第四节 二阶常系数线性微分方程
根据二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求得二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解. 本节和下一节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其解法. 本节先讨论二阶常系数齐次线性微分方程及其解法.
分布图示
★ 二阶线性微分方程的概念 ★ 定理1
★ 函数的线性相关与线性无关
★ 定理2 ★ 定理3
★ 二阶常数系数齐次线性方程的解法
★ 例1 ★ 例2
★ 二阶常数系数非齐次线性方程的求解问题
★ f (x ) =P m (x ) e λx 型
★ 例4
★ 内容小结
★ 习题6—4
★ 例6 ★ 例3 ★ 例5 ★ 课堂练习
内容要点
一、二阶线性微分方程解的结构
二阶线性微分方程的一般形式是
d 2y dy +P (x ) +Q (x ) y =f (x ) ， (5.1) dx dx 2
其中P (x ) 、Q (x ) 及f (x ) 是自变量x 的已知函数，函数f (x ) 称为方程(5.1)的自由项. 当f (x ) =0时, 方程(5.1)成为
d 2y dy +P (x ) +Q (x ) y =0， (5.2) dx dx 2
这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程(5.1)称为二阶非齐次线性微分方程.
定理1 如果函数y 1(x ) 与y 2(x ) 是方程(5.2)的两个解, 则
y =C 1y 1(x ) +C 2y 2(x ) (5.3)
也是方程(5.2)的解，其中C 1, C 2是任意常数.
定理2 如果y 1(x ) 与y 2(x ) 是方程(5.2)的两个线性无关的特解，则
y =C 1y 1(x ) +C 2y 2(x )
就是方程(5.2)的通解，其中C 1, C 2是任意常数.
定理3 设y *是方程(5.1)的一个特解，而Y 是其对应的齐次方程(5.2)的通解，则
y =Y +y * (5.4)
就是二阶非齐次线性微分方程(5.1)的通解.
二、二阶常系数齐次线性微分方程及其解法
y ''+p y '+qy =0 (6.1)
特征方程 r 2+pr +q =0, (6.2)
称特征方程的两个根r 1, r 2为特征根.
特征方程r 2+pr +q =0的根微分方程y ''+p y '+qy =0的通解
有二个不相等的实根r 1, r 2y =C 1e r 1x +C 2e r 2x
有二重根r 1=r 2y =(C 1+C 2x ) e r 1x
有一对共轭复根1y =e αx (C 1cos βx +C 2sin βx ) r 2=α-i β
这种根据二阶常系数齐次线性方程的特征方程的根直接确定其通解的方法称为特征方程法.
三、二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性方程的一般形式为
y ''+p y '+qy =f (x ) (4.10)
根据线性微分方程的解的结构定理可知，要求方程(4.10)的通解，只要求出它的一个特解和其对应的齐次方程的通解，两个解相加就得到了方程(4.10)的通解. 上节我们已经解决了求其对应齐次方程的通解的方法，因此，本节要解决的问题是如何求得方程(4.10)的一个特解y *.
方程(4.10)的特解的形式与右端的自由项f (x ) 有关，如果要对f (x ) 的一般情形来求方程(4.10)的特解仍是非常困难的，这里只就f (x ) 的一种常见的情形进行讨论. 即
f (x ) =P m (x ) e λx ，
其中λ是常数，P m (x ) 是x 的一个m 次多项式：P m (x ) =a 0x m +a 1x m -1+ +a m -1x +a m . 可以证明：方程(4.10)具有形如
y *=x k Q m (x ) e λx (4.11)
的特解，其中Q m (x ) 是与P m (x ) 同次的多项式，而k 按λ是不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
例题选讲
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法
例1（E01）求方程y ''-2y '-3y =0的通解. 解 所给微分方程的特征方程为r 2-2r -3=0, 其根r 1=-1, r 2=3是两个不相等的实根，因此所求通解为y =C 1e -x +C 2e 3x .
例2（E02）求方程y ''+4y '+4y =0的通解. 解 特征方程为r 2+4r +4=0, 解得r 1=r 2=-2, 故所求通解为y =(C 1+C 2x ) e -2x .
例3（E03）求方程y ''+2y '+5y =0的通解. 解 特征方程为r 2+2r +5=0, 解得r 1, 2=-1±2i , 故所求通解为
y =e -x (C 1cos 2x +C 2sin 2x ).
(1) y ''+5y '+6y =e 3x ; (2) y ''+5y '+6y =3xe -2x ;
(3) y ''+2y '+y =-(3x 2+1) e -x .
