学号 密级______________
本科毕业论文
矩阵秩的相关问题的探讨
学 院 名 称：数 学 学 院 专 业 名 称：数学与应用数学 学 生 姓 名： 指 导 教 师：
二○一三年五月
BACHELOR'S DEGREE THESIS OF XXXXX UNIVERSITY
Matrix rank of the related question discussion
College : School of Mathematics
Subject : Mathematics and Applied Mathematics Name : Directed by:
May 2013
郑 重 声 明
本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、图片资料真实可靠。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于培养单位。
本人签名： 日期：
摘 要
本文介绍了矩阵的秩的基本知识，探讨了矩阵的秩在向量的线性关系，求解线性方程组，判断线性空间中点线面的位置关系，二次性，线性变换等方面的应用。
关键词: 矩阵的秩;
; 线性方程组; 位置关系; 二次型; 线性变换
向量
Abstract
This article introduces the basic knowledge of the rank of matrix, discusses the matrix rank in the vector of the linear relationship, solving linear equations, judge the halfway point linear space line position, secondary sex, linear transformation of application.
Keywords : The rank of matrix; Vector; Linear equations; The position relations; Quadratic; Linear transformation
目录
摘 要 ....................................................................................................................................... I Abstract ..................................................................................................................................... II 第一章 矩阵的秩 ................................................................................................................ 1 1 矩阵的秩的定义及简单的公式 ........................................................................................ 1 第二章 矩阵的秩的相关问题 .............................................................................................. 1 2 矩阵的秩与向量的线性关系 ............................................................................................ 1 3 矩阵的秩与线性方程组的求解 ........................................................................................ 3 4 矩阵的秩与空间中的点线面位置关系 ............................................................................ 6 5 矩阵的秩与二次型 .......................................................................................................... 10 6 矩阵的秩与线性变换 ...................................................................................................... 12 参考文献 .................................................................................................................................. 16
第一章 矩阵的秩
矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用. 在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 二次型理; 线性变换等问题的密切的联系.
1 矩阵的秩的定义及简单的公式
1.1 矩阵的秩的定义
定义[1] 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.
1.2 矩阵的秩的几个简单性质
性质1 秩(A ) = 0, 当且仅当A 是零矩阵 性质2 秩(A ) =n , 当且仅当|A |≠0
性质3 设A 是m ×n 矩阵, 则秩(A ) ≤min (m , n ) 性质4 秩(A ±B )≤秩A +秩B
性质5 设A , B 分别为n ⨯m 与m ⨯s 矩阵, 则秩(AB )≤min{秩A , 秩B , n , m , s }.
第二章 矩阵的秩的相关问题
2 矩阵的秩与向量的线性关系
高等代数中, 判断向量组的线性相关性时, 我们的依据是向量组中的其中一个向量是否可以由其余的向量线性表出来. 这种做法简单易懂, 但对一些较为复杂的这类
问题时解法复杂, 上述方法有一定的局限性. 我们可以用矩阵的秩的相关知识来解决这类问题. 首先, 有以下的结论.
2.1 线性相关性的判断
定理2.1 设α1, α2, , αs ∈P n , 令A =(α1, α2, , αs ), 其中A 是n ⨯s 矩阵, αi 为n 维列向量, 且x =(x 1, x 2, , x s ) ' 则
α1, α2, , αs 线性相关⇔A x =0有非零解⇔秩A
例2.1 设A 为n 阶方阵, α1, α2, , αn 为n 个线性无关的n 维向量, 证明: 秩A =n 的充要条件是A α1, A α2, , A αn 线性无关.
证明 令B =(α1, α2, , αn ), 那么B ≠0. 先证明必要性 设秩A =n , 所以A ≠0. 令
(α2+) +k n A α(n =0 ) （2.1.1） k 1(A α1) +k 2A
用A -1左乘（2.1.1）式得k 1α1+k 2α2+ k n αn =0. 所以k 1=k 2= k n =0. 即 A α1, A α2, , A αn 线性无关.
再证明充分性 因为A α1, A α2, , A αn 线性无关， 所以
A α1, A α2, , A αn =AB ≠0,
从而A ≠0, 即 秩A =n
2.2 极大线性无关组
，αm , 若在(I)中存在r 个线性无关的向量定理2.2 （1） (I): α1，α2，
α1，α2， ，αr , 且∀β∈(I)都可以由α1，α2， ，αr 线性表出, 则称α1，α2， ，αr 是(I)
的一个极大线性无关组, 且称秩(I)=r .
（2） 两个等价的的向量具有相同的秩.
（β1，β2， ，βm ）（3） 若=(α1, α2, , αs ) A , 其中A 是s ⨯m 矩阵, 若α1, α2, , αs 线
性无关, 则秩{β1, β2, , βm }=秩A .
例2.2 设有向量组
（Ⅰ） α1=(1, 0, 2), α2=(1,1,3), α3=(1, -1, a +2)' , （Ⅱ） β1=(1, 2, a +3), β2=(2,1, a +6), β3=(2,1, a +4).
试问：当a 为何值时, 向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价? 当a 为何值时, 向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价？
解 作初等行变换, 有 (α1, α2, α3 β1, β2, β3)
1 122⎫⎛11
⎪
11⎪ = 01-1 2
23a +2 a +3a +6a +4⎪⎝⎭⎛1
→ 0
0⎝
1⎫⎪
1-1 211 ⎪0a + 1a -1a +1-a ⎪⎭10
2 -1
1
'
'
'
'
'
（1）当a ≠-1时, 有行列式α1α2α3=a +1≠0, 秩(α1, α2, α3)=3, 故线性方程组
x 1α1+x 2α2+x 3α3=βi (i =1,2,3) 均有惟一解. 所以β1, β2, β3可由向量组（Ⅰ）线性表示.
行列式β1β2
β3=6≠0, 秩(β1, β2, β3)=3, 故α1, α2, α3可由向量组（Ⅱ）线性表示.
因此向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价.
（2）当a=-1时, 有(α1, α2, α3 β1, β2, β3)
⎛102 -111⎫
⎪→ 01-1 211⎪ 000 -20-2⎪⎝⎭
由于秩(α1, α2, α3)≠秩(α1, α2, α3 β1), 线性方程组x 1α1+x 2α2+x 3α3=β1无解, 故向量β1不能由α1, α2, α3线性表示. 因此, 向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价.
3 矩阵的秩与线性方程组的求解
线性方程组问题是高等代数中极其重要的一类问题, 在解决和讨论线性方程组的解的问题时, 我们可以运用矩阵的秩的知识. 而线性方程组要解决的问题可以归纳为以下三类问题：
1. 方程组是否有解？
2. 方程组有解时, 解的个数是多少？
3. 如何求出解? 对于上述三个问题, 无一不与矩阵的秩有关, 既有下面的定理.
