第２１卷第ｚ期
２００９年６月甘肃科学学报ＪｏｕｍａｌｏｆＧａｎｓｕｓｃｉｅｎｃｅｓＶ０１．２１Ｎｏ．２Ｊｕｎ．２００９
一类常系数线性差分方程的特解探究
李自珍，龚东山
（兰州大学数学与统计学院，甘肃兰州７３００００）
摘要：针对一类常系数线性差分方程，运用特征函数法和比较系数法，得到了方程特解的显式表达．当方程非齐次项∥Ｐ。（五）中多项式Ｐ。（惫）．一Ａ（Ａ为非零常数）时，可采用特征函数法得到方
程的一个公式化特解；当Ｐ。（五）一ｄ。五“＋ｄ—ｌ愚一１＋…＋ｄ。（ｄ。≠Ｏ）时，可采用比较系数法来得到
方程的一个特解．该方法简单易行，特解形式直观，避免了以前方法计算量过大的不足．
关键词：差分方程；非齐次；特解；特征函数法；比较系数法
０１７５．７中图分类号：文献标志码：Ａ文章编号：１００４—０３６６（２００９）０２一０００１一０３
ＲｅｓｅａｒｃｈｏｎｔｈｅＳｐｅｃｉａｌＳｏＩｕｔｉｏｎｏｆａＫｉｎｄｏｆ
ＬｉｎｅａｒＤｉｆｆｅｒｅｎｃｅＥｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈＣＯｎｓｔａｎｔＣｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ
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ｆｕｎｍｉｏｎｉｓ
ｓｏｌｕｔｉｏｎ０ｆｆ乙（忌）＝Ａ（Ａｉｓｎ０忏ｚｅｒｏｃｏｎｓｔａｎｔ）ｉＩｌｔｈｅｎｏｎ．ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓｉｔｅｍ∥Ｐ。（忌），ｍｅｔｈｏｄ０ｆｃｈ牡解ｔｅ五ｓｔｉｃｕｓｅｄ；Ｗ１ｌｅｎＰ０＠）＝厶五”＋ａｋｌ忌一１＋…＋磊（ａ乙≠Ｏ），、代ｃａｎｄｅｄｕｃｅｔ１１ｅｆｏｍｕｌａｏｆｔ１１ｅｓｐｅｃｉａｌ
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咒阶常系数线性差分方程
Ｐｙ（尼）＋口。矿１ｙ（忌）＋…＋口，卜ｌ毋（忌）＋口。ｙ（忌）一，（七），
Ｅ［Ｅ卜１ｙ（愚）］一Ｅ［ｙ（惫＋ｉ一１）］一ｙ（忌＋ｉ）（ｚ＝ｏ，１，…，竹）．
若，（忌）不恒为ｏ，则称式（１）是竹阶常系数非齐次线性差分方程，并称方程（１）其中五∈（口，口＋１，…，６—１，６）ｃＺ，行∈Ｎ，口。，ｎ２，…，％为常数，且口。≠０；Ｅ为位移算子，满足Ｆｙ（忌）＝
Ｅ玎ｙ（忌）＋口ｌＥ”１ｙ（愚）＋…＋口，广ｌ毋（忌）＋口。３，（志）＝Ｏ
为式（１）对应的齐次方程．（２）
依据线性差分方程的通解结构理论知，式（１）的通解可以表示为式（１）的一个特解与齐次式（２）的通解之和［１’２］．关于式（２）通解的计算，一般可采用待定参数法，先将差分方程化为代数方程，再求解这个代数方程即可［３］．因此，要得到式（１）的通解，只需找到它的一个特解即可．
计算式（１）特解的常用方法有常数变异法‰５。、ｚ＿变换法（也称离散Ｌａｐｌａｃｅ变换）［６。、算子法‘７１及升阶法［８］等．其中采用常数变异法与ｚ－变换法时，往往需要借助复杂的和分运算与逆变换ｚ＿１，而采用算子法和收稿日期：２００８—０９—０９基金项目ｓ国家自然科学基金项目（３０４７０２９８）．
２甘肃科学学报２００９年第２期升阶法时，其计算量较大，且升阶法仅适用于带差分算子△的方程，从而限制了这些方法的使用与推广．
我们试图利用特征函数法‘引，针对非齐次项厂（忌）＝∥Ｐ。（忌）（ｐ为非零常数，Ｐ。（志）为班次多项式）的差分方程
ｐｙ（忌）＋口ｌ矿１ｙ（惫）＋…＋口，ｌ毋（愚）＋口。了（最）＝∥Ｐ。（志）
得到它的一个公式化特解．
１（３）定义与引理
引理ｌ若Ａ‘是方程（２）的解，则有
．：ｌ”＋口１．：Ｉ”１＋…＋口，ｒｌＡ十口。＝Ｏ．（４）
定义ｌ称式（４）为方程（２）的特征方程．并称
Ｆ（．；【）＝Ａ“＋口１．；Ｉ”１＋…＋口，１Ａ＋口。（５）
为方程（２）的特征函数．
引理２特征函数（５）的导数满足
￡；卑一ｃ飘一‘＋ｃｏ。口１．：【一卜・＋…＋ｃｏ。口，ｆ＿１．：Ｉ＋ａ口，；，ｚ—ｏ，１，…，，１．
定义２（６）利用特征函数（５）以及特征函数的导数（６）求解方程的方法称为特征函数法．
２
２．１主要结论非齐次项＾（七）＝Ａ（Ａ为非零常数）的情形
此时，式（３）变为
Ｐｙ（忌）＋口１矿１ｙ（忌）＋…＋４，ｒ１勋（愚）＋口。ｙ（惫）一却‘．
定理ｌ（特征函数法）常系数线性差分方程（７）存在特解（７）夕＝杰如Ｈ，２而忽≯一’ｙ（８）Ｌ芍，其中Ｚ（ｏ≤Ｚ≤行）表示特征根卢的重数．
证明①若卢不是特征式（４）的根，则有Ｚ一０且Ｆ（∞（芦）＝Ｆ（卢）≠０．
为了得到式（７）的一个特解夕，可令夕＝卑‘（Ｂ为待定常数）．将夕（志）、毋（五）、…、Ｆ夕（志）代人式（７），整理后有卑‘［，＋口ｌ∥。１＋…＋口，ｒ－产＋口。］＝舡‘．由于∥为非零常数，故产‘≠ｏ，化简上式后有Ｂ一≯了ｉｉｉ］兰｝干而一Ｆ各・
此时式（７）存在特解夕＝卑‘一Ｆ各∥一声害茜户‘．
②若口是特征方程（４）的ｚ重特征根（１≤ｚ≤竹），则有Ｆ（卢）＋，ｑ）＝…一ＦＨ’（户）一。且ｐｑ）≠ｏ．由线性齐次差分方程的通解结构理论知，∥，如‘，…，忌Ｈ∥是式（２）的ｚ个线性无关解，且是么‘不是该齐次方程的解．令式（７）有特解夕一擞么‘（Ｂ为待定常数）．将夕（忌）、毋（志）、…、Ｐ夕（曼）代人式（７），消去因子∥并整理后有Ｂ一尹Ｆ会丽・此时式（７）存在特解：