例4 下列方程具有什么样形式的特解?
解 (1) 因λ=3不是特征方程r 2+5r +6=0的根, 故方程具有特解形式：y *=b 0e 3x ;
(2) 因λ=-2是特征方程r 2+5r +6=0的单根, 故方程具有特解形式: y *=x (b 0x +b 1) e -2x ;
(3) 因λ=-1是特征方程r 2+2r +1=0的二重根，所以方程具有特解形式：
y *=x 2(b 0x 2+b 1x +b 2) e -x .
例5（E04）求方程y ''-2y '-3y =3x +1的一个特解. 解 题设方程右端的自由项为f (x ) =P m (x ) e λx 型，其中P m (x ) =3x +1, λ=0. 对应的齐次方程的特征方程为r 2-2r -3=0, 特征根为r 1=-1, r 2=3. 由于λ=0不是特征方程的根，所以就设特解为 y *=b 0x +b 1. 把它代入题设方程, 得 -3b 0x -2b 0-3b 1=3x +1,
⎧b 0=-1⎧-3b 0=3. 比较系数得⎨, 解得⎨b =3-2b -3b =101⎩1⎩
1于是，所求特解为y *=-x +. 3
例6（E05）求方程y ''-3y '+2y =xe 2x 的通解. 解 题设方程对应的齐次方程的特征方程为
r 2-3r +2=0, 特征根为r 1=1, r 2=2, 于是，该齐次方程的通解为Y =C 1x +C 2e 2x , 因λ=2是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：y *=x (b 0x +b 1) e 2x . 代入题设方程, 得 2b 0x +b 1+2b 0=x , 比较等式两端同次幂的系数, 得 b 0=1, b 1=-1, 2
1于是，求得题没方程的一个特解y *=x (x -1) e 2x . 2
从而，所求题设方程的通解为
1y =C 1e x +C 2e 2x +x (x -1) e 2x . 2
课堂练习
1. 求解下列二阶常系数齐次线性微分方程：
(1) y ''+5y '+6y =0；
(2) 16y ''-24y '+9y =0；
(3) y ''+8y '+25y =0.
2. 求微分方程y ''+y '=2x 2e x 的通解.
第四节 二阶常系数线性微分方程
根据二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求得二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解. 本节和下一节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其解法. 本节先讨论二阶常系数齐次线性微分方程及其解法.
分布图示
★ 二阶线性微分方程的概念 ★ 定理1
★ 函数的线性相关与线性无关
★ 定理2 ★ 定理3
★ 二阶常数系数齐次线性方程的解法
★ 例1 ★ 例2
★ 二阶常数系数非齐次线性方程的求解问题
★ f (x ) =P m (x ) e λx 型
★ 例4
★ 内容小结
★ 习题6—4
★ 例6 ★ 例3 ★ 例5 ★ 课堂练习
内容要点
一、二阶线性微分方程解的结构
二阶线性微分方程的一般形式是
d 2y dy +P (x ) +Q (x ) y =f (x ) ， (5.1) dx dx 2
其中P (x ) 、Q (x ) 及f (x ) 是自变量x 的已知函数，函数f (x ) 称为方程(5.1)的自由项. 当f (x ) =0时, 方程(5.1)成为
d 2y dy +P (x ) +Q (x ) y =0， (5.2) dx dx 2
这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程(5.1)称为二阶非齐次线性微分方程.
定理1 如果函数y 1(x ) 与y 2(x ) 是方程(5.2)的两个解, 则
y =C 1y 1(x ) +C 2y 2(x ) (5.3)
也是方程(5.2)的解，其中C 1, C 2是任意常数.
定理2 如果y 1(x ) 与y 2(x ) 是方程(5.2)的两个线性无关的特解，则
y =C 1y 1(x ) +C 2y 2(x )
就是方程(5.2)的通解，其中C 1, C 2是任意常数.
定理3 设y *是方程(5.1)的一个特解，而Y 是其对应的齐次方程(5.2)的通解，则
y =Y +y * (5.4)
就是二阶非齐次线性微分方程(5.1)的通解.
二、二阶常系数齐次线性微分方程及其解法
y ''+p y '+qy =0 (6.1)
特征方程 r 2+pr +q =0, (6.2)
称特征方程的两个根r 1, r 2为特征根.
