ③
同理CE 的方程为(a +R )x +by =R +aR ; ④
2
由③+④得②知：BF 与CE 的交点在PQ 上，即PQ 通过ΔABC 的垂心。
3、[证明]以M 为原点，直线AB 为轴建立直角坐标系，
则已知圆可表示为x +y -2by +f =0 ① 直线CD ，EF 可表示为y =k 1x , y =k 2x 合并为
22
(y -k 1x )(y -k 2x )=0
②
于是，过①、②交点C 、E 、D 、F 的二次曲线系可表
示为x 2+y 2-2by +f +λ(y -k 1x )(y -k 2x )=0 ③
其与x 轴的交点P ，Q 的横坐标满足方程(1+λk 1k 2)x 2+f =0，由P ，Q 的存在性知：这方程必有两个不相等的实根，且x P +x Q =0，这说明：原点M 是P ，Q 的中点，从而PM=MQ。 4、[证明]如图：以BC 所在直线为x 轴，CD
1，则A （—1，1），B （—1，0），C （0，0），D （0，1）
因为
CE//BD，所以∠ECX=∠DBC=45°，因此直线
CE 的方程为y=x，设E （a ，a ），由|BE|=|BD|=2知，
a +12+a 2
=2由于a>0，故a =
-1
，因2
此|DE|=3-1，又BE 的方程为
y
=2-3，x +1
设H （0，b ），代入上述方程得b =2-，于是|DH|=-1
所以|DE|=|DH|。
5、设P 是圆O 外一点，PT 是圆的切线，PAB 是圆的割线，以圆心为原点建立直角坐标系，设圆的方程为x 2+y 2=r 2 ①
点P 的坐标为P (x 0, y 0)x 0+y 0>r 2，点A ，B 的坐标为
2
2
()
(x 1, y 1), (x 2, y 2)(x i 2+y i 2=r 2, i =1, 2)，过点P 的直线方程为y -y 0=k (x -x 0) ②
22
有 PA=+k |x 1-x 0|，PB=+k |x 2-x 0|，PT 2=PO 2-OT 2=x 0+y 0-r 2
22
把②代入①得1+k 2(x -x 0)+2(ky 0+x 0)(x -x 0)+x 0+y 0-r 2=0
2
2
2
()
x 0+y 0-r 2
由韦达定理得(x 1-x 0)(x 2-x 0)= 2
1+k
从而 PA ⋅PB =1+k 2(x 1-x 0)(x 2-x 0)=x 0+y 0-r 2=PT 2。
2
2
22
()
6、[证明]如图：对任意角θ(θ≠2k π+π)作单位圆与始边ox 轴正向交于C ，与终边交于A ，有A (c o s
θ, s i n θ), C (1, 0)又角
θ
2
的终边在点A 、C 的对称轴上，或为射线OB ，或为射线OB ′，而直线BB ′的方程为y =x t a θ
2
。由AC ⊥BB ′知
t a =
2
θ
1-c o s θ
，又AC 的中点在BB ′上，有
s i n θ
sin θ1+cos θθθsin θ
=⋅tan ，即tan =。 22221+cos θ
θsin θ1-cos θ
=所以tan =。
21+cos θsin θ
7、[证明]对a ，b 不为0，已知条件表明，不同的两点A (cos θ, sin θ), B (cos ϕ, sin ϕ)在直线
ax +by =c ①
上，又AB 所确定的直线方程为(sin θ-sin ϕ)(x -cos ϕ)-(cos θ-cos ϕ)(y -sin ϕ)=0 即 x cos
θ+ϕ
2
+y sin
θ+ϕ
2
=cos
θ-ϕ
2
②
由两点确定一条直线知①，②重合，得
a cos
θ+ϕ
2
=sin
b
θ+ϕ
2
=
c cos
θ-ϕ
2
⎛a ⎫⎛c ⎫
⎪ ⎪有|AB |=a 2+b 2-ab ，()a , B b , 0, C , -c 8、如图在直角坐标系中取点A , 22⎪ 22⎪⎝⎭⎝⎭
|BC |=c 2+b 2-cb ，|AC |=a 2+c 2+ac 由|AB|+|BC|≥|AB|即得所求。
当A 、B 、C 三点共线时取等号，此时由面积S ΔAOC=SΔAOB+SΔBOC 得
111111
ac sin 120︒=ab sin 60︒+bc sin 60︒即=+时取等222b a c
