数学物理方程在化工中的应用简介
摘要：数学是科学的基础, 是现代科学和工程技术的核心。虽然数学研究和数学教育的兴旺发达, 并不会自动地带来先进的科学技术和强大的化学工业, 但后者要先进和强大, 则离不开数学的繁荣与发展。数学在化学工程中的应用重要而广泛，化工中的各类传递(动量传递、质量传递、能量传递) 过程都是基于数学模型推导而得到的一系列传递理论及模型。化工过程特别是在研究化工控制理论时所建立的数学模型包括常微分方程、偏微分方程、贝塞尔方程以及拉普拉斯方程等，本文将简介这几类方程在化工优化、分析中的应用。 [1]
1. 常微分方程及其应用[2]
常微分方程分为线性与非线性方程，一般的n 阶线性齐次常微分方程具有以下形式
dny
dxdny
dxdn−1ydxdydx+a1+⋯+an−1+any=0 其中，为一次有理整式，a n 为已知函数。
常用常微分方程为一阶和二阶线性常微分方程，该方程的解法本文不再赘述，以管式反应器的稳态数学模型为例介绍二阶线性常系数方程的应用。
管式反应器的稳态数学方程为
1d2cdc −−Dac =0 1dc x=0， c−=1 dc x =1, =0
这是一个齐次线性常系数方程的两点边值问题，其中，Pe 为Peclet （贝克莱）数，Da 为达姆科勒数，其特征方程为
12λ−λ−Da=0 方程的通解为：c （x ）=Aeλ1x+Beλ2x，再由边界条件可得出常数A 、B 的方
程，解得
−1λ2λ−λλ2λ−λλ2A=−e12 1−e21−（1−eλ2−λ1 11
−1λ2λ−λλ2B= 1−e21−（1−eλ2−λ1 1另外符合二阶线性变系数方程的模型有内扩散问题，以球形催化剂上的内扩散为例，该过程的数学表达式为：
1ddc r2−Φ2c=0 dc =0r=0 c 1 =1
其中Φ是Thiele （西勒）数，表征颗粒的反应速率与内扩散速率的相对大小。本问题的微分方程是变系数方程，作如下代换：
y r c r =化为常系数方程
d2y2−Φy=0
解得： c =（Ae Φr +Be −Φr ） 12. 偏微分方程及其应用
2.1一阶偏微分方程
含有两个以上自变量和因变量的一阶导数的方程称为一阶偏微分方程，这类方程在化工中多用于描述对流项占优势的波动问题，因此又称为波动方程。一阶偏微分方程通常用特征线法求解，其基本思想是先求满足方程的特征线解，将问题转化为一组常微分方程来考虑，然后再以特征线为基本元素构造满足初值、边值的解曲面。例如管道中的溶质输送问题，这是最简单的对流运输问题。管道内流动为平推流，溶质浓度满足以下方程 [3]
∂c ∂c +ν=0 −∞
0 x>0c x, 0 = c0 −α≤x≤0
0 x
当t >0以后，溶质跟随流体做平推流运动，同时保持浓度的初始分布性状不变。任一时刻t=t1的浓度分布将由矩形的位置确定，相应的特征线方程为
dt dxdc=1， =v， =0 初始曲线为
s =0，t =0， x=ξ
0 ξ>0
c ξ = c0 −α≤ξ≤0
0 ξ
容易求得该问题的特征线为x−vt=ξ, 因此该问题的解为
0 x−vt>0c ξ = c0 −α≤x−vt≤0
0 x−vt
特征线C ：x−vt=ξ为上半平面上一组相互平行的直线，其斜率的倒数，dx dt 代表方波的运动速度，本例中，波速等于流体流速v 。
[4]2.2二阶偏微分方程
二阶偏微分方程是化学工程中最常见的一类偏微分方程，二阶偏微分方程的求解一般以定解问题为考虑对象，有两类解法比较常用，一类是分离变量法，适用于处理有限区间的各种定解问题；另一类是积分变换法，适用于处理无限区间的定解问题。以催化剂颗粒的瞬态响应为例，当采用动态分析的方法研究催化剂时，需要考虑催化剂颗粒与床层的动态响应问题，此时的数学模型为与时间有关的瞬态模型，相应的数学模型为