推论１
存在特解方程夕一耳耸万正么Ｈ，１≤ｚ≤兀（９）Ｅ，ｌ了（足）＋口ｌＥ”１ｙ（矗）＋…＋口，ｌ毋（惫）＋口。ｙ（惫）＝Ａ，
夕。声焉正‘，忙ｏ，１’．．‘・”
其中Ｚ（Ｏ≤￡≤竹）表示特征根卢一１的重数．
证明式（９）是式（７）卢一ｌ的特殊情况．将ｐ＝１代入式（８）可得式（１０）成立．
２．２ｄ（１０）非齐次项ｎ（七）＝以足。＋ｄ一．七一‘＋…＋巩（以。ｄ一。。…。磊为常数）的情形此时，式（３）变为
第２１卷李自珍等：一类常系敷线性差分方程的特解探究
Ｆｙ（五）＋口。矿１ｙ（矗）＋…＋口。ｙ（五）一［ｄ。志４＋ｄ—ｌ五一１＋…＋ｄ。］矿．
定理２（比较系数法）式（１１）存在特解形如（１１）
夕＝［６ｍ五“＋址１七一＋…＋６０］五２弘Ｈ，ｚ—ｏ，１，…，卯
其中ｚ（ｏ≤Ｚ≤竹）表示特征根卢的重数，ｋ，６一。，…，６０为常数．
证明①若卢不是特征式（４）的根，则有Ｚ＝Ｏ且Ｆ（严）≠Ｏ．（１２）
为了得到式（１１）的一个特解夕，可令夕＝［６。愚”＋６一。忌一１＋…＋６。］∥（６。，靠。，…，６０为待定系数）．将夕（五）、印（忌）、…、＿Ｅ，Ｉ多（忌）代入式（１１），消除非零因子矿后有
６私”［（五＋挖）“＋口。（五＋ｎ一１）“＋…＋口，ｒｌ（五＋１）“＋口。惫“］＋
址１卢一［（志＋，１）一１＋口ｌ（惫＋以一１）一１＋…十口，１（五＋１）一１＋口。忌一１］＋…＋
６１止（愚＋ｎ）＋口１（志十刀一１）＋…＋口，ｌ（忌＋１）＋口。忌］＋６０［１＋口１＋…＋口，１＋口。］＝
ｄ。＋ｄｌ奄＋…十ｄ。惫４．
利用特征函数导数式（６），整理上式可得
６。ｃ：：ＩＦ（产）惫”＋［６，ｌｃ：：：ｒｌＦ（Ｉｆｌ）＋６ｍｃ扣Ｆ７（ｐ）］七一１＋
［％靠ｚＦｑ）＋‰艮。∥７Ｑ）＋ｋｃ：（∥Ｐ（产）＋∥７ｑ））］五卅十…一磊＋西忌＋…＋姒“．
通过比较系数可得到一个关于６。，６一’．．・，６０线性方程组．解此方程组可依次得出６。，６一，，…，６。．从而求得式（１１）的一个特解．
②若口是特征式（４）的Ｚ重特征根（１≤Ｚ≤行），则有
Ｆ（岸）＝Ｆ７（口）一…＝Ｆ‘Ｈ’（岸）＝Ｏ，且Ｆ‘ｏ（岸）≠０．
令式（１１）的一个特解夕一［６０“＋６一．五一１＋…＋６０］忌么Ｈ（ｋ，６一ｌ，．．・，６０为待定系数），将夕（惫）、Ｅ箩（愚）、…、Ｐ夕（忌）代人式（１１）．类似①中计算思路，先消除非零因子∥，再通过比较系数可得到一个关于６ｍ，６，。，．．・，６０线性方程组，从而可求出式（１１）的一个特解形如式（１２）．
例１求方程Ｅ３ｙ（忌）一３Ｅ２ｙ（忌）＋３毋（愚）一ｙ（忌）一１００的一个特解
解
例２
解卢一１为特征方程的三重根，且Ｆ（３’（１）一６．由推论１可得方程的特解为夕＝未尝％忌３＝警忌３．求方程Ｅｇｙ（五）一６Ｅ２ｙ（惫）＋１２毋（五）一８ｙ（五）＝志・２‘的一个特解弘＝２是特征方程的三重根，且，（２）一６．由定理２，可令方程的特解为夕一（６。矗＋６０）忌３２Ｈ，其中６。，６０为待定常数．将夕（惫）、坊（意）、Ｅ２夕（足）、Ｅ３夕（忌）代人原方程有２４６。七十３６６ｌ＋６６０一惫，比较系数有｛；：６ｌｉ三。；。，解这个二元线性方程组，可得６。一去，６０一一｛．因此所述差分方程存在特解：ｉ３６６：＋６６。；ｏ，解这个二元线性方程组，可得６－一麦，６０一一专‘因此所述差分方程存在特解：
夕＝（去忌一｛）矗３２Ｈ一（南五一矗）忌３２‘．
参考文献：
［１］
［２］ｓＮＥｌａｙｄｉ．ＡｎＩｎｔｆｏｄｕｃｔｉｏｎＤｉｆｆｅｒｅｎｃｅｔｏＥｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋｌＳｐｒｉｎｇｅｒ．Ｖｅｒｌａｇ，１９９６．Ｐｒｅｓｓ，１９９１．ＫｅＵｅｙｗＧ．Ｐｅｔｅｆ∞ｎＡＣ．ＤｉｆｆｅｒｅｎｃｅＥｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈＡｐｐｌｉ∞ｔｉｏｎｓ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋ：Ａ∞ｄｅｍｉｃ
［３］阮炯．差分方程和常微分方程［Ｍ］．上海：复旦大学出版社．１９９１．
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［６］张广．高英．差分方程的振动理论［Ｍ］．北京：高等教育出版杜，２００１．
［７］黄兆良．算子法在常系数线性差分方程中的应用［Ｊ］．武汉船舶职业技术学院学报，２００８。７（１）：２６・２８．
［８］王炳兴．王海敏．常系数非齐次线性差分方程的特解［Ｊ］．工科数学．１９９９，１５（４）：１６ｌ－１６５．
［９］龚东山，刘岳巍，牛富俊．特征函数在高阶常微分方程特解计算中的应用［Ｊ］．吉林师范大学学报（自然科学版），２００８，２９（４），８—１０．作者简介：
李自珍（１９４４一）男．河南省许昌人，１９６９年毕业于兰州大学数力系，理学博士．现任兰州大学数学与统计学院教授，博士研究生导师，研究方向为数学生态学．
一类常系数线性差分方程的特解探究
