空间向量在几何证明题解法

空间向量在几何体中例题

1如图，在四棱椎P-ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD=DC,E、F 分别是AB 、PB 的中点。

（1）求证：EF ⊥CD ；

（2）证明：PA// 平面DEF

3．已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB //DC ，

∠DAB =90 , PA ⊥底面ABCD ，且PA =AD =DC =1

，

AB =1，M 是PB 的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；（Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；

（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。

16．（本题满分14分）求ax +2x +1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件。

6．（本题满分14分）解:若方程有一正根和一负根，等价于x 1x 2=

⎧

⎪Δ=4-4a ≥0⎪2若方程有两负根，等价于⎪⎨-

>0⎪⎩a

⇒0＜a ≤1

综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a ＜0或0＜a ≤1

由以上推理的可逆性，知当a ＜0时方程有异号两根；当0＜a ≤1时，方程有两负根

故a ＜0或0＜a ≤1是方程ax +2x+1=0至少有一负根的充分条件 2

所以ax +2x+1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件是a ＜0或0＜a ≤1

5．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，中，AD =AA , AB =2，点E 在棱AD 上移 1=1（1）证明：D 1E ⊥A 1D ；

（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；（3）AE 等于何值时，二面角D 1-EC -D 的大小为

. 4

解：以D 为坐标原点，直线DA , DC , DD 1分别为x , y , z 轴，

建立空间直角坐标系，设AE =x ，则A ,0,1), D 1(0,0,1),E (1, x ,0), A (1,0,0), C (0,2,0) 1(1

（1）因为DA , 0, 1), (1, x , -1) =0, 所以DA 1⊥D 1. 1, D 1=(1

（2）因为E 为AB 的中点，则E (1,1,0)，从而D 1E =(1, 1, -1), AC =(-1, 2, 0) ，

⎧⎪n ⋅AC =0,

AD 1=(-1, 0, 1) ，设平面ACD 1的法向量为=(a , b , c ) ，则⎨

⎪⎩⋅AD 1=0,

⎧-a +2b =0⎧a =2b

也即⎨，得⎨，从而n =(2, 1, 2) ，所以点E 到平面ACD 1的距离为

⎩-a +c =0⎩a =c

h =

2+1-21

=. 33

（3）设平面D 1EC 的法向量=(a , b , c ) ，∴CE =(1, x -2, 0), D 1C =(0, 2, -1), DD 1=(0, 0, 1),

⎧⎪n ⋅D 1C =0, ⎧2b -c =0由⎨ 令b =1, ∴c =2, a =2-，x ⇒⎨⎪⎩a +b (x -2) =0. ⎩⋅=0,

∴n =(2-x , 1, 2). 依题意cos

222

⇒=.

222(x -2) +5

∴x 1=2+（不合，舍去），x 2=2-3 .

∴AE =2D 1-EC -D 的大小为

. 4

6．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上

一点，PF ⊥EC . 已知PD =

2, CD =2, AE =

1, 2

求（Ⅰ）异面直线PD 与EC 的距离；

-D （Ⅱ）二面角E -P C 的大小.

解：（Ⅰ）以D 为原点，、、分别为

x , y , z 轴建立空间直角坐标系.

由已知可得D (0,0,0),P C (0,2,0) 设A (x , 0, 0)(x >0), 则B (x , 2, 0),

113

E (x , , 0), =(x , , -2), =(x , -, 0). 由PE ⊥CE 得⋅=0，

222

即x -

313

=0, 故x =. 由DE ⋅CE =(, , 0) ⋅(, -, 0) =0得DE ⊥CE ， 422222

又PD ⊥DE ，故DE 是异面直线PD 与CE 的公垂线，易得||=1，故异面直线

PD , CE 的距离为1.