ðc1ððc = xs−∅2c ðc =0 c 1, t =1, x=0 c x, 0 =φ x
其中，∅=a , s 为颗粒形状指数，s=0、1、2，分别代表片状、长圆柱Dk状、球形颗粒，下面以常用的长圆柱状催化剂颗粒为例求解模型。
对于长圆柱状颗粒，s=1，并用分离变量法求解，将边界条件化齐，设
c x, t =w x, t +v x
其中，特解v(x) 由以下方程确定
1dðv x −∅2v=0
′ v0=0
v 1 =1
该方程可化为零阶变形Bessel 方程，其通解可用第一类和第二类零阶变形Bessel 函数表示
v x =A I0 ∅x +BK0 ∅x
由边界条件可确定出
B =0， A=
因此可得
v x =I0 ∅x 01 0再将c x, t =w x, t +v x 代入到式原定解问题中，得到w x, t 的齐次边值问题
ðw1ððw = x−∅2w ðw =0 w 1, t =0, x=0 w x, 0 =φ x −v x
再次分离变量，令w x, t =X x T t , 得到
T =Aexp − λ+∅2 t
1dðX x+λX=0
X 1 =X′ 0 =0
该方程的解又是一个零阶Bessel 函数
Xn x =J0(n)
特征值λn由x =1处的齐次边值确定
J0n=0
解得
∞
w x, t = Anexp [− λn+∅2 t]J0(nx)
n=1
系数A 由初值确定。
3. 贝塞尔方程与函数的应用
我们在求解某些微分方程的定解问题时，常常会遇到特定的变系数常微分方程，例如贝塞尔方程等，极坐标和柱坐标中的问题通常与贝塞尔方程密切相关。形如
2dydyx2+x+ x2−k2 y=0 的方程称为k 阶贝塞尔方程，其中k 为正的常数或零。
形如
d2ydyx+x− x2+k2 y=0 2
的方程为变形贝塞尔方程。我们以极坐标系中的催化剂颗粒内稳态反应扩散问题说明贝塞尔方程的应用，其数学模型为
1dðc r −∅2c=0 dcr=0 ，=0 r=1 ，c =1
式中，∅为Thiele 模数。
通过变换x=r∅，方程可化为零阶变形贝塞尔方程
2dcdc2x+x−x2c=0
通解为c x =A I0 x +BK0(x)
第二类变形贝塞尔函数K0(x) 含lnx 项，在x=0处有奇异性，因此解的有限性要求B=0，另一个常数A 有r=1处的边界条件
c 1 =A I0 ∅ =1
于是得到问题的解为
I0 r∅ c r =04. 用拉普拉斯变换法求解非稳态导热问题[5]
一个半无限大物体(x≥0)的初始温度为零, 当时间t>0时, 在x=0的边界上有恒定热流qw 的作用, 求解t>0时物体中的温度分布问题。我们设u 表示物体的温度，x 表示坐标，t 表示时间, λ表示导热系数, 则温度是时间及坐标的函数, 即u=u(x,t)。该问题的数学模型为
ðuð2u =a 00 u=0 x≥0, t=0 qw ðu=− x=0, t>0 u=0 x→∞, t>0
对该定解问题关于t 取Laplace 变换，并利用微分性质和初始条件可得
L u x, t =U x, s
L ∂u =sU x, s −u x, 0 =sU(x, s) ∂u ∂L =U x, s ∂2u d 2
L =U x, s 于是，将原问题转化为
d 2Us −U =0 0
这是二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题。特征值法求得通解为
U x, s =c1e +c2e−
最后代入边界条件求解U （x,s ）, 并取拉普拉斯逆变换查表得
qw t−x2xx u x, t = 2e−