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：李自珍， 龚东山， LI Zi-zhen， GONG Dong-shan兰州大学,数学与统计学院,甘肃,兰州,730000甘肃科学学报JOURNAL OF GANSU SCIENCES2009，21(2)0次
参考文献(9条)
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2. Kelley W G. Peterson A C Difference Equations with Applications 1991
3. 阮炯 差分方程和常微分方程 1991
4. 王联. 王慕秋 常差分方程 1991
5. Saber Elaydi An Introduction to Difference Equations 2005
6. 张广. 高英 差分方程的振动理论 2001
7. 黄兆良 算子法在常系数线性差分方程中的应用[期刊论文]-武汉船舶职业技术学院学报 2008(01)
8. 王炳兴. 王海敏 常系数非齐次线性差分方程的特解 1999(04)
9. 龚东山. 刘岳巍. 牛富俊 特征函数在高阶常微分方程特解计算中的应用[期刊论文]-吉林师范大学学报（自然科学版） 2008(04)
相似文献(10条)
1.期刊论文 莫国良 用升阶法求常系数线性非齐次差分方程的特解 -高等数学研究2005,8(4)
利用升阶法可求解常系数线性非齐次差分方程的特解.
2.学位论文 龚东山 几类常差分方程精确解的研究 2009
差分方程研究的主要内容包括两个问题：差分方程的精确解和方程解的定性分析。其中对于解的定性分析研究，一般以差分模型为基础，具体讨论差分方程的稳定性、有界性、振动性、渐近性、周期性和概周期性等问题，相关的研究在过去几十年中取得了许多重要的成果。然而对于差分方程精确解的研究则相对滞后。尽管许多学者在寻找差分方程的精确解方面取得了一定的进展，但仍有许多结论还不太成熟：在线性若分方程中，有些论证还不是很完善，一般函数的和分不易得到；常系数齐次线性方程的多重特征根所对应特解的线性无关性并非显然；变系数线性方程的主要结论还停留在解的结构与形式上，缺乏一个普适性的方法；在非线性差分方程中，即使是一阶的离散黎卡提方程，也很难得到精确解。
本文重点讨论了定义在整数集Z或它的子集D上的几类常差分方程精确求解方法与解的显式表达。所得的主要结论如下：
I)对于线性齐次差分方程
Eny(k)+a1(k)En-1y(k)+…+an-1(k)Ey(k)+an(k)y(k)=0(1)
可以得到方程(1)的解结构，指出其通解为y(k)=c1y1(k)+c2y2(k)+…+cnyn(k)的形式，其中c1，c2，…，cn是独立的任意常数
，y1(k)，y2(k)，…，yn(k)是方程(1)的一个基本解组。通过运用参数待定法(阮炯，2002)，论证了常系数线性齐次差分方程的多重特征根所对应的全部特解存在线性无关性，并推导出该差分方程的通解表达式。
II)对于线性非齐次差分方程
Eny(k)+a1(k)En-1y(k)+…+an-1(k)Ey(k)+an(k)y(k)=f(k)(2)
证明了方程(2)的通解等于它的一个特解与相应的齐次方程(1)的通解之和。如果已知齐次方程的一个基本解组，可运用常数变异法与函数和分计算，得到非齐次方程的一个特解的形式表达。
1.对于常系数线性非齐次差分方程，利用特征函数法(李自珍，龚东山，2009)得到非齐次项.厂(七)为多项式、指数函数、三角函数、多项式与指数函数的乘积、对数函数以及它们的线性组合时的公式化特解。该方法简便易行，克服了常数变异法(Paul Mason Batchelder，1927)、比较系数法(SaberElaydi，2005)及拉普拉斯变换法(张广，张高英，2001)等传统方法计算工作量过人的缺陷，且特解形式非常直观。
2.对于几类可精确求解的变系数线性差分方程，利用构造函数法，将某些变系数方程化为常系数差分方程；通过引入变上限定和分，给出了一阶变系数线性差分方程的通解：运用函数积分法，得到了系数为线性函数时方程的通解；利用观察法找到方程的一个特解，并以此特解为基础，得出二阶变系数线性齐次方程的通解；借助降阶法，当差分方程的系数函数满足一定条件时，将复合差分方程问题化成若干个一阶变系数线性差分方程的求解问题。
III)对于线性差分方程组得到了该方程组有解的一个充要条件，加强了王联(1991)关于一阶线性差分方程组与高阶线性差分方程同解的充分性结论，完善了线性差分方程精确解的理论体系，并利用线性代数与矩阵理论，推导出常系数线性差分方程组精确解的显式表达。
IV)对于两类非线性差分方程
通过引入独立通解(龚东山，2008)，得到了(4)与(5)相应齐次方程的通解表示。研究表明：这两类齐次差分方程的通解由若干个独立通解共同构成，且独立通解的个数与差分方程的阶数无关；当非齐次项为某些特殊函数时，给出了方程的若干个特解，且特解的个数与方程的次数有关，并论证了这些特解的线性相关性。
3.期刊论文 陈景年. CHEN Jing-nian 二阶非齐次线性差分方程为极限圆型的判定 -山东大学学报（理学版）2005,40(3)
提出了二阶非齐次线性差分方程为极限圆型的定义,并给出了几个充分性的判定方法.