3.1 齐次线性方程组的求解
定理3.1[2] 设齐次线性方程组
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =0, ⎪a x +a x + +a x =0, ⎪1212222n n ⎨ (3.1) ⎪⎪⎩a m 1x 1+a m 2x 2+ +a mn x n =0.
系数矩阵A =(a ij ) m ⨯n 的秩R (A ) =r . 且方程组(3.1)的解空间为V . 则可以得到下列结论dim(V ) =n -R (A ) , 这里dim(V ) 表示方程组(3.1)解空间的维数．
例3.1 求下列齐次线性方程组的一个基础解系, 并写出全部解
⎧x 1+2x 2-x 3+2x 4=0,
⎪
⎨2x 1+4x 2+x 3+x 4=0, ⎪-x -2x -2x +x =0.
234⎩1
解 设方程组的系数矩阵为为A , 将A 用初等行变换化为阶梯形矩阵
⎛12-12⎫⎛12-12⎫
⎪ ⎪A = 2411⎪→ 001-1⎪ -1-2-21⎪ 0000⎪⎝⎭⎝⎭
因此 秩A =2, 基础解系所含向量个数=4-2=2 所以 原方程的同解方程组为
⎧x 1+2x 2-x 3+2x 4=0
⎨
x -x =034⎩
⎧x 1=-2x 2-x 4即 ⎨,
x =x 34⎩
取x 2=1, x 4=0 代入得 x 1=-2, x 3=0 得解向量 η1=(-2,1,0,0);
取x 2=0, x 4=1 代入得x 1=-1, x 3=1 得解向量η2=(-1,0,1,1).
所以η1, η2为原方程组的一个基础解系
那么方程组的全部解为k 1η1+k 2η2, 其中k 1, k 2为任意常数.
3.2 非其次线性方程组的求解
定理3.2 设有非齐次线性方程组
A X =B (3.2)
其中A =(a ij )m ⨯n , X =(x 1, x 2,..., x n ), B =(b 1, b 2,... b n ). 则有
T
T
线性方程组(3.2)有解⇔R(A )=R(A B ), 即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩; 线性方程组(3.2)有唯一解⇔R (A )=R (A B ) =n (n 为未知数的个数) ; 线性方程组(3.2)有无穷多组解⇔R (A ) =R (A B )
⎧x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=1,
⎪3x +2x +x +x -3x =c , ⎪12345
⎨
⎪x 2+2x 3+2x 4+x 5+6x 5=3, ⎪⎩5x 1+4x 2+3x 3+3x 4-x 5=d .
无解? 有解? 有解时, 求出一般解. 解 对增广矩阵作一系列初等变换：
⎛1
3 0 5⎝
11
111⎫⎛1111
⎪
211-3c ⎪ 0-1-2-2
→⎪ 012122632⎪ 433-1d ⎪⎭⎝0-1-2-2
1
1⎫
⎪
-6c -3⎪63⎪
⎪
-6d -5⎪⎭
⎛1 0→ 0 0⎝
从而有：
11
1⎫⎛1⎪
0000c ⎪ 0
→⎪ 012263
⎪ 0000d -2⎪⎭⎝0
1111
1⎫
⎪
12263⎪
. ⎪0000c ⎪
0000d -2⎪⎭
11
1)当c ≠0, 或者d ≠2时, R (A ) ≠R (A B ), 故方程组无解;
2)当c =0, 且d =2时, R (A )=R (A B )=2
含有n -r =5-2=3个自由变量;
3)为求出一般解, 继续对增广矩阵施行初等变换, 并将c =0, d =2代入
⎛1
0 0 0⎝
1100
1200
1200
1⎫⎪3⎪
→3⎪
⎪-d ⎪⎭2⎛
⎝
1
0-1-15-⎫2
⎪
01226⎪3
.
00000⎪0
⎪
00000⎪⎭0
⎧x 1=x 3+x 4+x 5-2,
从而有⎨ 其中x 3, x 4, x 5为自由变量, 它们可以取任意的实数. 若令
⎩x 2=-2x 3-2x 4-6x 5+3.
x 3=k 1, x 4=k 2, x 5=k 3, 则
⎧x 1=k 1+k 2+5k 3-2⎪x =-2k -2k -6k +32123⎪⎪
x 3=k 1. ⎨
⎪x 4=k 2⎪
x 5=k 3⎪⎩
为所求一般解（其中k 1, k 2, k 3为任意实数）.
4 矩阵的秩与空间中的点线面位置关系
判断空间中点与点; 直线与直线; 直线与平面; 平面与平面的位置关系, 是代数知识在空间解析几何上的应用, 体现了代数与几何的完美结合, 以下我们用矩阵的秩对这几类关系作出详细的研究.
4.1相关定理
定理4.1 设空间中四个点p i (x i
y i
z i ) , i =1, 2,3, 4
x 1
A =
x 2x 3x 4
y 1y 2y 3y 4
z 11z 21z 31z 41
,
矩阵A 的秩R (A )=r ,
则有（1）r =4时, 四点异面; （2）r =3时, 四点共面; （3）r =2时, 四点共线; （4）r =1时, 四点重合.
1⎤
, 故R (A ) =R (A 1) =R (A 2) +1
A 20⎥⎦
（1）当r =4时, R (A 2) =3, 向量组P 1P 2, P 1P 3, P 1P 4线性无关, 张成整个三维空
εi -εj
⎡x 1
→A 1=⎢证明 因为A −−−i =,3,4
⎣
y 1z 1
间, 所以异面;
（2）当r =3时, R (A 2) =2, 不妨设A 2的前两行线性无关， 即向量P 1P 2,
P 1P 3线性无关, 于是该组向量可以将向量P 1P 4线性表示, 故四点共面, 但不共线;
R A =1P P P P P P （3）当r =2时, (2) , 与前面类似分析可得12, 13, 14共线;
（4）当r =1时, R (A 2) =0, 即P 1P 2, P 1P 3, P 1P 4=0, 四点重合.
定理4.2 设两空间直线
⎧A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0⎧A 3x +B 3y +C 3z +D 3=0 L 1⎨, L 2⎨
⎩A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0⎩A 4x +B 41y +C 4z +D 4=0
设矩阵
⎛A 1
A 2A =
A 3 A ⎝4
B 1B 2B 3B 4
C 1C 2C 3C 4
D 1⎫⎛A 1
⎪ D 2⎪ A 2
, B = D 3⎪A ⎪ 3
A D 4⎪⎭⎝4
B 1B 2B 3B 4
C 1⎫
⎪C 2⎪
C 3⎪⎪C 4⎪⎭
矩阵A 的秩为R ，矩阵B 的秩为S ， 则
（1）R =4时, 两直线异面;
（2）R =S =2时, 两直线重合; （3）R =S =3时, 两直线相交; （4）R =3,S =2时, 两直线平行.
