第三讲空间位置关系与综合题目的向量解法

[知识梳理]

［知识盘点］一．平行关系

（1）所谓直线的方向向量，就是指的向量，一条直线的方向向量有个。

（2）所谓平面的法向量，就是指所在直线与平面垂直的直线，一个平面的法向量也有个。 1．线线平行

证明两条直线平等，只要证明这两条直线的方向向量是，也可以证这两条直线平行于同一个平面的法向量。 2线面平行

证明线面平行的方法：

（1）证明直线的方向向量与平面的法向量；

（2）证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量；

（3）利用共面向量基本定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量是。 3．面面平行的证明方法：

（1）转化为、处理；（2）证明这两个平面的法向量是。二．垂直关系

4．线线垂直：证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是； 5．线面垂直的证明方法：

（1）证明线面垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是；（2）证明直线与平面内的； 6．面面垂直的证明方法：

（1）转化为证明、；（2）证明这两个平面的法向量是。［特别提醒］

1. 用向量证明立体几何问题，有两种基本思维：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；别一种是用向量的坐标表示几何量，共分为三步进行判断：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标) 表示问题中的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量的运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题。

2．用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何定理。例如要证明线面平行，只需要证明平面中的一条直线和平面内的一条直线平行，即转化为证明线线平行问题，也就是用

向量方法证明直线a //b 时，只需要证明直线a , b 的方向向量a,b 共线即可。

3．向量作为沟通“数”与“形”的桥梁，是利用数形结合解题的一种重要载体，只有掌握了向量运算的各种几何意义，才能较好地利用向量这一工具解决实际问题。

4．以柱体、锥体为依托，考查空间中的线线、线面、面面关系，以及角和距离是高考的“热点”，在角题时，应深入挖掘里面的特殊关系，尤其是垂直关系，建立空间直角坐标系，是解决此类问题的关键。

[基础闯关]

1．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是( )

πππ

(B) (C) (D)与P 点的位置有关 432

2．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M , N 分别是棱DD 1、D 1C 1

(A)

的中点，则直线OM ( )

(A)是AC 与MN 的公垂线 (B)垂直于AC ，但不垂直于MN (C)垂直于MN ，但不垂直于AC (D)与AC 、MN 都不垂直 3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则直线PQ 与BD 1PQ 是异面直线A 1D 和AC 的公垂线，的关系是( )

(A)异面直线 (B)平行直线 (C)垂直但不相交 (D)垂直相交

4．空间中有四点A , B , C , D ，其中AB =(2m , m ,2) ，CD =(m , m +1, -5) ，且AB +CD = 13

(5,, -3) ，则直线AB 和CD ( )

(A)平行 (B)平行或重合 (C)必定相交 (D)必定垂直

3 1 1

5．设O 是平面ABC 外一点，点P 满足OP =OA +OB +OC ，则直线AP 与平面ABC

488

的位置关系是。

6．已知矩形ABCD 中，AB =1, BC =a (a >0), PA ⊥平面AC ，且PA =1，若在BC 边上存在一点Q ，使得PQ ⊥QD ，则a 的取值范围是。

[典例精析]

例1．已知ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱，D 是AC 的中点，求证：AB 1//平面DBC 1 ［剖析］证明线面平行问题，可以有以下三种方法：(1)利用线面平行的判断定理，转化为线线平行问题；(2)向量p 与两个不共线的向量a,b 共面的充要条件是存在实数对x , y ，使得

p =x a +y b ，利用共面向量基定理可以证明线面平行问题；(3)设n 为平面α的法向量，要

证明直线a //平面α，只需要证明a ⋅n =0即可。

［解］证法一：建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设正三棱柱的底面边长为a ，侧棱长为b ，

则A =(0,0,0),B a a a

, ,0), C 1(0,a , b ), B 1, , b ), D (0,,0)

222

a a

从而AB 1=a , , b ), BD =(-a ,0,0), DC 1=(0,, b )

2222

设平面DB 1C 的法向量n =(x , y , z ) ，由n ⊥BD , n ⊥DC 1，得

⎧ ⎧x =0n ⋅BD =-ax =0⎪⎪⎪2⇒⎨a ⎨ a

⎪n ⋅DC =y +bz =0⎩⎪z =-2b y

⎪⎩2

a a a

) ，由AB 1⋅n =取y =1，得n

=(0,1,-，得AB 1⊥n ，即, , b ) ⋅(0,1,-) =02b 22b AB 1//平面DBC 1.

证法二：如图所示，记AB =a , AC =b , AA 1=c ，

则AB 1=a +b, DB =AB -AD =a -b ，DC 1=DC -CC 1=b +c

∴DB +DC 1=a +c =AB 1，∴AB 1, DB , DC 1共面， B 1∉平面DBC 1，

∴AB 1//平面DBC 1

［警示］利用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直关系问题，主要运用了直线的方向向量与平面的法向量的，同时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的定理。另外，利用向量知识解题，一般不需要添加辅助线，只是利用向量运算及向量基本定理，把要证明的直线或平面用该平面内的向量表示即可。［变式训练］

1．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M , N 分别是A 1B 和AC

上的点，

A 1M =AN =a ，求证：MN //平面BB 1C 1C .