4.期刊论文 胡劲松 求非齐次差分方程特解的推广 -重庆师范学院学报(自然科学版)2003,20(3)
教材中用"待定系数"法介绍了一、二阶常系数线性非齐次差分方程在f(x)＝dxPm(x)时特解的求法.本文将该方法推广,讨论了当
f(x)＝dx[Ps(x)coswx+Pn(x)siwx]时常系数线性非齐次差分方程特解的求法.
5.学位论文 陈庆华 无标度网络的建模分析与度分布计算方法 2006
本文研究无标度网络。我们选择无标度网络的建模分析、度分布计算方法以及相关性等作为主要的研究方向。本论文系统深入地研究了这些问题。 首先，研究了无标度网络的模型构造与模型分析，侧重于揭示现实网络的演化机制，构建适合现实网络的演化模型。
其次，研究了度分布的计算问题。根据马尔可夫链理论，我们提出了一种新的度分布数值计算方法.
第三，研究了无标度网络的相关性问题，重点讨论了BA网络的度相关，给出了BA网络的联合度分布.
本文取得了以下几个创新成果：
(1)构建了四个无标度网络的演化模型，即模型3.5.1至模型3.5.4(见第3.5节).在模型3.5.1中，我们考虑了网络的局部相互作用，即内部边和重新连接等。在模型3.5.2中，我们提出了一种反择优删除连线的演化机制。根据平均场方法，计算了这两个网络的度分布P(k)，它们都是幂律分布。
在模型3.5.3和模型3.5.4中，我们首次提出了网络的对数增长，这是一种新的演化机制。特别指出，我们无法求出这两个网络度分布P(k)的解析表达式。我们利用自己提出的马氏链方法给出了度分布P(k)的数值计算(见第四章)，数值结果表明这两个度分布都具有幂律尾部.
(2)用随机过程的观点研究复杂网络，发现了无标度网络与马氏链之间的内在联系。对于BA模型，任意给定一个结点i，设k(t)表示它在t时刻的度数，我们证明了随时间变化的度数序列{K(t)，t=i，i+1，…)是一个非齐次马氏链，给出了具有时间相依的一步转移概率矩阵
P(t+1)，i=1，2，…。
(3)根据马氏链理论，由转移概率矩阵P(t+1)可以给出网络在t时刻的度分布P(七，t)的矩阵运算表达式。因为矩阵P(t+1)具有特殊的简单结构，利用矩阵运算性质，我们提出了一种度分布数值计算的新方法，简称为马氏链方法.
应用马氏链方法研究了BA模型和三个加速增长网络模型，其中BA网络度分布的数值计算与原有的解析解和数值模拟进行比较，三种结果十分接近(见图4.1.1)。特别地，对于两个具有对数增长的(有向)网络模型，用原有的解析方法无法得到度分布的表达式，我们进行了度分布的数值计算，数值结果表明这两个度分布都具有幂律尾部(见图4.3.1和图4.4.1)，这两个系统都演化成无标度网络。
(4)研究了无标度网络的相关性问题，求出了BA网络的联合度分布。应用率方程方法和二维母函数性质，我们给出了BA网络相邻点对的联合度分布P(k，l)的公式(5.2.1)。应用平均场方法和顺序统计量性质，我们也给出了BA网络任意点对的联合度分布P(k，k)的公式(5.3.1)。这两个联合度分布都证明了BA网络具有结点的度相关特征．
6.期刊论文 邓勇. DENG Yong 常系数非齐次线性递归数列求特解的简易方法 -达县师范高等专科学校学报
2006,16(5)
利用数列的差分将常系数非齐次线性递归数列转化为常系数非齐次线性差分方程,从而得到一种求常系数非齐次线性递归数列特解的简易方法.
7.学位论文 陈景年 二阶差分方程为极限圆型的判定 1999
该文主要研究方程二阶齐次线性差分方程和二阶非齐次线性差分方程为极限圆型的条件，给出了方程二阶齐次线性差分方程为极限圆型或极限点型的充要或充分条件，改进了已有的结果，并给出了非齐次方程二阶非齐次线性差分方程为极限圆型的定义和两个充分性的判定结果。文章内容分为三部分：1。引言，2。齐次方程的情形，3。非齐次方程的情形。
8.期刊论文 杨继明. 蔡炯辉 常系数非齐次线性微分方程组初值问题的求解公式 -宝鸡文理学院学报(自然科学版)2002,22(1)
分别给出了常系数非齐次线性微分方程组和常系数非齐次线性差分方程组在给定的初始条件下的求解公式.
9.学位论文 苑运良 几类偏差分方程的定性研究 2005
本论文分别讨论了几类时滞偏差分方程解的振动性和两类时滞偏差分方程的正解不存在性，同时对非齐次线性偏差分方程的稳定性进行了研究。 对于常系数时滞偏差分方程，讨论了解的振动性质，得到了两个方程所有解都振动的充分条件，所得结果推广了已有的一些结论。对于具有连续变量的两类时滞偏差分方程，研究了解的振动性，利用函数的单调性，建立了方程的振动准则。
另外研究了一类多时滞偏差分方程的正解不存在性，给出了方程不存在正解的若干充分条件，同时研究了一类非线性时滞偏差分方程的正解不存在性，得到了两个新的充分性判据。
最后讨论了一类非齐次变系数线性偏差分方程的稳定性，获得了关于方程稳定的几个充分条件，所得结论推广了相关文献的已有结果。
10.期刊论文 陈旭东 非齐次差分方程解一类行列式 -科技信息（科学·教研）2007,""(26)
本文利用几种常见形式的非齐次差分方程来求解一类具有递归关系的行列式,并给出这类特殊行列式的求解方法和技巧.