⎧A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0
定理4.3L ⎨和平面p : A 3x +B 3y +C 3z +D 3=0
⎩A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0
设
⎛A 1 A= A 2
A ⎝3
B 1B 2B 3
C 1⎫⎛A 1
⎪ C 2⎪,B= A 2
A C 3⎪⎭⎝3
B 1B 2B 3
C 1C 2C 3
D 1⎫
⎪D 2⎪ D 3⎪⎭
则有
（1）当R (A )=R (B )=3时, 直线L 与平面p 相交; 特别地, 当
A 1A 3+B 1B 3+C 1C 3=0或者A 2A 3+B 2B 3+C 2C 3=0时, 直线L 与平面p 垂直;
（2）当R (A )=R (B )=2时, 直线L 在平面p 上; （3）当R (A )=2, R (B )=3时, 直线与平面p 平行.
证明 联立直线L 与平面p 方程得线性方程组. A , B 分别为系数矩阵和增广矩阵, 且有2≤R (A )≤3, R (B )≤3.
（1）当R (A )=R (B )=3时, 方程组有唯一解, 故直线L 与平面p 相交, 当
A 1A 3+B 1B 3+C 1C 3=0或者A 2A 3+B 2B 3+C 2C 3=0时, 构成直线的某一平面法线向量与
平面p 的法向量垂直, 这时直线L 与平面p 垂直; 结论（2）和（3）可类似证明.
定理4.4 设平面p 1, p 2的方程分别为A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0
⎛A 1
A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0. 记A = A
⎝2
B 1⎫⎛C 1
⎪ B =, ⎪ C B 2⎭⎝2
D 1⎫
⎪ 则有 ⎪D 2⎭
（1）当R (A )=2时, 平面p 1与p 2相交于一条直线; （2）当R (B )=1时, 平面p 1与p 2重合;
（3）当R (A )=1, R (B )=2时, 平面p 1与p 2平行.
4.2定理的应用
例4.1 用矩阵给出平面上n 个点p i (x i , y i )共线的充要条件. 解 设直线为
y =k x + b （4.1.1）
n 个点共线是指线性方程组（把k , b 看成未知量）
⎧kx 1+b =y 1
⎪kx +b =y ⎪2
⎨2 （4.1.2）
⎪⎪⎩kx n +b =y n
有解, 所以
n 个点p i (x i , y i )共线⇔方程组（4.1.2）有解
⎛x 1
⇔秩
x ⎝n
1⎫⎛x 11y 1⎫⎪ ⎪ ⎪=秩 ⎪
x 1y ⎪1⎪n ⎭⎝n ⎭
⎧x +2y -z -7=0⎧3x +6y -3z -8=0
例4.2 判断两直线L 1⎨和L L 2⎨的位置关系.
⎩-2x +y +z -7=0⎩2x -y -z =0
解 由系数矩阵
2-1-7⎫2-1⎫⎛1⎛1 ⎪ ⎪
1-7⎪1⎪ -21 -21
A = B =. ⎪ ⎪36-3-836-3
⎪ ⎪ 2-1-10⎪ 2-1-1⎪⎝⎭⎝⎭
进行初等变换得
⎛1
0A =
0 0⎝
2-10⎫
⎪
5-10⎪
. ⎪007⎪
000⎪⎭
A 的秩R =3, B的秩S =2, 故两直线平行.
⎧x +z =0
例4.3 判断直线L :⎨与平面p : x -y +z +1=0的位置关系.
y =0⎩
解 由系数矩阵
⎛101⎫⎛1010⎫ ⎪ ⎪A = 010⎪, B = 0100⎪
1-11⎪ 1-111⎪⎝⎭⎝⎭
进行初等变换得
⎛1000⎫
⎪B = 0010⎪
0101⎪⎝⎭
则 R(A)=2, R(B)=3. 即直线L 平行与平面p .
5 矩阵的秩与二次型
矩阵的秩与二次型理论有密切的联系, 我们可以用矩阵的秩的相关理论来解决二次型的问题, 首先, 我们有以下的结论:
5.1复数域上二次型的规范形
1 复二次型f (x 1, x 2, x n )=a 11x 12+ +a nn x n 2称为复数域上的规范性, 其中a ii =1或0（i=1, 2, , n ）
2 任何复二次型x ' Ax 都可经过非退化线性替换化为规范形：
f (x 1, x 2, x n )=y 12+ +y r 2
其中r =秩A , 且规范形是唯一的.
⎛E R
3 任何复对称阵A 都合同于对角阵 0
⎝
0⎫⎪, 其中r =秩A . ⎪0⎭
4 两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.
5.2实数域上二次型的规范形
1 实二次型f (x 1, x 2, x n )=a 11x 12+ +a nn x n 2称为实数域上的规范形, 其中
a ii =1, -1或（0i =1，2， ，n ）.
2 惯性定理 任何实二次型经过非退化实线性替换都可化成标准型, 标准型中的正平方项个数与负平方项个数永远是不变的, 并且若
f (x 1, x 2, x n )=b 1y 12+ +b p y p 2-c 1y p +12- -c q y p +q 2,
其中b i >0, c j >0(i =1, 2, , p ; j =1, 2, , q ). 称p 为正惯性指数, q 为负惯性指数, p -q 为符号差; 且秩A =p +q , 其中A 为二次型f 的矩阵.
n
例5.1 求二次型f (x 21, x 2, , x n )=∑X i +4
的秩与符号差.
i =11≤i ∑
x i x j
解 设f (x 1, x 2, , x n )对应的矩阵为A , 则
⎛ 122 2⎫
212 2⎪
⎪A = 221 2⎪,
222 2⎪
⎪⎝
222 1⎪⎭
于是由
λE -A =[(λ-1) +2]
n -1
[(λ-1) +(n -1)(-2) ]=(λ+1) n -1[λ-(2n -1) ]
可得A 的特征值为
λ1= =λn -1=-1, λn =2n -1,
所以f (x 1, x 2, , x n )的秩=n , f (x 1, x 2, , x n )的符号差=1-(n -1) =2-n .
5.3矩阵的秩与二次型的正定
设二次型f (x 1, x 2, x n )=x ' Ax , 其中A ' =A , 那么有以下的结论：
A 正定⇔f 的正惯性指数与秩都等于n , A 负定⇔f 的负惯性指数与秩都等于n , A 半正定⇔f 的正惯性指数与秩相等.
