高三数学综合测试题
一、选择题
1、设集合U ={1,2,3,4}，M =x ∈U x 2-5x +p =0，若C U M ={2,3}，则实数p 的值 为( B )
A ．-4 B ． 4 C ．-6 D ．6 2． 条件p :x >1, y >1, 条件q :x +y >2, xy >1，则条件p 是条件q 的
{}
A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件
C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件
B .{-1, 0, 1, 2} C .{-1, 0, 2, 3} D .{0, 1, 2, 3}
3. 设函数f (x ) =1-e 的图象与x 轴相交于点P, 则曲线在点P 的切线方程为( C ) （A ）y =-x +1 （B ）y =x +1 （C ）y =-x （D ）y =x 4．设a =0.6，b =0.7，c =lg0.7，则 ( C )
A ．c ＜b ＜a
B ．b ＜a ＜c D ．a ＜b ＜c B ．(0，1) D ．(2，3)
C ．c ＜a ＜b
12
12
x
5．函数f (x )=e x -x -2的零点所在的区间为 ( C )
A ．(-1，0)
C ．(1，2)
x ⎧() x ,
6、设函数f (x ) =x ≥0
，若f (a )
（ C ）
A 、(-∞, -3) B 、(1, +∞) C 、
(-3,1) D 、(-∞, -3) (1,+∞) 7．已知对数函数f (x ) =log a x 是增函数, 则函数f (|x |+1) 的图象大致是( D )
8．函数y ＝log a (x ＋1) ＋x 2－2(0＜a ＜1) 的零点的个数为( )
A ．0 B ．1 C ．2 D ．无法确定
2
解析：选C. 令log a (x ＋1) ＋x －2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查图象y 1＝log a (x ＋1) 与y 2＝－x 2＋2的交点个数
9．若函数f (x )=-x 3+bx 在区间(0，1) 上单调递增，且方程f (x )=0的根都在区间[-2，2]上，则实数b 的取值范围为 ( D )
A ．[0，4] C ．[2，4]
+∞) B ．[3，
D ．[3，4]
10．已知定义在R 上的奇函数f (x ) 是(-∞，0]上的增函数，且f (1)= 2，f (-2)=-4，设P ={x |f (x +t ) -4
A ．t ≤-1 二、填空题
11．命题“若x 2
4n -n 2
x 23
B ．t >3 C ．t ≥3 D ． t >-1
(n ∈Z ) 在(0，+∞) 上是增函数，则n
2
13、已知函数f (x ) =x +mx +(m +6) x +1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是__、m >6或m
14．若不等式1一log a (10-a ) ＜0有解，则实数a 的范围是 ； 15．已知函数f (x ) 定义域为[-1, 5], 部分对应值如表
x
f (x ) 的导函数f '(x ) 的图象如图所示, 下列关于函数f (x ) 的命题
① 函数f (x ) 的值域为[1,2]; ② 函数f (x ) 在[0,2]上是减函数; ③ 如果当x ∈[-1, t ]时, f (x ) 的最大值是2, 那么t 的最大值为4; ④ 当1
三、解答题
2
16．已知命题：“∃x ∈
{x |-1
（1）求实数m 的取值集合M ；
（2）设不等式(x -a )(x +a -2)
求a 的取值范围． 答案:(1) M =⎨m -
⎧⎩1⎫≤m
(2) a >
91
或 a
17．（本题满分12分）已知二次函数y = f (x ) 的图象过点(1，-4) ，且不等式f (x )
(0，5) ．
（Ⅰ）求函数f (x ) 的解析式；
（Ⅱ）设g (x )=x 3-(4k -10) x +5，若函数h (x )=2f (x )+g (x ) 在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减，求y =h (x ) 在[-3，1]上的最大值和最小值．
17．解：（Ⅰ）由已知y = f (x ) 是二次函数，且f (x )