特征方程r 2+pr +q =0的根微分方程y ''+p y '+qy =0的通解
有二个不相等的实根r 1, r 2y =C 1e r 1x +C 2e r 2x
有二重根r 1=r 2y =(C 1+C 2x ) e r 1x
有一对共轭复根1y =e αx (C 1cos βx +C 2sin βx ) r 2=α-i β
这种根据二阶常系数齐次线性方程的特征方程的根直接确定其通解的方法称为特征方程法.
三、二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性方程的一般形式为
y ''+p y '+qy =f (x ) (4.10)
根据线性微分方程的解的结构定理可知，要求方程(4.10)的通解，只要求出它的一个特解和其对应的齐次方程的通解，两个解相加就得到了方程(4.10)的通解. 上节我们已经解决了求其对应齐次方程的通解的方法，因此，本节要解决的问题是如何求得方程(4.10)的一个特解y *.
方程(4.10)的特解的形式与右端的自由项f (x ) 有关，如果要对f (x ) 的一般情形来求方程(4.10)的特解仍是非常困难的，这里只就f (x ) 的一种常见的情形进行讨论. 即
f (x ) =P m (x ) e λx ，
其中λ是常数，P m (x ) 是x 的一个m 次多项式：P m (x ) =a 0x m +a 1x m -1+ +a m -1x +a m . 可以证明：方程(4.10)具有形如
y *=x k Q m (x ) e λx (4.11)
的特解，其中Q m (x ) 是与P m (x ) 同次的多项式，而k 按λ是不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
例题选讲
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法
例1（E01）求方程y ''-2y '-3y =0的通解. 解 所给微分方程的特征方程为r 2-2r -3=0, 其根r 1=-1, r 2=3是两个不相等的实根，因此所求通解为y =C 1e -x +C 2e 3x .
例2（E02）求方程y ''+4y '+4y =0的通解. 解 特征方程为r 2+4r +4=0, 解得r 1=r 2=-2, 故所求通解为y =(C 1+C 2x ) e -2x .
例3（E03）求方程y ''+2y '+5y =0的通解. 解 特征方程为r 2+2r +5=0, 解得r 1, 2=-1±2i , 故所求通解为
y =e -x (C 1cos 2x +C 2sin 2x ).
(1) y ''+5y '+6y =e 3x ; (2) y ''+5y '+6y =3xe -2x ;
(3) y ''+2y '+y =-(3x 2+1) e -x .
例4 下列方程具有什么样形式的特解?
解 (1) 因λ=3不是特征方程r 2+5r +6=0的根, 故方程具有特解形式：y *=b 0e 3x ;
(2) 因λ=-2是特征方程r 2+5r +6=0的单根, 故方程具有特解形式: y *=x (b 0x +b 1) e -2x ;
(3) 因λ=-1是特征方程r 2+2r +1=0的二重根，所以方程具有特解形式：
y *=x 2(b 0x 2+b 1x +b 2) e -x .
例5（E04）求方程y ''-2y '-3y =3x +1的一个特解. 解 题设方程右端的自由项为f (x ) =P m (x ) e λx 型，其中P m (x ) =3x +1, λ=0. 对应的齐次方程的特征方程为r 2-2r -3=0, 特征根为r 1=-1, r 2=3. 由于λ=0不是特征方程的根，所以就设特解为 y *=b 0x +b 1. 把它代入题设方程, 得 -3b 0x -2b 0-3b 1=3x +1,
⎧b 0=-1⎧-3b 0=3. 比较系数得⎨, 解得⎨b =3-2b -3b =101⎩1⎩
1于是，所求特解为y *=-x +. 3
例6（E05）求方程y ''-3y '+2y =xe 2x 的通解. 解 题设方程对应的齐次方程的特征方程为
r 2-3r +2=0, 特征根为r 1=1, r 2=2, 于是，该齐次方程的通解为Y =C 1x +C 2e 2x , 因λ=2是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：y *=x (b 0x +b 1) e 2x . 代入题设方程, 得 2b 0x +b 1+2b 0=x , 比较等式两端同次幂的系数, 得 b 0=1, b 1=-1, 2
1于是，求得题没方程的一个特解y *=x (x -1) e 2x . 2
从而，所求题设方程的通解为
1y =C 1e x +C 2e 2x +x (x -1) e 2x . 2
课堂练习
1. 求解下列二阶常系数齐次线性微分方程：
(1) y ''+5y '+6y =0；
(2) 16y ''-24y '+9y =0；
(3) y ''+8y '+25y =0.
2. 求微分方程y ''+y '=2x 2e x 的通解.