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第２１卷第ｚ期
２００９年６月甘肃科学学报ＪｏｕｍａｌｏｆＧａｎｓｕｓｃｉｅｎｃｅｓＶ０１．２１Ｎｏ．２Ｊｕｎ．２００９
一类常系数线性差分方程的特解探究
李自珍，龚东山
（兰州大学数学与统计学院，甘肃兰州７３００００）
摘要：针对一类常系数线性差分方程，运用特征函数法和比较系数法，得到了方程特解的显式表达．当方程非齐次项∥Ｐ。（五）中多项式Ｐ。（惫）．一Ａ（Ａ为非零常数）时，可采用特征函数法得到方
程的一个公式化特解；当Ｐ。（五）一ｄ。五“＋ｄ—ｌ愚一１＋…＋ｄ。（ｄ。≠Ｏ）时，可采用比较系数法来得到
方程的一个特解．该方法简单易行，特解形式直观，避免了以前方法计算量过大的不足．
关键词：差分方程；非齐次；特解；特征函数法；比较系数法
０１７５．７中图分类号：文献标志码：Ａ文章编号：１００４—０３６６（２００９）０２一０００１一０３
ＲｅｓｅａｒｃｈｏｎｔｈｅＳｐｅｃｉａｌＳｏＩｕｔｉｏｎｏｆａＫｉｎｄｏｆ
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ｆｕｎｍｉｏｎｉｓ
ｓｏｌｕｔｉｏｎ０ｆｆ乙（忌）＝Ａ（Ａｉｓｎ０忏ｚｅｒｏｃｏｎｓｔａｎｔ）ｉＩｌｔｈｅｎｏｎ．ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓｉｔｅｍ∥Ｐ。（忌），ｍｅｔｈｏｄ０ｆｃｈ牡解ｔｅ五ｓｔｉｃｕｓｅｄ；Ｗ１ｌｅｎＰ０＠）＝厶五”＋ａｋｌ忌一１＋…＋磊（ａ乙≠Ｏ），、代ｃａｎｄｅｄｕｃｅｔ１１ｅｆｏｍｕｌａｏｆｔ１１ｅｓｐｅｃｉａｌ
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咒阶常系数线性差分方程
Ｐｙ（尼）＋口。矿１ｙ（忌）＋…＋口，卜ｌ毋（忌）＋口。ｙ（忌）一，（七），
Ｅ［Ｅ卜１ｙ（愚）］一Ｅ［ｙ（惫＋ｉ一１）］一ｙ（忌＋ｉ）（ｚ＝ｏ，１，…，竹）．
若，（忌）不恒为ｏ，则称式（１）是竹阶常系数非齐次线性差分方程，并称方程（１）其中五∈（口，口＋１，…，６—１，６）ｃＺ，行∈Ｎ，口。，ｎ２，…，％为常数，且口。≠０；Ｅ为位移算子，满足Ｆｙ（忌）＝
Ｅ玎ｙ（忌）＋口ｌＥ”１ｙ（愚）＋…＋口，广ｌ毋（忌）＋口。３，（志）＝Ｏ
为式（１）对应的齐次方程．（２）
依据线性差分方程的通解结构理论知，式（１）的通解可以表示为式（１）的一个特解与齐次式（２）的通解之和［１’２］．关于式（２）通解的计算，一般可采用待定参数法，先将差分方程化为代数方程，再求解这个代数方程即可［３］．因此，要得到式（１）的通解，只需找到它的一个特解即可．
计算式（１）特解的常用方法有常数变异法‰５。、ｚ＿变换法（也称离散Ｌａｐｌａｃｅ变换）［６。、算子法‘７１及升阶法［８］等．其中采用常数变异法与ｚ－变换法时，往往需要借助复杂的和分运算与逆变换ｚ＿１，而采用算子法和收稿日期：２００８—０９—０９基金项目ｓ国家自然科学基金项目（３０４７０２９８）．
２甘肃科学学报２００９年第２期升阶法时，其计算量较大，且升阶法仅适用于带差分算子△的方程，从而限制了这些方法的使用与推广．
我们试图利用特征函数法‘引，针对非齐次项厂（忌）＝∥Ｐ。（忌）（ｐ为非零常数，Ｐ。（志）为班次多项式）的差分方程
ｐｙ（忌）＋口ｌ矿１ｙ（惫）＋…＋口，ｌ毋（愚）＋口。了（最）＝∥Ｐ。（志）
得到它的一个公式化特解．
１（３）定义与引理
引理ｌ若Ａ‘是方程（２）的解，则有
．：ｌ”＋口１．：Ｉ”１＋…＋口，ｒｌＡ十口。＝Ｏ．（４）
定义ｌ称式（４）为方程（２）的特征方程．并称
Ｆ（．；【）＝Ａ“＋口１．；Ｉ”１＋…＋口，１Ａ＋口。（５）
为方程（２）的特征函数．
引理２特征函数（５）的导数满足
￡；卑一ｃ飘一‘＋ｃｏ。口１．：【一卜・＋…＋ｃｏ。口，ｆ＿１．：Ｉ＋ａ口，；，ｚ—ｏ，１，…，，１．
定义２（６）利用特征函数（５）以及特征函数的导数（６）求解方程的方法称为特征函数法．
２
２．１主要结论非齐次项＾（七）＝Ａ（Ａ为非零常数）的情形
此时，式（３）变为
Ｐｙ（忌）＋口１矿１ｙ（忌）＋…＋４，ｒ１勋（愚）＋口。ｙ（惫）一却‘．
定理ｌ（特征函数法）常系数线性差分方程（７）存在特解（７）夕＝杰如Ｈ，２而忽≯一’ｙ（８）Ｌ芍，其中Ｚ（ｏ≤Ｚ≤行）表示特征根卢的重数．
证明①若卢不是特征式（４）的根，则有Ｚ一０且Ｆ（∞（芦）＝Ｆ（卢）≠０．
为了得到式（７）的一个特解夕，可令夕＝卑‘（Ｂ为待定常数）．将夕（志）、毋（五）、…、Ｆ夕（志）代人式（７），整理后有卑‘［，＋口ｌ∥。１＋…＋口，ｒ－产＋口。］＝舡‘．由于∥为非零常数，故产‘≠ｏ，化简上式后有Ｂ一≯了ｉｉｉ］兰｝干而一Ｆ各・
此时式（７）存在特解夕＝卑‘一Ｆ各∥一声害茜户‘．