例2．(2006年山东高密调研) 如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD=DC，E 、F 分别是AB 、PB 的中点.

（Ⅰ）求证：EF ⊥CD ；

（Ⅱ）在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论。

［剖析］证明线线垂直问题，可以利用线线垂直的判定定理，或者证明这两条直线的方向向量的内积为零。［解］以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图），设AD=a ，则D （0，0，0）、A （a ,0,0）、B(a , a ,0) 、C(0,a ,0) ，E (a , （Ⅰ）⋅=(-

a a a a

, 0) 、F (, , ) 、P (0, 0, a ). 2222

a a

, 0, ) ⋅(0, a , 0) =0, ∴EF ⊥DC . 22

（Ⅱ）设G (x , 0, z ), 则G ∈平面PAD .

a a a FG =(x -, -, z -),

222

a a a a a FG ⋅CB =(x -, -, z -) ⋅(a ,0,0) =a (x -) =0, x =;

22222

2 a a a a a

FG ⋅CP =(x -, -, z -) ⋅(0,-a , a ) =+a (z -) =0, z =0.

22222a

∴G 点坐标为(,0,0), 即G 点为AD 的中点.

［警示］本题是一道开放型的综合题目，以四棱锥为载体，考查线线垂直、线面垂直关系，对于此类问题，要掌握柱休与锥体特有的性质、关系，在解题时要充分利用，从而找出隐含条件，促使问题的解决。［变式训练］

2．正方体ABCD -A 1BC 11D 1的边长为4，M , N , E , F 分别是棱A 1D 1, A 1B 1, DC 11, B 1C 1的中点，求证：平面AMN //平面EFBD .

AB =2，M , N 分别为例3．(2006年河南开封) 已知正四棱柱ABCD -A 1BC 11D 1中，

A 1D 1, C 1D 1的中点，BD 1⊥平面DMN .

（I ）求二面角B -DN -C 1平面角的正切值；

BDN 的距离．（II ）求点A 1到平面

［剖析］由于题设中条件中已知BD 1⊥平面DMN ，而可知BD 1的方法向量即为平面DMN 的法向量。

［解］（1）如图建立坐标系，设DD 1=x 故B (2,2,0)、D 1(0,0,x ) 、M (1,0,x ) 、N (0,1,x )

DM =(1,0, x ), BD 1=(-2, -2, x )

BD 1⊥面DMN ∴BD 1⊥DM 即BD 1⋅DM =0 ∴-2+x 2=0, ∴x =

向量m =(1,0,0) 与面DNC 1垂直

设n =(a ,1, b ) 与面BDN 垂直，则n ⋅DN =0, n ⋅DB =0

m ⋅n

=即1+=0,2a +2=0

∴n =(-

1, cos ) =2|m |⋅|n |

=设所求二面角为α

，则cos α=

∴tan α=

（2）

由A 在向量n 方向上的投影为

∴AB 1B (2,2,0) 1=(0,2,，AB 1

A 1B ⋅n =A 1到面BDN

|n |［警示］若问题的题设中存在垂直关系时，建立空间直角坐标系大多较为方便；如果不存在时，应选好基底进行运算，或采用传统的欧氏几何法加以证明。［变式训练］

3. 如图，PD 垂直正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 是PB 的中点，cos

例4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E , F 分别是BB 1, CD 的中点。 (1)证明：平面AED ⊥平面A 1FD 1；

(2)在AE 上求一点M ，使得A 1M ⊥平面A 1FD 1.

［剖析］证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面面垂直的判断定理，转化为证明线面垂直、线线垂直的问题去证明，二是证明两个平面的法向量互相垂直。

［解］（1）建立如图所示的平面直角坐标系D -xyz ，不妨设正方体的棱长为2，则

． 3

A (2,0,0),B (2,2,1),F (0,1,0), A 1(2,0,2),D 1(0,0,2)，设平面

AED

的

法

向

量

为

n 1=(x 1, y 1, z 1)

，则

n 1⋅D A (=1, x

, y ⋅1) z

(2, 0, 0)

，

n 1⋅DE =(x 1, y 1, z 1) ⋅(2,2,1)=0，

∴2x 1=0,2x 1+2y 1+z 1=0，令y 1=0，得n 1=(0,1, 2-) ，同理

可得平面A 1FD 1的法向量n 2=(0,2,1).

n 1⋅n 2=0，∴平面AED ⊥平面A 1FD 1.