例5.2设A 为n 阶满秩矩阵, 试证明: X (A A ' ) X ' 是一个正定二次型, 这里
X =(x 1, x 2, , x n ).
证明 设A 是满秩矩阵, 令Y ' =A ' X ' , 其中Y =(y 1, , y n ), 则
X ' =(A ' )Y ' 是非退化线性替换, 且
-1
X (A A ' ) X ' =Y ' =y 12+y 22+ +y n 2 (5.2.1) 由(5.2.1)看出, 此二次型的正惯性指数与秩都等于n . 所以 X (A A ' ) X ' 是正定二次型.
例5.3 设A 为m 阶实对称矩阵, 且正定. B 为m ⨯n 实矩阵. B T 为B 的转置矩阵. 试证明：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是秩(B )=n .
证明 先证明充分性 首先(B T AB )=B T AB
T
∀x ∈R n ⨯1, x ≠0由秩B =n , 知B x ≠0, 而A 为正定矩阵, 故
x T (B T AB )x =(Bx )A (Bx )>0
T
此即B T AB 为正定矩阵.
再证明必要性 用反证法 若秩B
0
T
另一方面, 因为B x 0=0, 所以
(B x 0)A (B x 0) (5.3.2)
由于(5.3.1), (5.3.2)矛盾, 故秩B =n
所以 B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是秩(B )=n .
T
6 矩阵的秩与线性变换
线性变换问题是高等代数中的一类重要问题, 同时也是线性代数的一个主要研究
对象. 在线性空间中, 基于线性空间的一组基, 可以线性变换与矩阵的关系. 而矩阵的秩是矩阵的一个重要的数量特征. 因此, 可以用矩阵的秩来研究线性变换.
6.1矩阵的秩与核的计算
1设V 是P 上的n 维线性空间, σ是V 的线性变换, 则称集合{α=0, α∈V } 为σ的核, 记为σ-1(0)或ker σ.
2 若ε1, ε2, , εn 为V 的一组基, σ在基ε1, ε2, , εn 下的矩阵为A , 则 (i) dim (ker σ)=n -秩A
(ii)若秩A =r , 且Ax =0的基础解系为X 1, X 2, , X n -r , 则
ker σ=L (ξ1, ξ2, ξn -r ), 其中ξi =(ε1, ε2 , εn )X i (i =1, 2, , n -r )且ξ1, ξ2, , ξn -r 为ker σ的一组基.
6.2矩阵的秩与值域的计算
1设V 是P 上的n 维线性空间, σ是V 的线性变换, 则称集合{σαα∈V }为σ的
值域, 记为σV .
2 若ε1, ε2, , εn 为V 的一组基, σ在基ε1, ε2, , εn 下的矩阵为A , 则
(i) dim σV =秩A
(ii) 令A =(A 1, A 2, , A n ), A i 为A 的列向量. 若秩A =r , 且A i 1, A i 2, , A i r 为A 的列向量组的极大线性无关组, 则
σV=L (δi , δi , , δi ), 其中
1
2
r
δi =(ε1, ε2, , εn )A i
j
j
(j =1, 2, , r )
且δi 1, δi 2, , δi r 为σV 的一组基.
3 dim (ker σ)+dim σV =dim V =n .
例6.1 设A 是n 维线性空间V 上的线性变换, 试证明: 秩A 2=秩A 的充分必要条件
是V =A V ⊕A -1(0).
证明 (1)先证明充分性 设V =A V ⊕A -1(0), 因为
V ⊆ A V =A (A )
2
A V (6.1.1)
且∀β∈AV , 存在α∈V , 使β=A α. 于是可设
α=α-11+α2, 其中α1∈AV , α2∈A (0)
则
β=A α=A α1+A α2=A α1=A (A δ)=A 2δ∈A 2V .
此即
AV ⊆A 2V (6.1.2) 由(6.1.1), (6.1.2)即证明A V =A 2V . 故
秩A =dimA V =dimA 2V =秩A 2.
再证明必要性 设秩A =秩A 2, 则
秩A +dimA -1(0)=dimA V +dimA -1(0)=n
=dimA 2V +dim(A 2)-1
(0) (6.1.3)
=秩A 2
+秩(A 2)
-1
(0)
于是
dimA -1(0)=dim(A 2)-1
(0) (6.1.4)
但是
A -1(0)⊆(A 2)-1
(0) (6.1.5) 于是由(6.1.4), (6.1.5)有
A -1(0)=(A 2)-1(0) (6.1.6)
再证明
A V A -1(0)={0} (6.1.7) 又因为∀β∈AV A -1(0), ∃γ∈V , 使得β=A γ, 且A β=0, 所以
A 2γ=A β=0⇒γ∈(A 2)-1(0)=A -1(0)
故β=A γ=0, 即证明了(6.1.7).
由(6.1.3), (6.1.7). 可得V =A V ⊕A -1(0).
参考文献
[1]张禾瑞, 郝鈵新. 高等代数（第五版）[M ]. 北京：高等教育出版社, 2007.
[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数(第三版)[M ]. 北京:高等教育出版社,2003.
[3]丘维声. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.
[4]钱吉林. 高等代数解题精粹[M ]. 北京： 中央民族大学出版社, 2002.
[5]张贤达. 矩阵分析及应用[M]. 北京: 清华大学出版社, 2004.
[6]萧永震等. 空间解析几何解题指导[M ].天津： 天津科学技术出版社. 1990
[7]刘丁酋. 矩阵分析[M]. 武昌: 武汉大学出版社, 2003. 8.
[8]雷雪萍. 高等代数中一道习题的推广[J]. 大学数学, 2006,22（4）：161-163
[9]同济大学应用数学系．线性代数(第四版)[M]，北京：高等教育出版社,2003.
[10]谢帮杰： 《线性代数》人民教育出版社，1978年.
[11]H.J.赖顿瑟著 李乔译 《组合数学》，科学技术出版社，1983年
[12] 张凯院, 徐仲．矩阵论同步学习辅导[M]. 西安: 西北工业大学出版社, 2002. 10．160-164
[l3] 王兽方. 高等了协效题解网. 北京:北京大学出版社, 1983 .
[14] 钱吉林. 高等代数题解精粹四. 北京:中央民族大学出版社,2002.
[15] Horn R A,Johnson C R.1989.Matrix Analysis（矩阵分析）. 杨奇. 天津：天津大学出版社.