②若口是特征方程（４）的ｚ重特征根（１≤ｚ≤竹），则有Ｆ（卢）＋，ｑ）＝…一ＦＨ’（户）一。且ｐｑ）≠ｏ．由线性齐次差分方程的通解结构理论知，∥，如‘，…，忌Ｈ∥是式（２）的ｚ个线性无关解，且是么‘不是该齐次方程的解．令式（７）有特解夕一擞么‘（Ｂ为待定常数）．将夕（忌）、毋（志）、…、Ｐ夕（曼）代人式（７），消去因子∥并整理后有Ｂ一尹Ｆ会丽・此时式（７）存在特解：
推论１
存在特解方程夕一耳耸万正么Ｈ，１≤ｚ≤兀（９）Ｅ，ｌ了（足）＋口ｌＥ”１ｙ（矗）＋…＋口，ｌ毋（惫）＋口。ｙ（惫）＝Ａ，
夕。声焉正‘，忙ｏ，１’．．‘・”
其中Ｚ（Ｏ≤￡≤竹）表示特征根卢一１的重数．
证明式（９）是式（７）卢一ｌ的特殊情况．将ｐ＝１代入式（８）可得式（１０）成立．
２．２ｄ（１０）非齐次项ｎ（七）＝以足。＋ｄ一．七一‘＋…＋巩（以。ｄ一。。…。磊为常数）的情形此时，式（３）变为
第２１卷李自珍等：一类常系敷线性差分方程的特解探究
Ｆｙ（五）＋口。矿１ｙ（矗）＋…＋口。ｙ（五）一［ｄ。志４＋ｄ—ｌ五一１＋…＋ｄ。］矿．
定理２（比较系数法）式（１１）存在特解形如（１１）
夕＝［６ｍ五“＋址１七一＋…＋６０］五２弘Ｈ，ｚ—ｏ，１，…，卯
其中ｚ（ｏ≤Ｚ≤竹）表示特征根卢的重数，ｋ，６一。，…，６０为常数．
证明①若卢不是特征式（４）的根，则有Ｚ＝Ｏ且Ｆ（严）≠Ｏ．（１２）
为了得到式（１１）的一个特解夕，可令夕＝［６。愚”＋６一。忌一１＋…＋６。］∥（６。，靠。，…，６０为待定系数）．将夕（五）、印（忌）、…、＿Ｅ，Ｉ多（忌）代入式（１１），消除非零因子矿后有
６私”［（五＋挖）“＋口。（五＋ｎ一１）“＋…＋口，ｒｌ（五＋１）“＋口。惫“］＋
址１卢一［（志＋，１）一１＋口ｌ（惫＋以一１）一１＋…十口，１（五＋１）一１＋口。忌一１］＋…＋
６１止（愚＋ｎ）＋口１（志十刀一１）＋…＋口，ｌ（忌＋１）＋口。忌］＋６０［１＋口１＋…＋口，１＋口。］＝
ｄ。＋ｄｌ奄＋…十ｄ。惫４．
利用特征函数导数式（６），整理上式可得
６。ｃ：：ＩＦ（产）惫”＋［６，ｌｃ：：：ｒｌＦ（Ｉｆｌ）＋６ｍｃ扣Ｆ７（ｐ）］七一１＋
［％靠ｚＦｑ）＋‰艮。∥７Ｑ）＋ｋｃ：（∥Ｐ（产）＋∥７ｑ））］五卅十…一磊＋西忌＋…＋姒“．
通过比较系数可得到一个关于６。，６一’．．・，６０线性方程组．解此方程组可依次得出６。，６一，，…，６。．从而求得式（１１）的一个特解．
②若口是特征式（４）的Ｚ重特征根（１≤Ｚ≤行），则有
Ｆ（岸）＝Ｆ７（口）一…＝Ｆ‘Ｈ’（岸）＝Ｏ，且Ｆ‘ｏ（岸）≠０．
令式（１１）的一个特解夕一［６０“＋６一．五一１＋…＋６０］忌么Ｈ（ｋ，６一ｌ，．．・，６０为待定系数），将夕（惫）、Ｅ箩（愚）、…、Ｐ夕（忌）代人式（１１）．类似①中计算思路，先消除非零因子∥，再通过比较系数可得到一个关于６ｍ，６，。，．．・，６０线性方程组，从而可求出式（１１）的一个特解形如式（１２）．
例１求方程Ｅ３ｙ（忌）一３Ｅ２ｙ（忌）＋３毋（愚）一ｙ（忌）一１００的一个特解
解
例２
解卢一１为特征方程的三重根，且Ｆ（３’（１）一６．由推论１可得方程的特解为夕＝未尝％忌３＝警忌３．求方程Ｅｇｙ（五）一６Ｅ２ｙ（惫）＋１２毋（五）一８ｙ（五）＝志・２‘的一个特解弘＝２是特征方程的三重根，且，（２）一６．由定理２，可令方程的特解为夕一（６。矗＋６０）忌３２Ｈ，其中６。，６０为待定常数．将夕（惫）、坊（意）、Ｅ２夕（足）、Ｅ３夕（忌）代人原方程有２４６。七十３６６ｌ＋６６０一惫，比较系数有｛；：６ｌｉ三。；。，解这个二元线性方程组，可得６。一去，６０一一｛．因此所述差分方程存在特解：ｉ３６６：＋６６。；ｏ，解这个二元线性方程组，可得６－一麦，６０一一专‘因此所述差分方程存在特解：
夕＝（去忌一｛）矗３２Ｈ一（南五一矗）忌３２‘．
参考文献：
［１］
［２］ｓＮＥｌａｙｄｉ．ＡｎＩｎｔｆｏｄｕｃｔｉｏｎＤｉｆｆｅｒｅｎｃｅｔｏＥｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋｌＳｐｒｉｎｇｅｒ．Ｖｅｒｌａｇ，１９９６．Ｐｒｅｓｓ，１９９１．ＫｅＵｅｙｗＧ．Ｐｅｔｅｆ∞ｎＡＣ．ＤｉｆｆｅｒｅｎｃｅＥｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈＡｐｐｌｉ∞ｔｉｏｎｓ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋ：Ａ∞ｄｅｍｉｃ
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［８］王炳兴．王海敏．常系数非齐次线性差分方程的特解［Ｊ］．工科数学．１９９９，１５（４）：１６ｌ－１６５．
［９］龚东山，刘岳巍，牛富俊．特征函数在高阶常微分方程特解计算中的应用［Ｊ］．吉林师范大学学报（自然科学版），２００８，２９（４），８—１０．作者简介：
李自珍（１９４４一）男．河南省许昌人，１９６９年毕业于兰州大学数力系，理学博士．现任兰州大学数学与统计学院教授，博士研究生导师，研究方向为数学生态学．