代入点(1，-4) ，得-4=a×1×(1-5) ，解得a =1，
∴ f (x )=x (x -5) ． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 （Ⅱ）h (x )=2f (x )+g (x )=2x (x -5)+x 3-(4k -10) x +5=x 3+2x 2-4kx +5， 于是h '(x ) =3x 2+4x -4k ，
∵ h (x ) 在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减， ∴ x =-2是h (x ) 的极大值点，
∴ h '(-2) =3⨯(-2) 2+4⨯(-2) -4k =0，解得k=1． „„„„„„„„„„6分 ∴ h (x )=x 3+2x 2-4x +5，进而得h '(x ) =3x 2+4x -4．
22
令h '(x ) =3x 2+4x -4=3(x +2)(x -) =0，得x 1=-2，x 2=．
33
由下表：
可知：h (-2)=(-2) 3+2×(-2) 2-4×(-2)+5=13，h (1)=13+2×12 -4×1+5=4，
222295
h (-3)=(-3) 3+2×(-3) 2-4×(-3)+5=8，h ()=() 3+2×() 2-+5=，
33332795
∴ h (x ) 的最大值为13，最小值为．„„„„„„„„„„„„„„12分
2718、（本题满分12分） 已知函数f (x ) =log a
x +1
(a >0, a ≠1) x -1
（1）求f (x ) 的定义域，判断f (x ) 的奇偶性并证明；
（2）对于x ∈[2, 4]，f (x ) >log a 18、（本题满分12分）
解：（1）∵
m
恒成立，求m 的取值范围。 2
(x -1) (7-x )
x +1
„„ 2分 （-∞，-1） （1，+∞）>0 ∴x 1 ∴定义域为
x -1
当x ∈时，f (-x ) =log a （-∞，-1） （1，+∞）
-x +1x -1x +1
=log a =-log a
-x -1x -1x +1
=-f (x ) ∴f (x ) 为奇函数。 „„ 6分
（2）由x ∈[2, 4]时，f (x ) >log a
m
恒成立 2
(x -1) (7-x )
①当a >1时，
x +1m
>>0 ∴0
3
2
设g (x ) =(x +1)(x -1)(7-x ) =-x +7x +x -7 ∴g '(x ) =-3x 2+14x +1=-3(x -) 2+
7352 3
当x ∈[2, 4]时，g '(x ) >0，∴g (x ) m in =g (2) =15，∴0x +1m
∴m >(x +1)(x -1)(7-x )
x -1(x -1) 2(7-x )
g (x ) =(x +1)(x -1)(7-x ) =-x 3+7x 2+x -7
∴g '(x ) =-3x 2+14x +1=-3(x -) 2+
7352 3
由①知，g (x ) 在[2, 4]上为增函数，∴g (x ) m ax =g (4) =45，∴m >45 ∴m 的取值范围是 „„13分 （0，15） （45，+∞）19、（本题满分12分） 已知函数f (x ) =ln x -
a
, g (x ) =f (x ) +ax -6ln x ，其中a ∈R . x
（Ⅰ）讨论f (x ) 的单调性；
（Ⅱ）若g (x ) 在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围； 解：（Ⅰ）f (x ) 的定义域为(0, +∞) ，且f ' (x ) =
x +a
， ----------------1分 x 2
①当a ≥0时，f ' (x ) >0，f (x ) 在(0, +∞) 上单调递增； ----------------2分
②当a 0，得x >-a ；由f ' (x )
故f (x ) 在(0, -a ) 上单调递减，在(-a , +∞) 上单调递增. ----------------4分 （Ⅱ）g (x ) =ax -
a
-5ln x ，g (x ) 的定义域为(0, +∞) x
a 5ax 2-5x +a
----------------5分 g ' (x ) =a +2-=2
x x x
因为g (x ) 在其定义域内为增函数，所以∀x ∈(0, +∞) ，g ' (x ) ≥0