号。 练习题： 1、 a ≥1 2、 A 3、 [, +∞) 4、 1 5、 略
43
解 析 法
1、 如图：四边形ABCD 的对角线AC ⊥BD ，交点为O ，自O 向各边作垂线，垂足为E 、F 、G 、H ；
连EO 交CD 于E ′，连FO 交DA 于F ′，连GO 交AB 于G ′，连HO 交BC 于H ′。求证：E 、F 、G 、H 、E ′、F ′、G ′、H ′八点共圆。
2、 如图：设H 是锐角三角形ABC 的垂心，由A 向以BC
为直径的圆作切线AP ，AQ ，切点分别为P 、Q 。 求证：P 、H 、Q 三点共线。
3、 如图：过圆中弦AB 的中点M ，任引两弦CD 和EF ，连CF 、ED 分别交弦AB 于Q 、P 。
求证：PM=MQ。
4、 如图：已知ABCD 是正方形，CE ∥BD ，BE=BD，BE 交CD 于点H 。
求证：DE=DH。
5、 用解析法证明圆的切割线定理。
6、 用解析法证明半角的正切公式：
tan
θ
2
=
sin θ1-cos θ
=。
1+cos θsin θ
⎧a cos θ+b sin θ=c ⎛ϕ-θ⎫
7、 已知⎨ ≠k π, k ∈Z ⎪ abc ≠0,
2⎭⎩a cos ϕ+b sin ϕ=c ⎝
求证：
a cos
+2
=sin
b
+2
=cos
c
-2
8、设a>0，b>0，c>0，求证：a 2+b 2-ab +b 2+c 2-bc ≥a 2+c 2+ac 说明等号何时成立。 练习题：
1、已知方程|x|=ax+1有一个负根但没有正根，则a 的取值范围是 2、已知f (x )=+x 2，若a , b ∈R , a ≠b ，则|f (a )-f (b )|与|a -b |的大小关系为（ ） （A ）|f (a )-f (b )||a -b | （D ）不能确定 3、函数f (x )=
cos α-3
的值域为。
sin α-1
4、对一切实数a 有|
a 2+a +1-a 2-a +1|
5、求证三角形的三条高交于一点。
参考答案
1、[证明] 以CA 为x 轴，DB 为y 轴建立坐标系，并记直线AB 与OG 的方程分别为
x y x y +=1, = a b d c
abc ⎫⎛abd
联立可解得G ' , ⎪
⎝ac +bd ac +bd ⎭abc ⎫⎛bcd
同理可得H ' , ⎪，
ac +bd ac +bd ⎝⎭
E '
acd ⎫acd ⎫⎛bcd ⎛abd
，, F ' , ⎪ ⎪
⎝ac +bd ac +bd ⎭⎝ac +bd ac +bd ⎭
由于F ′与G ′，E ′与H ′的横坐标相同，有F ′G ′//E′H ′//y轴；由于G ′与H ′，E ′与F ′的纵坐标相同，有G ′H ′//E′F ′//x轴；所以四边形E ′F ′G ′H ′是矩形，以它的对角线为直径作圆，这圆过E ′，F ′，G ′，H ′. 又由∠G ′EE ′=∠G ′GE ′=∠H ′FF ′=∠H ′HF ′=90°知，这圆也过E ，G ，F ，H ，得证八点共圆．
2、[证明]以BC 为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐
标系，记ΔABC 的顶点坐标为A （a ，b ），B （—R ，0），C （R ，
0）（R>0），则以BC 为直径的圆的方程为x 2+y 2=R 2 ① 而过P ，Q 的切线方程分别为
xx P +yy P =R 2xx Q +yy Q =R
2
因为两切线过点A ，故有
ax P +by P =R 2ax Q +by Q =R
2
2
这表明：P （x P ,y P ），Q （x Q ,y Q ）在直线ax +by =R ②
上，但过P ，Q 的直线是唯一的，故②就是直线PQ 的方程。
又由锐角三角形知，AB ，AC 与圆相交，记交点为E ，F ，则BF ⊥AC ，CE ⊥AB ，且BF 与CE 交于ΔABC 的垂心H 。 由直线AC 的斜率为
b R -a
知，直线BF 的斜率为，得直线BF 的方程为 a -R b
(a -R )x +by =R 2-aR ; ③
同理CE 的方程为(a +R )x +by =R +aR ; ④
2
由③+④得②知：BF 与CE 的交点在PQ 上，即PQ 通过ΔABC 的垂心。