（Ⅱ）作DG ⊥PC ，可设G (0,y , z ) . 由⋅=0得(0, y , z ) ⋅(0, 2, -2) =0 即z =

2y , 故可取=(0, 1, 2), 作EF ⊥PC 于F ，设F (0,m , n ) ，

则=(-

31, m -, n ). 22

, m -, n ) ⋅(0, 2, -2) =0, 即2m -1-2n =0， 22

2212

m +2, 故m =1, n =, EF =(-, , ). 22222

由⋅=0得(-

又由F 在PC 上得n =-

因⊥, ⊥, 故E -PC -D 的平面角θ的大小为向量与的夹角. 故cos θ=

7．如图：ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD，M 、N 分别是PC 、AB 中点，

求证：MN ⊥平面PCD.(12分)

2ππ, θ=, 即二面角E -P C -D 的大小为. 244

设AP =a , AB =b , AD =c , 则{a , b , c }为空间的一个基底.

11111

则MN =AN -AM =b -(AP +AC ) =b -(a +b +c ) =-(a +c )

22222 DC =AB =b , PD =c -a , PA ⊥矩形ABCD ∴PA ⊥AB , PA ⊥AD , 且AB ⊥AD ∴a ⋅b =0, b ⋅c =0, c ⋅a =0

(a +c ) ⋅b =-(a ⋅b +c ⋅b ) =0; 22111

MN ⋅PD =-(a +c ) ⋅(c -a ) =-(|c |2-|a |2=-(|AD |2-|AP |2) =0;

222

∴MN ⊥DC , MN ⊥PD , 又DC ⋂PD =D , ∴MN ⊥平面PCD . 故MN ⋅DC =-

8．如图2，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为a

，求AC 1与侧面ABB 1A 1所

成的角．

解：建立如图所示的空间直角坐标系，

⎛⎫a

则A (0，0，，0) B (0，a ，，0) A 1(0) ，C 1 ⎪ 2⎪．

⎝⎭，0，0) 是面ABB 1A 1的法向量，

由于n =(-1

AC 1·n 1cos AC 1，n ===⇒AC 1，n =60°．

2AC 1n

故AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°．

9．如图3，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB =90°，侧棱AA ，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，求1=2

点A 1到平面AED 的距离．

解：建立如图所示的空间直角坐标系，设CA =2a ，

⎛2a 2a 1⎫

0，，0) B (0，2a ，，0) D (0，0，，1) A 1(2a ，0，，2) E (a ，a ，，1) G ⎪．则A (2a ，

⎝333⎭

⎛a a 2⎫

BD =(0，-2a ，1) ．从而GE = ⎪，

333⎝⎭

·BD =0，得a =1，由GE ⊥BD ⇒GE

0，，2) A (2，0，，0) E (111)，，．则A 1(2，

0) ，自A 1作A 1H ⊥面AED 于M ，并延长交xOy 面于H ，设H (x ，y ，

则A 1H =(x -2，y ，-2) ．又AD =(-2，01) ，，AE =(-111) ，，．

，⎧A H ⊥AD ，⎧-2(x -2) -2=0，⎧x =1

，，0) ． ⇒⎨⇒⎨由⎨1得H (11

y =1，A H ⊥AE -(x -2) +y -2=0⎩⎩⎩

1cos A 1A ，A 1H =2又A 1

=A 1A cos A 1A ，A 1M =A 1A

= 2

10．（本题满分15分）直线l ：y =kx +1与双曲线C ：3x -

y =1相交于不同的

A 、

B 两

点。

（1）求AB 的长度；

（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标第原点？若存在，求出k 的值；若不存在，写出理由。

⎧y =ax +1

10解：联立方程组⎨2消去y 得(3-a 2)x 2-2ax -2=0，因为有两个交点，2

⎩3x -y =1

{3-a 所以

(1)

≠0

∆=4a 2+83-a 2>0

()

，解得a

2a -2

, x x =。 1222

3-a 3-a

AB =+a x 1-x 2=+a

(x 1+x 2) -4x 1x 2=

2-a 4+5a 2+6

2(a 2

a -3

。

(2)由题意得 k oa k ob =-1, 即x 1x 2+y 1y 2=0, 即x 1x 2+(ax 1+1)(ax 2+1) =0 整理得a 2=1, 符合条件，所以a =±1