⇔ax 2-5x +a ≥0⇔a (x 2+1) ≥5x ⇔a ≥
而
5x ⎡5x ⎤
⇔a ≥ 2⎢⎥x 2+1x +1⎣⎦max
5x 555
，当且仅当时取等号，所以 -------8分 x =1a ≥=≤
2x 2+1x +2
x
20．（本小题满分13分）
已知函数
f (x )=
a 311
x -(a +1)x 2+x - (a ∈R ) ． 323
(1) 若a
范围；若不存在，说明理由。
20．解：(1)
[0,2]上有两个零点，若存在，求出a 的取值
1⎫⎛
f '(x )=ax 2-(a +1)x +1=a (x -1) x -⎪ „„„„„„1分
a ⎭⎝
1
a
a
2
⎛1⎫-2a +3a -1
f (x )极小值=f ⎪=
6a 2⎝a ⎭
，
1
f (x )极大值=f (1)=-(a -1)„„„„5分
6
（2）
2
1⎛1⎫-2a +3a -1-(a -1)(2a -1)f ⎪==f 1=-，()(a -1) 22
6a 6a 6⎝a ⎭
f (2)=
11
(2a -1)， f (0)=-
① 当a ≤
11时，f (x )在[0,1]上为增函数，在[1,2]上为减函数，f (0)=-
(a -1)>0，f (2)=(2a -1)≤0，所以f (x )在区间[0,1]，(1,2]63
f (1)=-
上各有一个零点，即在
[0,2]上有两个零点； „„„„„„„„„7分
② 当
1⎛1⎫⎛1⎫
⎛1⎫-(a -1)(2a -1)>0， ⎪=2
6a ⎝a ⎭
11
增函数，f (0)=-0，f
36f (2)=
1
(2a -1)>0，所以f (x )只在区间[0,1]上有一个零点，故在[0,2]上只3
⎡1⎤⎛1⎫
f (x )在⎢0, ⎥上为增函数，在 ,1⎪上为减函数，(1,2)上为增
⎣a ⎦⎝a ⎭
，
有一个零点； „„„„„„„„„„9分 ③ 当a >1时，
函数，
f (0)=-
1⎛1⎫-(a -1)(2a -1)
6a 3⎝a ⎭
f (1)=-
1
(a -1)
f (2)=
1
(2a -1)>0， 所以f (x )只在区间(1,2)上有一个零点，故在[0,2]上只有3
一个零点； „„„„„„„„„„11分 故存在实数a ，当a ≤
1
时，函数f (x )在区间[0,2]上有两个零点。„„„„„12分 2
21．（本小题满分14分）
已知函数f (x ) =a ln x +x （a 为常数）。
2
（I ）若a =-2，求证：函数f (x ) 在（1，+∞）上是增函数； （II ）若a ≥-2，求函数f (x ) 在[1, e ]上的最小值及相应的x 值；
（III ）若存在x ∈[1, e ]，使得f (x ) ≤(a +2) x 成立，求实数a 的取值范围。
2(x 2-1)
解：（I ）当a =-2时，f (x ) =x -2ln x ，当x ∈(1, +∞) ，f '(x ) =>0，
x
2
故函数f (x ) 在(1, +∞) 上是增函数．………………………………………………（4分）
2x 2+a
（II ）f '(x ) =(x >0) ，当x ∈[1, e ]，2x 2+a ∈[a +2, a +2e 2]……………（6分）
x
若a ≥-2，f '(x ) 在[1, e ]上非负（仅当a =-2，x=1时，f '(x ) =0），故函数f (x ) 在[1, e ]上是增函数，此时[f (x )]m in =f (1) =1． ………………………………（8分） （III ）不等式f (x ) ≤(a +2) x ， 可化为a (x -ln x ) ≥x 2-2x ．
∵x ∈[1, e ], ∴ln x ≤1≤x 且等号不能同时取，所以ln x 0，
x 2-2x 因而a ≥（x ∈[1, e ]）………………………………………………………（10分）
x -ln x
(x -1)(x +2-2ln x ) x 2-2x
令g (x ) =（x ∈[1, e ]），又g '(x ) =， ……………（12分）
x -ln x (x -ln x ) 2
当x ∈[1, e ]时，x -1≥0, ln x ≤1，x +2-2ln x >0，
从而g '(x ) ≥0（仅当x=1时取等号），所以g (x ) 在[1, e ]上为增函数，
故g (x ) 的最小值为g (1) =-1，所以a 的取值范围是[-1, +∞) ． …………………（14分）
