任意角的三角函数
课 型：新授课 课 时：1课时 教材分析
本节课是三角函数这一章里非常重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。我们要借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，为后面的学习做好准备。在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。 教学目标
1、知识与技能：
掌握任意角的三角函数的定义；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。 2、过程与方法：
理解并掌握任意角的三角函数的定义；树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 3、情感态度与价值观：
使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。 教学重难点
重点：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一
难点：任意角正弦、余弦、正切的定义 教学过程 一、复习引入
思考：我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？
结论：在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦，
sinA =
a b a , cosA =, tanA =c c b 。锐角三角函数就是以锐角为
余弦，正切依次为：
自变量，以比值为函数值的函数。
思考1:角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?
如图, 设锐角α的顶点与原点O 重合, 始边与x 轴的正半轴重合,
那么它的终
P (a , b ) r =>0. α边在第一象限. 在的终边上任取一点, 它与原点的距离
过P 作x 轴的垂线, 垂足为M , 则线段OM 的长度为a , 线段MP 的长度为b .
sin α=
MP b
=
OP r ;
则
OM a
cos α==
OP r ; tan α=
MP b
=
OM a .
思考2：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么?
根据相似三角形的知识，对于确定的角α，P 在α的终边上的位置的改变而改变大小.
我们可以将点P 取在使线段OP 的长r =1的特殊位置上，sin α=
MP OM MP b
=b cos α==a tan α==OP OP OM a . ; ;
单位圆:在直角坐标系中, 我们称以原点O 为圆心, 以单位长度为半径的圆称为单位圆.
上述P 点就是α的终边与单位圆的交点, 锐角α的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示. 二、新课讲授
1. 任意角的三角函数的定义
结合上述锐角α的三角函数值的求法, 我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然, 我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数. 如图, 设α是一个任意角, 它的终边与单位圆交于点P (x , y ) , 那么: (1)y 叫做α的正弦, 记做sin α, 即 sin α=y ； (2)x 叫做α的余弦, 记做cos α, 即cos α=x ；
y
(3)x 叫做α的正切, 记做tan α, 即
x
tan α=
y
(x ≠0) x .
思考3:在上述三角函数定义中, 自变量是什么? 对应关系有什么特点, 函数值是什么?
说明:(1)当
α=
π
2
+k π(k ∈Z )
α的终边在y 轴上，时，终边上任意一点的横坐标x
都等于0，所以
tan α=
y
x 无意义, 除此情况外，对于确定的值α，上述三各值都
是唯一确定的实数.
(2)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P (x , y ) ，从而就必然能够最终算出三角函数值.
(3)正弦, 余弦, 正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.
2. 利用定义求角的三角函数值
5π
例1. 求3的正弦, 余弦和正切值.
∠AOB =
5π3,
解：在直角坐标系中，作
1(, -
∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为
22，所以 sin
5π5π15π
==, tan =3323
5π7π
思考：如果将3变为6呢？
例2．已知角α的终边过点P 0(-3, -4) ，求角α的正弦, 余弦和正切值. 思考1：如何根据例题1解答
思考2：一般的，设角a 终边上任意一点的坐标为（x,y ）, 它与原点的距离为r,
sin a =
y x y ,cos a =, tan a =r r x ，你能自己给出证明吗？
则
思考3：如果将题目中的坐标改为（-3a ，-4a ）, 题目又应该怎么做？ 3．三角函数的定义域和函数值符号
探究：请根据上述任意角的三角函数定义，先将正弦，余弦和正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将这三种函数的值再各象限的符号填入下表
例3, 求证：当下列不等式组成立时，角a 为第三象限角，反之也对
⎧sin a
⎩tan a >0
证明：如果sin a 0，所以角a 的终边可能位于第一或第三象限 所以，角a 的终边只能位于第三象限，时第三象限角 反过来，请同学们自己证明
0023π
) ；
变式训练①判断下列各式的符号 1. sin 340⋅cos 265 2. sin 4⋅tan(-4
②求函数y =tan a 的定义域 4. 诱导公式一
由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式 sin(a +k ⋅2π) =sin a cos(a +k ⋅2π) =cos a
tan(a +k ⋅2π) =tan a
利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为求0到2π的三角函数值 例4. 确定下列三角函数值的符号：
sin(-) 00
tan(-672) （4）tan 3π cos 2504 （1） （2） （3）
π
变式训练：求下列各式的值
cos
25π15π
+tan(-) 000034 ；（2） sin 420cos750+sin(-690)cos(-660)
（1）
三、课堂小结
任意角的三角函数的定义；三角函数的定义域及三角函数值的符号；诱导公式（一）
四、作业 P106习题5.3 A组 1、2 B组1、2 五、板书设计（略）
教学反思：教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。
任意角的三角函数
课 型：新授课 课 时：1课时 教材分析
本节课是三角函数这一章里非常重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。我们要借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，为后面的学习做好准备。在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。 教学目标
1、知识与技能：
掌握任意角的三角函数的定义；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。 2、过程与方法：
理解并掌握任意角的三角函数的定义；树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 3、情感态度与价值观：
使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。 教学重难点
重点：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一
难点：任意角正弦、余弦、正切的定义 教学过程 一、复习引入
思考：我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？
结论：在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦，
sinA =
a b a , cosA =, tanA =c c b 。锐角三角函数就是以锐角为
余弦，正切依次为：
自变量，以比值为函数值的函数。
思考1:角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?