（2）由于点M 在直线AE 上，设AM =λAE =λ(0,2,1) =(0,2λ, λ)

可得M (2,2λ, λ), ∴AM =(0,2λ, λ-2) ，要使A 1M ⊥平面A 1FD 1，需有A 1M ⊥AE 1

λ=，解得. ∴AM ⋅AE =(0,2λ, λ-2) ⋅(0,2,1) =5λ-2=01

故当AM =AE 时，A 1M ⊥平面A 1FD 1.

［警示］平面的法向量是指所在直线与平面垂直的问题，它在解决立体几何问题中有着非常重要的应用。一个平面的法向量有无穷多个，一般来说，我们只需求出其中最简单的一个即可。求法向量的方法一般是用待定系数法，即设出平面法向量的坐标，然后根据与平面内的两个不共线的向量都垂直，即数量积为0，建立方程组进行求解。［变式训练］：

4．如图，ABCD 是边长为2a 的正方形，ABEF 是矩形，且二面角C -AB -F 是直二面角，AF =a ，G 是EF 的中点， D （Ⅰ）求证平面AGC ⊥平面BGC ；

（Ⅱ）求GB 与平面AGC 所成角的正弦值.

F E G

例5．（2006年湖北卷）如图，在棱长为1的正方体

A B CD -A 1B 1C 1D 1中，p 是侧棱CC 1上的一点，CP =m .

（Ⅰ）试确定m ，使得直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正切值为32；

（Ⅱ）在线段A 1C 1上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP . 并证明你的结论.

［剖析］解决探索性题目的一般方法是假设存在，然后据此并结合已知条件进行推理和计算，若没有矛盾，则假设成立，否则假设错误，也就是说不存在。为此本题可先假设符合条件的θ存在，并结合已知条件进行推导。

［解］(Ⅰ) 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0) ，B(1，1，0) ，P(0，1，m) ， C(0，1，0) ，D(0，0，0) ，B 1(1，1，1) ，D 1(0，0，1)

所以BD =(-1, -1,0), BB 1=(0,0,1), AP =(-1,1, m ), AC =(-1,1,0).

又由AC ⋅BD =0, AC ⋅BB 1=0知，AC 为平面BB 1D 1D

的一个法向量。设

与平面BB 1D 1D 所成的角为θ，

则

s i θn =

AP ⋅AC π依题意

-θs (==

2AP ⋅AC y

=解得m =。故当m =

33时，直线AP 与平面BB 1D 1D

所成的角的正切值为

（Ⅱ）若在A 1C 1上存在这样的点Q ，设此点的横坐标为x ，则Q(x，1－x ，1) ，

DQ =(x ,1-x ,0) 。依题意，对任意的m 要使D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP ，等价1

于D 1Q ⊥AP ⇔AP ⋅D 1Q =0⇔-x +(1-x ) =0⇔x =. 即Q 为A 1C 1的中点时，满足题

设要求。

［警示］空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性的问题，它不必进行复杂繁难的作图、论证和推理，只需要通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把“是否存在”的问题，转化为“点的坐标是否有解”“是否有规定范围内的解”等等，所以使问题简单、有效地得以解决，在复习中要注意运用这一方法解题。［变式训练］ 5．（2006年江西卷）如图，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，

且AD

BD ＝CD ＝1，另一个侧面ABC 是正三角形

（1）求证：AD ⊥BC

（2）求二面角B －AC －D 余弦值的大小

（3）在线段AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 成30︒角？若存在，确定E 的位置；若不存在，说明理由。

例6．(2006年上海春) 四棱锥P -A B C D 中，底面ABCD 是一个平行四边形，

AB =(2,-1, -4), AD =(4,2,0),AP =(-1,2, -1) .

PA ⊥底面ABCD ； (1)求证：

(2)求四棱锥P -BCD 的体积；

(3)对于向量a =(x 1, y 1, z 1) ，b =(x 2, y 2, z 2) ，c =(x 3, y 3, z 3) ，定义一种运算：

(a ⨯b ) ⋅c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 3z 1-x 1y 3z 2-x 2y 1z 3-x 3y 2z 1，试计算(AB ⨯AD ) ⋅AP 的绝

对值，说明其与四棱锥P -ABCD 体积的关系，并由此猜测向量这一运算(AB ⨯AD ) ⋅AP 的

［剖析］要证PA ⊥底面ABCD ，只需证明PA 是底面ABCD 的一个法向量即可。

［解］(1) AP ⋅AB =2-2+4=0, ∴AP ⊥AB , 又AP ⋅AD =-4+4+0=0, ∴AP ⊥AD

AB , AD 是底面ABCD 内的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD .

AB ⋅AD

=(2)设AB 与AD 的夹角为θ

，则cos θ=∴sin θ==

|AB ||AD | 1 ∴V P -ABCD =|AB ||AD |sin θ⋅|AP |==16.