[16]Tian Y.Universal similarirty factorization equalities over generalized clifford Algebra[J]. Acta mathematiea sinica, 2006, 22(1):289-300
学号 密级______________
本科毕业论文
矩阵秩的相关问题的探讨
学 院 名 称：数 学 学 院 专 业 名 称：数学与应用数学 学 生 姓 名： 指 导 教 师：
二○一三年五月
BACHELOR'S DEGREE THESIS OF XXXXX UNIVERSITY
Matrix rank of the related question discussion
College : School of Mathematics
Subject : Mathematics and Applied Mathematics Name : Directed by:
May 2013
郑 重 声 明
本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、图片资料真实可靠。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于培养单位。
本人签名： 日期：
摘 要
本文介绍了矩阵的秩的基本知识，探讨了矩阵的秩在向量的线性关系，求解线性方程组，判断线性空间中点线面的位置关系，二次性，线性变换等方面的应用。
关键词: 矩阵的秩;
; 线性方程组; 位置关系; 二次型; 线性变换
向量
Abstract
This article introduces the basic knowledge of the rank of matrix, discusses the matrix rank in the vector of the linear relationship, solving linear equations, judge the halfway point linear space line position, secondary sex, linear transformation of application.
Keywords : The rank of matrix; Vector; Linear equations; The position relations; Quadratic; Linear transformation
目录
摘 要 ....................................................................................................................................... I Abstract ..................................................................................................................................... II 第一章 矩阵的秩 ................................................................................................................ 1 1 矩阵的秩的定义及简单的公式 ........................................................................................ 1 第二章 矩阵的秩的相关问题 .............................................................................................. 1 2 矩阵的秩与向量的线性关系 ............................................................................................ 1 3 矩阵的秩与线性方程组的求解 ........................................................................................ 3 4 矩阵的秩与空间中的点线面位置关系 ............................................................................ 6 5 矩阵的秩与二次型 .......................................................................................................... 10 6 矩阵的秩与线性变换 ...................................................................................................... 12 参考文献 .................................................................................................................................. 16
第一章 矩阵的秩
矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用. 在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 二次型理; 线性变换等问题的密切的联系.
1 矩阵的秩的定义及简单的公式
1.1 矩阵的秩的定义
定义[1] 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.
1.2 矩阵的秩的几个简单性质
性质1 秩(A ) = 0, 当且仅当A 是零矩阵 性质2 秩(A ) =n , 当且仅当|A |≠0
性质3 设A 是m ×n 矩阵, 则秩(A ) ≤min (m , n ) 性质4 秩(A ±B )≤秩A +秩B
性质5 设A , B 分别为n ⨯m 与m ⨯s 矩阵, 则秩(AB )≤min{秩A , 秩B , n , m , s }.
第二章 矩阵的秩的相关问题
2 矩阵的秩与向量的线性关系
高等代数中, 判断向量组的线性相关性时, 我们的依据是向量组中的其中一个向量是否可以由其余的向量线性表出来. 这种做法简单易懂, 但对一些较为复杂的这类
问题时解法复杂, 上述方法有一定的局限性. 我们可以用矩阵的秩的相关知识来解决这类问题. 首先, 有以下的结论.
2.1 线性相关性的判断
定理2.1 设α1, α2, , αs ∈P n , 令A =(α1, α2, , αs ), 其中A 是n ⨯s 矩阵, αi 为n 维列向量, 且x =(x 1, x 2, , x s ) ' 则
α1, α2, , αs 线性相关⇔A x =0有非零解⇔秩A
例2.1 设A 为n 阶方阵, α1, α2, , αn 为n 个线性无关的n 维向量, 证明: 秩A =n 的充要条件是A α1, A α2, , A αn 线性无关.
证明 令B =(α1, α2, , αn ), 那么B ≠0. 先证明必要性 设秩A =n , 所以A ≠0. 令
(α2+) +k n A α(n =0 ) （2.1.1） k 1(A α1) +k 2A
用A -1左乘（2.1.1）式得k 1α1+k 2α2+ k n αn =0. 所以k 1=k 2= k n =0. 即 A α1, A α2, , A αn 线性无关.
再证明充分性 因为A α1, A α2, , A αn 线性无关， 所以
A α1, A α2, , A αn =AB ≠0,
从而A ≠0, 即 秩A =n
2.2 极大线性无关组
，αm , 若在(I)中存在r 个线性无关的向量定理2.2 （1） (I): α1，α2，
α1，α2， ，αr , 且∀β∈(I)都可以由α1，α2， ，αr 线性表出, 则称α1，α2， ，αr 是(I)
的一个极大线性无关组, 且称秩(I)=r .
（2） 两个等价的的向量具有相同的秩.
（β1，β2， ，βm ）（3） 若=(α1, α2, , αs ) A , 其中A 是s ⨯m 矩阵, 若α1, α2, , αs 线
性无关, 则秩{β1, β2, , βm }=秩A .
例2.2 设有向量组
（Ⅰ） α1=(1, 0, 2), α2=(1,1,3), α3=(1, -1, a +2)' , （Ⅱ） β1=(1, 2, a +3), β2=(2,1, a +6), β3=(2,1, a +4).
试问：当a 为何值时, 向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价? 当a 为何值时, 向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价？
解 作初等行变换, 有 (α1, α2, α3 β1, β2, β3)
1 122⎫⎛11
⎪
11⎪ = 01-1 2
23a +2 a +3a +6a +4⎪⎝⎭⎛1
→ 0
0⎝
1⎫⎪
1-1 211 ⎪0a + 1a -1a +1-a ⎪⎭10
2 -1
1
'
'
'
'
'
（1）当a ≠-1时, 有行列式α1α2α3=a +1≠0, 秩(α1, α2, α3)=3, 故线性方程组
x 1α1+x 2α2+x 3α3=βi (i =1,2,3) 均有惟一解. 所以β1, β2, β3可由向量组（Ⅰ）线性表示.
行列式β1β2
β3=6≠0, 秩(β1, β2, β3)=3, 故α1, α2, α3可由向量组（Ⅱ）线性表示.
因此向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价.
（2）当a=-1时, 有(α1, α2, α3 β1, β2, β3)
⎛102 -111⎫
⎪→ 01-1 211⎪ 000 -20-2⎪⎝⎭
由于秩(α1, α2, α3)≠秩(α1, α2, α3 β1), 线性方程组x 1α1+x 2α2+x 3α3=β1无解, 故向量β1不能由α1, α2, α3线性表示. 因此, 向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价.
3 矩阵的秩与线性方程组的求解
线性方程组问题是高等代数中极其重要的一类问题, 在解决和讨论线性方程组的解的问题时, 我们可以运用矩阵的秩的知识. 而线性方程组要解决的问题可以归纳为以下三类问题：
1. 方程组是否有解？
2. 方程组有解时, 解的个数是多少？
3. 如何求出解? 对于上述三个问题, 无一不与矩阵的秩有关, 既有下面的定理.