高三数学综合测试题
一、选择题
1、设集合U ={1,2,3,4}，M =x ∈U x 2-5x +p =0，若C U M ={2,3}，则实数p 的值 为( B )
A ．-4 B ． 4 C ．-6 D ．6 2． 条件p :x >1, y >1, 条件q :x +y >2, xy >1，则条件p 是条件q 的
{}
A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件
C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件
B .{-1, 0, 1, 2} C .{-1, 0, 2, 3} D .{0, 1, 2, 3}
3. 设函数f (x ) =1-e 的图象与x 轴相交于点P, 则曲线在点P 的切线方程为( C ) （A ）y =-x +1 （B ）y =x +1 （C ）y =-x （D ）y =x 4．设a =0.6，b =0.7，c =lg0.7，则 ( C )
A ．c ＜b ＜a
B ．b ＜a ＜c D ．a ＜b ＜c B ．(0，1) D ．(2，3)
C ．c ＜a ＜b
12
12
x
5．函数f (x )=e x -x -2的零点所在的区间为 ( C )
A ．(-1，0)
C ．(1，2)
x ⎧() x ,
6、设函数f (x ) =x ≥0
，若f (a )
（ C ）
A 、(-∞, -3) B 、(1, +∞) C 、
(-3,1) D 、(-∞, -3) (1,+∞) 7．已知对数函数f (x ) =log a x 是增函数, 则函数f (|x |+1) 的图象大致是( D )
8．函数y ＝log a (x ＋1) ＋x 2－2(0＜a ＜1) 的零点的个数为( )
A ．0 B ．1 C ．2 D ．无法确定
2
解析：选C. 令log a (x ＋1) ＋x －2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查图象y 1＝log a (x ＋1) 与y 2＝－x 2＋2的交点个数
9．若函数f (x )=-x 3+bx 在区间(0，1) 上单调递增，且方程f (x )=0的根都在区间[-2，2]上，则实数b 的取值范围为 ( D )
A ．[0，4] C ．[2，4]
+∞) B ．[3，
D ．[3，4]
10．已知定义在R 上的奇函数f (x ) 是(-∞，0]上的增函数，且f (1)= 2，f (-2)=-4，设P ={x |f (x +t ) -4
A ．t ≤-1 二、填空题
11．命题“若x 2
4n -n 2
x 23
B ．t >3 C ．t ≥3 D ． t >-1
(n ∈Z ) 在(0，+∞) 上是增函数，则n
2
13、已知函数f (x ) =x +mx +(m +6) x +1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是__、m >6或m
14．若不等式1一log a (10-a ) ＜0有解，则实数a 的范围是 ； 15．已知函数f (x ) 定义域为[-1, 5], 部分对应值如表
x
f (x ) 的导函数f '(x ) 的图象如图所示, 下列关于函数f (x ) 的命题
① 函数f (x ) 的值域为[1,2]; ② 函数f (x ) 在[0,2]上是减函数; ③ 如果当x ∈[-1, t ]时, f (x ) 的最大值是2, 那么t 的最大值为4; ④ 当1
三、解答题
2
16．已知命题：“∃x ∈
{x |-1
（1）求实数m 的取值集合M ；
（2）设不等式(x -a )(x +a -2)
求a 的取值范围． 答案:(1) M =⎨m -
⎧⎩1⎫≤m
(2) a >
91
或 a
17．（本题满分12分）已知二次函数y = f (x ) 的图象过点(1，-4) ，且不等式f (x )
(0，5) ．
（Ⅰ）求函数f (x ) 的解析式；
（Ⅱ）设g (x )=x 3-(4k -10) x +5，若函数h (x )=2f (x )+g (x ) 在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减，求y =h (x ) 在[-3，1]上的最大值和最小值．
17．解：（Ⅰ）由已知y = f (x ) 是二次函数，且f (x )