(3)|(AB ⨯AD ) ⋅AP |=|-4-32-4-8|=48，它是四棱锥P -ABCD 体积的3倍。

据此可以猜测：|(AB ⨯AD ) ⋅AP |在几何意义上表示以AB , AD , AP 为棱的平行六面体的体

积。

［警示］本题是一道探索性的新定义题目，对应新定义问题的解决，一定要读懂题目中所给出的定义，只有理角清楚了新定义的含义，才能准确地解决该题。［变式训练］

6．(2006年上海南汇区) 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=900，AB=AC=2，AA 1=22，E , F 分别是BC 、AA 1的中点。求（1）异面直线EF 和A 1B 所成的角。

绝对值的几何意义。

（2）直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积。

[能力提升]

，则λ的值为( ) 9

(A)2 (B)－2 (C)－2或 (D)2或-

5555

2．直线l 的方向向量为a ，平面α内两共点向量OA , OB ，下列关系中能表示l //α的是（）

1．若向量a =(1,λ,2), b =(2,-1,2). a,b 夹角的余弦值是

（A ）a =OA （B ）a =kOB （C ）a =pOA +λOB (D)以上均不能

3．以下向量中与向量a ＝（1,2,3），b ＝（3,1,2）都垂直的向量为（）（A ）(1,7,5) （B ）(1,－7,5) （C ）(－1，－7,5) （D ）（1，－7，－5）

AC 上的点，A 1M =

4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M , N 分别是A 1B 和

AN =

，则MN 与平面BB 1C 1C 的关系是( ) 3

(A)相交 (B)平行 (C)垂直 (D)不能确定

5．已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底△ABC 为直角三角形，∠C=90°；侧棱与底面成60°角， B 1点在底面射影D 为BC 中点, 若侧面A 1ABB 1与C 1CBB 1成30°的二面角，BC=2cm，则四棱锥A —B 1BCC 1的体积是（）（Ａ）

2323

cm （Ｂ） cm 23223223

cm （Ｄ） cm

（Ｃ）

6．在空间四边形ABCD 中，AB =BC , CD =DA , E , F , G 分别是CD , DA 和对角线AC 的中点，则平面BEF 与平面BDG 的位置关系是。 7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E , F 分别是D 1D 与BD 的中点，则EF 与B 1C 所成的角为。

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8．设正四棱锥S-ABCD 的侧棱之长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成的角等于＿＿＿＿＿＿。

9．在正三棱锥ABC -A 1B 1C 1中，已知AB =1, D 在棱BB 1上，且BD =1，若AD 与平面所成的角为α，则cos α=____________.

10．已知三棱锥P-ABC 中,PA=PC, ∠APC=∠ACB=900, ∠BAC=300, 平面PAC ⊥平面PBC. 求证: 平面PAB ⊥平面PBC.

11. （2007年高考新方案）如图所示，已知四棱锥P –ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC =∠

BCD = 90°，AB = BC = PB = PC = 2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD ．（1）证明：P A ⊥BD ；

（2）求二面角P – BD – C 的正切值；（3）求证：平面P AD ⊥平面P AB ．

12. (2006年山东济宁) 如图, 已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, ∠ABC=90°,AB=BC=a,AA1=2AB，M 为CC 1上的点. （Ⅰ）当M 在C 1C 上的什么位置时，B 1M 与平面AA 1C 1C 所成的角为30°；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求B 到平面AMB 1的距离.

[仿真训练]

一．选择题

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1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量总可以唯一表示为 p =x a +y b +z c ．其中正确命题的个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 2．已知a =3i +2j -k , b =i -j +2k , 则5a 与3b 的数量积等于 (A)－15 (B)－5 (C)－3 (D)－1

（）（）

3．已知＝（2，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（）

62636465

(B) (C) (D) 7777

4．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a , CB =b , CC 1=c ，则A 1B =

(A)

（）

(A)+－ (B)－+ (C)－++ (D)－

+－ 5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，

2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（） (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

6．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，若E 是CD 的中点，则异面直线AE 、BC 所成角的正切值为（A

（B 1

（C ）2 （D ）

7．已知A 为平面α外一点，AO ⊥α, AB ，AC 为α的两条斜线段，若BO =2, CO =12，AB ，AC 与α所成的角的差为45°，则AO 的长为（）

(A)4

(B)6或8 (C)4或6 (D)8

8．已知OA =(1,2,3) ，OB =(2,1,2)，OP =(1,1,2) ，点Q 在直线OP 上运动，则当QA ⋅QB 取得最小值时，点Q 的坐标为（） (A)．(, , )

131243

(B)(, , )

123234

(C)(, , )

448333

(D)(, , )

333

B D 1 C 1

F 1

A 1

447

9．（2006年广西柳州）如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=900，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC=CA=CC1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（）（A ）

130 （B ）（C ）（D ）

2151010

10．在三棱锥A —BCD 中，AB=CD=2，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，

且EF=，则AB 与CD 所成的角为：( )

（Ａ） 30° （Ｂ） 60° （Ｃ） 90° （Ｄ） 120°

11．(2007上海浦东) 右图是一个正方体的表面展开图，A 、B 、C 均为棱的中点，D 是顶点，则在正方体中，异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为（）（A ）