3.1 齐次线性方程组的求解
定理3.1[2] 设齐次线性方程组
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =0, ⎪a x +a x + +a x =0, ⎪1212222n n ⎨ (3.1) ⎪⎪⎩a m 1x 1+a m 2x 2+ +a mn x n =0.
系数矩阵A =(a ij ) m ⨯n 的秩R (A ) =r . 且方程组(3.1)的解空间为V . 则可以得到下列结论dim(V ) =n -R (A ) , 这里dim(V ) 表示方程组(3.1)解空间的维数．
例3.1 求下列齐次线性方程组的一个基础解系, 并写出全部解
⎧x 1+2x 2-x 3+2x 4=0,
⎪
⎨2x 1+4x 2+x 3+x 4=0, ⎪-x -2x -2x +x =0.
234⎩1
解 设方程组的系数矩阵为为A , 将A 用初等行变换化为阶梯形矩阵
⎛12-12⎫⎛12-12⎫
⎪ ⎪A = 2411⎪→ 001-1⎪ -1-2-21⎪ 0000⎪⎝⎭⎝⎭
因此 秩A =2, 基础解系所含向量个数=4-2=2 所以 原方程的同解方程组为
⎧x 1+2x 2-x 3+2x 4=0
⎨
x -x =034⎩
⎧x 1=-2x 2-x 4即 ⎨,
x =x 34⎩
取x 2=1, x 4=0 代入得 x 1=-2, x 3=0 得解向量 η1=(-2,1,0,0);
取x 2=0, x 4=1 代入得x 1=-1, x 3=1 得解向量η2=(-1,0,1,1).
所以η1, η2为原方程组的一个基础解系
那么方程组的全部解为k 1η1+k 2η2, 其中k 1, k 2为任意常数.
3.2 非其次线性方程组的求解
定理3.2 设有非齐次线性方程组
A X =B (3.2)
其中A =(a ij )m ⨯n , X =(x 1, x 2,..., x n ), B =(b 1, b 2,... b n ). 则有
T
T
线性方程组(3.2)有解⇔R(A )=R(A B ), 即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩; 线性方程组(3.2)有唯一解⇔R (A )=R (A B ) =n (n 为未知数的个数) ; 线性方程组(3.2)有无穷多组解⇔R (A ) =R (A B )
⎧x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=1,
⎪3x +2x +x +x -3x =c , ⎪12345
⎨
⎪x 2+2x 3+2x 4+x 5+6x 5=3, ⎪⎩5x 1+4x 2+3x 3+3x 4-x 5=d .
无解? 有解? 有解时, 求出一般解. 解 对增广矩阵作一系列初等变换：
⎛1
3 0 5⎝
11
111⎫⎛1111
⎪
211-3c ⎪ 0-1-2-2
→⎪ 012122632⎪ 433-1d ⎪⎭⎝0-1-2-2
1
1⎫
⎪
-6c -3⎪63⎪
⎪
-6d -5⎪⎭
⎛1 0→ 0 0⎝
从而有：
11
1⎫⎛1⎪
0000c ⎪ 0
→⎪ 012263
⎪ 0000d -2⎪⎭⎝0
1111
1⎫
⎪
12263⎪
. ⎪0000c ⎪
0000d -2⎪⎭
11
1)当c ≠0, 或者d ≠2时, R (A ) ≠R (A B ), 故方程组无解;
2)当c =0, 且d =2时, R (A )=R (A B )=2
含有n -r =5-2=3个自由变量;
3)为求出一般解, 继续对增广矩阵施行初等变换, 并将c =0, d =2代入
⎛1
0 0 0⎝
1100
1200
1200
1⎫⎪3⎪
→3⎪
⎪-d ⎪⎭2⎛
⎝
1
0-1-15-⎫2
⎪
01226⎪3
.
00000⎪0
⎪
00000⎪⎭0
⎧x 1=x 3+x 4+x 5-2,
从而有⎨ 其中x 3, x 4, x 5为自由变量, 它们可以取任意的实数. 若令
⎩x 2=-2x 3-2x 4-6x 5+3.
x 3=k 1, x 4=k 2, x 5=k 3, 则
⎧x 1=k 1+k 2+5k 3-2⎪x =-2k -2k -6k +32123⎪⎪
x 3=k 1. ⎨
⎪x 4=k 2⎪
x 5=k 3⎪⎩
为所求一般解（其中k 1, k 2, k 3为任意实数）.
4 矩阵的秩与空间中的点线面位置关系
判断空间中点与点; 直线与直线; 直线与平面; 平面与平面的位置关系, 是代数知识在空间解析几何上的应用, 体现了代数与几何的完美结合, 以下我们用矩阵的秩对这几类关系作出详细的研究.
4.1相关定理
定理4.1 设空间中四个点p i (x i
y i
z i ) , i =1, 2,3, 4
x 1
A =
x 2x 3x 4
y 1y 2y 3y 4
z 11z 21z 31z 41
,
矩阵A 的秩R (A )=r ,
则有（1）r =4时, 四点异面; （2）r =3时, 四点共面; （3）r =2时, 四点共线; （4）r =1时, 四点重合.
1⎤
, 故R (A ) =R (A 1) =R (A 2) +1
A 20⎥⎦
（1）当r =4时, R (A 2) =3, 向量组P 1P 2, P 1P 3, P 1P 4线性无关, 张成整个三维空
εi -εj
⎡x 1
→A 1=⎢证明 因为A −−−i =,3,4
⎣
y 1z 1
间, 所以异面;
（2）当r =3时, R (A 2) =2, 不妨设A 2的前两行线性无关， 即向量P 1P 2,
P 1P 3线性无关, 于是该组向量可以将向量P 1P 4线性表示, 故四点共面, 但不共线;
R A =1P P P P P P （3）当r =2时, (2) , 与前面类似分析可得12, 13, 14共线;
（4）当r =1时, R (A 2) =0, 即P 1P 2, P 1P 3, P 1P 4=0, 四点重合.
定理4.2 设两空间直线
⎧A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0⎧A 3x +B 3y +C 3z +D 3=0 L 1⎨, L 2⎨
⎩A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0⎩A 4x +B 41y +C 4z +D 4=0
设矩阵
⎛A 1
A 2A =
A 3 A ⎝4
B 1B 2B 3B 4
C 1C 2C 3C 4
D 1⎫⎛A 1
⎪ D 2⎪ A 2
, B = D 3⎪A ⎪ 3
A D 4⎪⎭⎝4
B 1B 2B 3B 4
C 1⎫
⎪C 2⎪
C 3⎪⎪C 4⎪⎭
矩阵A 的秩为R ，矩阵B 的秩为S ， 则
（1）R =4时, 两直线异面;
（2）R =S =2时, 两直线重合; （3）R =S =3时, 两直线相交; （4）R =3,S =2时, 两直线平行.