一类常系数线性差分方程的特解探究
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：李自珍， 龚东山， LI Zi-zhen， GONG Dong-shan兰州大学,数学与统计学院,甘肃,兰州,730000甘肃科学学报JOURNAL OF GANSU SCIENCES2009，21(2)0次
参考文献(9条)
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7. 黄兆良 算子法在常系数线性差分方程中的应用[期刊论文]-武汉船舶职业技术学院学报 2008(01)
8. 王炳兴. 王海敏 常系数非齐次线性差分方程的特解 1999(04)
9. 龚东山. 刘岳巍. 牛富俊 特征函数在高阶常微分方程特解计算中的应用[期刊论文]-吉林师范大学学报（自然科学版） 2008(04)
相似文献(10条)
1.期刊论文 莫国良 用升阶法求常系数线性非齐次差分方程的特解 -高等数学研究2005,8(4)
利用升阶法可求解常系数线性非齐次差分方程的特解.
2.学位论文 龚东山 几类常差分方程精确解的研究 2009
差分方程研究的主要内容包括两个问题：差分方程的精确解和方程解的定性分析。其中对于解的定性分析研究，一般以差分模型为基础，具体讨论差分方程的稳定性、有界性、振动性、渐近性、周期性和概周期性等问题，相关的研究在过去几十年中取得了许多重要的成果。然而对于差分方程精确解的研究则相对滞后。尽管许多学者在寻找差分方程的精确解方面取得了一定的进展，但仍有许多结论还不太成熟：在线性若分方程中，有些论证还不是很完善，一般函数的和分不易得到；常系数齐次线性方程的多重特征根所对应特解的线性无关性并非显然；变系数线性方程的主要结论还停留在解的结构与形式上，缺乏一个普适性的方法；在非线性差分方程中，即使是一阶的离散黎卡提方程，也很难得到精确解。
本文重点讨论了定义在整数集Z或它的子集D上的几类常差分方程精确求解方法与解的显式表达。所得的主要结论如下：
I)对于线性齐次差分方程
Eny(k)+a1(k)En-1y(k)+…+an-1(k)Ey(k)+an(k)y(k)=0(1)
可以得到方程(1)的解结构，指出其通解为y(k)=c1y1(k)+c2y2(k)+…+cnyn(k)的形式，其中c1，c2，…，cn是独立的任意常数
，y1(k)，y2(k)，…，yn(k)是方程(1)的一个基本解组。通过运用参数待定法(阮炯，2002)，论证了常系数线性齐次差分方程的多重特征根所对应的全部特解存在线性无关性，并推导出该差分方程的通解表达式。
II)对于线性非齐次差分方程
Eny(k)+a1(k)En-1y(k)+…+an-1(k)Ey(k)+an(k)y(k)=f(k)(2)
证明了方程(2)的通解等于它的一个特解与相应的齐次方程(1)的通解之和。如果已知齐次方程的一个基本解组，可运用常数变异法与函数和分计算，得到非齐次方程的一个特解的形式表达。
1.对于常系数线性非齐次差分方程，利用特征函数法(李自珍，龚东山，2009)得到非齐次项.厂(七)为多项式、指数函数、三角函数、多项式与指数函数的乘积、对数函数以及它们的线性组合时的公式化特解。该方法简便易行，克服了常数变异法(Paul Mason Batchelder，1927)、比较系数法(SaberElaydi，2005)及拉普拉斯变换法(张广，张高英，2001)等传统方法计算工作量过人的缺陷，且特解形式非常直观。
2.对于几类可精确求解的变系数线性差分方程，利用构造函数法，将某些变系数方程化为常系数差分方程；通过引入变上限定和分，给出了一阶变系数线性差分方程的通解：运用函数积分法，得到了系数为线性函数时方程的通解；利用观察法找到方程的一个特解，并以此特解为基础，得出二阶变系数线性齐次方程的通解；借助降阶法，当差分方程的系数函数满足一定条件时，将复合差分方程问题化成若干个一阶变系数线性差分方程的求解问题。
III)对于线性差分方程组得到了该方程组有解的一个充要条件，加强了王联(1991)关于一阶线性差分方程组与高阶线性差分方程同解的充分性结论，完善了线性差分方程精确解的理论体系，并利用线性代数与矩阵理论，推导出常系数线性差分方程组精确解的显式表达。
IV)对于两类非线性差分方程
通过引入独立通解(龚东山，2008)，得到了(4)与(5)相应齐次方程的通解表示。研究表明：这两类齐次差分方程的通解由若干个独立通解共同构成，且独立通解的个数与差分方程的阶数无关；当非齐次项为某些特殊函数时，给出了方程的若干个特解，且特解的个数与方程的次数有关，并论证了这些特解的线性相关性。
3.期刊论文 陈景年. CHEN Jing-nian 二阶非齐次线性差分方程为极限圆型的判定 -山东大学学报（理学版）2005,40(3)
提出了二阶非齐次线性差分方程为极限圆型的定义,并给出了几个充分性的判定方法.