2 （B ）（C ）（D ） 5555

12．（2006年黄冈）如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，

G 、H 分别为DE 、AC 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，BG 与DH 所成的角的余弦值为（）（A ）0 （B ）

21 （C ）（D

） 322

二．填空题

13．若A(m ＋1，n －1,3) ，B(2m , n , m －2n ) ，C(m ＋3, n －3,9) 三点共线，则m +n = ． 14．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，

BE ＝3ED ，以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则GE ＝．

15．（2005年山东模拟）若三棱锥P -A B C 的三条侧棱两两互相垂直，且满足P A =P B =P C ，则点P 到平面ABC 的距离是16．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为600和450，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为三．解答题

17．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，如图Ｅ、Ｆ分别是BB 1，ＣＤ的中点，（1）求证：D 1F ⊥平面ADE ；

（2）

．

18．（2006年成都）如图，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，AB =2AD =2DC =2,E 为BD 1的中点，F 为AB 的中点 (Ⅰ) 求证：EF ∥平面ADD 1A 1；

(Ⅱ) 建立空间直角坐标系D-xyz (DG是AB 边上的高) ，若BB 1=

，求A 1F 与平面DEF 2

19．(2007年内蒙古蒙自一中) 如图在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°， AB=AC=2,AA 1=4，D 为BC 的中点，E 为CC 1上的点，且A 1

（Ⅰ）求证BE ⊥平面ADB 1 ；（Ⅱ）求二面角B -AB 1-D 的余弦值E

PA ⊥底面ABCD ，20．（2007年上海普陀区）如图，在四棱锥P -ABCD 中，

PA =AB =AD =1. 底面ABCD 满足AD //BC ，AB ⊥BC 且BC =3AD .

点E 在BC 上，且BE =AD ，M 为PD 的中点. 试在PE 上找一点N ，使得MN ⊥PC ，说明你的理由.

21．(2006年甘肃一模) 如图, 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 底面ABCD 是直角梯形, ∠DAB=90, AB∥

DC, AB=2, AD=DC=1 ,AA 1=, E为B C1的中点. (Ⅰ) 求证： AB 1⊥BC 1； (Ⅱ) 若F 是棱D D 1上的一点, 当请给出证明.

D 1F

的值为多少时, 能使二面角F －AC －E 为直二面角？FD A 1 B 1

D 1

C 1E

22．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点，（Ⅰ）求证：A 1E ⊥BD ；

（Ⅱ）当E 恰为棱CC 1的中点时，求证：平面A 1BD ⊥平面EBD ；

（Ⅲ）在棱CC 1上是否存在一个点E ，可以使二面角A 1-BD -E 的大小为45°，如果存在，试确定点E 在棱CC 1上的位置；如果不存在，请说明理由．

第三讲空间位置关系与综合题目的向量解法

[知识梳理]

［知识盘点］一．平行关系

（1）所谓直线的方向向量，就是指的向量，一条直线的方向向量有个。

（2）所谓平面的法向量，就是指所在直线与平面垂直的直线，一个平面的法向量也有个。 1．线线平行

证明两条直线平等，只要证明这两条直线的方向向量是，也可以证这两条直线平行于同一个平面的法向量。 2线面平行

证明线面平行的方法：

（1）证明直线的方向向量与平面的法向量；

（2）证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量；

（3）利用共面向量基本定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量是。 3．面面平行的证明方法：

（1）转化为、处理；（2）证明这两个平面的法向量是。二．垂直关系

4．线线垂直：证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是； 5．线面垂直的证明方法：

（1）证明线面垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是；（2）证明直线与平面内的； 6．面面垂直的证明方法：

（1）转化为证明、；（2）证明这两个平面的法向量是。［特别提醒］

向量方法证明直线a //b 时，只需要证明直线a , b 的方向向量a,b 共线即可。

[基础闯关]

1．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是( )

πππ

(B) (C) (D)与P 点的位置有关 432

2．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M , N 分别是棱DD 1、D 1C 1

(A)

的中点，则直线OM ( )

(A)异面直线 (B)平行直线 (C)垂直但不相交 (D)垂直相交

4．空间中有四点A , B , C , D ，其中AB =(2m , m ,2) ，CD =(m , m +1, -5) ，且AB +CD = 13

(5,, -3) ，则直线AB 和CD ( )

(A)平行 (B)平行或重合 (C)必定相交 (D)必定垂直

3 1 1

5．设O 是平面ABC 外一点，点P 满足OP =OA +OB +OC ，则直线AP 与平面ABC

488

的位置关系是。

6．已知矩形ABCD 中，AB =1, BC =a (a >0), PA ⊥平面AC ，且PA =1，若在BC 边上存在一点Q ，使得PQ ⊥QD ，则a 的取值范围是。