⎧A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0
定理4.3L ⎨和平面p : A 3x +B 3y +C 3z +D 3=0
⎩A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0
设
⎛A 1 A= A 2
A ⎝3
B 1B 2B 3
C 1⎫⎛A 1
⎪ C 2⎪,B= A 2
A C 3⎪⎭⎝3
B 1B 2B 3
C 1C 2C 3
D 1⎫
⎪D 2⎪ D 3⎪⎭
则有
（1）当R (A )=R (B )=3时, 直线L 与平面p 相交; 特别地, 当
A 1A 3+B 1B 3+C 1C 3=0或者A 2A 3+B 2B 3+C 2C 3=0时, 直线L 与平面p 垂直;
（2）当R (A )=R (B )=2时, 直线L 在平面p 上; （3）当R (A )=2, R (B )=3时, 直线与平面p 平行.
证明 联立直线L 与平面p 方程得线性方程组. A , B 分别为系数矩阵和增广矩阵, 且有2≤R (A )≤3, R (B )≤3.
（1）当R (A )=R (B )=3时, 方程组有唯一解, 故直线L 与平面p 相交, 当
A 1A 3+B 1B 3+C 1C 3=0或者A 2A 3+B 2B 3+C 2C 3=0时, 构成直线的某一平面法线向量与
平面p 的法向量垂直, 这时直线L 与平面p 垂直; 结论（2）和（3）可类似证明.
定理4.4 设平面p 1, p 2的方程分别为A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0
⎛A 1
A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0. 记A = A
⎝2
B 1⎫⎛C 1
⎪ B =, ⎪ C B 2⎭⎝2
D 1⎫
⎪ 则有 ⎪D 2⎭
（1）当R (A )=2时, 平面p 1与p 2相交于一条直线; （2）当R (B )=1时, 平面p 1与p 2重合;
（3）当R (A )=1, R (B )=2时, 平面p 1与p 2平行.
4.2定理的应用
例4.1 用矩阵给出平面上n 个点p i (x i , y i )共线的充要条件. 解 设直线为
y =k x + b （4.1.1）
n 个点共线是指线性方程组（把k , b 看成未知量）
⎧kx 1+b =y 1
⎪kx +b =y ⎪2
⎨2 （4.1.2）
⎪⎪⎩kx n +b =y n
有解, 所以
n 个点p i (x i , y i )共线⇔方程组（4.1.2）有解
⎛x 1
⇔秩
x ⎝n
1⎫⎛x 11y 1⎫⎪ ⎪ ⎪=秩 ⎪
x 1y ⎪1⎪n ⎭⎝n ⎭
⎧x +2y -z -7=0⎧3x +6y -3z -8=0
例4.2 判断两直线L 1⎨和L L 2⎨的位置关系.
⎩-2x +y +z -7=0⎩2x -y -z =0
解 由系数矩阵
2-1-7⎫2-1⎫⎛1⎛1 ⎪ ⎪
1-7⎪1⎪ -21 -21
A = B =. ⎪ ⎪36-3-836-3
⎪ ⎪ 2-1-10⎪ 2-1-1⎪⎝⎭⎝⎭
进行初等变换得
⎛1
0A =
0 0⎝
2-10⎫
⎪
5-10⎪
. ⎪007⎪
000⎪⎭
A 的秩R =3, B的秩S =2, 故两直线平行.
⎧x +z =0
例4.3 判断直线L :⎨与平面p : x -y +z +1=0的位置关系.
y =0⎩
解 由系数矩阵
⎛101⎫⎛1010⎫ ⎪ ⎪A = 010⎪, B = 0100⎪
1-11⎪ 1-111⎪⎝⎭⎝⎭
进行初等变换得
⎛1000⎫
⎪B = 0010⎪
0101⎪⎝⎭
则 R(A)=2, R(B)=3. 即直线L 平行与平面p .
5 矩阵的秩与二次型
矩阵的秩与二次型理论有密切的联系, 我们可以用矩阵的秩的相关理论来解决二次型的问题, 首先, 我们有以下的结论:
5.1复数域上二次型的规范形
1 复二次型f (x 1, x 2, x n )=a 11x 12+ +a nn x n 2称为复数域上的规范性, 其中a ii =1或0（i=1, 2, , n ）
2 任何复二次型x ' Ax 都可经过非退化线性替换化为规范形：
f (x 1, x 2, x n )=y 12+ +y r 2
其中r =秩A , 且规范形是唯一的.
⎛E R
3 任何复对称阵A 都合同于对角阵 0
⎝
0⎫⎪, 其中r =秩A . ⎪0⎭
4 两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.
5.2实数域上二次型的规范形
1 实二次型f (x 1, x 2, x n )=a 11x 12+ +a nn x n 2称为实数域上的规范形, 其中
a ii =1, -1或（0i =1，2， ，n ）.
2 惯性定理 任何实二次型经过非退化实线性替换都可化成标准型, 标准型中的正平方项个数与负平方项个数永远是不变的, 并且若
f (x 1, x 2, x n )=b 1y 12+ +b p y p 2-c 1y p +12- -c q y p +q 2,
其中b i >0, c j >0(i =1, 2, , p ; j =1, 2, , q ). 称p 为正惯性指数, q 为负惯性指数, p -q 为符号差; 且秩A =p +q , 其中A 为二次型f 的矩阵.
n
例5.1 求二次型f (x 21, x 2, , x n )=∑X i +4
的秩与符号差.
i =11≤i ∑
x i x j
解 设f (x 1, x 2, , x n )对应的矩阵为A , 则
⎛ 122 2⎫
212 2⎪
⎪A = 221 2⎪,
222 2⎪
⎪⎝
222 1⎪⎭
于是由
λE -A =[(λ-1) +2]
n -1
[(λ-1) +(n -1)(-2) ]=(λ+1) n -1[λ-(2n -1) ]
可得A 的特征值为
λ1= =λn -1=-1, λn =2n -1,
所以f (x 1, x 2, , x n )的秩=n , f (x 1, x 2, , x n )的符号差=1-(n -1) =2-n .
5.3矩阵的秩与二次型的正定
设二次型f (x 1, x 2, x n )=x ' Ax , 其中A ' =A , 那么有以下的结论：
A 正定⇔f 的正惯性指数与秩都等于n , A 负定⇔f 的负惯性指数与秩都等于n , A 半正定⇔f 的正惯性指数与秩相等.