代入点(1，-4) ，得-4=a×1×(1-5) ，解得a =1，
∴ f (x )=x (x -5) ． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 （Ⅱ）h (x )=2f (x )+g (x )=2x (x -5)+x 3-(4k -10) x +5=x 3+2x 2-4kx +5， 于是h '(x ) =3x 2+4x -4k ，
∵ h (x ) 在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减， ∴ x =-2是h (x ) 的极大值点，
∴ h '(-2) =3⨯(-2) 2+4⨯(-2) -4k =0，解得k=1． „„„„„„„„„„6分 ∴ h (x )=x 3+2x 2-4x +5，进而得h '(x ) =3x 2+4x -4．
22
令h '(x ) =3x 2+4x -4=3(x +2)(x -) =0，得x 1=-2，x 2=．
33
由下表：
可知：h (-2)=(-2) 3+2×(-2) 2-4×(-2)+5=13，h (1)=13+2×12 -4×1+5=4，
222295
h (-3)=(-3) 3+2×(-3) 2-4×(-3)+5=8，h ()=() 3+2×() 2-+5=，
33332795
∴ h (x ) 的最大值为13，最小值为．„„„„„„„„„„„„„„12分
2718、（本题满分12分） 已知函数f (x ) =log a
x +1
(a >0, a ≠1) x -1
（1）求f (x ) 的定义域，判断f (x ) 的奇偶性并证明；
（2）对于x ∈[2, 4]，f (x ) >log a 18、（本题满分12分）
解：（1）∵
m
恒成立，求m 的取值范围。 2
(x -1) (7-x )
x +1
„„ 2分 （-∞，-1） （1，+∞）>0 ∴x 1 ∴定义域为
x -1
当x ∈时，f (-x ) =log a （-∞，-1） （1，+∞）
-x +1x -1x +1
=log a =-log a
-x -1x -1x +1
=-f (x ) ∴f (x ) 为奇函数。 „„ 6分
（2）由x ∈[2, 4]时，f (x ) >log a
m
恒成立 2
(x -1) (7-x )
①当a >1时，
x +1m
>>0 ∴0
3
2
设g (x ) =(x +1)(x -1)(7-x ) =-x +7x +x -7 ∴g '(x ) =-3x 2+14x +1=-3(x -) 2+
7352 3
当x ∈[2, 4]时，g '(x ) >0，∴g (x ) m in =g (2) =15，∴0x +1m
∴m >(x +1)(x -1)(7-x )
x -1(x -1) 2(7-x )
g (x ) =(x +1)(x -1)(7-x ) =-x 3+7x 2+x -7
∴g '(x ) =-3x 2+14x +1=-3(x -) 2+
7352 3
由①知，g (x ) 在[2, 4]上为增函数，∴g (x ) m ax =g (4) =45，∴m >45 ∴m 的取值范围是 „„13分 （0，15） （45，+∞）19、（本题满分12分） 已知函数f (x ) =ln x -
a
, g (x ) =f (x ) +ax -6ln x ，其中a ∈R . x
（Ⅰ）讨论f (x ) 的单调性；
（Ⅱ）若g (x ) 在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围； 解：（Ⅰ）f (x ) 的定义域为(0, +∞) ，且f ' (x ) =
x +a
， ----------------1分 x 2
①当a ≥0时，f ' (x ) >0，f (x ) 在(0, +∞) 上单调递增； ----------------2分
②当a 0，得x >-a ；由f ' (x )
故f (x ) 在(0, -a ) 上单调递减，在(-a , +∞) 上单调递增. ----------------4分 （Ⅱ）g (x ) =ax -
a
-5ln x ，g (x ) 的定义域为(0, +∞) x
a 5ax 2-5x +a
----------------5分 g ' (x ) =a +2-=2
x x x
因为g (x ) 在其定义域内为增函数，所以∀x ∈(0, +∞) ，g ' (x ) ≥0
