两角和与差的正切公式
思考tan75=?
ο
sin75︒
1. 将正切转化为正余弦：tan75= ︒
cos75
ο
sin(45︒+30︒)sin45︒cos30︒+cos45︒sin30
2. 原式可化为： =
cos(45︒+30︒)cos45︒cos30︒-sin45︒cos30︒
是否太烦了？能否直接用角的正切来表示呢？ 公式推导
︒
tan(α+β)=
sin(α+β)sinαcosβ+cosαsinβ
=
cos(α+β)cosαcosβ-sinαcosβ
当cosαcosβ≠0时，分子分母同时除以cosαcosβ
理解：
1、 两角和的正切值可以用α和β的正切值表示。
2、 公式的右端是分数形式，它是两角正切的和比1减两角正切的积 3、 公式成立的条件是：α+β≠kπ+如何求两角差的正切呢？
π
2
且α≠kπ+
π
2
且β≠kπ+
π
2
tan(α+β)=
tanα+tanβ
在公式中用-β换β
1-tanαtanβtanα-tanβ
1+tanαtanβ
tan(α-β)=
理解：
1、 两角差的正切值可以用α和β的正切值表示。
2、 公式的右端是分数形式，它是两角正切的差比1加两角正切的积 跟踪练习1：
1. 求下列各式的值：
（1）tan75;（2）tan15;（3）tan105; 答案（1）2+3（1）2-（1）-2- 公式应用
ο
οο
例1已知tanα,tanβ是方程x2+5x-6=0的两根，求tan( α+β)的值。分析：直接想法---先求出方程的根再代入公式。
分析：使用韦达定理求tanα+tanβ,tanα⋅tanβ值，而tan(α+β)=跟踪练习2
1已知tanα,tanβ是方程3x2+5x-1=0的两根，求tan( α+β)的值。2已知tanθ=2,求tan(θ+3已知tanα=3,求tan(α-
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
π
4
)的值； （-3）
1）
42
3
4已知tanα=-2,tanβ=5,求tan(α+β)的值 （）
11
)的值； （
π
1+tan15︒
=3 例2 求证：
1-tan15︒
解法一：先求出tan15的值再代入计算则可其中tan15︒=tan(45︒-30︒)
︒
tan45︒-tan30︒= ︒︒1+tan45tan30
tan45︒+tan15︒
解法二：利用tan45=1将原式变为
1-tan45︒tan15︒
︒
tan45︒+tan15︒
解法三：由=tan60=tan( 45+15)=︒︒
1-tan45tan15
︒
︒︒
跟踪练习3
1-tan75︒
1、 求的值 ︒
1+tan75
tan71︒-tan26︒tan12︒+tan33︒1-tan75︒
2、 求值（1） （2）（3）
︒
1+tan71︒tan26︒1-tan12︒tan33︒3+tan75
cos15︒-sin15︒
（4）
cos15︒+sin15︒
例3已知α,β是锐角，tanα=
11
,tanβ=求α+β的值。 32
α+β)的值可求。从而得到α+β的值 分析：已知tanα,tanβ的值则tan(
注意角α,β,α+β的范围
跟踪练习4
1、已知α,β是锐角，tanα=2、已知α,β∈(0,
13
,tanβ=求α+β的值。 74
3π
。 4
π
2
) ，tanα=3,tanβ=2求证α+β=
2
3、tanα,tanβ是方程x+3x+4=0的两根，且α,β∈(-
π
2
,0),求α+β的值。
例4在斜三角形ABC中，求证tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC, 跟踪练习：
1、求证tan3α-tan2α-tanα=tan3αtan2αtanα,
2、tan70+tan50-tan70tan50= 3、设∆ABC中，tanA+tanB+=是 三角形
4、已知tanA+tanB+tanAtanB=1,求角C的度数
巩固训练
π3π2θ－＝θ∈⎛，π⎫，则cos θ＝__－ 1、（2011苏北四市调研）已知cos⎛⎝45⎝2⎭102、设tan(α+β)=
︒
︒
︒
︒
tanAtanB,sinAcosA=
，则此三角形4
2π1π
，tan(β-)=，则tan(α+)的值为 5444
ππ337
3、（泰州）已知：0
225425
4、（1）cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°＝________.