[典例精析]

p =x a +y b ，利用共面向量基定理可以证明线面平行问题；(3)设n 为平面α的法向量，要

证明直线a //平面α，只需要证明a ⋅n =0即可。

［解］证法一：建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设正三棱柱的底面边长为a ，侧棱长为b ，

则A =(0,0,0),B a a a

, ,0), C 1(0,a , b ), B 1, , b ), D (0,,0)

222

a a

从而AB 1=a , , b ), BD =(-a ,0,0), DC 1=(0,, b )

2222

设平面DB 1C 的法向量n =(x , y , z ) ，由n ⊥BD , n ⊥DC 1，得

⎧ ⎧x =0n ⋅BD =-ax =0⎪⎪⎪2⇒⎨a ⎨ a

⎪n ⋅DC =y +bz =0⎩⎪z =-2b y

⎪⎩2

a a a

) ，由AB 1⋅n =取y =1，得n

=(0,1,-，得AB 1⊥n ，即, , b ) ⋅(0,1,-) =02b 22b AB 1//平面DBC 1.

证法二：如图所示，记AB =a , AC =b , AA 1=c ，

则AB 1=a +b, DB =AB -AD =a -b ，DC 1=DC -CC 1=b +c

∴DB +DC 1=a +c =AB 1，∴AB 1, DB , DC 1共面， B 1∉平面DBC 1，

∴AB 1//平面DBC 1

1．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M , N 分别是A 1B 和AC

上的点，

A 1M =AN =a ，求证：MN //平面BB 1C 1C .

例2．(2006年山东高密调研) 如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD=DC，E 、F 分别是AB 、PB 的中点.

（Ⅰ）求证：EF ⊥CD ；

（Ⅱ）在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论。

a a a a

, 0) 、F (, , ) 、P (0, 0, a ). 2222

a a

, 0, ) ⋅(0, a , 0) =0, ∴EF ⊥DC . 22

（Ⅱ）设G (x , 0, z ), 则G ∈平面PAD .

a a a FG =(x -, -, z -),

222

a a a a a FG ⋅CB =(x -, -, z -) ⋅(a ,0,0) =a (x -) =0, x =;

22222

2 a a a a a

FG ⋅CP =(x -, -, z -) ⋅(0,-a , a ) =+a (z -) =0, z =0.

22222a

∴G 点坐标为(,0,0), 即G 点为AD 的中点.

2．正方体ABCD -A 1BC 11D 1的边长为4，M , N , E , F 分别是棱A 1D 1, A 1B 1, DC 11, B 1C 1的中点，求证：平面AMN //平面EFBD .

AB =2，M , N 分别为例3．(2006年河南开封) 已知正四棱柱ABCD -A 1BC 11D 1中，

A 1D 1, C 1D 1的中点，BD 1⊥平面DMN .

（I ）求二面角B -DN -C 1平面角的正切值；

BDN 的距离．（II ）求点A 1到平面

［剖析］由于题设中条件中已知BD 1⊥平面DMN ，而可知BD 1的方法向量即为平面DMN 的法向量。

［解］（1）如图建立坐标系，设DD 1=x 故B (2,2,0)、D 1(0,0,x ) 、M (1,0,x ) 、N (0,1,x )

DM =(1,0, x ), BD 1=(-2, -2, x )

BD 1⊥面DMN ∴BD 1⊥DM 即BD 1⋅DM =0 ∴-2+x 2=0, ∴x =

向量m =(1,0,0) 与面DNC 1垂直

设n =(a ,1, b ) 与面BDN 垂直，则n ⋅DN =0, n ⋅DB =0

m ⋅n

=即1+=0,2a +2=0

∴n =(-

1, cos ) =2|m |⋅|n |

=设所求二面角为α

，则cos α=

∴tan α=

（2）

由A 在向量n 方向上的投影为

∴AB 1B (2,2,0) 1=(0,2,，AB 1

A 1B ⋅n =A 1到面BDN

3. 如图，PD 垂直正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 是PB 的中点，cos

例4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E , F 分别是BB 1, CD 的中点。 (1)证明：平面AED ⊥平面A 1FD 1；

(2)在AE 上求一点M ，使得A 1M ⊥平面A 1FD 1.

［解］（1）建立如图所示的平面直角坐标系D -xyz ，不妨设正方体的棱长为2，则

． 3

A (2,0,0),B (2,2,1),F (0,1,0), A 1(2,0,2),D 1(0,0,2)，设平面

AED

的

法

向

量

为

n 1=(x 1, y 1, z 1)

，则

n 1⋅D A (=1, x

, y ⋅1) z

(2, 0, 0)

，

n 1⋅DE =(x 1, y 1, z 1) ⋅(2,2,1)=0，

∴2x 1=0,2x 1+2y 1+z 1=0，令y 1=0，得n 1=(0,1, 2-) ，同理

可得平面A 1FD 1的法向量n 2=(0,2,1).

n 1⋅n 2=0，∴平面AED ⊥平面A 1FD 1.