4.期刊论文 胡劲松 求非齐次差分方程特解的推广 -重庆师范学院学报(自然科学版)2003,20(3)
教材中用"待定系数"法介绍了一、二阶常系数线性非齐次差分方程在f(x)＝dxPm(x)时特解的求法.本文将该方法推广,讨论了当
f(x)＝dx[Ps(x)coswx+Pn(x)siwx]时常系数线性非齐次差分方程特解的求法.
5.学位论文 陈庆华 无标度网络的建模分析与度分布计算方法 2006
本文研究无标度网络。我们选择无标度网络的建模分析、度分布计算方法以及相关性等作为主要的研究方向。本论文系统深入地研究了这些问题。 首先，研究了无标度网络的模型构造与模型分析，侧重于揭示现实网络的演化机制，构建适合现实网络的演化模型。
其次，研究了度分布的计算问题。根据马尔可夫链理论，我们提出了一种新的度分布数值计算方法.
第三，研究了无标度网络的相关性问题，重点讨论了BA网络的度相关，给出了BA网络的联合度分布.
本文取得了以下几个创新成果：
(1)构建了四个无标度网络的演化模型，即模型3.5.1至模型3.5.4(见第3.5节).在模型3.5.1中，我们考虑了网络的局部相互作用，即内部边和重新连接等。在模型3.5.2中，我们提出了一种反择优删除连线的演化机制。根据平均场方法，计算了这两个网络的度分布P(k)，它们都是幂律分布。
在模型3.5.3和模型3.5.4中，我们首次提出了网络的对数增长，这是一种新的演化机制。特别指出，我们无法求出这两个网络度分布P(k)的解析表达式。我们利用自己提出的马氏链方法给出了度分布P(k)的数值计算(见第四章)，数值结果表明这两个度分布都具有幂律尾部.
(2)用随机过程的观点研究复杂网络，发现了无标度网络与马氏链之间的内在联系。对于BA模型，任意给定一个结点i，设k(t)表示它在t时刻的度数，我们证明了随时间变化的度数序列{K(t)，t=i，i+1，…)是一个非齐次马氏链，给出了具有时间相依的一步转移概率矩阵
P(t+1)，i=1，2，…。
(3)根据马氏链理论，由转移概率矩阵P(t+1)可以给出网络在t时刻的度分布P(七，t)的矩阵运算表达式。因为矩阵P(t+1)具有特殊的简单结构，利用矩阵运算性质，我们提出了一种度分布数值计算的新方法，简称为马氏链方法.
应用马氏链方法研究了BA模型和三个加速增长网络模型，其中BA网络度分布的数值计算与原有的解析解和数值模拟进行比较，三种结果十分接近(见图4.1.1)。特别地，对于两个具有对数增长的(有向)网络模型，用原有的解析方法无法得到度分布的表达式，我们进行了度分布的数值计算，数值结果表明这两个度分布都具有幂律尾部(见图4.3.1和图4.4.1)，这两个系统都演化成无标度网络。
(4)研究了无标度网络的相关性问题，求出了BA网络的联合度分布。应用率方程方法和二维母函数性质，我们给出了BA网络相邻点对的联合度分布P(k，l)的公式(5.2.1)。应用平均场方法和顺序统计量性质，我们也给出了BA网络任意点对的联合度分布P(k，k)的公式(5.3.1)。这两个联合度分布都证明了BA网络具有结点的度相关特征．
6.期刊论文 邓勇. DENG Yong 常系数非齐次线性递归数列求特解的简易方法 -达县师范高等专科学校学报
2006,16(5)
利用数列的差分将常系数非齐次线性递归数列转化为常系数非齐次线性差分方程,从而得到一种求常系数非齐次线性递归数列特解的简易方法.
7.学位论文 陈景年 二阶差分方程为极限圆型的判定 1999
该文主要研究方程二阶齐次线性差分方程和二阶非齐次线性差分方程为极限圆型的条件，给出了方程二阶齐次线性差分方程为极限圆型或极限点型的充要或充分条件，改进了已有的结果，并给出了非齐次方程二阶非齐次线性差分方程为极限圆型的定义和两个充分性的判定结果。文章内容分为三部分：1。引言，2。齐次方程的情形，3。非齐次方程的情形。
8.期刊论文 杨继明. 蔡炯辉 常系数非齐次线性微分方程组初值问题的求解公式 -宝鸡文理学院学报(自然科学版)2002,22(1)
分别给出了常系数非齐次线性微分方程组和常系数非齐次线性差分方程组在给定的初始条件下的求解公式.
9.学位论文 苑运良 几类偏差分方程的定性研究 2005
本论文分别讨论了几类时滞偏差分方程解的振动性和两类时滞偏差分方程的正解不存在性，同时对非齐次线性偏差分方程的稳定性进行了研究。 对于常系数时滞偏差分方程，讨论了解的振动性质，得到了两个方程所有解都振动的充分条件，所得结果推广了已有的一些结论。对于具有连续变量的两类时滞偏差分方程，研究了解的振动性，利用函数的单调性，建立了方程的振动准则。
另外研究了一类多时滞偏差分方程的正解不存在性，给出了方程不存在正解的若干充分条件，同时研究了一类非线性时滞偏差分方程的正解不存在性，得到了两个新的充分性判据。
最后讨论了一类非齐次变系数线性偏差分方程的稳定性，获得了关于方程稳定的几个充分条件，所得结论推广了相关文献的已有结果。
10.期刊论文 陈旭东 非齐次差分方程解一类行列式 -科技信息（科学·教研）2007,""(26)
本文利用几种常见形式的非齐次差分方程来求解一类具有递归关系的行列式,并给出这类特殊行列式的求解方法和技巧.
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