sin15︒cos5︒-sin20︒
（2）cos15︒cos5︒-cos20︒
π⎫πππ5
，π，求sin⎛α＋⎫，cos⎛α－，tan⎛α＋的值； 5、已知sin α＝，α∈⎛⎝2⎭⎝4⎭⎝6⎝313π⎫5125，π，可得cos α＝－tan α＝－. 解 由sin α＝，α∈⎛⎝2⎭131312πππ5212272
α＋＝sin αcos cos αsin －(1)sin⎛， ⎝[1**********]
πππ123515－3α－＝cos αcos sin αsin ＋cos⎛， ⎝[1**********]
π5
tan α＋tan －312π1693－240
α＋⎫＝tan⎛＝. ⎝3⎭π6953
1－tan αtan 1＋3126、已知向量=(cos
3x3xxx
,sin),=(cos,-sin),则⋅= 2222
31
，tan(A-B）=-，求sinB,cosC的值 53
7、在锐角∆ABC中，sinA=
8、（1）若α+β=45，求证(tanα+1)(tanβ+1)=2 (2)若(tanα+1)(tanβ+1)=2，求α+β的值 9、已知sinα=
︒
2,α是第二象限角，且tan(α+β)=1,求tanβ的值
10、已知sinα+sinβ=a,cosα+cosβ=b,求cos(α-β)的值
11、已知sinα-cosα=m-1，求实数m的取值范围
︒
12、如图，已知等腰直角三角形ABC中， ∠B=90,E,F将BC三等分，
求的∠EAF，∠FAC正切值
13、如图两座建筑物AB，CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的
张角∠CAD=45，求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD
︒
两角和与差的正切公式
思考tan75=?
ο
sin75︒
1. 将正切转化为正余弦：tan75= ︒
cos75
ο
sin(45︒+30︒)sin45︒cos30︒+cos45︒sin30
2. 原式可化为： =
cos(45︒+30︒)cos45︒cos30︒-sin45︒cos30︒
是否太烦了？能否直接用角的正切来表示呢？ 公式推导
︒
tan(α+β)=
sin(α+β)sinαcosβ+cosαsinβ
=
cos(α+β)cosαcosβ-sinαcosβ
当cosαcosβ≠0时，分子分母同时除以cosαcosβ
理解：
1、 两角和的正切值可以用α和β的正切值表示。
2、 公式的右端是分数形式，它是两角正切的和比1减两角正切的积 3、 公式成立的条件是：α+β≠kπ+如何求两角差的正切呢？
π
2
且α≠kπ+
π
2
且β≠kπ+
π
2
tan(α+β)=
tanα+tanβ
在公式中用-β换β
1-tanαtanβtanα-tanβ
1+tanαtanβ
tan(α-β)=
理解：
1、 两角差的正切值可以用α和β的正切值表示。
2、 公式的右端是分数形式，它是两角正切的差比1加两角正切的积 跟踪练习1：
1. 求下列各式的值：
（1）tan75;（2）tan15;（3）tan105; 答案（1）2+3（1）2-（1）-2- 公式应用
ο
οο
例1已知tanα,tanβ是方程x2+5x-6=0的两根，求tan( α+β)的值。分析：直接想法---先求出方程的根再代入公式。
分析：使用韦达定理求tanα+tanβ,tanα⋅tanβ值，而tan(α+β)=跟踪练习2
1已知tanα,tanβ是方程3x2+5x-1=0的两根，求tan( α+β)的值。2已知tanθ=2,求tan(θ+3已知tanα=3,求tan(α-
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
π
4
)的值； （-3）
1）
42
3
4已知tanα=-2,tanβ=5,求tan(α+β)的值 （）
11
)的值； （
π
1+tan15︒
=3 例2 求证：
1-tan15︒
解法一：先求出tan15的值再代入计算则可其中tan15︒=tan(45︒-30︒)