（2）由于点M 在直线AE 上，设AM =λAE =λ(0,2,1) =(0,2λ, λ)

可得M (2,2λ, λ), ∴AM =(0,2λ, λ-2) ，要使A 1M ⊥平面A 1FD 1，需有A 1M ⊥AE 1

λ=，解得. ∴AM ⋅AE =(0,2λ, λ-2) ⋅(0,2,1) =5λ-2=01

故当AM =AE 时，A 1M ⊥平面A 1FD 1.

4．如图，ABCD 是边长为2a 的正方形，ABEF 是矩形，且二面角C -AB -F 是直二面角，AF =a ，G 是EF 的中点， D （Ⅰ）求证平面AGC ⊥平面BGC ；

（Ⅱ）求GB 与平面AGC 所成角的正弦值.

F E G

例5．（2006年湖北卷）如图，在棱长为1的正方体

A B CD -A 1B 1C 1D 1中，p 是侧棱CC 1上的一点，CP =m .

（Ⅰ）试确定m ，使得直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正切值为32；

（Ⅱ）在线段A 1C 1上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP . 并证明你的结论.

［解］(Ⅰ) 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0) ，B(1，1，0) ，P(0，1，m) ， C(0，1，0) ，D(0，0，0) ，B 1(1，1，1) ，D 1(0，0，1)

所以BD =(-1, -1,0), BB 1=(0,0,1), AP =(-1,1, m ), AC =(-1,1,0).

又由AC ⋅BD =0, AC ⋅BB 1=0知，AC 为平面BB 1D 1D

的一个法向量。设

与平面BB 1D 1D 所成的角为θ，

则

s i θn =

AP ⋅AC π依题意

-θs (==

2AP ⋅AC y

=解得m =。故当m =

33时，直线AP 与平面BB 1D 1D

所成的角的正切值为

（Ⅱ）若在A 1C 1上存在这样的点Q ，设此点的横坐标为x ，则Q(x，1－x ，1) ，

DQ =(x ,1-x ,0) 。依题意，对任意的m 要使D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP ，等价1

于D 1Q ⊥AP ⇔AP ⋅D 1Q =0⇔-x +(1-x ) =0⇔x =. 即Q 为A 1C 1的中点时，满足题

设要求。

且AD

BD ＝CD ＝1，另一个侧面ABC 是正三角形

（1）求证：AD ⊥BC

（2）求二面角B －AC －D 余弦值的大小

（3）在线段AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 成30︒角？若存在，确定E 的位置；若不存在，说明理由。

例6．(2006年上海春) 四棱锥P -A B C D 中，底面ABCD 是一个平行四边形，

AB =(2,-1, -4), AD =(4,2,0),AP =(-1,2, -1) .

PA ⊥底面ABCD ； (1)求证：

(2)求四棱锥P -BCD 的体积；

(3)对于向量a =(x 1, y 1, z 1) ，b =(x 2, y 2, z 2) ，c =(x 3, y 3, z 3) ，定义一种运算：

(a ⨯b ) ⋅c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 3z 1-x 1y 3z 2-x 2y 1z 3-x 3y 2z 1，试计算(AB ⨯AD ) ⋅AP 的绝

对值，说明其与四棱锥P -ABCD 体积的关系，并由此猜测向量这一运算(AB ⨯AD ) ⋅AP 的

［剖析］要证PA ⊥底面ABCD ，只需证明PA 是底面ABCD 的一个法向量即可。

［解］(1) AP ⋅AB =2-2+4=0, ∴AP ⊥AB , 又AP ⋅AD =-4+4+0=0, ∴AP ⊥AD

AB , AD 是底面ABCD 内的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD .

AB ⋅AD

=(2)设AB 与AD 的夹角为θ

，则cos θ=∴sin θ==

|AB ||AD | 1 ∴V P -ABCD =|AB ||AD |sin θ⋅|AP |==16.

(3)|(AB ⨯AD ) ⋅AP |=|-4-32-4-8|=48，它是四棱锥P -ABCD 体积的3倍。

据此可以猜测：|(AB ⨯AD ) ⋅AP |在几何意义上表示以AB , AD , AP 为棱的平行六面体的体

积。

绝对值的几何意义。

（2）直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积。

[能力提升]

，则λ的值为( ) 9

(A)2 (B)－2 (C)－2或 (D)2或-

5555

2．直线l 的方向向量为a ，平面α内两共点向量OA , OB ，下列关系中能表示l //α的是（）

1．若向量a =(1,λ,2), b =(2,-1,2). a,b 夹角的余弦值是

（A ）a =OA （B ）a =kOB （C ）a =pOA +λOB (D)以上均不能

3．以下向量中与向量a ＝（1,2,3），b ＝（3,1,2）都垂直的向量为（）（A ）(1,7,5) （B ）(1,－7,5) （C ）(－1，－7,5) （D ）（1，－7，－5）

AC 上的点，A 1M =

4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M , N 分别是A 1B 和

AN =

，则MN 与平面BB 1C 1C 的关系是( ) 3

(A)相交 (B)平行 (C)垂直 (D)不能确定

2323

cm （Ｂ） cm 23223223

cm （Ｄ） cm

（Ｃ）

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8．设正四棱锥S-ABCD 的侧棱之长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成的角等于＿＿＿＿＿＿。

9．在正三棱锥ABC -A 1B 1C 1中，已知AB =1, D 在棱BB 1上，且BD =1，若AD 与平面所成的角为α，则cos α=____________.

