小专题(十) 等积式与比例式的证明
方法1 三点定型法
要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用三点定型法找相似三角形．
1．已知：如图，∠ABC＝∠ADE.求证：AB·AE＝AC·
AD.
2．(滨州中考)如图，△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC交AC于D.求证：AB·BC＝AC·
BD.
方法2 等线段代换法
从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再用
三点定型法找相似三角形．
3．已知：如图，ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F.求证：AD·AB＝AF·
CE.
4．如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC＝120°，求证：DE2＝BD·
CE.
5．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点．求证：BP2＝PE·
PF.
方法3 等比代换法(找中间比)
要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡．
6．如图，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于
DPPE点P.BQQC
7.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E为AC的中点，ED、CB的延长线交
DFBC于点F，求证：＝. CFAC
8．已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接BF，交边AC于点G，连接CF.
AEEG(1)求证：＝；
ACCG
(2)如果CF2＝FG·FB，求证：CG·CE＝BC·DE.
方法4 等积代换法(找中间积)
常用到基本图形的结论找中间积．
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AE·AB＝AF·
AC.
(2)如果CF2＝FG·FB，求证：CG·CE＝BC·DE.
方法4 等积代换法(找中间积)
常用到基本图形的结论找中间积．
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AE·AB＝AF·
AC.
10．(崇明中考)如图，△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，BGAB
且∠BAD＝∠BGD＝∠C，连接AG，求证：.
ABBE
11．如图，在△ABC中，AD，BF分别是BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于
E，交BF于G，交AC的延长线于H，求证：DE2＝EG·
EH.
参考答案
小专题(十) 等积式与比例式的证明
针对训练
ABAD
1．证明：∵∠ABC＝∠ADE，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE.＝即AB·AE＝AC·AD.
ACAE2.证明：∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠C.又∵∠A为公共角，ACBC
∴△ABC∽△ADB.∴＝，即AB·BC＝AC·BD. 3.证明：在
ABBD
ABCD中，∠A＝∠C，
ADAFADAF
AB＝CD，AD∥BC，∴∠ADF＝∠E.∴△ADF∽△CED.∴＝.∴＝，即AD·AB
CECDCEAB＝AF·CE. 4.证明：∵△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°.∴∠ADB＝∠AEC＝120°，∠B＋∠BAD＝60°.又∵∠BAC＝120°，∴∠B＋∠C＝60°.∴∠BAD＝∠C.∴△ABD∽△CAE.∴
BDADBDDE
.∴＝，即DE2＝BD·CE. 5.证明：连AECEDECE
接PC.在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∴AD垂直平分BC.∴PB＝PC.∴∠PBC＝∠PCB.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠ABC－∠PBC＝∠ACB－∠PCB，即∠ABP＝∠ACP.∵CF∥AB，∴∠ABP＝∠F.∴∠ACP＝∠F.又∵∠EPC＝∠CPF，∴△PCE∽△PFC.PCPFPBPF
∴＝.∵PC＝PB，∴，即PB2＝PE·PF. 6.证明：在△ABQ中，由于DP∥BQ，PEPCPEPB∴∠ADP＝∠B.又∠DAP＝∠BAQ，∴△ADP∽△ABQ.∴DP∶BQ＝AP∶AQ.同理△AEP∽△ACQ，∴PE∶QC＝AP∶AQ.∴DP∶BQ＝PE∶QC. 7.证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD，∠ACB＝∠BDC＝90°.∴∠A＝∠BCD.∴△ABC∽△CBD.∴
BCACBCBD
＝，即＝.又∵E为AC中点，∴AE＝CE＝BDCDACCD
ED.∴∠A＝∠EDA.∵∠EDA＝∠BDF，∴∠FCD＝∠BDF.又∠F为公共角，∴△FDB∽△DFBDDFBC
FCD.∴.∴ 8.证明：(1)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG.
CFCDCFAC∴
AEDEEFEGDEEFAEEGCFFB＝.又∵DE＝EF，∴＝.∴.(2)∵CF2＝FG·FB，∴.ACBCBCCGBCBCACCGFGCF
CGFG
，∠FCE＝∠CBF.又∵DF∥BC，∴∠BCFC
EFFGDE∴ECFCEC
又∵∠CFG＝∠CFB，∴△CFG∽△BFC.∴
EFG＝∠CBF.∴∠FCE＝∠EFG.又∵∠FEG＝∠CEF，∴△EFG∽△ECF.∴
CGDE
CG·CE＝BC·DE. 9.证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠ADB＝∠AED＝90°.BCEC
ADAE
∴∠ADE＋∠BDE＝∠ADE＋∠DAE.∴∠BDE＝∠DAE.∴△ADE∽△ABD.∴＝，即
ABADAE·AB＝AD2.同理：△ADF∽△ACD.∴AF·AC＝AD2.∴AE·AB＝AF·AC. 10.证明：BGBD
∵∠BGD＝∠C，∠GBD＝∠CBE，∴△BGD∽△BCE.∴＝BG·BE＝BC·BD.又
BCBE∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA.∴
ABBD
＝，即BC·BD＝AB2.∴BCAB
BGAB
BG·BE＝AB2＝ 11.证明：∵AD，BF分别是BC，AC边上的高，DE⊥AB，
ABBE∴∠ADB＝∠BED＝90°.∴∠ADE＋∠BDE＝90°，∠ADE＋∠EAD＝90°.∴∠BDE＝∠EAD.∴△AED∽△DEB.∴DE2＝AE·BE.又∵∠HFG＝90°，∠BGE＝∠HGF，∴∠EBGEGBE＝∠H.∵∠BEG＝∠HEA＝90°，∴△BEG∽△HEA.＝即EG·EH＝AE·BE.∴DE2
AEEH＝EG·EH.