︒
tan45︒-tan30︒= ︒︒1+tan45tan30
tan45︒+tan15︒
解法二：利用tan45=1将原式变为
1-tan45︒tan15︒
︒
tan45︒+tan15︒
解法三：由=tan60=tan( 45+15)=︒︒
1-tan45tan15
︒
︒︒
跟踪练习3
1-tan75︒
1、 求的值 ︒
1+tan75
tan71︒-tan26︒tan12︒+tan33︒1-tan75︒
2、 求值（1） （2）（3）
︒
1+tan71︒tan26︒1-tan12︒tan33︒3+tan75
cos15︒-sin15︒
（4）
cos15︒+sin15︒
例3已知α,β是锐角，tanα=
11
,tanβ=求α+β的值。 32
α+β)的值可求。从而得到α+β的值 分析：已知tanα,tanβ的值则tan(
注意角α,β,α+β的范围
跟踪练习4
1、已知α,β是锐角，tanα=2、已知α,β∈(0,
13
,tanβ=求α+β的值。 74
3π
。 4
π
2
) ，tanα=3,tanβ=2求证α+β=
2
3、tanα,tanβ是方程x+3x+4=0的两根，且α,β∈(-
π
2
,0),求α+β的值。
例4在斜三角形ABC中，求证tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC, 跟踪练习：
1、求证tan3α-tan2α-tanα=tan3αtan2αtanα,
2、tan70+tan50-tan70tan50= 3、设∆ABC中，tanA+tanB+=是 三角形
4、已知tanA+tanB+tanAtanB=1,求角C的度数
巩固训练
π3π2θ－＝θ∈⎛，π⎫，则cos θ＝__－ 1、（2011苏北四市调研）已知cos⎛⎝45⎝2⎭102、设tan(α+β)=
︒
︒
︒
︒
tanAtanB,sinAcosA=
，则此三角形4
2π1π
，tan(β-)=，则tan(α+)的值为 5444
ππ337
3、（泰州）已知：0
225425
4、（1）cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°＝________.
sin15︒cos5︒-sin20︒
（2）cos15︒cos5︒-cos20︒
π⎫πππ5
，π，求sin⎛α＋⎫，cos⎛α－，tan⎛α＋的值； 5、已知sin α＝，α∈⎛⎝2⎭⎝4⎭⎝6⎝313π⎫5125，π，可得cos α＝－tan α＝－. 解 由sin α＝，α∈⎛⎝2⎭131312πππ5212272
α＋＝sin αcos cos αsin －(1)sin⎛， ⎝[1**********]
πππ123515－3α－＝cos αcos sin αsin ＋cos⎛， ⎝[1**********]
π5
tan α＋tan －312π1693－240
α＋⎫＝tan⎛＝. ⎝3⎭π6953
1－tan αtan 1＋3126、已知向量=(cos
3x3xxx
,sin),=(cos,-sin),则⋅= 2222
31
，tan(A-B）=-，求sinB,cosC的值 53
7、在锐角∆ABC中，sinA=
8、（1）若α+β=45，求证(tanα+1)(tanβ+1)=2 (2)若(tanα+1)(tanβ+1)=2，求α+β的值 9、已知sinα=
︒
2,α是第二象限角，且tan(α+β)=1,求tanβ的值
10、已知sinα+sinβ=a,cosα+cosβ=b,求cos(α-β)的值
11、已知sinα-cosα=m-1，求实数m的取值范围
︒
12、如图，已知等腰直角三角形ABC中， ∠B=90,E,F将BC三等分，
求的∠EAF，∠FAC正切值
13、如图两座建筑物AB，CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的
张角∠CAD=45，求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD
︒