此外, 利用拉普拉斯变换法不仅可以比较方便地求解有随时间变化的边界条件和热源的问题, 也可用来解决诸如加热器热容量、接触热阻等复杂的边界条件以及复合介质等复杂的问题。拉普拉斯变换在电路理论和自动控制理论的研究中, 也占有很重要的地位. 用拉普拉斯变换将由工程问题中建立的微分方程化为象函数的代数方程, 解这一代数方程得到象函数, 然后再取拉氏逆变换就得到了原来微分方程的解. 这是一种实用的微分方程解法. [6]
5. 结语
作为化学工程与技术专业的学生, 必须掌握好化工过程的优化, 并在实际操作中加以运用。要达到这一目的, 一方面要掌握好数学模型的基本原理, 另一方面要学会如何在化工过程中运用数学。注重数学方法与化工内容的有机结合, 我们 一方面按照数学上的逻辑结构, 循序渐进地学习常微分方程的有关知识与分析解法, 另一方面又结合相关的化学工程知识与研究开发方法论, 充分理解各种数学模型的背景与意义。还要借鉴化学工程领域发展起来的一些具有特色的数学方法, 例如线性与非线性色谱理论、矩量分析方法、稳定性分析方法 、正交配置法等。这样对我们以后的学习和科研具有重要作用。
参考文献
[1] 李扬，谢彦红. 基于化工专业需求的数学建模教学[J]. 化工高等教育. 2009(04).
[2] 李希. 化工问题的建模与数学分析方法[M]．北京：化学工业出版社，2006：20-30．
[3] 陶明德，吴正. 高等工程数学[M]．上海：上海科学技术文献出版社，1993．
[4] 潘祖梁，陈仲慈. 工程技术中的偏微分方程[M]．杭州：杭州大学出版社，2000：127-130．
[5] 张清叶. 拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用[J].河南机电高等专科学校学报. 2008(06)：41-43.
[6] 李军湘. 化工数学模型及其最优化[J]. 阴山学刊(自然科学版). 2006(01).
数学物理方程在化工中的应用简介
摘要：数学是科学的基础, 是现代科学和工程技术的核心。虽然数学研究和数学教育的兴旺发达, 并不会自动地带来先进的科学技术和强大的化学工业, 但后者要先进和强大, 则离不开数学的繁荣与发展。数学在化学工程中的应用重要而广泛，化工中的各类传递(动量传递、质量传递、能量传递) 过程都是基于数学模型推导而得到的一系列传递理论及模型。化工过程特别是在研究化工控制理论时所建立的数学模型包括常微分方程、偏微分方程、贝塞尔方程以及拉普拉斯方程等，本文将简介这几类方程在化工优化、分析中的应用。 [1]
1. 常微分方程及其应用[2]
常微分方程分为线性与非线性方程，一般的n 阶线性齐次常微分方程具有以下形式
dny
dxdny
dxdn−1ydxdydx+a1+⋯+an−1+any=0 其中，为一次有理整式，a n 为已知函数。
常用常微分方程为一阶和二阶线性常微分方程，该方程的解法本文不再赘述，以管式反应器的稳态数学模型为例介绍二阶线性常系数方程的应用。
管式反应器的稳态数学方程为
1d2cdc −−Dac =0 1dc x=0， c−=1 dc x =1, =0
这是一个齐次线性常系数方程的两点边值问题，其中，Pe 为Peclet （贝克莱）数，Da 为达姆科勒数，其特征方程为
12λ−λ−Da=0 方程的通解为：c （x ）=Aeλ1x+Beλ2x，再由边界条件可得出常数A 、B 的方
程，解得
−1λ2λ−λλ2λ−λλ2A=−e12 1−e21−（1−eλ2−λ1 11
−1λ2λ−λλ2B= 1−e21−（1−eλ2−λ1 1另外符合二阶线性变系数方程的模型有内扩散问题，以球形催化剂上的内扩散为例，该过程的数学表达式为：
1ddc r2−Φ2c=0 dc =0r=0 c 1 =1