如图, 设锐角α的顶点与原点O 重合, 始边与x 轴的正半轴重合,
那么它的终
P (a , b ) r =>0. α边在第一象限. 在的终边上任取一点, 它与原点的距离
过P 作x 轴的垂线, 垂足为M , 则线段OM 的长度为a , 线段MP 的长度为b .
sin α=
MP b
=
OP r ;
则
OM a
cos α==
OP r ; tan α=
MP b
=
OM a .
思考2：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么?
根据相似三角形的知识，对于确定的角α，P 在α的终边上的位置的改变而改变大小.
我们可以将点P 取在使线段OP 的长r =1的特殊位置上，sin α=
MP OM MP b
=b cos α==a tan α==OP OP OM a . ; ;
单位圆:在直角坐标系中, 我们称以原点O 为圆心, 以单位长度为半径的圆称为单位圆.
上述P 点就是α的终边与单位圆的交点, 锐角α的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示. 二、新课讲授
1. 任意角的三角函数的定义
结合上述锐角α的三角函数值的求法, 我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然, 我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数. 如图, 设α是一个任意角, 它的终边与单位圆交于点P (x , y ) , 那么: (1)y 叫做α的正弦, 记做sin α, 即 sin α=y ； (2)x 叫做α的余弦, 记做cos α, 即cos α=x ；
y
(3)x 叫做α的正切, 记做tan α, 即
x
tan α=
y
(x ≠0) x .
思考3:在上述三角函数定义中, 自变量是什么? 对应关系有什么特点, 函数值是什么?
说明:(1)当
α=
π
2
+k π(k ∈Z )
α的终边在y 轴上，时，终边上任意一点的横坐标x
都等于0，所以
tan α=
y
x 无意义, 除此情况外，对于确定的值α，上述三各值都
是唯一确定的实数.
(2)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P (x , y ) ，从而就必然能够最终算出三角函数值.
(3)正弦, 余弦, 正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.
2. 利用定义求角的三角函数值
5π
例1. 求3的正弦, 余弦和正切值.
∠AOB =
5π3,
解：在直角坐标系中，作
1(, -
∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为
22，所以 sin
5π5π15π
==, tan =3323
5π7π
思考：如果将3变为6呢？
例2．已知角α的终边过点P 0(-3, -4) ，求角α的正弦, 余弦和正切值. 思考1：如何根据例题1解答
思考2：一般的，设角a 终边上任意一点的坐标为（x,y ）, 它与原点的距离为r,
sin a =
y x y ,cos a =, tan a =r r x ，你能自己给出证明吗？
则
思考3：如果将题目中的坐标改为（-3a ，-4a ）, 题目又应该怎么做？ 3．三角函数的定义域和函数值符号
探究：请根据上述任意角的三角函数定义，先将正弦，余弦和正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将这三种函数的值再各象限的符号填入下表
例3, 求证：当下列不等式组成立时，角a 为第三象限角，反之也对
⎧sin a
⎩tan a >0
证明：如果sin a 0，所以角a 的终边可能位于第一或第三象限 所以，角a 的终边只能位于第三象限，时第三象限角 反过来，请同学们自己证明
0023π
) ；
变式训练①判断下列各式的符号 1. sin 340⋅cos 265 2. sin 4⋅tan(-4
②求函数y =tan a 的定义域 4. 诱导公式一
由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式 sin(a +k ⋅2π) =sin a cos(a +k ⋅2π) =cos a
tan(a +k ⋅2π) =tan a
利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为求0到2π的三角函数值 例4. 确定下列三角函数值的符号：
sin(-) 00
tan(-672) （4）tan 3π cos 2504 （1） （2） （3）
π
变式训练：求下列各式的值
cos
25π15π
+tan(-) 000034 ；（2） sin 420cos750+sin(-690)cos(-660)
（1）
三、课堂小结
任意角的三角函数的定义；三角函数的定义域及三角函数值的符号；诱导公式（一）
四、作业 P106习题5.3 A组 1、2 B组1、2 五、板书设计（略）
教学反思：教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。