3、[证明]以M 为原点，直线AB 为轴建立直角坐标系，
则已知圆可表示为x +y -2by +f =0 ① 直线CD ，EF 可表示为y =k 1x , y =k 2x 合并为
22
(y -k 1x )(y -k 2x )=0
②
于是，过①、②交点C 、E 、D 、F 的二次曲线系可表
示为x 2+y 2-2by +f +λ(y -k 1x )(y -k 2x )=0 ③
其与x 轴的交点P ，Q 的横坐标满足方程(1+λk 1k 2)x 2+f =0，由P ，Q 的存在性知：这方程必有两个不相等的实根，且x P +x Q =0，这说明：原点M 是P ，Q 的中点，从而PM=MQ。 4、[证明]如图：以BC 所在直线为x 轴，CD
1，则A （—1，1），B （—1，0），C （0，0），D （0，1）
因为
CE//BD，所以∠ECX=∠DBC=45°，因此直线
CE 的方程为y=x，设E （a ，a ），由|BE|=|BD|=2知，
a +12+a 2
=2由于a>0，故a =
-1
，因2
此|DE|=3-1，又BE 的方程为
y
=2-3，x +1
设H （0，b ），代入上述方程得b =2-，于是|DH|=-1
所以|DE|=|DH|。
5、设P 是圆O 外一点，PT 是圆的切线，PAB 是圆的割线，以圆心为原点建立直角坐标系，设圆的方程为x 2+y 2=r 2 ①
点P 的坐标为P (x 0, y 0)x 0+y 0>r 2，点A ，B 的坐标为
2
2
()
(x 1, y 1), (x 2, y 2)(x i 2+y i 2=r 2, i =1, 2)，过点P 的直线方程为y -y 0=k (x -x 0) ②
22
有 PA=+k |x 1-x 0|，PB=+k |x 2-x 0|，PT 2=PO 2-OT 2=x 0+y 0-r 2
22
把②代入①得1+k 2(x -x 0)+2(ky 0+x 0)(x -x 0)+x 0+y 0-r 2=0
2
2
2
()
x 0+y 0-r 2
由韦达定理得(x 1-x 0)(x 2-x 0)= 2
1+k
从而 PA ⋅PB =1+k 2(x 1-x 0)(x 2-x 0)=x 0+y 0-r 2=PT 2。
2
2
22
()
6、[证明]如图：对任意角θ(θ≠2k π+π)作单位圆与始边ox 轴正向交于C ，与终边交于A ，有A (c o s
θ, s i n θ), C (1, 0)又角
θ
2
的终边在点A 、C 的对称轴上，或为射线OB ，或为射线OB ′，而直线BB ′的方程为y =x t a θ
2
。由AC ⊥BB ′知
t a =
2
θ
1-c o s θ
，又AC 的中点在BB ′上，有
s i n θ
sin θ1+cos θθθsin θ
=⋅tan ，即tan =。 22221+cos θ
θsin θ1-cos θ
=所以tan =。
21+cos θsin θ
7、[证明]对a ，b 不为0，已知条件表明，不同的两点A (cos θ, sin θ), B (cos ϕ, sin ϕ)在直线
ax +by =c ①
上，又AB 所确定的直线方程为(sin θ-sin ϕ)(x -cos ϕ)-(cos θ-cos ϕ)(y -sin ϕ)=0 即 x cos
θ+ϕ
2
+y sin
θ+ϕ
2
=cos
θ-ϕ
2
②
由两点确定一条直线知①，②重合，得
a cos
θ+ϕ
2
=sin
b
θ+ϕ
2
=
c cos
θ-ϕ
2
⎛a ⎫⎛c ⎫
⎪ ⎪有|AB |=a 2+b 2-ab ，()a , B b , 0, C , -c 8、如图在直角坐标系中取点A , 22⎪ 22⎪⎝⎭⎝⎭
|BC |=c 2+b 2-cb ，|AC |=a 2+c 2+ac 由|AB|+|BC|≥|AB|即得所求。
当A 、B 、C 三点共线时取等号，此时由面积S ΔAOC=SΔAOB+SΔBOC 得
111111
ac sin 120︒=ab sin 60︒+bc sin 60︒即=+时取等222b a c
号。 练习题： 1、 a ≥1 2、 A 3、 [, +∞) 4、 1 5、 略
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