其中Φ是Thiele （西勒）数，表征颗粒的反应速率与内扩散速率的相对大小。本问题的微分方程是变系数方程，作如下代换：
y r c r =化为常系数方程
d2y2−Φy=0
解得： c =（Ae Φr +Be −Φr ） 12. 偏微分方程及其应用
2.1一阶偏微分方程
含有两个以上自变量和因变量的一阶导数的方程称为一阶偏微分方程，这类方程在化工中多用于描述对流项占优势的波动问题，因此又称为波动方程。一阶偏微分方程通常用特征线法求解，其基本思想是先求满足方程的特征线解，将问题转化为一组常微分方程来考虑，然后再以特征线为基本元素构造满足初值、边值的解曲面。例如管道中的溶质输送问题，这是最简单的对流运输问题。管道内流动为平推流，溶质浓度满足以下方程 [3]
∂c ∂c +ν=0 −∞
0 x>0c x, 0 = c0 −α≤x≤0
0 x
当t >0以后，溶质跟随流体做平推流运动，同时保持浓度的初始分布性状不变。任一时刻t=t1的浓度分布将由矩形的位置确定，相应的特征线方程为
dt dxdc=1， =v， =0 初始曲线为
s =0，t =0， x=ξ
0 ξ>0
c ξ = c0 −α≤ξ≤0
0 ξ
容易求得该问题的特征线为x−vt=ξ, 因此该问题的解为
0 x−vt>0c ξ = c0 −α≤x−vt≤0
0 x−vt
特征线C ：x−vt=ξ为上半平面上一组相互平行的直线，其斜率的倒数，dx dt 代表方波的运动速度，本例中，波速等于流体流速v 。
[4]2.2二阶偏微分方程
二阶偏微分方程是化学工程中最常见的一类偏微分方程，二阶偏微分方程的求解一般以定解问题为考虑对象，有两类解法比较常用，一类是分离变量法，适用于处理有限区间的各种定解问题；另一类是积分变换法，适用于处理无限区间的定解问题。以催化剂颗粒的瞬态响应为例，当采用动态分析的方法研究催化剂时，需要考虑催化剂颗粒与床层的动态响应问题，此时的数学模型为与时间有关的瞬态模型，相应的数学模型为
ðc1ððc = xs−∅2c ðc =0 c 1, t =1, x=0 c x, 0 =φ x
其中，∅=a , s 为颗粒形状指数，s=0、1、2，分别代表片状、长圆柱Dk状、球形颗粒，下面以常用的长圆柱状催化剂颗粒为例求解模型。
对于长圆柱状颗粒，s=1，并用分离变量法求解，将边界条件化齐，设
c x, t =w x, t +v x
其中，特解v(x) 由以下方程确定
1dðv x −∅2v=0
′ v0=0
v 1 =1
该方程可化为零阶变形Bessel 方程，其通解可用第一类和第二类零阶变形Bessel 函数表示
v x =A I0 ∅x +BK0 ∅x
由边界条件可确定出
B =0， A=
因此可得
v x =I0 ∅x 01 0再将c x, t =w x, t +v x 代入到式原定解问题中，得到w x, t 的齐次边值问题
ðw1ððw = x−∅2w ðw =0 w 1, t =0, x=0 w x, 0 =φ x −v x
再次分离变量，令w x, t =X x T t , 得到
T =Aexp − λ+∅2 t
1dðX x+λX=0
X 1 =X′ 0 =0
该方程的解又是一个零阶Bessel 函数
Xn x =J0(n)
特征值λn由x =1处的齐次边值确定
J0n=0
解得
∞
w x, t = Anexp [− λn+∅2 t]J0(nx)
n=1
系数A 由初值确定。
3. 贝塞尔方程与函数的应用
我们在求解某些微分方程的定解问题时，常常会遇到特定的变系数常微分方程，例如贝塞尔方程等，极坐标和柱坐标中的问题通常与贝塞尔方程密切相关。形如
2dydyx2+x+ x2−k2 y=0 的方程称为k 阶贝塞尔方程，其中k 为正的常数或零。
形如
d2ydyx+x− x2+k2 y=0 2