例5.2设A 为n 阶满秩矩阵, 试证明: X (A A ' ) X ' 是一个正定二次型, 这里
X =(x 1, x 2, , x n ).
证明 设A 是满秩矩阵, 令Y ' =A ' X ' , 其中Y =(y 1, , y n ), 则
X ' =(A ' )Y ' 是非退化线性替换, 且
-1
X (A A ' ) X ' =Y ' =y 12+y 22+ +y n 2 (5.2.1) 由(5.2.1)看出, 此二次型的正惯性指数与秩都等于n . 所以 X (A A ' ) X ' 是正定二次型.
例5.3 设A 为m 阶实对称矩阵, 且正定. B 为m ⨯n 实矩阵. B T 为B 的转置矩阵. 试证明：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是秩(B )=n .
证明 先证明充分性 首先(B T AB )=B T AB
T
∀x ∈R n ⨯1, x ≠0由秩B =n , 知B x ≠0, 而A 为正定矩阵, 故
x T (B T AB )x =(Bx )A (Bx )>0
T
此即B T AB 为正定矩阵.
再证明必要性 用反证法 若秩B
0
T
另一方面, 因为B x 0=0, 所以
(B x 0)A (B x 0) (5.3.2)
由于(5.3.1), (5.3.2)矛盾, 故秩B =n
所以 B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是秩(B )=n .
T
6 矩阵的秩与线性变换
线性变换问题是高等代数中的一类重要问题, 同时也是线性代数的一个主要研究
对象. 在线性空间中, 基于线性空间的一组基, 可以线性变换与矩阵的关系. 而矩阵的秩是矩阵的一个重要的数量特征. 因此, 可以用矩阵的秩来研究线性变换.
6.1矩阵的秩与核的计算
1设V 是P 上的n 维线性空间, σ是V 的线性变换, 则称集合{α=0, α∈V } 为σ的核, 记为σ-1(0)或ker σ.
2 若ε1, ε2, , εn 为V 的一组基, σ在基ε1, ε2, , εn 下的矩阵为A , 则 (i) dim (ker σ)=n -秩A
(ii)若秩A =r , 且Ax =0的基础解系为X 1, X 2, , X n -r , 则
ker σ=L (ξ1, ξ2, ξn -r ), 其中ξi =(ε1, ε2 , εn )X i (i =1, 2, , n -r )且ξ1, ξ2, , ξn -r 为ker σ的一组基.
6.2矩阵的秩与值域的计算
1设V 是P 上的n 维线性空间, σ是V 的线性变换, 则称集合{σαα∈V }为σ的
值域, 记为σV .
2 若ε1, ε2, , εn 为V 的一组基, σ在基ε1, ε2, , εn 下的矩阵为A , 则
(i) dim σV =秩A
(ii) 令A =(A 1, A 2, , A n ), A i 为A 的列向量. 若秩A =r , 且A i 1, A i 2, , A i r 为A 的列向量组的极大线性无关组, 则
σV=L (δi , δi , , δi ), 其中
1
2
r
δi =(ε1, ε2, , εn )A i
j
j
(j =1, 2, , r )
且δi 1, δi 2, , δi r 为σV 的一组基.
3 dim (ker σ)+dim σV =dim V =n .
例6.1 设A 是n 维线性空间V 上的线性变换, 试证明: 秩A 2=秩A 的充分必要条件
是V =A V ⊕A -1(0).
证明 (1)先证明充分性 设V =A V ⊕A -1(0), 因为
V ⊆ A V =A (A )
2
A V (6.1.1)
且∀β∈AV , 存在α∈V , 使β=A α. 于是可设
α=α-11+α2, 其中α1∈AV , α2∈A (0)
则
β=A α=A α1+A α2=A α1=A (A δ)=A 2δ∈A 2V .
此即
AV ⊆A 2V (6.1.2) 由(6.1.1), (6.1.2)即证明A V =A 2V . 故
秩A =dimA V =dimA 2V =秩A 2.
再证明必要性 设秩A =秩A 2, 则
秩A +dimA -1(0)=dimA V +dimA -1(0)=n
=dimA 2V +dim(A 2)-1
(0) (6.1.3)
=秩A 2
+秩(A 2)
-1
(0)
于是
dimA -1(0)=dim(A 2)-1
(0) (6.1.4)
但是
A -1(0)⊆(A 2)-1
(0) (6.1.5) 于是由(6.1.4), (6.1.5)有
A -1(0)=(A 2)-1(0) (6.1.6)
再证明
A V A -1(0)={0} (6.1.7) 又因为∀β∈AV A -1(0), ∃γ∈V , 使得β=A γ, 且A β=0, 所以
A 2γ=A β=0⇒γ∈(A 2)-1(0)=A -1(0)
故β=A γ=0, 即证明了(6.1.7).
由(6.1.3), (6.1.7). 可得V =A V ⊕A -1(0).
参考文献
[1]张禾瑞, 郝鈵新. 高等代数（第五版）[M ]. 北京：高等教育出版社, 2007.
[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数(第三版)[M ]. 北京:高等教育出版社,2003.
[3]丘维声. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.
[4]钱吉林. 高等代数解题精粹[M ]. 北京： 中央民族大学出版社, 2002.
[5]张贤达. 矩阵分析及应用[M]. 北京: 清华大学出版社, 2004.
[6]萧永震等. 空间解析几何解题指导[M ].天津： 天津科学技术出版社. 1990
[7]刘丁酋. 矩阵分析[M]. 武昌: 武汉大学出版社, 2003. 8.
[8]雷雪萍. 高等代数中一道习题的推广[J]. 大学数学, 2006,22（4）：161-163
[9]同济大学应用数学系．线性代数(第四版)[M]，北京：高等教育出版社,2003.
[10]谢帮杰： 《线性代数》人民教育出版社，1978年.
[11]H.J.赖顿瑟著 李乔译 《组合数学》，科学技术出版社，1983年
[12] 张凯院, 徐仲．矩阵论同步学习辅导[M]. 西安: 西北工业大学出版社, 2002. 10．160-164
[l3] 王兽方. 高等了协效题解网. 北京:北京大学出版社, 1983 .
[14] 钱吉林. 高等代数题解精粹四. 北京:中央民族大学出版社,2002.
[15] Horn R A,Johnson C R.1989.Matrix Analysis（矩阵分析）. 杨奇. 天津：天津大学出版社.
[16]Tian Y.Universal similarirty factorization equalities over generalized clifford Algebra[J]. Acta mathematiea sinica, 2006, 22(1):289-300