小专题(十) 等积式与比例式的证明
方法1 三点定型法
要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用三点定型法找相似三角形．
1．已知：如图，∠ABC＝∠ADE.求证：AB·AE＝AC·
AD.
2．(滨州中考)如图，△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC交AC于D.求证：AB·BC＝AC·
BD.
方法2 等线段代换法
从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再用
三点定型法找相似三角形．
3．已知：如图，ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F.求证：AD·AB＝AF·
CE.
4．如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC＝120°，求证：DE2＝BD·
CE.
5．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点．求证：BP2＝PE·
PF.
方法3 等比代换法(找中间比)
要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡．
6．如图，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于
DPPE点P.BQQC
7.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E为AC的中点，ED、CB的延长线交
DFBC于点F，求证：＝. CFAC
8．已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接BF，交边AC于点G，连接CF.
AEEG(1)求证：＝；
ACCG
(2)如果CF2＝FG·FB，求证：CG·CE＝BC·DE.
方法4 等积代换法(找中间积)
常用到基本图形的结论找中间积．
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AE·AB＝AF·
AC.
(2)如果CF2＝FG·FB，求证：CG·CE＝BC·DE.
方法4 等积代换法(找中间积)
常用到基本图形的结论找中间积．
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AE·AB＝AF·
AC.
10．(崇明中考)如图，△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，BGAB
且∠BAD＝∠BGD＝∠C，连接AG，求证：.
ABBE
11．如图，在△ABC中，AD，BF分别是BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于
E，交BF于G，交AC的延长线于H，求证：DE2＝EG·
EH.
参考答案
小专题(十) 等积式与比例式的证明
针对训练
ABAD
1．证明：∵∠ABC＝∠ADE，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE.＝即AB·AE＝AC·AD.
ACAE2.证明：∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠C.又∵∠A为公共角，ACBC
∴△ABC∽△ADB.∴＝，即AB·BC＝AC·BD. 3.证明：在
ABBD
ABCD中，∠A＝∠C，
ADAFADAF
AB＝CD，AD∥BC，∴∠ADF＝∠E.∴△ADF∽△CED.∴＝.∴＝，即AD·AB
CECDCEAB＝AF·CE. 4.证明：∵△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°.∴∠ADB＝∠AEC＝120°，∠B＋∠BAD＝60°.又∵∠BAC＝120°，∴∠B＋∠C＝60°.∴∠BAD＝∠C.∴△ABD∽△CAE.∴
BDADBDDE
.∴＝，即DE2＝BD·CE. 5.证明：连AECEDECE
接PC.在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∴AD垂直平分BC.∴PB＝PC.∴∠PBC＝∠PCB.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠ABC－∠PBC＝∠ACB－∠PCB，即∠ABP＝∠ACP.∵CF∥AB，∴∠ABP＝∠F.∴∠ACP＝∠F.又∵∠EPC＝∠CPF，∴△PCE∽△PFC.PCPFPBPF
∴＝.∵PC＝PB，∴，即PB2＝PE·PF. 6.证明：在△ABQ中，由于DP∥BQ，PEPCPEPB∴∠ADP＝∠B.又∠DAP＝∠BAQ，∴△ADP∽△ABQ.∴DP∶BQ＝AP∶AQ.同理△AEP∽△ACQ，∴PE∶QC＝AP∶AQ.∴DP∶BQ＝PE∶QC. 7.证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD，∠ACB＝∠BDC＝90°.∴∠A＝∠BCD.∴△ABC∽△CBD.∴
BCACBCBD
＝，即＝.又∵E为AC中点，∴AE＝CE＝BDCDACCD
ED.∴∠A＝∠EDA.∵∠EDA＝∠BDF，∴∠FCD＝∠BDF.又∠F为公共角，∴△FDB∽△DFBDDFBC
FCD.∴.∴ 8.证明：(1)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG.
CFCDCFAC∴
AEDEEFEGDEEFAEEGCFFB＝.又∵DE＝EF，∴＝.∴.(2)∵CF2＝FG·FB，∴.ACBCBCCGBCBCACCGFGCF
CGFG
，∠FCE＝∠CBF.又∵DF∥BC，∴∠BCFC
EFFGDE∴ECFCEC
又∵∠CFG＝∠CFB，∴△CFG∽△BFC.∴
EFG＝∠CBF.∴∠FCE＝∠EFG.又∵∠FEG＝∠CEF，∴△EFG∽△ECF.∴
CGDE
CG·CE＝BC·DE. 9.证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠ADB＝∠AED＝90°.BCEC
ADAE
∴∠ADE＋∠BDE＝∠ADE＋∠DAE.∴∠BDE＝∠DAE.∴△ADE∽△ABD.∴＝，即
ABADAE·AB＝AD2.同理：△ADF∽△ACD.∴AF·AC＝AD2.∴AE·AB＝AF·AC. 10.证明：BGBD
∵∠BGD＝∠C，∠GBD＝∠CBE，∴△BGD∽△BCE.∴＝BG·BE＝BC·BD.又
BCBE∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA.∴
ABBD
＝，即BC·BD＝AB2.∴BCAB
BGAB
BG·BE＝AB2＝ 11.证明：∵AD，BF分别是BC，AC边上的高，DE⊥AB，
ABBE∴∠ADB＝∠BED＝90°.∴∠ADE＋∠BDE＝90°，∠ADE＋∠EAD＝90°.∴∠BDE＝∠EAD.∴△AED∽△DEB.∴DE2＝AE·BE.又∵∠HFG＝90°，∠BGE＝∠HGF，∴∠EBGEGBE＝∠H.∵∠BEG＝∠HEA＝90°，∴△BEG∽△HEA.＝即EG·EH＝AE·BE.∴DE2
AEEH＝EG·EH.