的方程为变形贝塞尔方程。我们以极坐标系中的催化剂颗粒内稳态反应扩散问题说明贝塞尔方程的应用，其数学模型为
1dðc r −∅2c=0 dcr=0 ，=0 r=1 ，c =1
式中，∅为Thiele 模数。
通过变换x=r∅，方程可化为零阶变形贝塞尔方程
2dcdc2x+x−x2c=0
通解为c x =A I0 x +BK0(x)
第二类变形贝塞尔函数K0(x) 含lnx 项，在x=0处有奇异性，因此解的有限性要求B=0，另一个常数A 有r=1处的边界条件
c 1 =A I0 ∅ =1
于是得到问题的解为
I0 r∅ c r =04. 用拉普拉斯变换法求解非稳态导热问题[5]
一个半无限大物体(x≥0)的初始温度为零, 当时间t>0时, 在x=0的边界上有恒定热流qw 的作用, 求解t>0时物体中的温度分布问题。我们设u 表示物体的温度，x 表示坐标，t 表示时间, λ表示导热系数, 则温度是时间及坐标的函数, 即u=u(x,t)。该问题的数学模型为
ðuð2u =a 00 u=0 x≥0, t=0 qw ðu=− x=0, t>0 u=0 x→∞, t>0
对该定解问题关于t 取Laplace 变换，并利用微分性质和初始条件可得
L u x, t =U x, s
L ∂u =sU x, s −u x, 0 =sU(x, s) ∂u ∂L =U x, s ∂2u d 2
L =U x, s 于是，将原问题转化为
d 2Us −U =0 0
这是二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题。特征值法求得通解为
U x, s =c1e +c2e−
最后代入边界条件求解U （x,s ）, 并取拉普拉斯逆变换查表得
qw t−x2xx u x, t = 2e−
此外, 利用拉普拉斯变换法不仅可以比较方便地求解有随时间变化的边界条件和热源的问题, 也可用来解决诸如加热器热容量、接触热阻等复杂的边界条件以及复合介质等复杂的问题。拉普拉斯变换在电路理论和自动控制理论的研究中, 也占有很重要的地位. 用拉普拉斯变换将由工程问题中建立的微分方程化为象函数的代数方程, 解这一代数方程得到象函数, 然后再取拉氏逆变换就得到了原来微分方程的解. 这是一种实用的微分方程解法. [6]
5. 结语
作为化学工程与技术专业的学生, 必须掌握好化工过程的优化, 并在实际操作中加以运用。要达到这一目的, 一方面要掌握好数学模型的基本原理, 另一方面要学会如何在化工过程中运用数学。注重数学方法与化工内容的有机结合, 我们 一方面按照数学上的逻辑结构, 循序渐进地学习常微分方程的有关知识与分析解法, 另一方面又结合相关的化学工程知识与研究开发方法论, 充分理解各种数学模型的背景与意义。还要借鉴化学工程领域发展起来的一些具有特色的数学方法, 例如线性与非线性色谱理论、矩量分析方法、稳定性分析方法 、正交配置法等。这样对我们以后的学习和科研具有重要作用。
参考文献
[1] 李扬，谢彦红. 基于化工专业需求的数学建模教学[J]. 化工高等教育. 2009(04).
[2] 李希. 化工问题的建模与数学分析方法[M]．北京：化学工业出版社，2006：20-30．
[3] 陶明德，吴正. 高等工程数学[M]．上海：上海科学技术文献出版社，1993．
[4] 潘祖梁，陈仲慈. 工程技术中的偏微分方程[M]．杭州：杭州大学出版社，2000：127-130．
[5] 张清叶. 拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用[J].河南机电高等专科学校学报. 2008(06)：41-43.
[6] 李军湘. 化工数学模型及其最优化[J]. 阴山学刊(自然科学版). 2006(01).