⇔ax 2-5x +a ≥0⇔a (x 2+1) ≥5x ⇔a ≥
而
5x ⎡5x ⎤
⇔a ≥ 2⎢⎥x 2+1x +1⎣⎦max
5x 555
，当且仅当时取等号，所以 -------8分 x =1a ≥=≤
2x 2+1x +2
x
20．（本小题满分13分）
已知函数
f (x )=
a 311
x -(a +1)x 2+x - (a ∈R ) ． 323
(1) 若a
范围；若不存在，说明理由。
20．解：(1)
[0,2]上有两个零点，若存在，求出a 的取值
1⎫⎛
f '(x )=ax 2-(a +1)x +1=a (x -1) x -⎪ „„„„„„1分
a ⎭⎝
1
a
a
2
⎛1⎫-2a +3a -1
f (x )极小值=f ⎪=
6a 2⎝a ⎭
，
1
f (x )极大值=f (1)=-(a -1)„„„„5分
6
（2）
2
1⎛1⎫-2a +3a -1-(a -1)(2a -1)f ⎪==f 1=-，()(a -1) 22
6a 6a 6⎝a ⎭
f (2)=
11
(2a -1)， f (0)=-
① 当a ≤
11时，f (x )在[0,1]上为增函数，在[1,2]上为减函数，f (0)=-
(a -1)>0，f (2)=(2a -1)≤0，所以f (x )在区间[0,1]，(1,2]63
f (1)=-
上各有一个零点，即在
[0,2]上有两个零点； „„„„„„„„„7分
② 当
1⎛1⎫⎛1⎫
⎛1⎫-(a -1)(2a -1)>0， ⎪=2
6a ⎝a ⎭
11
增函数，f (0)=-0，f
36f (2)=
1
(2a -1)>0，所以f (x )只在区间[0,1]上有一个零点，故在[0,2]上只3
⎡1⎤⎛1⎫
f (x )在⎢0, ⎥上为增函数，在 ,1⎪上为减函数，(1,2)上为增
⎣a ⎦⎝a ⎭
，
有一个零点； „„„„„„„„„„9分 ③ 当a >1时，
函数，
f (0)=-
1⎛1⎫-(a -1)(2a -1)
6a 3⎝a ⎭
f (1)=-
1
(a -1)
f (2)=
1
(2a -1)>0， 所以f (x )只在区间(1,2)上有一个零点，故在[0,2]上只有3
一个零点； „„„„„„„„„„11分 故存在实数a ，当a ≤
1
时，函数f (x )在区间[0,2]上有两个零点。„„„„„12分 2
21．（本小题满分14分）
已知函数f (x ) =a ln x +x （a 为常数）。
2
（I ）若a =-2，求证：函数f (x ) 在（1，+∞）上是增函数； （II ）若a ≥-2，求函数f (x ) 在[1, e ]上的最小值及相应的x 值；
（III ）若存在x ∈[1, e ]，使得f (x ) ≤(a +2) x 成立，求实数a 的取值范围。
2(x 2-1)
解：（I ）当a =-2时，f (x ) =x -2ln x ，当x ∈(1, +∞) ，f '(x ) =>0，
x
2
故函数f (x ) 在(1, +∞) 上是增函数．………………………………………………（4分）
2x 2+a
（II ）f '(x ) =(x >0) ，当x ∈[1, e ]，2x 2+a ∈[a +2, a +2e 2]……………（6分）
x
若a ≥-2，f '(x ) 在[1, e ]上非负（仅当a =-2，x=1时，f '(x ) =0），故函数f (x ) 在[1, e ]上是增函数，此时[f (x )]m in =f (1) =1． ………………………………（8分） （III ）不等式f (x ) ≤(a +2) x ， 可化为a (x -ln x ) ≥x 2-2x ．
∵x ∈[1, e ], ∴ln x ≤1≤x 且等号不能同时取，所以ln x 0，
x 2-2x 因而a ≥（x ∈[1, e ]）………………………………………………………（10分）
x -ln x
(x -1)(x +2-2ln x ) x 2-2x
令g (x ) =（x ∈[1, e ]），又g '(x ) =， ……………（12分）
x -ln x (x -ln x ) 2
当x ∈[1, e ]时，x -1≥0, ln x ≤1，x +2-2ln x >0，
从而g '(x ) ≥0（仅当x=1时取等号），所以g (x ) 在[1, e ]上为增函数，
故g (x ) 的最小值为g (1) =-1，所以a 的取值范围是[-1, +∞) ． …………………（14分）