10．已知三棱锥P-ABC 中,PA=PC, ∠APC=∠ACB=900, ∠BAC=300, 平面PAC ⊥平面PBC. 求证: 平面PAB ⊥平面PBC.

11. （2007年高考新方案）如图所示，已知四棱锥P –ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC =∠

BCD = 90°，AB = BC = PB = PC = 2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD ．（1）证明：P A ⊥BD ；

（2）求二面角P – BD – C 的正切值；（3）求证：平面P AD ⊥平面P AB ．

[仿真训练]

一．选择题

交流试题会员交流资料

（）（）

3．已知＝（2，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（）

62636465

(B) (C) (D) 7777

4．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a , CB =b , CC 1=c ，则A 1B =

(A)

（）

(A)+－ (B)－+ (C)－++ (D)－

+－ 5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，

2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（） (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

6．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，若E 是CD 的中点，则异面直线AE 、BC 所成角的正切值为（A

（B 1

（C ）2 （D ）

7．已知A 为平面α外一点，AO ⊥α, AB ，AC 为α的两条斜线段，若BO =2, CO =12，AB ，AC 与α所成的角的差为45°，则AO 的长为（）

(A)4

(B)6或8 (C)4或6 (D)8

8．已知OA =(1,2,3) ，OB =(2,1,2)，OP =(1,1,2) ，点Q 在直线OP 上运动，则当QA ⋅QB 取得最小值时，点Q 的坐标为（） (A)．(, , )

131243

(B)(, , )

123234

(C)(, , )

448333

(D)(, , )

333

B D 1 C 1

F 1

A 1

447

9．（2006年广西柳州）如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=900，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC=CA=CC1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（）（A ）

130 （B ）（C ）（D ）

2151010

10．在三棱锥A —BCD 中，AB=CD=2，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，

且EF=，则AB 与CD 所成的角为：( )

（Ａ） 30° （Ｂ） 60° （Ｃ） 90° （Ｄ） 120°

11．(2007上海浦东) 右图是一个正方体的表面展开图，A 、B 、C 均为棱的中点，D 是顶点，则在正方体中，异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为（）（A ）

2 （B ）（C ）（D ） 5555

12．（2006年黄冈）如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，

G 、H 分别为DE 、AC 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，BG 与DH 所成的角的余弦值为（）（A ）0 （B ）

21 （C ）（D

） 322

二．填空题

BE ＝3ED ，以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则GE ＝．

17．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，如图Ｅ、Ｆ分别是BB 1，ＣＤ的中点，（1）求证：D 1F ⊥平面ADE ；

（2）

．

(Ⅱ) 建立空间直角坐标系D-xyz (DG是AB 边上的高) ，若BB 1=

，求A 1F 与平面DEF 2

19．(2007年内蒙古蒙自一中) 如图在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°， AB=AC=2,AA 1=4，D 为BC 的中点，E 为CC 1上的点，且A 1

（Ⅰ）求证BE ⊥平面ADB 1 ；（Ⅱ）求二面角B -AB 1-D 的余弦值E

PA ⊥底面ABCD ，20．（2007年上海普陀区）如图，在四棱锥P -ABCD 中，

PA =AB =AD =1. 底面ABCD 满足AD //BC ，AB ⊥BC 且BC =3AD .

点E 在BC 上，且BE =AD ，M 为PD 的中点. 试在PE 上找一点N ，使得MN ⊥PC ，说明你的理由.

21．(2006年甘肃一模) 如图, 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 底面ABCD 是直角梯形, ∠DAB=90, AB∥

DC, AB=2, AD=DC=1 ,AA 1=, E为B C1的中点. (Ⅰ) 求证： AB 1⊥BC 1； (Ⅱ) 若F 是棱D D 1上的一点, 当请给出证明.

D 1F

的值为多少时, 能使二面角F －AC －E 为直二面角？FD A 1 B 1

D 1

C 1E

22．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点，（Ⅰ）求证：A 1E ⊥BD ；

（Ⅱ）当E 恰为棱CC 1的中点时，求证：平面A 1BD ⊥平面EBD ；

（Ⅲ）在棱CC 1上是否存在一个点E ，可以使二面角A 1-BD -E 的大小为45°，如果存在，试确定点E 在棱CC 1上的位置；如果不存在，请说明理由．

第三讲 空间位置关系与综合题目的向量解法

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